Przygody Alexa w Krainie Liczb

Przygody Alexa w Krainie Liczb

Autorzy: Alex Bellos

Wydawnictwo: Albatros

Kategorie: Popularnonaukowe

Typ: e-book

Formaty: EPUB MOBI

Ilość stron: 544

Cena książki papierowej: 38.50 zł

cena od: 29.90 zł

Świat matematyki może wydawać się niepojęty, nieistotny i - spójrzmy prawdzie w oczy - nudny. Ta nowatorska książka pokazuje, że matematyka jest nie tylko dla matematyków. Idee matematyczne leżą u podstaw chyba wszystkiego w naszym życiu: od prostego liczenia owiec do wykorzystania teorii prawdopodobieństwa, by wygrać majątek w kasynie. W poszukiwaniu dziwnych i cudownych zjawisk matematycznych Alex Bellos podróżuje po całej kuli ziemskiej, spotykając najszybszych na świecie rachmistrzów pamięciowych w Niemczech i zadziwiająco biegłego w liczeniu szympansa w Japonii. Pełne fascynujących, otwierających oczy anegdot PRZYGODY ALEXA W KRAINIE LICZB to porywający koktajl historii, reportażu i dowodów matematycznych, który pozostawi czytelnika wręcz oniemiałego z wrażenia. Książka skierowana jest do czytelnika bez wiedzy matematycznej - obejmuje materiał od poziomu szkoły podstawowej do pojęć nauczanych dopiero pod koniec studiów. Autor przekazuje w niej radość i zachwyt towarzyszące odkrywaniu matematyki (także to, że matematycy nierzadko bywają zabawni). Pokazuje, że jest dziedziną inspirującą, przystępną, a nade wszystko fantastycznie twórczą. Nie bez powodu abstrakcyjne myślenie matematyczne uważa się za jedno z największych osiągnięć rasy ludzkiej, za podstawę wszelkiego postępu.

Wydanie elektroniczne

Ty­tuł ory­gi­na­łu:

ALEX'S AD­VEN­TU­RES IN NUM­BER­LAND:

DI­SPAT­CHES FROM THE WON­DER­FUL WORLD OF MA­THE­MA­TICS

Co­py­ri­ght © Alex Bel­los 2010

All ri­ghts re­se­rved

Il­lu­stra­tions co­py­ri­ght © Andy Ri­ley 2010

Po­lish edi­tion co­py­ri­ght © Wy­daw­nic­two Al­ba­tros A. Ku­ry­ło­wicz 2013

Po­lish trans­la­tion co­py­ri­ght © Anna Bin­der 2013

Re­dak­cja: Ma­ria Bia­łek

Kon­sul­ta­cja na­uko­wa: Da­nu­ta Ol­szew­ska

Ilu­stra­cja na okład­ce: Ga­ly­na Pu­zy­ma/Shut­ter­stock

Pro­jekt gra­ficz­ny okład­ki: An­drzej Ku­ry­ło­wicz

ISBN 978-83-7885-091-5

Wydawca

WYDAWNICTWO ALBATROS A. KURYŁOWICZ

Hlonda 2a/25, 02-972 Warszawa

www.wydawnictwoalbatros.com

Niniejszy produkt jest objęty ochroną prawa autorskiego. Uzyskany dostęp upoważnia wyłącznie do prywatnego użytku osobę, która wykupiła prawo dostępu. Wydawca informuje, że publiczne udostępnianie osobom trzecim, nieokreślonym adresatom lub w jakikolwiek inny sposób upowszechnianie, kopiowanie oraz przetwarzanie w technikach cyfrowych lub podobnych – jest nielegalne i podlega właściwym sankcjom.

Skład wersji elektronicznej:

Virtualo Sp. z o.o.

ALEX BEL­LOS

Bry­tyj­ski pi­sarz, dzien­ni­karz i pre­zen­ter te­le­wi­zyj­ny. Ukoń­czył ma­te­ma­ty­kę i fi­lo­zo­fię na Oks­for­dzie. W la­tach 1998–2003 był ko­re­spon­den­tem za­gra­nicz­nym dzien­ni­ka „The Gu­ar­dian” w Ame­ry­ce Po­łu­dnio­wej. Plo­nem tego wy­jaz­du były dwie książ­ki: re­por­taż Fu­te­bol: the Bra­zi­lian Way of Life (no­mi­no­wa­na do ty­tu­łu „naj­lep­szej książ­ki roku o spo­rcie”) i Pelé: The Au­to­bio­gra­phy (be­st­sel­ler nu­mer 1 w Wiel­kiej Bry­ta­nii), któ­rą na­pi­sał ano­ni­mo­wo. Od 2003 współ­pra­cu­je z BBC: przy­go­to­wał dla niej se­rię re­por­ta­ży In­si­de Out Bra­zil, a na an­te­nie te­le­wi­zyj­nej zaj­mu­je się po­pu­la­ry­za­cją ma­te­ma­ty­ki. W 2010 uka­za­ła się jego gło­śna książ­ka Przy­go­dy Ale­xa w Kra­inie Liczb, za któ­rą otrzy­mał kil­ka pre­sti­żo­wych na­gród i no­mi­na­cji do na­gród, m.in. Ga­li­leo Pri­ze, Pe­ano Pri­ze, Ama­zon Best Bo­oks of 2010 in Scien­ce, Ga­la­xy Na­tio­nal Book Award.

www.al­le­xbel­los.com

Spis treści

O autorze

Wstęp

ROZDZIAŁ ZEROWY

Głowa do liczb

W którym autor próbuje dowiedzieć się, skąd się wzięły cyfry, skoro są całkiem niedawnym wynalazkiem. Spotyka się z człowiekiem, który mieszkał w dżungli, oraz z szympansem, który od zawsze żyje w mieście.

ROZDZIAŁ PIERWSZY

Liczenie po innemu

W którym autor dowiaduje się o tyranii dziesiątki i rewolucjonistach spiskujących na rzecz jej obalenia. Odwiedza klub w Tokio, w którym dzieci uczą się liczyć przez wyobrażanie sobie koralików.

ROZDZIAŁ DRUGI

Patrz!

W którym autor niemal zmienia swoje imię, bo namawia go do tego wyznawca kultu zapoczątkowanego przez pewnego Greka. Decyduje się jednak pójść za nauczaniem innego greckiego myśliciela, wyciąga z lamusa cyrkiel i składa czworościan z dwóch wizytówek.

ROZDZIAŁ TRZECI

Coś o niczym

W którym autor wybiera się do Indii na audiencję u hinduskiego mędrca. Odkrywa kilka bardzo powolnych metod arytmetycznych i parę bardzo szybkich.

ROZDZIAŁ CZWARTY

Życie pi

W którym autor na własne oczy ogląda w Niemczech najszybsze na świecie mnożenie w pamięci. W ten okrężny sposób rozpoczyna opowieść o kołach, transcendentalną historię, która prowadzi go do Nowego Jorku oraz ponownego odkrycia zalet pięćdziesięciopensówki.

ROZDZIAŁ PIĄTY

Niewiadoma x

W którym autor wyjaśnia, dlaczego liczby są dobre, ale litery jeszcze lepsze. Odwiedza w Braintree człowieka zbierającego suwaki logarytmiczne i słucha tragicznej opowieści o ich upadku. Dodaje omówienie logarytmów, słowniczek wyrazów kalkulatorowych oraz przepis na superjajo.

ROZDZIAŁ SZÓSTY

Czas na zabawę

W którym autor gości na zawodach w łamigłówkach matematycznych. Bada dziedzictwo dwóch Chińczyków - z których jeden był przygłupem samotnikiem, a drugi spadł z Ziemi - a potem leci do Oklahomy na spotkanie z iluzjonistą.

ROZDZIAŁ SIÓDMY

Wciągające ciągi

W którym autor po raz pierwszy staje wobec nieskończoności. Natyka się na niepowstrzymanego ślimaka oraz pewną rodzinę diabolicznych liczb.

ROZDZIAŁ ÓSMY

Złoty palec

W którym autor spotyka się z pewnym londyńczykiem ze szczypcami, który twierdzi, że odkrył sekret pięknych zębów.

ROZDZIAŁ DZIEWIĄTY

Szansa od losu

W którym autor wspomina książąt hazardu i jedzie zagrać do Reno. Wybiera się na przechadzkę po losowości, którą kończy w biurowcu w Newport Beach w Kalifornii - skąd przez ocean mógłby dojrzeć pewnego zwycięzcę loterii na bezludnej wyspie południowego Pacyfiku.

ROZDZIAŁ DZIESIĄTY

Sytuacja w normie

W którym autor poprzez nieumiarkowane spożycie produktów mącznych próbuje delektować się narodzinami statystyki.

ROZDZIAŁ JEDENASTY

Na koniec nieskończoność

W którym autor kończy swoją podróż na chipsach i robótkach szydełkowych. Wraca do Euklidesa, a potem udaje się do hotelu z nieskończoną ilością pokojów, który nie może poradzić sobie z nagłym napływem gości.

SŁOWNICZEK

ANEKSY

PRZYPISY DO ROZDZIAŁÓW

PODZIĘKOWANIA

FOTOGRAFIE

ŹRÓDŁA ILUSTRACJI

Wszystkie rozdziały dostępne w pełnej wersji książki.

Mo­jej mat­ce i ojcu

Wstęp

La­tem 1992 roku pra­co­wa­łem jako po­cząt­ku­ją­cy re­por­ter w „Eve­ning Ar­gus” w Bri­gh­ton. Ob­ser­wo­wa­łem na­sto­let­nich re­cy­dy­wi­stów, któ­rzy sta­wia­li się przed miej­sco­wym sę­dzią po­ko­ju, prze­pro­wa­dza­łem wy­wia­dy ze skle­pi­ka­rza­mi na te­mat re­ce­sji i dwa razy w ty­go­dniu ak­tu­ali­zo­wa­łem go­dzi­ny otwar­cia ko­lej­ki Blu­ebell na stro­nie in­for­ma­cyj­nej ga­ze­ty. Nie był to do­bry czas dla drob­nych zło­dzie­jasz­ków i skle­pi­ka­rzy, wspo­mi­nam to jed­nak jako szczę­śli­wy okres w moim ży­ciu.

John Ma­jor zo­stał wła­śnie po­now­nie wy­bra­ny na pre­mie­ra i w eu­fo­rii zwy­cię­stwa ogło­sił jed­ną z naj­bar­dziej pa­mięt­nych (i naj­bar­dziej ob­śmia­nych) ini­cja­tyw po­li­tycz­nych. Z pre­zy­denc­ką po­wa­gą za­po­wie­dział utwo­rze­nie spe­cjal­nej li­nii te­le­fo­nicz­nej do in­for­mo­wa­nia o pa­choł­kach dro­go­wych – ser­wu­jąc tę ba­nal­ną pro­po­zy­cję w taki spo­sób, jak­by od tego za­le­ża­ła przy­szłość świa­ta.

W Bri­gh­ton jed­nak pro­blem pa­choł­ków był pa­lą­cy. Nie dało się wje­chać do mia­sta, by nie utknąć w ro­bo­tach dro­go­wych. Głów­na tra­sa z Lon­dy­nu – A23 (M) – zmie­ni­ła się w ko­ry­tarz z rzę­dem pa­choł­ków w po­ma­rań­czo­we pa­ski na ca­łej dłu­go­ści od Craw­ley do Pre­ston Park. „Ar­gus” żar­tem we­zwał swo­ich czy­tel­ni­ków, by od­ga­dli licz­bę pa­choł­ków usta­wio­nych na wie­lo­mi­lo­wym od­cin­ku A23 (M). Sze­fo­stwo gra­tu­lo­wa­ło so­bie tak świet­ne­go po­my­słu. Kon­kurs w sty­lu wiej­skie­go fe­sty­nu z jed­nej stro­ny ilu­stro­wał pro­blem, a z dru­giej był oka­zją do po­na­bi­ja­nia się z rzą­du – jed­nym sło­wem, ide­al­ny ma­te­riał dla lo­kal­nej ga­ze­ty.

Ale już kil­ka go­dzin po ogło­sze­niu kon­kur­su na­de­szła pierw­sza po­praw­na od­po­wiedź od czy­tel­ni­ka. Pa­mię­tam, jak star­si re­dak­to­rzy sie­dzie­li przy­bi­ci w mil­cze­niu w re­dak­cji in­for­ma­cyj­nej, jak­by wła­śnie zmarł ja­kiś waż­ny miej­sco­wy rad­ny. Chcie­li po­uży­wać so­bie na pre­mie­rze, ale sami wy­szli na dur­niów.

Re­dak­to­rzy za­kła­da­li, że od­gad­nię­cie licz­by pa­choł­ków na ja­kichś 20 mi­lach au­to­stra­dy bę­dzie za­da­niem nie­wy­ko­nal­nym. Oka­za­ło się in­a­czej i chy­ba by­łem je­dy­ną oso­bą w ca­łym bu­dyn­ku, któ­ra ro­zu­mia­ła dla­cze­go. Przyj­mu­jąc, że pa­choł­ki roz­sta­wio­ne są w rów­nych od­stę­pach, wy­star­czy­ło wy­ko­nać pro­ste ob­li­cze­nie:

Dłu­gość dro­gi moż­na zmie­rzyć, po­ko­nu­jąc ją sa­mo­cho­dem lub spraw­dza­jąc na ma­pie. Do ob­li­cze­nia od­le­gło­ści mię­dzy pa­choł­ka­mi wy­star­czy ta­śma mier­ni­cza. Choć roz­staw pa­choł­ków może się nie­co wa­hać, a sza­co­wa­na dłu­gość dro­gi może być obar­czo­na błę­dem, to przy du­żych od­le­gło­ściach do­kład­ność tego ob­li­cze­nia jest wy­star­cza­ją­co do­bra na uży­tek kon­kur­sów ogła­sza­nych przez lo­kal­ne ga­ze­ty (za­pew­ne w ten wła­śnie spo­sób po­li­cja dro­go­wa po­li­czy­ła wcze­śniej pa­choł­ki, by po­dać po­praw­ną od­po­wiedź).

Za­pa­mię­ta­łem to zda­rze­nie bar­dzo do­brze, po­nie­waż wte­dy po raz pierw­szy w swo­jej pra­cy dzien­ni­kar­skiej do­ce­ni­łem za­le­ty po­sia­da­nia umy­słu ma­te­ma­tycz­ne­go. Z nie­po­ko­jem zda­łem so­bie rów­nież spra­wę z tego, jak bar­dzo „nie­li­cza­ci” są dzien­ni­ka­rze. Usta­le­nie licz­by pa­choł­ków wzdłuż dro­gi nie było wca­le skom­pli­ko­wa­ne, ale dla ko­le­gów oka­za­ło się za trud­ne.

W 1990 roku ukoń­czy­łem ma­te­ma­ty­kę i fi­lo­zo­fię, by­łem więc ab­sol­wen­tem nauk ści­słych i hu­ma­ni­stycz­nych. Pod­ję­cie pra­cy dzien­ni­ka­rza ozna­cza­ło, przy­najm­niej po­zor­nie, re­zy­gna­cję z pierw­sze­go na rzecz dru­gie­go. Wkrót­ce po kla­pie z pa­choł­ka­mi opu­ści­łem „Ar­gu­sa” i prze­nio­słem się do pra­cy w lon­dyń­skich ga­ze­tach. W koń­cu zo­sta­łem ko­re­spon­den­tem za­gra­nicz­nym w Rio de Ja­ne­iro. Od cza­su do cza­su przy­da­wa­ły mi się zdol­no­ści ma­te­ma­tycz­ne, na przy­kład kie­dy trze­ba było zna­leźć eu­ro­pej­skie pań­stwo o po­wierzch­ni naj­bar­dziej zbli­żo­nej do ostat­nio wy­le­sio­nej po­ła­ci ama­zoń­skiej dżun­gli albo ob­li­czyć kur­sy wa­lut w cza­sie róż­nych kry­zy­sów wa­lu­to­wych. Za­sad­ni­czo jed­nak wy­glą­da­ło na to, że po­rzu­ci­łem ma­te­ma­ty­kę.

W koń­cu kil­ka lat temu wró­ci­łem do Wiel­kiej Bry­ta­nii, nie wie­dząc, co chcę da­lej ro­bić. Sprze­da­wa­łem ko­szul­ki bra­zy­lij­skich pił­ka­rzy, za­ło­ży­łem blo­ga, za­sta­na­wia­łem się nad im­por­to­wa­niem owo­ców tro­pi­kal­nych. Nic nie wy­pa­li­ło. Roz­wa­ża­jąc roz­ma­ite moż­li­wo­ści, zwró­ci­łem się ku dzie­dzi­nie, któ­ra tak bar­dzo po­chła­nia­ła mnie w mło­do­ści, i wła­śnie w niej zna­la­złem in­spi­ra­cję do na­pi­sa­nia tej książ­ki.

Wej­ście w świat ma­te­ma­ty­ki w do­ro­sło­ści róż­ni­ło się bar­dzo od do­świad­czeń z dzie­ciń­stwa, kie­dy obo­wią­zek zda­wa­nia eg­za­mi­nów spra­wia, że po­mi­ja się na­praw­dę cie­ka­we rze­czy. Te­raz mo­głem swo­bod­nie za­pusz­czać się w róż­ne re­jo­ny tyl­ko dla­te­go, że wy­da­wa­ły mi się dziw­ne i in­te­re­su­ją­ce. Po­zna­łem et­no­ma­te­ma­ty­kę, któ­ra bada po­dej­ście do ma­te­ma­ty­ki w róż­nych kul­tu­rach, do­wie­dzia­łem się, jak re­li­gia kształ­to­wa­ła ma­te­ma­ty­kę. Za­in­try­go­wa­ły mnie naj­now­sze ba­da­nia z za­kre­su psy­cho­lo­gii be­ha­wio­ral­nej i neu­ro­bio­lo­gii, któ­re do­cie­ka­ją, dla­cze­go i jak wła­ści­wie mózg my­śli o licz­bach.

Zda­łem so­bie spra­wę, że za­cho­wu­ję się jak ko­re­spon­dent za­gra­nicz­ny w te­re­nie, tyle tyl­ko że kraj, w któ­rym gosz­czę, jest abs­trak­cyj­ną Kra­iną Liczb.

Moja po­dróż wkrót­ce na­bra­ła wy­mia­ru geo­gra­ficz­ne­go, po­nie­waż chcia­łem do­świad­czać ma­te­ma­ty­ki w rze­czy­wi­stym świe­cie. Po­le­cia­łem do In­dii, by do­wie­dzieć się, jak wy­na­le­zio­no „zero”, jed­no z naj­bar­dziej prze­ło­mo­wych po­jęć w dzie­jach czło­wie­ka. Za­re­zer­wo­wa­łem po­kój w me­ga­ka­sy­nie w Reno, by zo­ba­czyć praw­do­po­do­bień­stwo w ak­cji. W Ja­po­nii zaś spo­tka­łem się z naj­bie­glej­szym w ma­te­ma­ty­ce szym­pan­sem na świe­cie.

W trak­cie zbie­ra­nia ma­te­ria­łów zna­la­złem się w dziw­nym po­ło­że­niu: by­łem jed­no­cze­śnie eks­per­tem i la­ikiem. Ucze­nie się od nowa szkol­nej ma­te­ma­ty­ki przy­po­mi­na­ło po­zna­wa­nie sta­rych zna­jo­mych, ale było też wie­lu zna­jo­mych zna­jo­mych, któ­rych wcze­śniej tak na­praw­dę nie zna­łem, oraz spo­ro zu­peł­nie no­wych twa­rzy. Przed na­pi­sa­niem tej książ­ki nie zda­wa­łem so­bie na przy­kład spra­wy z tego, że od stu­le­ci po­dej­mu­je się kam­pa­nie na rzecz wpro­wa­dze­nia 2 no­wych cyfr do na­sze­go sys­te­mu dzie­sięt­ne­go. Nie wie­dzia­łem, dla­cze­go Wiel­ka Bry­ta­nia jako pierw­szy kraj na świe­cie wy­emi­to­wa­ła sied­mio­bocz­ną mo­ne­tę. Nie mia­łem też po­ję­cia o ma­te­ma­ty­ce sto­ją­cej za su­do­ku (bo jesz­cze jej nie wy­na­le­zio­no).

Tra­fi­łem do za­ska­ku­ją­cych miejsc, ta­kich jak Bra­in­tree w Es­sex czy Scot­ts­da­le w Ari­zo­nie, i do za­ska­ku­ją­cych za­ka­mar­ków bi­blio­tek. Nie za­po­mnę dnia, któ­ry spę­dzi­łem na lek­tu­rze książ­ki o hi­sto­rii ry­tu­ałów zwią­za­nych z ro­śli­na­mi, pró­bu­jąc zro­zu­mieć, dla­cze­go Pi­ta­go­ras tak gry­ma­sił przy je­dze­niu.

Książ­kę roz­po­czy­na roz­dział ze­ro­wy, po­nie­waż w ten spo­sób chcia­łem pod­kre­ślić, że jego te­ma­tem jest pra­ma­te­ma­ty­ka. Roz­dział ten opo­wia­da o tym, jak po­ja­wi­ły się licz­by. Na po­cząt­ku roz­dzia­łu pierw­sze­go mamy już licz­by i mo­że­my przejść do rze­czy. Stąd aż do koń­ca je­de­na­ste­go roz­dzia­łu książ­ka obej­mu­je aryt­me­ty­kę, al­ge­brę, geo­me­trię, sta­ty­sty­kę i tyle in­nych dzie­dzin, ile zdo­ła­łem upchnąć na oko­ło 600 stro­nach. Sta­ra­łem się do mi­ni­mum ogra­ni­czać ma­te­riał tech­nicz­ny, ale cza­sa­mi nie było in­ne­go wyj­ścia i mu­sia­łem za­mie­ścić rów­na­nia i do­wo­dy. Je­śli po­czu­jesz, że wy­sia­da­ją ci sza­re ko­mór­ki, prze­skocz na po­czą­tek na­stęp­nej czę­ści, a znów zro­bi się ła­twiej. Każ­dy roz­dział jest nie­za­leż­ną ca­ło­ścią, więc nie trze­ba znać po­przed­nich roz­dzia­łów, by go zro­zu­mieć. Roz­dzia­ły moż­na czy­tać w do­wol­nej ko­lej­no­ści, choć mam na­dzie­ję, że prze­czy­tasz je od pierw­sze­go do ostat­nie­go, po­nie­waż z grub­sza po­kry­wa­ją się z chro­no­lo­gią idei i cza­sem od­wo­łu­ję się do spraw po­ru­sza­nych wcze­śniej. Kie­ru­ję tę książ­kę do czy­tel­ni­ka bez wie­dzy ma­te­ma­tycz­nej, obej­mu­je ona ma­te­riał od po­zio­mu szko­ły pod­sta­wo­wej do po­jęć na­ucza­nych do­pie­ro pod ko­niec stu­diów.

Za­mie­ści­łem spo­ro in­for­ma­cji hi­sto­rycz­nych, po­nie­waż ma­te­ma­ty­ka jest za­ra­zem hi­sto­rią ma­te­ma­ty­ki. W prze­ci­wień­stwie do nauk hu­ma­ni­stycz­nych, któ­re nie­ustan­nie de­fi­niu­ją sie­bie na nowo, w któ­rych miej­sce jed­nych idei lub mód co i raz zaj­mu­ją inne, i w od­róż­nie­niu od nauk sto­so­wa­nych, w któ­rych teo­rie pod­le­ga­ją sta­łe­mu do­sko­na­le­niu, ma­te­ma­ty­ka się nie sta­rze­je. Twier­dze­nia Pi­ta­go­ra­sa i Eu­kli­de­sa obo­wią­zu­ją dzi­siaj tak samo jak za­wsze – i wła­śnie dla­te­go Pi­ta­go­ras i Eu­kli­des to naj­star­sze na­zwi­ska, o któ­rych uczy­my się w szko­le. Sy­la­bus gim­na­zjal­ny prak­tycz­nie nie wy­cho­dzi w ma­te­ma­ty­ce poza to, co było zna­ne już w po­ło­wie XVII wie­ku, a ma­tu­ral­ny nie się­ga da­lej niż do po­ło­wy XVIII wie­ku. (Naj­now­sza ma­te­ma­ty­ka, ja­kiej uczy­łem się na stu­diach, po­cho­dzi­ła z lat 20. ubie­głe­go stu­le­cia).

W trak­cie pi­sa­nia tej książ­ki cały czas sta­ra­łem się prze­ka­zy­wać ra­dość i za­chwyt to­wa­rzy­szą­ce od­kry­wa­niu ma­te­ma­ty­ki. (I po­ka­zy­wać, że ma­te­ma­ty­cy są za­baw­ni. Je­ste­śmy kró­la­mi lo­gi­ki, dzię­ki cze­mu mamy nie­zwy­kle wy­ra­fi­no­wa­ne wy­czu­cie nie­lo­gicz­no­ści). Ma­te­ma­ty­ka ma opi­nię nie­cie­ka­wej i trud­nej. Czę­sto rze­czy­wi­ście taka jest. Ale po­tra­fi być też in­spi­ru­ją­ca, przy­stęp­na, a nade wszyst­ko fan­ta­stycz­nie twór­cza. Abs­trak­cyj­ne my­śle­nie ma­te­ma­tycz­ne uwa­ża się za jed­no z naj­więk­szych osią­gnięć rasy ludz­kiej i pod­sta­wę po­stę­pu czło­wie­ka.

Kra­ina Liczb to miej­sce nie­zwy­kłe. War­to się tam wy­brać.

Alex Bel­los

sty­czeń 2010 roku

ROZ­DZIAŁ ZE­RO­WY

Gło­wa do liczb

Kie­dy wsze­dłem do cia­sne­go miesz­ka­nia Pier­re’a Piki w Pa­ry­żu, przy­tło­czył mnie smród środ­ka od­stra­sza­ją­ce­go ko­ma­ry. Pica wró­cił wła­śnie z pię­cio­mie­sięcz­ne­go po­by­tu wśród In­dian w ama­zoń­skim le­sie desz­czo­wym i de­zyn­fe­ko­wał przy­wie­zio­ne ze sobą pre­zen­ty. Ścia­ny ga­bi­ne­tu ozdo­bio­ne były ma­ska­mi ple­mien­ny­mi, pie­rza­sty­mi pió­ro­pu­sza­mi i ple­cio­ny­mi ko­szy­ka­mi. Pół­ki ugi­na­ły się pod cię­ża­rem ksią­żek na­uko­wych. Na pa­ra­pe­cie sa­mot­nie le­ża­ła nie­uło­żo­na kost­ka Ru­bi­ka.

Za­py­ta­łem Picę, jak mi­nę­ła mu po­dróż.

– Trud­no – od­parł.

Pica jest ję­zy­ko­znaw­cą i za­pew­ne dla­te­go mówi po­wo­li i sta­ran­nie, z na­my­słem do­bie­ra­jąc po­szcze­gól­ne sło­wa. Mimo pięć­dzie­się­ciu kil­ku lat za­cho­wał chło­pię­cy wy­gląd – ma ja­sno­nie­bie­skie oczy, ru­mia­ne po­licz­ki i mięk­ką, roz­czo­chra­ną srebr­ną fry­zu­rę. Wy­po­wia­da się ci­chym gło­sem, jest bar­dzo skon­cen­tro­wa­ny.

Pica był stu­den­tem wy­bit­ne­go ame­ry­kań­skie­go ję­zy­ko­znaw­cy No­ama Chom­skie­go, a obec­nie pra­cu­je w Cen­tre na­tio­nal de la re­cher­che scien­ti­fi­que. Od 10 lat pro­wa­dzi ba­da­nia wśród Mun­du­ru­ku, mniej wię­cej sied­mio­ty­sięcz­nej gru­py rdzen­nych miesz­kań­ców bra­zy­lij­skiej Ama­zo­nii. Mun­du­ru­ku są my­śli­wy­mi zbie­ra­cza­mi ży­ją­cy­mi w ma­łych wio­skach roz­rzu­co­nych na ob­sza­rze lasu desz­czo­we­go dwu­krot­nie więk­szym od po­wierzch­ni Wa­lii. Picę in­te­re­su­je ję­zyk Mun­du­ru­ku: nie ma w nim cza­sów, licz­by mno­giej ani li­czeb­ni­ków po­wy­żej 5.

Aby do­trzeć na miej­sce, Pica od­by­wa po­dróż god­ną wiel­kich po­szu­ki­wa­czy przy­gód. Naj­bliż­sze duże lot­ni­sko znaj­du­je się w San­ta­rém, mie­ście po­ło­żo­nym 500 mil od Oce­anu Atlan­tyc­kie­go w górę Ama­zon­ki. Stąd Pica wy­ru­sza w pięt­na­sto­go­dzin­ny rejs pro­mem, by prze­pły­nąć oko­ło 200 mil po rze­ce Ta­pa­jós do Ita­itu­by, daw­ne­go cen­trum go­rącz­ki zło­ta, a dzi­siaj ostat­nie­go przy­stan­ku, pod­czas któ­re­go moż­na za­opa­trzyć się w za­pa­sy żyw­no­ści i pa­li­wa. Na po­trze­by tej wy­pra­wy Pica wy­po­ży­czył w Ita­itu­bie je­epa i za­ła­do­wał do nie­go mię­dzy in­ny­mi kom­pu­te­ry, ogni­wa sło­necz­ne, ba­te­rie, książ­ki i 120 ga­lo­nów ben­zy­ny. Na­stęp­nie wy­ru­szył Trans­ama­zo­ni­ką, dro­gą kra­jo­wą po­wsta­łą w la­tach 70. na fali sza­leń­stwa bu­do­wy na­cjo­na­li­stycz­nej in­fra­struk­tu­ry, któ­ra zmie­ni­ła się w nie­bez­piecz­ny i czę­sto nie­prze­jezd­ny błot­ni­sty szlak.

Ce­lem Piki była Ja­ca­re­acan­ga, małe osie­dle po­ło­żo­ne 200 mil na po­łu­dnio­wy za­chód od Ita­itu­by. Za­py­ta­łem go, ile zaj­mu­je mu do­jazd na miej­sce.

– To za­le­ży – wzru­szył ra­mio­na­mi. – Może za­jąć całe ży­cie. Może za­jąć 2 dni.

– Jak dłu­go trwa­ło to tym ra­zem – po­wtó­rzy­łem.

– Wie pan, nig­dy nie wia­do­mo, ile to po­trwa, po­nie­waż nig­dy nie trwa tyle samo. W se­zo­nie desz­czo­wym zaj­mu­je od 10 do 12 go­dzin. O ile wszyst­ko pój­dzie do­brze.

Ja­ca­re­acan­ga leży na skra­ju te­ry­to­rium Mun­du­ru­ku. Aby do­stać się na ten te­ren, Pica mu­siał za­cze­kać, aż po­ja­wią się In­dia­nie, i do­ga­dać się z nimi, żeby za­bra­li go tam ka­noe.

– Jak dłu­go pan cze­kał? – za­py­ta­łem.

– Cze­ka­łem spo­ro. Ale, mó­wię, pro­szę mnie nie py­tać ile dni.

– Więc było to parę dni? – za­su­ge­ro­wa­łem ostroż­nie.

Zmarsz­czył czo­ło, mi­nę­ło kil­ka se­kund.

– To było oko­ło 2 ty­go­dni.

Po po­nad mie­sią­cu od wy­jaz­du z Pa­ry­ża Pica po­wo­li zbli­żał się do celu. Jak było do prze­wi­dze­nia, chcia­łem się do­wie­dzieć, ile trwa­ła po­dróż z Ja­ca­re­acan­gi do wio­sek.

Tym ra­zem Pica już nie ukry­wał znie­cier­pli­wie­nia moim na­tręt­nym wy­py­ty­wa­niem:

– Już mó­wi­łem: to za­le­ży!

Nie ustę­po­wa­łem. Jak dłu­go trwa­ło to tym ra­zem?

– Nie wiem. Chy­ba… może… 2 dni… dzień i noc… – wy­ją­kał.

Im bar­dziej na­ci­ska­łem na fak­ty i licz­by, tym mniej chęt­nie Pica je po­da­wał. By­łem bli­ski roz­pa­czy. Nie mia­łem po­ję­cia, czy jego od­po­wie­dzi wy­ni­ka­ły z fran­cu­skiej nie­ustę­pli­wo­ści, aka­de­mic­kiej pe­dan­te­rii, czy po pro­stu z czy­stej prze­ko­ry. Prze­rwa­łem wy­py­ty­wa­nie i prze­szli­śmy do in­nych te­ma­tów. Otwo­rzył się do­pie­ro po kil­ku go­dzi­nach, kie­dy roz­ma­wia­li­śmy o tym, jak to jest wró­cić do domu po tak dłu­gim po­by­cie na koń­cu świa­ta.

– Kie­dy wra­cam z Ama­zo­nii, tra­cę po­czu­cie cza­su i po­czu­cie liczb, i chy­ba na­wet po­czu­cie prze­strze­ni – wy­znał. Za­po­mi­na o umó­wio­nych spo­tka­niach. Dez­orien­tu­ją go pro­ste kie­run­ki. – Bar­dzo trud­no mi przy­sto­so­wać się od nowa do Pa­ry­ża z jego ką­ta­mi i li­nia­mi pro­sty­mi.

Nie­zdol­ność Piki do po­da­wa­nia da­nych ilo­ścio­wych była prze­ja­wem szo­ku kul­tu­ro­we­go. Spę­dziw­szy tyle cza­su z ludź­mi, któ­rzy le­d­wie po­tra­fią li­czyć, stra­cił zdol­ność opi­sy­wa­nia świa­ta w ka­te­go­riach liczb.

Nikt nie wie na pew­no, ale praw­do­po­dob­nie licz­by mają nie wię­cej niż 10 000 lat. Mam tu na my­śli prak­tycz­ny sys­tem słów i sym­bo­li ozna­cza­ją­cych licz­by. We­dług jed­nej teo­rii na­ro­dził się on wraz z rol­nic­twem i han­dlem, po­nie­waż licz­by są nie­zbęd­ne, by do­ko­nać trans­ak­cji i nie dać z sie­bie ze­drzeć. Mun­du­ru­ku ho­du­ją i upra­wia­ją je­dy­nie na wła­sne po­trze­by i do­pie­ro nie­daw­no w ich wio­skach za­czę­ły po­ja­wiać się pie­nią­dze, nig­dy więc nie wy­kształ­ci­li umie­jęt­no­ści li­cze­nia. Na­to­miast w przy­pad­ku rdzen­nych ple­mion Pa­pui-No­wej Gwi­nei uwa­ża się, że licz­by po­ja­wi­ły się za spra­wą skom­pli­ko­wa­nych za­sad wy­mia­ny po­dar­ków. W Ama­zo­nii nie ma ta­kiej tra­dy­cji.

Dzie­siąt­ki ty­się­cy lat temu, na dłu­go przed po­ja­wie­niem się liczb, nasi przod­ko­wie mu­sie­li mieć jed­nak ja­kieś po­czu­cie ilo­ści. Po­tra­fi­li za­pew­ne od­róż­nić 1 ma­mu­ta od 2 ma­mu­tów i roz­po­znać, że 1 noc róż­ni się od 2 nocy. Bar­dzo dużo cza­su mia­ło jesz­cze upły­nąć, nim na­stą­pił umy­sło­wy skok od kon­kret­nej idei 2 rze­czy do wy­na­le­zie­nia sym­bo­lu lub sło­wa wy­ra­ża­ją­ce­go abs­trak­cyj­ną ideę „dwóch”. I tyle wła­śnie uda­ło się osią­gnąć nie­któ­rym spo­łecz­no­ściom w Ama­zo­nii. Ist­nie­ją ple­mio­na, któ­rych za­sób li­czeb­ni­ków ogra­ni­cza się do „jed­no”, „dwa” i „wie­le”. Mun­du­ru­ku, któ­rzy li­czą aż do 5, są sto­sun­ko­wo wy­ra­fi­no­wa­ną gru­pą.

Licz­by są tak wszech­obec­ne w na­szym ży­ciu, że trud­no so­bie wy­obra­zić, jak lu­dzie są w sta­nie bez nich prze­trwać. Ale kie­dy Pier­re Pica prze­by­wał wśród Mun­du­ru­ku, z ła­two­ścią wiódł ży­cie po­zba­wio­ne liczb. Spał w ha­ma­ku. Cho­dził na po­lo­wa­nia. Jadł mię­so ta­pi­ra, pan­cer­ni­ka i dzi­ka. Czas okre­ślał we­dług po­ło­że­nia słoń­ca. Je­śli pa­da­ło, zo­sta­wał w domu, je­śli było sło­necz­nie, wy­cho­dził. Nie od­czu­wał po­trze­by li­cze­nia.

Mimo to wy­da­ło mi się dziw­ne, że w co­dzien­nym ży­ciu w Ama­zo­nii w ogó­le nie po­ja­wia­ją się licz­by więk­sze niż 5. Za­py­ta­łem Picę, jak In­dia­nin po­wie­dział­by „sześć ryb”. Daj­my na to, przy­go­to­wu­je po­si­łek dla 6 osób i chce upew­nić się, że każ­da do­sta­nie rybę.

– To nie­moż­li­we – od­po­wie­dział Pica. – Zda­nie: „Chcę ryby dla sze­ściu osób” nie ist­nie­je.

A gdy­by za­py­tać Mun­du­ru­ku, któ­ry ma sze­ścio­ro dzie­ci: „Ile masz dzie­ci?”.

Pica udzie­lił ta­kiej sa­mej od­po­wie­dzi.

– Po­wie „nie wiem”. Nie da się tego wy­ra­zić.

Pica do­dał jed­nak, że kwe­stia ta ma cha­rak­ter kul­tu­ro­wy. Nie jest tak, że Mun­du­ru­ku li­czy pierw­sze dziec­ko, dru­gie, trze­cie, czwar­te, pią­te, a po­tem na­gle za­trzy­mu­je się i dra­pie po gło­wie, bo nie może pójść da­lej. Dla Mun­du­ru­ku sam po­mysł li­cze­nia dzie­ci jest nie­do­rzecz­ny. Co wię­cej, nie­do­rzecz­ny jest w ogó­le po­mysł li­cze­nia cze­go­kol­wiek.

– Po co Mun­du­ru­ku miał­by li­czyć swo­je dzie­ci? – za­py­tał Pica. – Dzieć­mi opie­ku­ją się wszy­scy do­ro­śli człon­ko­wie wspól­no­ty, nie­waż­ne, któ­re jest czy­je.

Pica po­rów­nał tę sy­tu­ację do fran­cu­skie­go wy­ra­że­nia j’ai une gran­de fa­mil­le, któ­re zna­czy „po­cho­dzę z du­żej ro­dzi­ny”.

– Kie­dy mó­wię, że mam dużą ro­dzi­nę, mó­wię, że nie wiem [ilu ma człon­ków]. Gdzie koń­czy się moja ro­dzi­na, a gdzie za­czy­na­ją się ro­dzi­ny in­nych? Nie wiem. Nikt mi tego nig­dy nie po­wie­dział. – Po­dob­nie gdy­by­śmy za­py­ta­li do­ro­słe­go Mun­du­ru­ku, za ile dzie­ci od­po­wia­da, nie ma po­praw­nej od­po­wie­dzi. – Od­po­wie „nie wiem”, bo rze­czy­wi­ście tak jest.

Mun­du­ru­ku nie są je­dy­ny­mi na prze­strze­ni dzie­jów, któ­rzy nie li­czą człon­ków swo­jej spo­łecz­no­ści. Kie­dy król Da­wid po­li­czył wła­sny lud, zo­stał uka­ra­ny trzy­dnio­wą za­ra­zą i śmier­cią 70 000 lu­dzi. Ży­dzi mają li­czyć ży­dów wy­łącz­nie po­śred­nio, dla­te­go wła­śnie w celu spraw­dze­nia, czy w sy­na­go­dze obec­nych jest 10 męż­czyzn po­wy­żej 13. roku ży­cia – tyle wy­no­si min­jan, czy­li kwo­rum wy­ma­ga­ne do wspól­nych mo­dłów – wy­po­wia­da się mo­dli­twę zło­żo­ną z 10 słów, wska­zu­jąc przy każ­dym sło­wie na ko­lej­ną oso­bę. Li­cze­nie lu­dzi za po­mo­cą liczb uwa­ża­ne jest za ro­dzaj wy­bie­ra­nia, któ­re na­ra­ża ich na wpływ złe­go. Po­proś or­to­dok­syj­ne­go ra­bi­na o po­li­cze­nie swo­ich dzie­ci, a z du­żym praw­do­po­do­bień­stwem usły­szysz taką samą od­po­wiedź jak od Mun­du­ru­ku.

Roz­ma­wia­łem kie­dyś z bra­zy­lij­ską na­uczy­ciel­ką, któ­ra pra­co­wa­ła dłu­go z rdzen­ny­mi spo­łecz­no­ścia­mi. Po­wie­dzia­ła, że In­dia­nie uwa­ża­ją cią­głe py­ta­nia ob­cych o licz­bę dzie­ci za dzi­wacz­ny zwy­czaj, choć go­ście za­da­ją je po pro­stu z grzecz­no­ści. Po co li­czyć dzie­ci? Bu­dzi to wiel­ką po­dejrz­li­wość wśród In­dian.

Pierw­sza pi­sem­na wzmian­ka na te­mat Mun­du­ru­ku po­cho­dzi z 1768 roku, kie­dy pe­wien osad­nik za­uwa­żył kil­ko­ro In­dian na brze­gu rze­ki. Wiek póź­niej fran­cisz­kań­scy mi­sjo­na­rze za­ło­ży­li bazę na zie­mi Mun­du­ru­ku, kon­tak­ty na­si­li­ły się pod­czas bo­omu kau­czu­ko­we­go pod ko­niec XIX wie­ku, kie­dy przez te te­re­ny prze­dzie­ra­li się zbie­ra­cze kau­czu­ku. Więk­szość Mun­du­ru­ku nadal żyje we względ­nym od­osob­nie­niu, ale jak wie­le in­nych in­diań­skich grup o dłu­giej hi­sto­rii kon­tak­tów, czę­sto no­szą za­chod­nie ubra­nia, ta­kie jak T-shir­ty i szor­ty. Prę­dzej czy póź­niej w ich świe­cie po­ja­wi się elek­trycz­ność, te­le­wi­zja i inne ele­men­ty współ­cze­sne­go ży­cia. Rów­nież licz­by. Nie­któ­rzy Mun­du­ru­ku miesz­ka­ją­cy na obrze­żach swo­je­go te­ry­to­rium na­uczy­li się już por­tu­gal­skie­go, na­ro­do­we­go ję­zy­ka Bra­zy­lii, i po­tra­fią li­czyć po por­tu­gal­sku.

– Po­tra­fią li­czyć um, dois, três aż do se­tek – po­wie­dział Pica. – A po­tem py­tasz ich: „A przy oka­zji, ile jest 5 mi­nus 3?”. Żar­to­bli­wie za­de­mon­stro­wał cha­rak­te­ry­stycz­ne fran­cu­skie wzru­sze­nie ra­mio­na­mi.

Nie mają po­ję­cia.

W le­sie desz­czo­wym Pica pro­wa­dzi ba­da­nia, ko­rzy­sta­jąc z lap­to­pów za­si­la­nych przez ba­te­rie sło­necz­ne. Kon­ser­wa­cja sprzę­tu kom­pu­te­ro­we­go to lo­gi­stycz­ny kosz­mar z po­wo­du go­rą­ca i wil­go­ci, cza­sa­mi jed­nak naj­więk­szą sztu­ką jest zwer­bo­wa­nie uczest­ni­ków te­stów. Pew­ne­go razu wódz wio­ski zgo­dził się na prze­pro­wa­dze­nie wy­wia­du z dziec­kiem pod wa­run­kiem, że Pica zje wiel­ką czer­wo­ną mrów­kę sau­ba. Su­mien­ny jak za­wsze ję­zy­ko­znaw­ca, krzy­wiąc się, po­gryzł i po­łknął owa­da.

Ba­da­nia ma­te­ma­tycz­nych umie­jęt­no­ści lu­dzi, któ­rzy po­tra­fią li­czyć tyl­ko na jed­nej ręce, mają na celu od­kry­cie na­tu­ry na­szych pod­sta­wo­wych in­tu­icji licz­bo­wych. Pica chce się do­wie­dzieć, co jest uni­wer­sal­ne dla wszyst­kich lu­dzi, a co kształ­to­wa­ne przez kul­tu­rę. W jed­nym ze swo­ich naj­bar­dziej fa­scy­nu­ją­cych eks­pe­ry­men­tów ba­dał prze­strzen­ne poj­mo­wa­nie liczb przez In­dian. Jak umiej­sca­wia­ją licz­by na li­nii? We współ­cze­snym świe­cie ro­bi­my to cały czas – na ta­śmie mier­ni­czej, li­nij­kach, wy­kre­sach i do­mach sto­ją­cych wzdłuż uli­cy. Po­nie­waż Mun­du­ru­ku nie zna­ją liczb, Pica po­słu­gi­wał się zbio­ra­mi kro­pek na ekra­nie. Każ­de­mu ochot­ni­ko­wi po­ka­zy­wał ob­raz z nie­ozna­ko­wa­ną kre­ską jak ten na ry­sun­ku na na­stęp­nej stro­nie. Z le­wej stro­ny kre­ski znaj­do­wa­ła się 1 duża krop­ka, z pra­wej zaś umiesz­czo­no 10 kro­pek. Po­tem po­ka­zy­wa­no przy­pad­ko­we zbio­ry za­wie­ra­ją­ce od 1 do 10 kro­pek. Przy każ­dym zbio­rze ba­da­ny mu­siał wska­zać, w ja­kim miej­scu na li­nii na­le­ża­ło­by jego zda­niem ulo­ko­wać daną licz­bę kro­pek. Pica prze­su­wał kur­sor do tego punk­tu i kli­kał. Po wie­lu po­wtó­rze­niach mógł za­ob­ser­wo­wać, jak Mun­du­ru­ku roz­miesz­cza­ją licz­by mię­dzy 1 a 10.

Jak Mun­du­ru­ku umiej­sca­wia­ją licz­by na li­nii?

Do­ro­śli Ame­ry­ka­nie, wy­ko­nu­jąc to samo za­da­nie, umiesz­cza­li licz­by w rów­nych od­stę­pach na li­nii. Od­twa­rza­li za­pa­mię­ta­ną ze szko­ły oś licz­bo­wą, na któ­rej są­sied­nie licz­by znaj­du­ją się w tej sa­mej od­le­gło­ści, jak­by od­mie­rzo­no je li­nij­ką. Mun­du­ru­ku od­po­wia­da­li zu­peł­nie in­a­czej. Uwa­ża­li, że od­stę­py mię­dzy licz­ba­mi na po­cząt­ku są duże, a po­tem wraz ze wzro­stem liczb sta­ją się co­raz mniej­sze. Na przy­kład od­le­głość mię­dzy punk­ta­mi ozna­cza­ją­cy­mi 1 krop­kę i 2 krop­ki oraz mię­dzy 2 krop­ka­mi i 3 krop­ka­mi była o wie­le więk­sza niż od­le­głość mię­dzy 7 a 8 czy mię­dzy 8 a 9 krop­ka­mi, co wi­dać na wy­kre­sach za­pre­zen­to­wa­nych na na­stęp­nej stro­nie.

Wy­ni­ki były zdu­mie­wa­ją­ce. Przyj­mu­je się bo­wiem za oczy­wi­stość, że licz­by są roz­miesz­czo­ne rów­no­mier­nie. Uczy­my się tego w szko­le. Jest to pod­sta­wa wszel­kich po­mia­rów i na­uki. Lecz Mun­du­ru­ku nie pa­trzą na świat w taki spo­sób. Po­zba­wie­ni ję­zy­ka li­cze­nia i li­czeb­ni­ków, wy­obra­ża­ją so­bie wiel­ko­ści zu­peł­nie in­a­czej.

Kie­dy licz­by są roz­miesz­czo­ne rów­no­mier­nie jak na li­nij­ce, mó­wi­my, że ska­la jest li­nio­wa (li­ne­ar­na). Kie­dy licz­by w mia­rę wzra­sta­nia co­raz bar­dziej zbli­ża­ją się do sie­bie, mamy do czy­nie­nia ze ska­lą lo­ga­ryt­micz­ną1. Oka­zu­je się, że lo­ga­ryt­micz­ne uję­cie nie jest wy­łącz­ną ce­chą ama­zoń­skich In­dian. Wszy­scy ro­dzi­my się z ta­kim poj­mo­wa­niem liczb. W 2004 roku Ro­bert Sie­gler i Ju­lie Bo­oth z Car­ne­gie Mel­lon Uni­ver­si­ty w Pit­ts­bur­ghu przed­sta­wi­li po­dob­ną wer­sję eks­pe­ry­men­tu z osią licz­bo­wą gru­pie dzie­ci z ze­rów­ki (śred­nia wie­ku 5,8), pierw­szo­kla­si­stom (6,9) i dru­go­kla­si­stom (7,8). Wy­ni­ki po­ka­za­ły w zwol­nio­nym tem­pie, jak zna­jo­mość li­cze­nia kształ­tu­je in­tu­icję. Ze­rów­ko­wicz bez for­mal­nej edu­ka­cji ma­te­ma­tycz­nej sy­tu­uje licz­by lo­ga­ryt­micz­nie. W pierw­szym roku na­uki szkol­nej, gdy ucznio­wie za­po­zna­wa­ni są z na­zwa­mi i sym­bo­la­mi liczb, krzy­wa za­czy­na się pro­sto­wać. W dru­giej kla­sie licz­by są już rów­no­mier­nie uło­żo­ne wzdłuż li­nii.

Dla­cze­go In­dia­nie i dzie­ci my­ślą, że więk­sze licz­by znaj­du­ją się bli­żej sie­bie niż mniej­sze licz­by? Ist­nie­je pro­ste wy­ja­śnie­nie. W oma­wia­nych eks­pe­ry­men­tach ochot­ni­kom po­ka­zy­wa­no zbio­ry kro­pek i py­ta­no, gdzie dany zbiór na­le­ży ulo­ko­wać w sto­sun­ku do li­nii z 1 krop­ką po le­wej i 10 krop­ka­mi po pra­wej. (Lub, jak przy­pad­ku dzie­ci, z set­ką kro­pek). Wy­obraź­my so­bie, że Mun­du­ru­ku po­ka­za­no 5 kro­pek. Bę­dzie je uważ­nie ba­dał i zo­ba­czy, że 5 kro­pek jest pięć razy więk­sze od 1 krop­ki, ale 10 kro­pek jest tyl­ko dwu­krot­nie więk­sze od 5 kro­pek. Naj­wy­raź­niej Mun­du­ru­ku i dzie­ci roz­strzy­ga­ją po­ło­że­nie licz­by na pod­sta­wie sza­co­wa­nia pro­por­cji mię­dzy ilo­ścia­mi. Bio­rąc pod uwa­gę pro­por­cje, lo­gicz­ne jest, że od­le­głość mię­dzy 5 a 1 jest o wie­le więk­sza niż od­le­głość mię­dzy 10 a 5. Je­śli bę­dzie­my oce­niać ilo­ści za po­mo­cą pro­por­cji, za­wsze otrzy­ma­my ska­lę lo­ga­ryt­micz­ną.

Pica jest prze­ko­na­ny, że przy­bli­żo­ne poj­mo­wa­nie ilo­ści w ka­te­go­riach sza­co­wa­nia pro­por­cji jest uni­wer­sal­ną ludz­ką in­tu­icją. Zresz­tą lu­dzie, któ­rzy nie zna­ją liczb (jak In­dia­nie i małe dzie­ci), nie mają in­ne­go wy­bo­ru, jak wi­dzieć świat w ten spo­sób. Poj­mo­wa­nie ilo­ści w ka­te­go­riach pre­cy­zyj­nych liczb nie jest umie­jęt­no­ścią uni­wer­sal­ną, lecz wy­two­rem kul­tu­ry. Pierw­szeń­stwo przy­bli­żeń i pro­por­cji przed pre­cy­zyj­ny­mi licz­ba­mi, jak su­ge­ru­je Pica, wy­ni­ka z fak­tu, że pro­por­cje są o wie­le waż­niej­sze dla prze­trwa­nia w na­tu­ral­nych wa­run­kach niż umie­jęt­ność li­cze­nia. Ma­jąc przed sobą gru­pę prze­ciw­ni­ków uzbro­jo­nych w dzi­dy, mu­sie­li­śmy na­tych­miast wie­dzieć, czy jest ich wię­cej od nas. Kie­dy wi­dzie­li­śmy 2 drze­wa, mu­sie­li­śmy od razu wie­dzieć, na któ­rym ro­śnie wię­cej owo­ców. Ani w jed­nym, ani w dru­gim wy­pad­ku nie było ko­niecz­ne li­cze­nie każ­de­go wro­ga lub każ­de­go owo­cu z osob­na. De­cy­du­ją­ce zna­cze­nie mia­ła zdol­ność do szyb­kie­go osza­co­wa­nia istot­nych ilo­ści i po­rów­na­nia ich, czy­li in­a­czej mó­wiąc, do okre­śle­nia przy­bli­żeń i oce­ny ich pro­por­cji.

Ska­la lo­ga­ryt­micz­na wier­nie od­da­je rów­nież spo­sób po­strze­ga­nia od­le­gło­ści i pew­nie dla­te­go jest tak in­tu­icyj­na. Uwzględ­nia bo­wiem per­spek­ty­wę. Gdy wi­dzi­my drze­wo w od­le­gło­ści 100 me­trów i ko­lej­ne 100 me­trów za nim, to to dru­gie 100 me­trów wy­da­je się krót­sze. Dla Mun­du­ru­ku idea, że każ­de 100 me­trów re­pre­zen­tu­je taką samą od­le­głość, wy­pa­cza to, jak po­strze­ga on oto­cze­nie.

Do­kład­ne licz­by dają nam li­ne­ar­ne ramy, któ­re są sprzecz­ne z na­szą lo­ga­ryt­micz­ną in­tu­icją. Co wię­cej, w więk­szo­ści sy­tu­acji bie­głość w po­słu­gi­wa­niu się pre­cy­zyj­ny­mi licz­ba­mi wy­pie­ra in­tu­icję lo­ga­ryt­micz­ną. Nie zo­sta­ła ona jed­nak do koń­ca wy­eli­mi­no­wa­na. W ży­ciu po­słu­gu­je­my się za­rów­no li­nio­wym, jak i lo­ga­ryt­micz­nym poj­mo­wa­niem ilo­ści. Lo­ga­ryt­micz­ne bywa zwy­kle po­czu­cie upły­wa­ją­ce­go cza­su. Czę­sto mamy wra­że­nie, że im je­ste­śmy star­si, tym szyb­ciej mija czas. Ale dzia­ła to też w dru­gą stro­nę: wczo­raj wy­da­je się o wie­le dłuż­sze niż cały ubie­gły ty­dzień. Nasz głę­bo­ko za­ko­rze­nio­ny in­stynkt lo­ga­ryt­micz­ny ujaw­nia się naj­wy­raź­niej, kie­dy my­śli­my o bar­dzo du­żych licz­bach. Dla przy­kła­du – wszy­scy do­brze ro­zu­mie­my róż­ni­cę mię­dzy 1 a 10; mało praw­do­po­dob­ne, by­śmy po­my­li­li 1 duże piwo z 10 du­ży­mi pi­wa­mi. Ale co z róż­ni­cą mię­dzy 1 mi­liar­dem ga­lo­nów wody a 10 mi­liar­da­mi ga­lo­nów wody? Choć róż­ni­ca jest ogrom­na, zwy­kle po­strze­ga­my obie te wiel­ko­ści jako dość po­dob­ne – po pro­stu jako bar­dzo duże ilo­ści wody. Po­dob­nie jest z okre­śle­nia­mi mi­lio­ner i mi­liar­der, któ­rych uży­wa się nie­mal sy­no­ni­micz­nie – jak­by nie było wiel­kiej róż­ni­cy mię­dzy by­ciem bar­dzo bo­ga­tym a bar­dzo, bar­dzo bo­ga­tym. Mi­liar­der jest jed­nak 1000 razy bo­gat­szy od mi­lio­ne­ra. Im więk­sze licz­by, tym wy­da­ją nam się bliż­sze.

Fakt, że Pica wy­szedł z wpra­wy w po­słu­gi­wa­niu się licz­ba­mi po za­le­d­wie kil­ku mie­sią­cach spę­dzo­nych w dżun­gli, wska­zu­je, że li­nio­we ro­zu­mie­nie liczb nie jest tak głę­bo­ko za­ko­rze­nio­ne w mó­zgu jak lo­ga­ryt­micz­ne. Poj­mo­wa­nie liczb jest za­ska­ku­ją­co kru­che i dla­te­go bez re­gu­lar­nej prak­ty­ki tra­ci­my zdol­ność do ope­ro­wa­nia pre­cy­zyj­ny­mi licz­ba­mi i wra­ca­my do in­tu­icyj­ne­go oce­nia­nia wiel­ko­ści na pod­sta­wie przy­bli­żeń i pro­por­cji.

Pica po­wie­dział, że ba­da­nia nad na­szy­mi in­tu­icja­mi ma­te­ma­tycz­ny­mi mogą mieć po­waż­ne zna­cze­nie dla na­ucza­nia ma­te­ma­ty­ki – za­rów­no w Ama­zo­nii, jak i na Za­cho­dzie. Mu­si­my ro­zu­mieć oś licz­bo­wą, żeby funk­cjo­no­wać we współ­cze­snym spo­łe­czeń­stwie, bo jest to pod­sta­wa mie­rze­nia i uła­twia ra­cho­wa­nie. Po­le­ga­jąc na li­ne­ar­no­ści, być może jed­nak za­szli­śmy za da­le­ko w tłu­mie­niu in­tu­icji lo­ga­ryt­micz­nej. Nie­wy­klu­czo­ne, stwier­dził Pica, że wła­śnie dla­te­go ma­te­ma­ty­ka spra­wia trud­no­ści tak wie­lu lu­dziom. Może po­win­ni­śmy zwra­cać więk­szą uwa­gę na sza­co­wa­nie pro­por­cji, za­miast ope­ro­wać pre­cy­zyj­ny­mi licz­ba­mi. Może też ucze­nie Mun­du­ru­ku li­cze­nia po na­sze­mu wca­le nie by­ło­by naj­lep­szym po­my­słem – mo­gło­by po­zba­wić ich in­tu­icji czy wie­dzy ma­te­ma­tycz­nej, któ­re są im nie­zbęd­ne do prze­trwa­nia.

Za­in­te­re­so­wa­nie zdol­no­ścia­mi ma­te­ma­tycz­ny­mi tych, któ­rzy nie mają słów ani sym­bo­li na ozna­cze­nie liczb, tra­dy­cyj­nie sku­pia się na zwie­rzę­tach. Jed­nym z naj­słyn­niej­szych obiek­tów ba­dań w tej dzie­dzi­nie był kłu­sak imie­niem Klu­ger Hans. Na po­cząt­ku XX wie­ku na pew­nym ber­liń­skim po­dwó­rzu re­gu­lar­nie gro­ma­dzi­ły się tłu­my, by pa­trzeć, jak wła­ści­ciel Han­sa, eme­ry­to­wa­ny na­uczy­ciel ma­te­ma­ty­ki Wil­helm von Osten, daje ko­nio­wi do roz­wią­za­nia pro­ste dzia­ła­nia aryt­me­tycz­ne. Hans od­po­wia­dał, stu­ka­jąc ko­py­tem o zie­mię wła­ści­wą licz­bę razy. Jego re­per­tu­ar obej­mo­wał do­da­wa­nie, odej­mo­wa­nie, ułam­ki, pier­wiast­ki kwa­dra­to­we i roz­kład na czyn­ni­ki. Fa­scy­na­cja pu­bli­ki oraz po­dej­rze­nia, iż rze­ko­ma in­te­li­gen­cja czwo­ro­no­ga jest ja­kąś sztucz­ką, spra­wi­ły, że po­wo­ła­no ko­mi­sję do zba­da­nia jego umie­jęt­no­ści. Wy­bit­ni na­ukow­cy stwier­dzi­li, że, ja­wohl!, Hans rze­czy­wi­ście wy­ko­nu­je ob­li­cze­nia ma­te­ma­tycz­ne.

Po­trze­ba było mniej wy­bit­ne­go, acz bar­dziej wni­kli­we­go psy­cho­lo­ga, by zdys­kre­dy­to­wać koń­skie­go Ein­ste­ina. Oskar Pfungst za­uwa­żył, że Hans re­agu­je na zna­ki za­war­te w mo­wie cia­ła von Oste­na. Za­czy­nał stu­kać ko­py­tem i prze­sta­wał do­pie­ro, kie­dy wy­czu­wał wzrost lub roz­luź­nie­nie na­pię­cia na twa­rzy tre­ne­ra, któ­re wska­zy­wa­ło, że do­tarł do od­po­wie­dzi. Koń był wy­czu­lo­ny na naj­drob­niej­sze sy­gna­ły wzro­ko­we, ta­kie jak po­chy­le­nie gło­wy, unie­sie­nie brwi czy roz­sze­rze­nie noz­drzy. Von Osten nie zda­wał so­bie na­wet spra­wy, że prze­sy­ła ta­kie nie­wer­bal­ne ko­mu­ni­ka­ty. Hans do­sko­na­le od­czy­ty­wał re­ak­cje lu­dzi, ale z pew­no­ścią nie był aryt­me­ty­kiem.

W mi­nio­nym stu­le­ciu wie­lo­krot­nie pró­bo­wa­no na­uczyć zwie­rzę­ta li­czyć, nie za­wsze z my­ślą o jar­marcz­nej roz­ryw­ce. W 1943 roku nie­miec­ki na­uko­wiec Otto Ko­eh­ler wy­szko­lił kru­ka Ja­ko­ba, by wska­zy­wał gar­nek z okre­ślo­ną licz­bą kro­pek na po­kryw­ce spo­śród garn­ków o róż­nych licz­bach kro­pek. Ptak po­tra­fił wy­ko­nać to za­da­nie, je­śli licz­ba kro­pek na po­kryw­ce mie­ści­ła się mię­dzy 1 a 7. W ostat­nich la­tach pta­sia in­te­li­gen­cja wzbi­ła się na jesz­cze bar­dziej im­po­nu­ją­ce wy­ży­ny. Ire­ne Pep­per­berg z Uni­wer­sy­te­tu Ha­rvar­da na­uczy­ła afry­kań­skie żako imie­niem Alex liczb od 1 do 6. Kie­dy pa­pu­dze po­ka­zy­wa­no zbiór ko­lo­ro­wych kloc­ków, po­tra­fi­ła od­po­wie­dzieć, ile jest na przy­kład nie­bie­skich, przez za­skrze­cze­nie an­giel­skie­go li­czeb­ni­ka. Alex zy­skał tak wiel­ką sła­wę wśród na­ukow­ców i mi­ło­śni­ków pta­ków, że gdy w 2007 roku nie­spo­dzie­wa­nie do­ko­nał ży­wo­ta, w ty­go­dni­ku „The Eco­no­mist” uka­zał się jego ne­kro­log.

Z hi­sto­rii Han­sa wy­pły­wa­ła na­uka, że kie­dy uczy się zwie­rzę­ta li­czyć, na­le­ży z jak naj­więk­szą sta­ran­no­ścią wy­eli­mi­no­wać mi­mo­wol­ne pod­po­wie­dzi ze stro­ny czło­wie­ka. Je­śli cho­dzi o edu­ka­cję ma­te­ma­tycz­ną Ai, szym­pan­si­cy spro­wa­dzo­nej do Ja­po­nii z Afry­ki Za­chod­niej pod ko­niec lat 70. XX wie­ku, do­ko­na­no tego w ten spo­sób, że zwie­rzę uczy­ło się za po­mo­cą kom­pu­te­ra z ekra­nem do­ty­ko­wym.

Ai ma dzi­siaj 31 lat i miesz­ka w Pri­ma­te Re­se­arch In­sti­tu­te w Inuy­amie, tu­ry­stycz­nym mia­stecz­ku w cen­tral­nej Ja­po­nii. Ma wy­so­kie ły­sie­ją­ce czo­ło, bia­łe wło­sy na bro­dzie i ciem­ne, za­pad­nię­te oczy człe­ko­kształt­nej mał­py w śred­nim wie­ku. Wy­stę­pu­je jako „stu­dent­ka”, nig­dy jako „ba­da­na”. Ai co­dzien­nie cho­dzi na za­ję­cia. Sta­wia się punk­tu­al­nie o dzie­wią­tej rano, po nocy spę­dzo­nej pod go­łym nie­bem z gru­pą in­nych szym­pan­sów na ol­brzy­miej, przy­po­mi­na­ją­cej drze­wo kon­struk­cji z drew­na, me­ta­lu i lin. Tego dnia, kie­dy ją zo­ba­czy­łem, sie­dzia­ła z gło­wą przy mo­ni­to­rze, pu­ka­jąc pal­cem se­rie cyfr po­ja­wia­ją­cych się na ekra­nie. Ile­kroć po­praw­nie wy­ko­na­ła za­da­nie, z rury po pra­wej stro­nie wy­pa­da­ła ośmio­mi­li­me­tro­wa kost­ka jabł­ka. Ai chwy­ta­ła ją i na­tych­miast wci­na­ła. Jej nie­przy­tom­ny wzrok, non­sza­lanc­kie pu­ka­nie w mi­ga­ją­cy, po­brzę­ku­ją­cy kom­pu­ter oraz mo­no­ton­ny rytm wy­da­wa­nia na­gro­dy przy­wo­dzi­ły mi na myśl star­szą pa­nią gra­ją­cą na au­to­ma­tach.

Ai jest szcze­gól­ną mał­pą człe­ko­kształt­ną – jako pierw­szy nie­czło­wiek na­uczy­ła się li­czyć za po­mo­cą cyfr arab­skich. (Są to sym­bo­le 1, 2, 3 i tak da­lej, któ­rych uży­wa się w pra­wie wszyst­kich kra­jach z wy­jąt­kiem – pa­ra­dok­sal­nie – nie­któ­rych czę­ści świa­ta arab­skie­go). Tet­su­ro Mat­su­za­wa, dy­rek­tor in­sty­tu­tu, mu­siał w tym celu na­uczyć ją 2 aspek­tów ludz­kie­go poj­mo­wa­nia licz­by: ilo­ści oraz ko­lej­no­ści.

Licz­by wy­ra­ża­ją ilość, a tak­że po­zy­cję. Po­ję­cia te, choć ze sobą po­wią­za­ne, są jed­nak róż­ne. Kie­dy na przy­kład mó­wię o „pię­ciu pa­pu­gach”, mam na my­śli to, że ilość pa­pug w gru­pie wy­no­si pięć. Ten aspekt licz­by ma­te­ma­ty­cy na­zy­wa­ją kar­dy­nal­nym. Z dru­giej stro­ny, kie­dy li­czę od 1 do 20, ko­rzy­stam z tej wy­god­nej ce­chy, że licz­by moż­na upo­rząd­ko­wać w ko­lej­no­ści. Nie cho­dzi mi o 20 przed­mio­tów, po pro­stu wy­li­czam pe­wien ciąg. Ma­te­ma­ty­cy na­zy­wa­ją ten aspekt licz­by po­rząd­ko­wym. W szko­le uczy­my się aspek­tu kar­dy­nal­ne­go i po­rząd­ko­we­go ra­zem i bez tru­du prze­cho­dzi­my od jed­ne­go do dru­gie­go. Dla szym­pan­sów jed­nak ów zwią­zek wca­le nie jest oczy­wi­sty.

Mat­su­za­wa naj­pierw na­uczył Ai, że 1 czer­wo­ny ołó­wek od­no­si się do sym­bo­lu „1”, a 2 czer­wo­ne ołów­ki do „2”. Po 1 i 2 Ai na­uczy­ła się 3, a po­tem po­zo­sta­łych cyfr. Kie­dy po­ka­zy­wa­no jej na przy­kład 5, po­tra­fi­ła po­ka­zać kwa­drat z 5 przed­mio­ta­mi, a kie­dy po­ka­zy­wa­no kwa­drat z 5 przed­mio­ta­mi, stu­ka­ła w cy­frę 5. Mo­to­rem jej edu­ka­cji były na­gro­dy: je­śli po­praw­nie wy­ko­na­ła za­da­nie kom­pu­te­ro­we, z rury umiesz­czo­nej obok wy­pa­dał sma­ko­łyk.

Kie­dy Ai opa­no­wa­ła już kar­dy­nal­ny aspekt cyfr od 1 do 9, Mat­su­za­wa wpro­wa­dził nowe za­da­nia, żeby na­uczyć ją aspek­tu po­rząd­ko­we­go. Na ekra­nie po­ja­wia­ły się cy­fry, a Ai mu­sia­ła wska­zy­wać je w po­rząd­ku ro­sną­cym. Je­śli na ekra­nie wid­nia­ło 4 i 2, mu­sia­ła do­tknąć 2, a po­tem 4, żeby zdo­być kost­kę jabł­ka. Po­ję­ła to dość szyb­ko. Opa­no­wa­nie przez Ai obu aspek­tów ozna­cza­ło, że Mat­su­za­wa mógł słusz­nie ogło­sić, iż jego pod­opiecz­na na­uczy­ła się li­czyć. Dzię­ki temu do­ko­na­niu sta­ła się bo­ha­ter­ką na­ro­do­wą w Ja­po­nii oraz świa­to­wą iko­ną swe­go ga­tun­ku.

Po­tem Mat­su­za­wa wpro­wa­dził po­ję­cie zera. Ai z ła­two­ścią zro­zu­mia­ła kar­dy­nal­ność sym­bo­lu 0. Ile­kroć na ekra­nie po­ja­wiał się kwa­drat z ni­czym, stu­ka­ła tę cy­frę. Wte­dy Mat­su­za­wa chciał spraw­dzić, czy była w sta­nie wy­wnio­sko­wać po­rząd­ko­wy aspekt zera. Ai po­ka­zy­wa­no lo­so­wy ciąg ekra­nów z parą cyfr, tak samo jak wte­dy, gdy uczy­ła się ko­lej­no­ści cyfr od 1 do 9, z tą róż­ni­cą, że te­raz cza­sa­mi jed­ną z nich było 0. Gdzie jej zda­niem było miej­sce zera w po­rząd­ku liczb?

W pierw­szej se­sji Ai umiesz­cza­ła 0 mię­dzy 6 a 7. Mat­su­za­wa ob­li­czył to, uśred­nia­jąc licz­by jej zda­niem po­prze­dza­ją­ce 0 i na­stę­pu­ją­ce po nim. W ko­lej­nych se­sjach po­da­wa­na przez Ai po­zy­cja 0 spa­dła naj­pierw po­ni­żej 6, po­tem po­ni­żej 5 i 4, aż wresz­cie po kil­ku­set pró­bach 0 spa­dło w oko­li­ce 1. Ai nadal jed­nak była zdez­o­rien­to­wa­na, czy 0 jest mniej­sze, czy więk­sze od 1. Choć bez za­rzu­tu ope­ru­je licz­ba­mi, bra­ku­je jej głę­bi ludz­kie­go poj­mo­wa­nia liczb.

Per­fek­cyj­nie za to na­uczy­ła się ro­bić show. W tej mie­rze osią­gnę­ła ab­so­lut­ne za­wo­dow­stwo – le­piej wy­ko­nu­je za­da­nia na kom­pu­te­rze, je­śli robi to na oczach pu­blicz­no­ści, a zwłasz­cza ekip te­le­wi­zyj­nych.

Ba­da­nia nad bie­gło­ścią w po­słu­gi­wa­niu się licz­ba­mi przez zwie­rzę­ta to pręż­nie roz­wi­ja­ją­cy się nurt w na­uce. Eks­pe­ry­men­ty ujaw­ni­ły za­ska­ku­ją­cą zdol­ność do kla­sy­fi­ko­wa­nia ilo­ści u tak róż­nych zwie­rząt, jak sa­la­man­dry, szczu­ry czy del­fi­ny. Choć ko­nie nadal nie po­tra­fią ob­li­czać pier­wiast­ków kwa­dra­to­wych, na­ukow­cy uwa­ża­ją obec­nie, iż zdol­no­ści licz­bo­we zwie­rząt są o wie­le bar­dziej wy­ra­fi­no­wa­ne, niż do­tych­czas są­dzo­no. Wy­da­je się, że wszyst­kie zwie­rzę­ta ro­dzą się z mó­zga­mi ob­da­rzo­ny­mi ja­kąś pre­dys­po­zy­cją do ma­te­ma­ty­ki.

W koń­cu kom­pe­ten­cje nu­me­rycz­ne mają de­cy­du­ją­ce zna­cze­nie dla prze­trwa­nia w na­tu­ral­nych wa­run­kach. Szym­pans z mniej­szym praw­do­po­do­bień­stwem bę­dzie cho­dzić głod­ny, je­śli po­tra­fi spoj­rzeć na drze­wo i okre­ślić licz­bę doj­rza­łych owo­ców, któ­re zje na lunch. Ka­ren McComb z Sus­sex Uni­ver­si­ty ob­ser­wo­wa­ła sta­do lwów w Par­ku Na­ro­do­wym Se­ren­ge­ti, aby wy­ka­zać, że lwy kie­ru­ją się po­czu­ciem licz­by, kie­dy de­cy­du­ją o ewen­tu­al­nym ata­ku na inne lwy. W pew­nym eks­pe­ry­men­cie sa­mot­na lwi­ca wra­ca­ła o zmierz­chu do sta­da. McComb pu­ści­ła na­gra­nie po­je­dyn­cze­go ryk­nię­cia z ukry­te­go gło­śni­ka za­in­sta­lo­wa­ne­go wcze­śniej w krza­kach. Lwi­ca usły­sza­ła ryk i kon­ty­nu­owa­ła po­wrót do domu. W dru­gim eks­pe­ry­men­cie szło ra­zem 5 lwic. McComb z ukry­te­go gło­śni­ka od­two­rzy­ła ryki 3 sa­mic. Grup­ka 5 lwic usły­sza­ła od­gło­sy 3 i spoj­rza­ła w kie­run­ku, skąd do­cho­dził ha­łas. Jed­na lwi­ca za­czę­ła ry­czeć i wkrót­ce cała piąt­ka po­pę­dzi­ła w stro­nę za­ro­śli, by za­ata­ko­wać.

Wnio­sek McComb był taki, że lwi­ce po­rów­ny­wa­ły w gło­wie ilo­ści. Jed­na na jed­ną ozna­cza­ło zbyt duże ry­zy­ko, ale ma­jąc prze­wa­gę 5 : 3, moż­na było ru­szyć do ata­ku.

Nie wszyst­kie ba­da­nia nad licz­ba­mi u zwie­rząt wią­żą się z ta­ki­mi bo­nu­sa­mi, jak obo­zo­wa­nie na rów­ni­nie Se­ren­ge­ti czy za­przy­jaź­nia­nie się ze sław­ną szym­pan­si­cą. Na Uni­ver­si­tät Ulm na­ukow­cy umie­ści­li sa­ha­ryj­skie mrów­ki pu­styn­ne na koń­cu tu­ne­lu i wy­sła­li je w po­szu­ki­wa­niu je­dze­nia. Kie­dy owa­dy do­tar­ły do po­ży­wie­nia, jed­nej gru­pie od­cię­to koń­ców­ki od­nó­ży, a dru­giej do­cze­pio­no szczu­dła zro­bio­ne ze świń­skiej szcze­ci­ny. (Nie jest to tak okrut­ne, jak się wy­da­je, po­nie­waż od­nó­ża pu­styn­nych mró­wek sta­le ście­ra­ją się w sa­ha­ryj­skim słoń­cu). Mrów­ki z krót­szy­mi no­ga­mi koń­czy­ły tra­sę po­wrot­ną przed do­tar­ciem do domu, na­to­miast mrów­ki z prze­dłu­żo­ny­mi no­ga­mi szły da­lej, niż było trze­ba, co wska­zu­je na to, iż nie oce­nia­ły od­le­gło­ści za po­mo­cą wzro­ku, lecz we­wnętrz­ne­go kro­ko­mie­rza. Nie­zwy­kła zdol­ność mró­wek do wie­lo­go­dzin­nych wę­dró­wek i bez­błęd­ne­go od­naj­dy­wa­nia dro­gi z po­wro­tem do gniaz­da może być po pro­stu wy­ni­kiem bie­gło­ści w li­cze­niu kro­ków.

Ba­da­nia nad kom­pe­ten­cją nu­me­rycz­ną zwie­rząt przy­bie­ra­ją cza­sem nie­ocze­ki­wa­ny ob­rót. Szym­pan­sy mają swo­je ogra­ni­cze­nia ma­te­ma­tycz­ne, ale ba­da­jąc je, Mat­su­za­wa od­krył, że po­sia­da­ją inne zdol­no­ści po­znaw­cze bez po­rów­na­nia lep­sze od na­szych.

W 2000 roku Ai uro­dzi­ła syna Ay­umu. W dniu, w któ­rym za­wi­ta­łem do Pri­ma­te Re­se­arch In­sti­tu­te, Ay­umu sie­dział w kla­sie obok mamy. Był mniej­szy, miał bar­dziej za­ró­żo­wio­ną skó­rę na twa­rzy i czar­niej­sze wło­sy. Ay­umu sie­dział przed wła­snym mo­ni­to­rem, stu­kał cy­fry po­ja­wia­ją­ce się na ekra­nie i z za­pa­łem wci­nał zdo­by­wa­ne ko­stecz­ki jabł­ka. Jest pew­nym sie­bie chło­pa­kiem, jak przy­sta­ło na ko­goś, kto ma uprzy­wi­le­jo­wa­ny sta­tus syna i na­stęp­cy do­mi­nu­ją­cej sa­mi­cy w sta­dzie.

Ay­umu nig­dy nie uczo­no ko­rzy­sta­nia z ekra­nu do­ty­ko­we­go, ale jako dziec­ko prze­sia­dy­wał przy mat­ce pod­czas jej co­dzien­nych lek­cji. Pew­ne­go dnia Mat­su­za­wa uchy­lił drzwi do kla­sy na tyle, by mógł przejść przez nie Ay­umu, ale Ai nie dała rady się prze­ci­snąć. Ay­umu po­ma­sze­ro­wał pro­sto do mo­ni­to­ra. Ba­da­cze ob­ser­wo­wa­li go z nie­cier­pli­wo­ścią, żeby zo­ba­czyć, cze­go się na­uczył. Na­ci­snął przy­cisk start i po­ja­wi­ły się cy­fry 1 i 2. Było to pro­ste za­da­nie na ko­lej­ność. Ay­umu klik­nął 2. Źle. Jesz­cze raz na­ci­snął 2. Zno­wu źle. Wte­dy spró­bo­wał na­ci­snąć 1 i 2 jed­no­cze­śnie. Źle. W koń­cu uda­ło mu się: na­ci­snął 1, a na­stęp­nie 2 i do ręki wpa­dła mu kost­ka jabł­ka. Wkrót­ce Ay­umu był lep­szy we wszyst­kich za­da­niach kom­pu­te­ro­wych od swo­jej mamy.

Parę lat temu Mat­su­za­wa wpro­wa­dził nowy ro­dzaj za­da­nia. Po na­ci­śnię­ciu przy­ci­sku start na ekra­nie po­ka­zy­wa­ły się cy­fry od 1 do 5 w przy­pad­ko­wej ko­lej­no­ści. Po 0,65 se­kun­dy za­mie­nia­ły się w bia­łe kwa­dra­ci­ki. Za­da­nie po­le­ga­ło na wska­za­niu kwa­dra­ci­ków w po­praw­nej ko­lej­no­ści, co wy­ma­ga­ło za­pa­mię­ta­nia, któ­ry kwa­dra­cik był któ­rą cy­frą.

Ay­umu wy­ko­ny­wał za­da­nie po­praw­nie w mniej wię­cej 80 pro­cen­tach prób, co było wy­ni­kiem po­rów­ny­wal­nym z ba­da­ną gru­pą ja­poń­skich dzie­ci. Po­tem Mat­su­za­wa skró­cił czas wy­świe­tla­nia liczb do 0,43 se­kun­dy i pod­czas gdy Ay­umu le­d­wie za­uwa­żył róż­ni­cę, od­se­tek po­praw­nych od­po­wie­dzi dzie­ci ob­ni­żył się do oko­ło 60. Kie­dy Mat­su­za­wa po­now­nie skró­cił czas eks­po­zy­cji liczb do za­le­d­wie 0,21 se­kun­dy, Ay­umu nadal osią­gał 80 pro­cent, ale dzie­ci ze­szły do 40.

Eks­pe­ry­ment ten ujaw­nił, że Ay­umu ma nad­zwy­czaj­ną fo­to­gra­ficz­ną pa­mięć, po­dob­nie zresz­tą jak inne szym­pan­sy z Inuy­amy, choć ża­den nie może się z nim rów­nać. Mat­su­za­wa zwięk­szył licz­bę cyfr w ko­lej­nych eks­pe­ry­men­tach i te­raz Ay­umu po­tra­fi za­pa­mię­tać po­ło­że­nie 8 cyfr wy­świe­tla­nych przez za­le­d­wie 0,21 se­kun­dy. Mat­su­za­wa zmniej­szył rów­nież prze­dział cza­su i Ay­umu po­tra­fi te­raz za­pa­mię­tać po­ło­że­nie 5 cyfr wi­docz­nych przez je­dy­ne 0,09 se­kun­dy – tyle, by czło­wiek le­d­wie zdą­żył je za­uwa­żyć. Bar­dzo moż­li­we, że ten nie­sły­cha­ny ta­lent do mo­men­tal­ne­go za­pa­mię­ty­wa­nia wią­że się z tym, iż po­dej­mo­wa­nie bły­ska­wicz­nych de­cy­zji, na przy­kład do­ty­czą­cych licz­by wro­gów, ma pod­sta­wo­we zna­cze­nie w świe­cie na­tu­ry.

W tym za­da­niu wy­świe­tla­nych jest 7 liczb jed­no­cy­fro­wych, któ­re po­tem za­mie­nia­ją się w bia­łe kwa­dra­ty. Ay­umu musi za­pa­mię­tać po­ło­że­nie liczb, a na­stęp­nie do­tknąć pal­cem kwa­dra­ty w od­po­wied­niej ko­lej­no­ści, za co otrzy­ma smacz­ną na­gro­dę.

Ba­da­nia nad ogra­ni­cze­nia­mi zdol­no­ści nu­me­rycz­nych zwie­rząt w na­tu­ral­ny spo­sób łą­czą się z kwe­stią wro­dzo­nych zdol­no­ści czło­wie­ka. Na­ukow­cy, któ­rzy chcą eks­plo­ro­wać umy­sły w moż­li­wie naj­mniej­szym stop­niu ska­żo­ne wie­dzą na­by­tą, po­trze­bu­ją jak naj­młod­szych uczest­ni­ków eks­pe­ry­men­tów. Dla­te­go dzi­siaj ru­ty­no­wo te­stu­je się umie­jęt­no­ści ma­te­ma­tycz­ne już kil­ku­mie­sięcz­nych nie­mow­ląt. Po­nie­waż w tym wie­ku dzie­ci nie umie­ją mó­wić ani do­sta­tecz­nie pa­no­wać nad swo­imi koń­czy­na­mi, od­czy­ty­wa­nie prze­ja­wów spraw­no­ści licz­bo­wej opie­ra się na ob­ser­wa­cji oczu. Teo­re­tycz­ne za­ło­że­nie jest ta­kie, że dzie­ci dłu­żej będą wpa­try­wać się w ob­ra­zy, któ­re są dla nich in­te­re­su­ją­ce. W 1980 roku Pren­ti­ce Star­key z Uni­ver­si­ty of Pen­n­sy­lva­nia po­ka­zy­wał nie­mow­lę­tom w wie­ku od 16 do 30 ty­go­dni je­den ekran z 2 krop­ka­mi, a po­tem inny ekran z 2 krop­ka­mi. Dzie­ci pa­trzy­ły na dru­gi ekran przez 1,9 se­kun­dy. Ale kie­dy Star­key po­wtó­rzył test, po­ka­zu­jąc po ekra­nie z 2 krop­ka­mi ekran z 3 krop­ka­mi, nie­mow­lę­ta wpa­try­wa­ły się w nie­go przez 2,5 se­kun­dy – pra­wie o jed­ną trze­cią dłu­żej. Zda­niem Star­keya ten do­dat­ko­wy czas ozna­cza, że dzie­ci za­uwa­ży­ły coś in­ne­go w 3 krop­kach w po­rów­na­niu z 2 krop­ka­mi, a za­tem mają ele­men­tar­ne ro­zu­mie­nie licz­by. Me­to­da oce­ny zdol­no­ści nu­me­rycz­nych na pod­sta­wie dłu­go­ści sku­pie­nia uwa­gi jest obec­nie stan­dar­dem. Eli­za­beth Spel­ke z Ha­rvar­du w 2000 roku udo­wod­ni­ła, że sze­ścio­mie­sięcz­ne nie­mow­lę­ta po­tra­fią roz­po­znać róż­ni­cę mię­dzy 8 i 16 krop­ka­mi, a w 2005 roku, że umie­ją od­róż­nić 16 od 32.

Po­dob­ny eks­pe­ry­ment wy­ka­zał, iż dzie­ci mają pew­ne po­ję­cie o aryt­me­ty­ce. W 1992 roku Ka­ren Wynn z Uni­ver­si­ty of Ari­zo­na po­sa­dzi­ła pię­cio­mie­sięcz­ne nie­mow­lę przed małą sce­ną. Do­ro­sła oso­ba umie­ści­ła na sce­nie lal­kę przed­sta­wia­ją­cą Mysz­kę Miki, a na­stęp­nie po­sta­wi­ła ekran, żeby ją za­sło­nić. Po­tem umie­ści­ła za ekra­nem dru­gą Mysz­kę Miki, a na koń­cu za­bra­ła ekran, zza któ­re­go uka­za­ły się dwie lal­ki. Wynn po­wtó­rzy­ła cały eks­pe­ry­ment z tą róż­ni­cą, że tym ra­zem po usu­nię­ciu ekra­nu uka­zy­wa­ła się nie­wła­ści­wa licz­ba la­lek: tyl­ko 1 lal­ka albo 3 lal­ki. Kie­dy była 1 lal­ka lub 3 lal­ki, nie­mow­lę pa­trzy­ło na sce­nę dłu­żej, niż kie­dy były 2 lal­ki, co wska­zu­je, że nie­mow­lę czu­ło się za­sko­czo­ne, kie­dy aryt­me­ty­ka się nie zga­dza­ła. Dzie­ci ro­zu­mia­ły, jak tłu­ma­czy­ła Wynn, że 1 lal­ka plus 1 lal­ka rów­na się 2 lal­ki.

Re­kon­struk­cja eks­pe­ry­men­tu Ka­ren Wynn, w któ­rym ba­da­no zdol­ność nie­mow­ląt do roz­po­zna­wa­nia po­praw­nej licz­by la­lek za ekra­nem.

Eks­pe­ry­ment z Mysz­ką Miki prze­pro­wa­dzo­no póź­niej z pa­cyn­ka­mi El­mem i Er­niem z Uli­cy Se­zam­ko­wej. Elmo zo­stał umiesz­czo­ny na sce­nie. Wsta­wio­no ekran. Na­stęp­nie za ekra­nem usta­wio­no dru­gie­go Elma. Ekran usu­nię­to. Cza­sa­mi po­ka­zy­wa­li się 2 El­mo­wie, cza­sa­mi 1 Elmo i 1 Er­nie ra­zem, a cza­sa­mi tyl­ko 1 Elmo lub tyl­ko 1 Er­nie. Dzie­ci pa­trzy­ły dłu­żej, kie­dy uka­zy­wa­ła się tyl­ko 1 pa­cyn­ka, niż kie­dy po­ka­zy­wa­ły się 2 nie­wła­ści­we pa­cyn­ki. In­ny­mi sło­wy, aryt­me­tycz­na nie­moż­li­wość 1 + 1 = 1 była o wie­le bar­dziej nie­po­ko­ją­ca niż me­ta­mor­fo­za El­mów w Er­niech. Naj­wy­raź­niej wie­dza nie­mow­ląt o pra­wach ma­te­ma­ty­ki jest głę­biej za­ko­rze­nio­na niż wie­dza o pra­wach fi­zy­ki.

Szwaj­car­ski psy­cho­log Jean Pia­get (1896–1980) uwa­żał, że nie­mow­lę­ta wy­kształ­ca­ją poj­mo­wa­nie liczb po­wo­li, na dro­dze do­świad­cze­nia, więc nie ma sen­su uczyć aryt­me­ty­ki dzie­ci młod­szych niż sze­ścio- czy sied­mio­let­nie. Wy­war­ło to wpływ na parę po­ko­leń na­uczy­cie­li, któ­rzy czę­sto wo­le­li po­zwa­lać dzie­ciom z pierw­szych klas szko­ły pod­sta­wo­wej na za­ba­wę kloc­ka­mi pod­czas lek­cji, za­miast za­po­zna­wać ich z ma­te­ma­ty­ką for­mal­ną. Obec­nie po­glą­dy Pia­ge­ta uwa­ża się za prze­sta­rza­łe. Ucznio­wie sta­ją twa­rzą w twarz z cy­fra­mi arab­ski­mi i ra­chun­ka­mi już na po­cząt­ku szkol­nej ka­rie­ry.

Eks­pe­ry­men­ty z krop­ka­mi sta­no­wią rów­nież ka­mień wę­giel­ny ba­dań nad my­śle­niem licz­bo­wym u do­ro­słych. Kla­sycz­ny test po­le­ga na tym, że po­ka­zu­je się ba­da­ne­mu krop­ki na ekra­nie i pyta, ile kro­pek wi­dzi. W przy­pad­ku 1 krop­ki lub 3 kro­pek od­po­wiedź pada nie­mal na­tych­miast. Kie­dy są 4 krop­ki, czas od­po­wie­dzi jest zna­czą­co dłuż­szy, a przy 5 jesz­cze bar­dziej.

Co z tego? Ano to, że może wła­śnie dla­te­go w kil­ku kul­tu­rach cy­fry 1, 2 i 3 mają po­stać 1, 2 i 3 kre­sek, na­to­miast cy­fra ozna­cza­ją­ca 4 nie skła­da się z 4 kre­sek. Kie­dy kre­sek jest co naj­wy­żej trzy, ich licz­bę po­tra­fi­my roz­po­znać od razu, ale kie­dy są czte­ry kre­ski, nasz mózg musi pra­co­wać zbyt cięż­ko i nie­zbęd­ny jest inny sym­bol. Chiń­skie zna­ki od 1 do 4 to , , i , a sta­ro­hin­du­skie: , , i (je­śli po­łą­czysz kre­ski, zo­ba­czysz, jak prze­kształ­ci­ły się we współ­cze­sne 1, 2, 3 i 4).

Wła­ści­wie nie ma peł­nej zgo­dy co do tego, czy gra­nicz­na licz­ba kre­sek, ja­kie mo­że­my mo­men­tal­nie roz­po­znać, wy­no­si 3 czy 4. Rzy­mia­nie rze­czy­wi­ście mie­li do wy­bo­ru IIII oraz IV na ozna­cze­nie czwór­ki. IV jest o wie­le szyb­ciej roz­po­zna­wal­ne, ale na tar­czach ze­ga­rów – być może ze wzglę­dów es­te­tycz­nych – zwy­kle sto­so­wa­no IIII. Nie­wąt­pli­wie jed­nak licz­ba kre­sek, kro­pek czy ty­gry­sów sza­bla­sto­zęb­nych, któ­re mo­że­my po­li­czyć bły­ska­wicz­nie, pew­nie i pre­cy­zyj­nie, nie prze­kra­cza 4. Pod­czas gdy mamy pre­cy­zyj­ne wy­czu­cie 1, 2 i 3, już po 4 na­sza pre­cy­zja słab­nie i oce­ny do­ty­czą­ce liczb sta­ją się przy­bli­żo­ne. Spró­buj od­gad­nąć szyb­ko, ile kro­pek jest na po­niż­szej ilu­stra­cji.

Jest to nie­moż­li­we (chy­ba że jest się au­ty­stycz­nym sa­wan­tem, jak Ray­mond Bab­bitt, bo­ha­ter gra­ny przez Du­sti­na Hof­f­ma­na w fil­mie Rain Man, któ­ry w ułam­ku se­kun­dy był­by w sta­nie mruk­nąć „75”). Na­szą je­dy­ną stra­te­gią jest sza­co­wa­nie i za­pew­ne gru­bo by­śmy się po­my­li­li.

Na­ukow­cy ba­da­ją za­kres na­szej in­tu­icji ilo­ści, po­ka­zu­jąc ochot­ni­kom róż­ne licz­by kro­pek i py­ta­jąc, któ­ry zbiór jest więk­szy. Za­uwa­żo­no pew­ne pra­wi­dło­wo­ści w tym za­kre­sie. Ła­twiej na przy­kład roz­po­znać róż­ni­cę mię­dzy ze­sta­wa­mi 80 i 100 kro­pek niż mię­dzy ze­sta­wa­mi li­czą­cy­mi 81 i 82 krop­ki. Tak samo ła­twiej od­róż­nić 20 kro­pek od 40 niż 80 kro­pek od 100. W przy­pad­kach A i B po­ni­żej za każ­dym ra­zem lewy zbiór kro­pek jest więk­szy od pra­we­go, choć czas po­trzeb­ny nam do prze­two­rze­nia tej in­for­ma­cji jest wy­raź­nie dłuż­szy w przy­pad­ku B.

Na­ukow­cy z za­sko­cze­niem od­kry­li, jak ści­śle na­sze zdol­no­ści po­rów­ny­wa­nia sto­su­ją się do praw ma­te­ma­ty­ki, ta­kich jak re­gu­ła mno­że­nia. W książ­ce The Num­ber Sen­se: How the Mind Cre­ates Ma­the­ma­tics fran­cu­ski ko­gni­ty­wi­sta Sta­ni­slas De­ha­ene po­da­je przy­kład oso­by, któ­ra po­tra­fi od­róż­nić 10 kro­pek od 13 kro­pek z do­kład­no­ścią 90 pro­cent. Je­śli pierw­szy zbiór zo­sta­nie po­dwo­jo­ny do 20 kro­pek, to ile kro­pek musi za­wie­rać dru­gi zbiór, żeby oso­ba ta za­cho­wa­ła sta­łą traf­ność? Od­po­wiedź brzmi: 26 – do­kład­nie dwa razy wię­cej niż wy­no­si­ła pier­wot­na licz­ba w dru­gim zbio­rze.

Zwie­rzę­ta też po­tra­fią po­rów­ny­wać zbio­ry kro­pek. Choć nie osią­ga­ją rów­nie wy­so­kich wy­ni­ków, to wy­da­je się, że ich umie­jęt­no­ścia­mi rzą­dzą te same pra­wa ma­te­ma­ty­ki. Jest to dość nie­zwy­kłe. Lu­dzie jako je­dy­ni mają cu­dow­nie skom­pli­ko­wa­ny sys­tem li­cze­nia. Ży­cie jest peł­ne liczb. Jed­nak przy ca­łym na­szym ta­len­cie ma­te­ma­tycz­nym, w dzie­dzi­nie po­strze­ga­nia i sza­co­wa­nia wiel­kich liczb mózg czło­wie­ka funk­cjo­nu­je tak samo jak mózg jego pie­rza­stych czy fu­trza­stych przy­ja­ciół.

Ludz­ka in­tu­icja do­ty­czą­ca ilo­ści do­pro­wa­dzi­ła w cią­gu mi­lio­nów lat do po­wsta­nia liczb. Nie spo­sób stwier­dzić, jak do­kład­nie do tego do­szło, ale moż­na przy­pusz­czać, że mia­ło to coś wspól­ne­go z pra­gnie­niem śle­dze­nia rze­czy – faz księ­ży­ca, gór, dra­pież­ni­ków czy ude­rzeń bęb­na. Po­cząt­ko­wo, być może, uży­wa­li­śmy sym­bo­li wi­zu­al­nych, ta­kich jak pal­ce czy na­cię­cia na drew­nie, od­po­wia­da­ją­cych je­den do jed­ne­go przed­mio­tom, któ­re ob­ser­wo­wa­li­śmy – 2 na­cię­cia lub 2 pal­ce ozna­cza­ją 2 ma­mu­ty, 3 na­cię­cia lub 3 pal­ce ozna­cza­ją 3 i tak da­lej. Póź­niej wy­my­śli­li­śmy sło­wa wy­ra­ża­ją­ce po­ję­cia „dwa na­cię­cia” lub „trzy pal­ce”.

W mia­rę jak ob­ser­wo­wa­li­śmy co­raz wię­cej przed­mio­tów, na­sze słow­nic­two i sym­bo­li­ka liczb roz­sze­rza­ły się i – prze­ska­ku­jąc do współ­cze­sno­ści – te­raz mamy w peł­ni roz­wi­nię­ty sys­tem pre­cy­zyj­nych liczb, za po­mo­cą któ­re­go po­tra­fi­my li­czyć wiel­ko­ści tak duże, jak tyl­ko chce­my. Na­sza umie­jęt­ność wy­ra­ża­nia liczb w spo­sób pre­cy­zyj­ny, na przy­kład moż­li­wość po­wie­dze­nia, że na ob­raz­ku jest do­kład­nie 75 kro­pek, idzie ra­mię w ra­mię z bar­dziej fun­da­men­tal­ną zdol­no­ścią ro­zu­mie­nia ta­kich ilo­ści w spo­sób przy­bli­żo­ny. Jaką me­to­dę za­sto­so­wać, wy­bie­ra­my za­leż­nie od oko­licz­no­ści: w su­per­mar­ke­cie, daj­my na to, po­rów­nu­jąc ceny wy­bra­nych pro­duk­tów, po­słu­gu­je­my się pre­cy­zyj­ny­mi licz­ba­mi. Kie­dy jed­nak po­sta­na­wia­my do­łą­czyć do naj­krót­szej ko­lej­ki do kasy, zda­je­my się na wy­czu­cie in­stynk­tow­ne, przy­bli­żo­ne. Nie li­czy­my wszyst­kich osób sto­ją­cych we wszyst­kich ko­lej­kach. Pa­trzy­my na ko­lej­ki i sza­cu­je­my, w któ­rej jest naj­mniej lu­dzi.

Tak na­praw­dę sta­le sto­su­je­my nie­pre­cy­zyj­ne po­dej­ście do liczb, na­wet gdy uży­wa­my pre­cy­zyj­nej ter­mi­no­lo­gii. Za­py­taj ko­goś, ile cza­su zaj­mu­je mu do­jazd do pra­cy, a naj­czę­ściej w od­po­wie­dzi usły­szysz pe­wien prze­dział, po­wiedz­my „35–40 mi­nut”. Za­uwa­ży­łem, że wła­ści­wie nie po­tra­fię po­dać jed­nej licz­by w od­po­wie­dzi na py­ta­nia do­ty­czą­ce ilo­ści. Ile osób było na przy­ję­ciu? 20–30... Jak dłu­go tam by­łeś? 3,5–4 go­dzi­ny… Ile drin­ków wy­pi­łeś? 4… 5… 10… Kie­dyś my­śla­łem, że je­stem po pro­stu nie­zde­cy­do­wa­ny. Te­raz nie je­stem już tego taki pew­ny. Wolę my­śleć, że opie­ram się na we­wnętrz­nym zmy­śle licz­bo­wym, in­tu­icyj­nej, zwie­rzę­cej skłon­no­ści do po­słu­gi­wa­nia się przy­bli­że­nia­mi.

Po­nie­waż sza­cun­ko­we wy­czu­cie liczb jest nie­zbęd­ne dla prze­trwa­nia, wy­da­wa­ło­by się, że wszy­scy lu­dzie mają po­rów­ny­wal­ne zdol­no­ści w tym za­kre­sie. W ar­ty­ku­le z 2008 roku psy­cho­lo­go­wie z Uni­wer­sy­te­tu John­sa Hop­kin­sa oraz Ken­ne­dy Krie­ger In­sti­tu­te ba­da­li, czy tak wła­śnie jest w gru­pie czter­na­sto­lat­ków. Na­sto­lat­kom po­ka­zy­wa­no na ekra­nie przez 0,2 se­kun­dy róż­ne licz­by żół­tych i nie­bie­skich kro­pek na­raz, a na­stęp­nie py­ta­no tyl­ko o to, czy wię­cej było kro­pek nie­bie­skich, czy żół­tych. Wy­ni­ki były za­ska­ku­ją­ce dla na­ukow­ców, po­nie­waż do­wo­dzi­ły nie­ocze­ki­wa­nie du­żych zmien­no­ści w od­po­wie­dziach. Nie­któ­rzy ucznio­wie po­tra­fi­li bez tru­du wska­zać róż­ni­cę mię­dzy 9 nie­bie­ski­mi krop­ka­mi a 10 żół­ty­mi, inni jed­nak mie­li umie­jęt­no­ści po­rów­ny­wal­ne z nie­mow­lę­ta­mi – le­d­wie byli w sta­nie stwier­dzić, czy 5 żół­tych kro­pek to wię­cej niż 3 nie­bie­skie.

Jesz­cze bar­dziej zdu­mie­wa­ją­ce­go od­kry­cia do­ko­na­no, kie­dy wy­ni­ki na­sto­lat­ków w za­kre­sie po­rów­ny­wa­nia kro­pek ze­sta­wio­no z ich oce­na­mi z ma­te­ma­ty­ki od ze­rów­ki. Ba­da­cze za­ło­ży­li wcze­śniej, że in­tu­icyj­na zdol­ność roz­róż­nia­nia ilo­ści nie wpły­wa zbyt­nio na po­ziom ucznia w ta­kich za­da­niach, jak roz­wią­zy­wa­nie rów­nań czy ry­so­wa­nie trój­ką­tów. Od­kry­li jed­nak sil­ną ko­re­la­cję mię­dzy ta­len­tem do sza­co­wa­nia a suk­ce­sa­mi w ma­te­ma­ty­ce for­mal­nej. Im lep­sze sza­cun­ko­we wy­czu­cie liczb, tym więk­sze, jak się zda­je, praw­do­po­do­bień­stwo uzy­ski­wa­nia do­brych stop­ni. Może to mieć po­waż­ne zna­cze­nie dla edu­ka­cji. Je­śli dar sza­co­wa­nia sprzy­ja uzdol­nie­niom ma­te­ma­tycz­nym, to być może lek­cje ma­te­ma­ty­ki w mniej­szym stop­niu po­win­no się po­świę­cać ta­blicz­ce mno­że­nia, a w więk­szym do­sko­na­le­niu umie­jęt­no­ści po­rów­ny­wa­nia zbio­rów kro­pek.

Wspo­mnia­ny wcze­śniej Sta­ni­slas De­ha­ene jest czo­ło­wą po­sta­cią in­ter­dy­scy­pli­nar­ne­go nur­tu ba­dań nad umy­sło­wy­mi re­pre­zen­ta­cja­mi liczb (ang. nu­me­ri­cal co­gni­tion). Za­czy­nał jako ma­te­ma­tyk, a te­raz jest neu­ro­bio­lo­giem, pro­fe­so­rem Col­lège de Fran­ce i dy­rek­to­rem la­bo­ra­to­rium ba­da­ją­ce­go neu­ro­obra­zo­wa­nie funk­cji po­znaw­czych IN­SERM-CEA na­le­żą­ce­go do Neu­ro­Spi­nu, su­per­no­wo­cze­sne­go in­sty­tu­tu ba­daw­cze­go pod Pa­ry­żem. Wkrót­ce po wy­da­niu w 1997 roku książ­ki The Num­ber Sen­se umó­wił się na lunch w re­stau­ra­cji pa­ry­skie­go Cité des Scien­ces et de l’In­du­strie z psy­cho­log roz­wo­jo­wą z Ha­rvar­du Eli­za­beth Spel­ke. Przy­pad­kiem usie­dli obok Pier­re’a Piki. Ję­zy­ko­znaw­ca opo­wie­dział o swo­ich do­świad­cze­niach z Mun­du­ru­ku i po pa­sjo­nu­ją­cej roz­mo­wie na­ukow­cy po­sta­no­wi­li pod­jąć współ­pra­cę. Moż­li­wość ba­da­nia spo­łecz­no­ści, któ­ra nie wy­kształ­ci­ła li­cze­nia, sta­no­wi­ła fan­ta­stycz­ną oka­zję dla no­wych te­stów.

De­ha­ene opra­co­wał eks­pe­ry­men­ty, któ­re Pica miał prze­pro­wa­dzić w Ama­zo­nii. Je­den był bar­dzo pro­sty: uczo­ny chciał się do­wie­dzieć, co In­dia­nie ro­zu­mie­ją przez swo­je li­czeb­ni­ki. W le­sie desz­czo­wym Pica ze­brał gru­pę ochot­ni­ków i po­ka­zał im róż­ne licz­by kro­pek na ekra­nie, pro­sząc o wy­po­wie­dze­nie na głos licz­by kro­pek, jaką wi­dzą.

Licz­by Mun­du­ru­ku to:

je­den — pũg

dwa — xep xep

trzy — eba­pug

czte­ry — eba­dip­dip

pięć — pũg po­gbi

Kie­dy na ekra­nie była 1 krop­ka, Mun­du­ru­ku od­po­wia­da­li pũg. Kie­dy były 2 krop­ki, mó­wi­li xep xep. Ale po­wy­żej 2 byli nie­pre­cy­zyj­ni. Kie­dy po­ka­za­ły się 3 krop­ki, od­po­wiedź eba­pug pa­da­ła tyl­ko w oko­ło 80 pro­cen­tach przy­pad­ków. Re­ak­cją na 4 krop­ki eba­dip­dip było tyl­ko w 70 pro­cen­tach przy­pad­ków. Kie­dy po­ka­za­no 5 kro­pek, tyl­ko w 28 pro­cen­tach przy­pad­ków od­po­wiedź brzmia­ła pũg po­gbi, a w 15 pro­cen­tach – eba­dip­dip. In­ny­mi sło­wy, dla 3 i wię­cej li­czeb­ni­ki Mun­du­ru­ku były w isto­cie je­dy­nie sza­cun­ko­we. In­dia­nie li­czy­li „je­den”, „dwa”, „oko­ło trzech”, „oko­ło czte­rech”, „oko­ło pię­ciu”. Pica za­czął się za­sta­na­wiać, czy pũg po­gbi, któ­re do­słow­nie zna­czy „garść”, w ogó­le za­li­cza się do liczb. Może Mun­du­ru­ku nie po­tra­fi­li li­czyć do 5, a je­dy­nie do „oko­ło czte­rech”?

Pica za­uwa­żył rów­nież pew­ną in­te­re­su­ją­cą ce­chę ję­zy­ko­wą li­czeb­ni­ków Mun­du­ru­ku. Po­ka­zał mi, że od 1 do 4 licz­ba sy­lab w każ­dym li­czeb­ni­ku rów­na jest sa­mej licz­bie. Spo­strze­że­nie to na­praw­dę go pod­eks­cy­to­wa­ło.

– To tak, jak­by sy­la­by były słu­cho­wym spo­so­bem li­cze­nia – po­wie­dział.

Tak samo jak Rzy­mia­nie li­czy­li I, II, III oraz IIII, ale prze­cho­dzi­li na V przy 5, Mun­du­ru­ku za­czy­na­li od 1 sy­la­by na 1, do­da­wa­li ko­lej­ną na 2, na­stęp­ną na 3 i jesz­cze na­stęp­ną na 4, ale nie uży­wa­li 5 sy­lab w przy­pad­ku 5. Choć li­czeb­ni­ków ozna­cza­ją­cych 3 i 4 nie uży­wa­no w spo­sób pre­cy­zyj­ny, za­wie­ra­ły one pre­cy­zyj­ne licz­by sy­lab. Kie­dy licz­ba sy­lab nie mia­ła już zna­cze­nia, sło­wo może w ogó­le nie było li­czeb­ni­kiem.

– To jest nie­sa­mo­wi­te, bo naj­wy­raź­niej po­twier­dza ideę, że lu­dzie mają sys­tem licz­bo­wy po­zwa­la­ją­cy na pre­cy­zyj­ne śle­dze­nie do 4 przed­mio­tów na­raz – po­wie­dział Pica.

Pica ba­dał rów­nież zdol­no­ści Mun­du­ru­ku do sza­co­wa­nia wiel­kich liczb. W jed­nym z te­stów, zi­lu­stro­wa­nym na na­stęp­nej stro­nie, ochot­ni­kom po­ka­zy­wa­no ani­ma­cję kom­pu­te­ro­wą przed­sta­wia­ją­cą 2 zbio­ry kil­ku kro­pek spa­da­ją­cych do pusz­ki. Na­stęp­nie pro­szo­no ich, by po­wie­dzie­li, czy te 2 zbio­ry zsu­mo­wa­ne w pusz­ce – nie­wi­docz­ne już do po­rów­na­nia – wy­no­si­ły wię­cej niż 3. zbiór kro­pek, któ­ry póź­niej po­ja­wiał się na ekra­nie. Spraw­dza­no w ten spo­sób, czy Mun­du­ru­ku po­tra­fią do­da­wać w sza­cun­ko­wy spo­sób. Oka­za­ło się, że ra­dzą so­bie rów­nie do­brze, jak gru­pa do­ro­słych Fran­cu­zów, któ­ra otrzy­ma­ła ta­kie samo za­da­nie.

Sza­cun­ko­we do­da­wa­nie i po­rów­ny­wa­nie.

W ko­lej­nym eks­pe­ry­men­cie kom­pu­ter Piki wy­świe­tlał ani­ma­cję, na któ­rej do pusz­ki wpa­da­ło 6 kro­pek, a wy­pa­da­ły 4 krop­ki. Ba­da­ni mie­li wy­brać 1 z 3 od­po­wie­dzi okre­śla­ją­cych, ile kro­pek zo­sta­ło w pusz­ce. In­ny­mi sło­wy, ile jest 6 – 4? To za­da­nie mia­ło po­ka­zać, czy Mun­du­ru­ku ro­zu­mie­ją pre­cy­zyj­ne licz­by, dla któ­rych nie mają li­czeb­ni­ków. Nie po­tra­fi­li wy­ko­nać tego za­da­nia. Przy ani­ma­cji z odej­mo­wa­niem, w któ­rej było 6, 7 lub 8 kro­pek, nie umie­li zna­leźć roz­wią­za­nia.

– Nie po­tra­fi­li wy­ko­ny­wać ob­li­czeń na­wet w pro­stych przy­pad­kach – stwier­dził Pica.

Pre­cy­zyj­ne odej­mo­wa­nie.

Wy­ni­ki eks­pe­ry­men­tów z krop­ka­mi po­ka­za­ły, że Mun­du­ru­ku bie­gle ra­dzą so­bie z przy­bli­żo­ny­mi ilo­ścia­mi, ale z pre­cy­zyj­ny­mi licz­ba­mi po­wy­żej 5 idzie im fa­tal­nie. Pica był za­fa­scy­no­wa­ny po­do­bień­stwa­mi mię­dzy Mun­du­ru­ku a ludź­mi Za­cho­du: jed­ni i dru­dzy mają w peł­ni spraw­ny, pre­cy­zyj­ny sys­tem śle­dze­nia ma­łych liczb oraz sza­cun­ko­wy sys­tem do więk­szych liczb. Istot­na róż­ni­ca po­le­ga na tym, że Mun­du­ru­ku nie po­tra­fią po­łą­czyć ze sobą tych 2 nie­za­leż­nych sys­te­mów, by wyjść poza licz­bę 5. Pica twier­dzi, że utrzy­my­wa­nie od­ręb­no­ści tych sys­te­mów musi być bar­dziej przy­dat­ne. Uwa­ża on, że w in­te­re­sie za­cho­wa­nia róż­no­rod­no­ści kul­tu­ro­wej na­le­ży pró­bo­wać chro­nić spo­sób li­cze­nia Mun­du­ru­ku, któ­re­mu z pew­no­ścią za­gro­zi nie­unik­nio­ne na­si­le­nie kon­tak­tów mię­dzy In­dia­na­mi a bra­zy­lij­ski­mi osad­ni­ka­mi.

Fakt, że są Mun­du­ru­ku, któ­rzy na­uczy­li się li­czyć po por­tu­gal­sku, a mimo to nie po­tra­fią po­jąć pod­staw aryt­me­ty­ki, świad­czy o sile ich wła­sne­go sys­te­mu ma­te­ma­tycz­ne­go i o tym, jak do­brze do­sto­so­wa­ny jest do ich po­trzeb. Po­ka­zu­je rów­nież, jak trud­ny musi być skok po­ję­cio­wy do praw­dzi­we­go ro­zu­mie­nia pre­cy­zyj­nych liczb po­wy­żej licz­by 5.

A może lu­dzie po­trze­bu­ją słów na ozna­cze­nie liczb po­wy­żej 4, aby móc je wła­ści­wie ro­zu­mieć? Pro­fe­sor Brian But­ter­worth z Uni­ver­si­ty of Lon­don są­dzi, że tak nie jest. Uwa­ża, że mózg wy­róż­nia wro­dzo­na zdol­ność do ro­zu­mie­nia pre­cy­zyj­nych liczb, któ­rą uczo­ny na­zy­wa „mo­du­łem pre­cy­zyj­nych liczb” (ang. exact num­ber mo­du­le). Zgod­nie z jego in­ter­pre­ta­cją lu­dzie ro­zu­mie­ją pre­cy­zyj­ne licz­by przed­mio­tów w ma­łych zbio­rach, a do­da­jąc do tych zbio­rów po jed­nym ele­men­cie, mo­że­my po­jąć, jak za­cho­wu­ją się więk­sze licz­by. But­ter­worth pro­wa­dzi ba­da­nia w je­dy­nym poza Ama­zo­nią miej­scu, gdzie miesz­ka­ją rdzen­ne gru­py nie­ma­ją­ce pra­wie żad­nych li­czeb­ni­ków: w au­stra­lij­skim bu­szu.

Spo­łecz­ność Abo­ry­ge­nów Wal­pi­ri żyje nie­da­le­ko Ali­ce Springs i po­słu­gu­je się tyl­ko 3 li­czeb­ni­ka­mi: 1, 2 i wie­le, a Anin­di­ly­akwa z wy­spy Gro­ote Ey­landt w za­to­ce Kar­pen­ta­ria mają sło­wa je­dy­nie na ozna­cze­nie 1, 2, 3 (któ­re cza­sa­mi ozna­cza 4) i wie­le. W pew­nym eks­pe­ry­men­cie z udzia­łem dzie­ci z obu grup stu­ka­no pa­ty­kiem w drew­nia­ny kloc do 7 razy, a na ma­cie kła­dzio­no że­to­ny. Cza­sa­mi licz­ba stuk­nięć od­po­wia­da­ła licz­bie że­to­nów, a cza­sa­mi nie. Dzie­ci do­sko­na­le po­tra­fi­ły okre­ślić, kie­dy licz­by pa­so­wa­ły, a kie­dy nie. But­ter­worth do­wo­dził, że aby po­dać pra­wi­dło­wą od­po­wiedź, dzie­ci two­rzy­ły umy­sło­wą re­pre­zen­ta­cję pre­cy­zyj­nej licz­by, na tyle abs­trak­cyj­ną, że mo­gła re­pre­zen­to­wać wy­li­cza­nie za­rów­no słu­cho­we, jak i wzro­ko­we. Dzie­ci te nie zna­ły li­czeb­ni­ków 4, 5, 6 i 7, a mimo to do­sko­na­le po­tra­fi­ły prze­cho­wy­wać te ilo­ści w gło­wie. Sło­wa, jak pod­su­mo­wał But­ter­worth, przy­da­ją się do ro­zu­mie­nia do­kład­no­ści, ale nie są nie­zbęd­ne.

In­nym waż­nym przed­mio­tem za­in­te­re­so­wa­nia But­ter­wor­tha oraz De­ha­ene’a jest dys­kal­ku­lia na­zy­wa­na też „śle­po­tą ma­te­ma­tycz­ną”, czy­li za­bu­rze­nie prze­ja­wia­ją­ce się nie­spraw­nym zmy­słem licz­by. Sza­cu­je się, że do­ty­ka ono od 3–6 pro­cent po­pu­la­cji. Dys­kal­ku­li­cy nie „ku­ma­ją” liczb w taki spo­sób, jak więk­szość lu­dzi. Na przy­kład: któ­ra z tych dwóch liczb jest więk­sza?

65 24

Pro­ste, 65. Nie­mal każ­dy z nas poda po­praw­ną od­po­wiedź w cią­gu nie­speł­na 0,5 se­kun­dy. Temu jed­nak, kto ma dys­kal­ku­lię, może to za­jąć na­wet 3 se­kun­dy. Na­tu­ra tego za­bu­rze­nia róż­ni się u po­szcze­gól­nych osób, ale ci, u któ­rych ją zdia­gno­zo­wa­no, czę­sto mają pro­ble­my z ko­ja­rze­niem sym­bo­lu licz­by, daj­my na to 5, z licz­bą przed­mio­tów, ja­kie ów sym­bol ozna­cza. Mają rów­nież trud­no­ści z li­cze­niem. Dys­kal­ku­lia nie rów­na się nie­umie­jęt­no­ści li­cze­nia, jed­nak dys­kal­ku­li­cy zwy­kle po­zba­wie­ni są ele­men­tar­nej in­tu­icji do­ty­czą­cej liczb i dla­te­go w co­dzien­nym ży­ciu sto­su­ją al­ter­na­tyw­ne stra­te­gie ra­dze­nia so­bie z licz­ba­mi, na przy­kład czę­ściej uży­wa­ją pal­ców. W przy­pad­ku sil­nych za­bu­rzeń le­d­wie po­tra­fią od­czy­tać czas.

Je­śli ze wszyst­kich przed­mio­tów w szko­le szło ci do­brze, ale kla­sów­ka z ma­te­ma­ty­ki sta­no­wi­ła dla cie­bie trud­ność nie do po­ko­na­nia, być może masz dys­kal­ku­lię. (Choć ktoś, kto za­wsze ob­le­wał mat­mę, pew­nie nie czy­ta tej książ­ki). Za­bu­rze­nie to uwa­ża się za głów­ną przy­czy­nę ni­skie­go po­zio­mu umie­jęt­no­ści ma­te­ma­tycz­nych. Zro­zu­mie­nie dys­kal­ku­lii ma istot­ne zna­cze­nie spo­łecz­ne, po­nie­waż do­ro­słe oso­by o ni­skich umie­jęt­no­ściach ma­te­ma­tycz­nych znacz­nie czę­ściej by­wa­ją bez­ro­bot­ne lub po­pa­da­ją w de­pre­sję. Dys­kal­ku­lia jest jed­nak sła­bo po­zna­na. Moż­na ją uznać za licz­bo­wą wer­sję dys­lek­sji – oba za­bu­rze­nia są po­rów­ny­wal­ne pod tym wzglę­dem, że do­ty­ka­ją mniej wię­cej ta­kie­go sa­me­go od­set­ka po­pu­la­cji i naj­wy­raź­niej nie mają związ­ku z in­te­li­gen­cją ogól­ną. O dys­lek­sji wia­do­mo jed­nak o wie­le wię­cej niż o dys­kal­ku­lii. Sza­cu­je się, że ar­ty­ku­łów na­uko­wych na te­mat dys­lek­sji jest 10 razy wię­cej niż na te­mat dys­kal­ku­lii. Ba­da­nia nad dys­kal­ku­lią są tak da­le­ko w tyle mię­dzy in­ny­mi dla­te­go, że nie­ra­dze­nie so­bie z ma­te­ma­ty­ką może mieć wie­le in­nych przy­czyn – przed­miot ten czę­sto jest źle na­ucza­ny w szko­le, poza tym ła­two zo­stać w tyle, je­śli stra­ci się lek­cje, na któ­rych wpro­wa­dza­no za­sad­ni­cze po­ję­cia. Nie bez zna­cze­nia jest też fakt, że bra­ki w li­cze­niu nie wią­żą się z tak sil­nym tabu spo­łecz­nym, jak kło­po­ty z czy­ta­niem.

But­ter­worth czę­sto pi­sze re­fe­ren­cje dla osób, któ­re ba­dał pod ką­tem dys­kal­ku­lii, wy­ja­śnia­jąc po­ten­cjal­nym pra­co­daw­com, że kiep­skie oce­ny z ma­te­ma­ty­ki nie są wy­ni­kiem le­ni­stwa ani bra­ku in­te­li­gen­cji. Dys­kal­ku­li­cy mogą od­no­sić suk­ce­sy we wszyst­kich in­nych dzie­dzi­nach poza licz­ba­mi. Moż­na na­wet, twier­dzi But­ter­worth, być dys­kal­ku­li­kiem i być bar­dzo do­brym z ma­te­ma­ty­ki. Ist­nie­je kil­ka ga­łę­zi ma­te­ma­ty­ki, ta­kich jak lo­gi­ka lub geo­me­tria, w któ­rych waż­niej­sze są ro­zu­mo­wa­nie de­duk­cyj­ne czy świa­do­mość prze­strzen­na niż bie­głość w licz­bach i rów­na­niach. Zwy­kle jed­nak dys­kal­ku­li­cy nie ra­dzą so­bie z ma­te­ma­ty­ką.

Więk­szość ba­dań nad dys­kal­ku­lią ma cha­rak­ter be­ha­wio­ral­ny – pro­wa­dzi się mię­dzy in­ny­mi ba­da­nia prze­sie­wo­we dzie­sią­tek ty­się­cy uczniów w po­sta­ci te­stów kom­pu­te­ro­wych. Na­le­ży w nich od­po­wie­dzieć, któ­ra z 2 liczb jest więk­sza. Pro­wa­dzi się rów­nież ba­da­nia neu­ro­lo­gicz­ne, w któ­rych przy uży­ciu re­zo­nan­su ma­gne­tycz­ne­go ana­li­zu­je się mó­zgi dys­kal­ku­li­ków i nie­dy­skal­ku­li­ków pod ką­tem róż­nic w po­łą­cze­niach neu­ro­nal­nych. W na­ukach ko­gni­tyw­nych po­stęp w ro­zu­mie­niu ja­kiejś zdol­no­ści umy­sło­wej czę­sto do­ko­nu­je się dzię­ki ana­li­zie przy­pad­ków upo­śle­dze­nia tej zdol­no­ści. Stop­nio­wo wy­ła­nia się wy­raź­niej­szy ob­raz tego, czym jest dys­kal­ku­lia oraz jak po­ję­cie licz­by dzia­ła w mó­zgu.

Wła­śnie neu­ro­bio­lo­gia jest źró­dłem czę­ści naj­bar­dziej elek­try­zu­ją­cych no­wych od­kryć w dzie­dzi­nie umy­sło­wych re­pre­zen­ta­cji liczb. Dzi­siaj moż­na już zo­ba­czyć, co dzie­je się z po­je­dyn­czy­mi neu­ro­na­mi w mó­zgu mał­py, kie­dy mał­pa my­śli o pre­cy­zyj­nej licz­bie kro­pek.

An­dre­as Nie­der z Eber­hardt Karls Uni­ver­si­tät Tübin­gen w po­łu­dnio­wych Niem­czech wy­szko­lił ma­ka­ki re­zu­sy, by my­śla­ły o licz­bie. Oto jak tego do­ko­nał. Po­ka­zy­wał im naj­pierw je­den zbiór kro­pek na kom­pu­te­rze, a po jed­no­se­kun­do­wej prze­rwie dru­gi zbiór kro­pek. Mał­py uczo­no, że je­śli dru­gi zbiór rów­ny był pierw­sze­mu, to po na­ci­śnię­ciu dźwi­gni otrzy­ma­ją na­gro­dę w po­sta­ci łyku soku jabł­ko­we­go. Je­śli dru­gi zbiór nie był rów­ny pierw­sze­mu, nie było też soku. Po oko­ło roku mał­py na­uczy­ły się na­ci­skać dźwi­gnię tyl­ko wte­dy, gdy licz­ba kro­pek na pierw­szym i dru­gim ekra­nie była taka sama. Nie­der ra­zem ze współ­pra­cow­ni­ka­mi uznał, że w cza­sie jed­no­se­kun­do­wej prze­rwy mię­dzy ob­ra­za­mi mał­py my­ślą o licz­bie kro­pek, jaką wła­śnie wi­dzia­ły.

Nie­der po­sta­no­wił spraw­dzić, co dzie­je się w mó­zgu małp w chwi­li prze­cho­wy­wa­nia licz­by w gło­wie. Przez otwór w czasz­ce umie­ścił w tkan­ce ner­wo­wej elek­tro­dę o śred­ni­cy 2 mi­kro­nów. Pro­szę się nie mar­twić, żad­nej mał­pie nie sta­ła się krzyw­da. Tak ma­leń­ka elek­tro­da wcho­dzi w mózg, nie po­wo­du­jąc uszko­dzeń ani bólu. (Wsta­wia­nie elek­trod do mó­zgu czło­wie­ka dla ce­lów ba­daw­czych jest nie­zgod­ne z za­sa­da­mi etycz­ny­mi, choć jest do­pusz­czal­ne dla ce­lów te­ra­peu­tycz­nych, na przy­kład w le­cze­niu pa­dacz­ki). Nie­der skie­ro­wał elek­tro­dę w stro­nę czę­ści kory przed­czo­ło­wej mał­py i roz­po­czął eks­pe­ry­ment.

Elek­tro­da była tak czu­ła, że mo­gła wy­chwy­cić wy­ła­do­wa­nia elek­trycz­ne w po­je­dyn­czych neu­ro­nach. Nie­der za­ob­ser­wo­wał, że kie­dy mał­py my­śla­ły o licz­bach, pew­ne neu­ro­ny sta­wa­ły się bar­dzo ak­tyw­ne. Za­pa­la­ła się cała po­łać mó­zgu.

Po do­kład­niej­szej ana­li­zie do­ko­nał fa­scy­nu­ją­ce­go od­kry­cia. Wraż­li­we na licz­by neu­ro­ny re­ago­wa­ły róż­ny­mi wy­ła­do­wa­nia­mi w za­leż­no­ści od tego, o ja­kiej licz­bie mał­pa my­śla­ła w da­nym mo­men­cie. Każ­dy neu­ron miał „pre­fe­ro­wa­ną” licz­bę, któ­ra ak­ty­wo­wa­ła go naj­bar­dziej. Była na przy­kład po­pu­la­cja kil­ku ty­się­cy neu­ro­nów, któ­re upodo­ba­ły so­bie 1. Neu­ro­ny te świe­ci­ły ja­sno, kie­dy mał­pa my­śla­ła o 1, sła­biej, kie­dy my­śla­ła o 2, a jesz­cze sła­biej, kie­dy my­śla­ła o 3 i tak da­lej. Był też zbiór neu­ro­nów, któ­ry wo­lał 2. Neu­ro­ny te świe­ci­ły naj­ja­śniej, kie­dy mał­pa my­śla­ła o 2, sła­biej, kie­dy my­śla­ła o 1 lub 3, jesz­cze sła­biej, gdy mał­pa my­śla­ła o 4. Ko­lej­na gru­pa neu­ro­nów oka­zy­wa­ła się ama­to­ra­mi 3, a na­stęp­na 4. Nie­der prze­pro­wa­dził eks­pe­ry­men­ty aż do 30 i dla każ­dej licz­by zna­lazł neu­ro­ny, któ­re ją pre­fe­ro­wa­ły.

Wy­ni­ki te mogą wy­ja­śniać, dla­cze­go na­sza in­tu­icja fa­wo­ry­zu­je sza­cun­ko­we ro­zu­mie­nie liczb. Kie­dy mał­pa my­śli „czte­ry”, naj­bar­dziej ak­tyw­ne są oczy­wi­ście neu­ro­ny pre­fe­ru­ją­ce 4. Ale ak­tyw­ne są też, choć sła­biej, neu­ro­ny spe­cja­li­zu­ją­ce się w 3 lub 5, po­nie­waż mózg my­śli rów­nież o licz­bach są­sia­du­ją­cych z 4. „To roz­my­ty zmysł licz­by – wy­ja­śnił Nie­der. – Mał­py po­tra­fią re­pre­zen­to­wać licz­ność je­dy­nie w przy­bli­żo­ny spo­sób”.

Jest nie­mal pew­ne, że tak samo dzie­je się w mó­zgu czło­wie­ka. W związ­ku z tym na­su­wa się in­te­re­su­ją­ce py­ta­nie. Je­śli nasz mózg może re­pre­zen­to­wać licz­by je­dy­nie w przy­bli­że­niu, to jak w ogó­le zdo­ła­li­śmy „wy­na­leźć” licz­by? Nie­der stwier­dził, że „pre­cy­zyj­ny zmysł licz­by jest [wy­łącz­nie] ludz­ką ce­chą, któ­ra wy­wo­dzi się praw­do­po­dob­nie z na­szej zdol­no­ści do bar­dzo pre­cy­zyj­ne­go re­pre­zen­to­wa­nia licz­by za po­mo­cą sym­bo­li”. Prze­ma­wia to za sta­no­wi­skiem, że licz­by są ar­te­fak­tem kul­tu­ro­wym, kon­struk­tem stwo­rzo­nym przez czło­wie­ka, a nie czymś, co jest nam wro­dzo­ne.

ROZ­DZIAŁ PIERW­SZY

Li­cze­nie po in­ne­mu

W Lin­coln­shi­re w cza­sach śre­dnio­wie­cza pimp (al­fons) plus dik (pe­nis) rów­na­ło się bum­fit (ko­ja­rzy się ze sto­sun­kiem sek­su­al­nym). Nie było w tym nic zdroż­ne­go. Sło­wa te po pro­stu ozna­cza­ły licz­by 5, 10 i 15 w żar­go­nie uży­wa­nym przez pa­ste­rzy pod­czas li­cze­nia owiec. Peł­ny ciąg był na­stę­pu­ją­cy:

yan

tan

te­the­ra

pe­the­ra

pimp

se­the­ra

le­the­ra

ho­ve­ra

co­ve­ra

dik

yan-a-dik

tan-a-dik

te­the­ra-dik

pe­the­ra-dik

bum­fit

yan-a-bum­fit

tan-a-bum­fit

te­the­ra-bum­fit

pe­the­ra-bum­fit

fig­git

Róż­ni się to bar­dzo od na­sze­go współ­cze­sne­go spo­so­bu li­cze­nia, i to nie tyl­ko z po­wo­du in­ne­go za­so­bu słów. Pa­ste­rze z Lin­coln­shi­re po­rząd­ko­wa­li licz­by w dwu­dziest­ki – za­czy­na­li li­czyć od yan, a koń­czy­li na fig­git. Je­śli pa­sterz miał wię­cej niż 20 owiec – i o ile przy oka­zji nie za­snął – to po za­koń­cze­niu jed­ne­go cy­klu wkła­dał ka­myk do kie­sze­ni, ry­so­wał znak na zie­mi lub na­ci­nał kre­skę na kiju pa­ster­skim. Po­tem roz­po­czy­nał od nowa: „Yan, tan, te­the­ra…”. Je­śli owiec było 80, to na ko­niec miał 4 ka­my­ki w kie­sze­ni lub 4 kre­ski na kiju. Dla pa­ste­rza sys­tem ten jest bar­dzo wy­daj­ny: 4 małe przed­mio­ty sym­bo­li­zu­ją 80 du­żych.

Dzi­siaj gru­pu­je­my licz­by w dzie­siąt­ki, więc nasz sys­tem licz­bo­wy ma 10 cyfr – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Licz­ność ta­kiej gru­py pod­sta­wo­wej, któ­ra czę­sto jest za­ra­zem licz­bą uży­wa­nych sym­bo­li, na­zy­wa się pod­sta­wą sys­te­mu licz­bo­we­go, a za­tem nasz sys­tem ma pod­sta­wę 10, a pod­sta­wą pa­ste­rzy z Lin­coln­shi­re jest 20.

Bez roz­sąd­nej pod­sta­wy nie da się sen­sow­nie li­czyć. Wy­obraź so­bie, że pa­sterz ma sys­tem o pod­sta­wie 1, co ozna­cza­ło­by, że po­słu­gu­je się tyl­ko li­czeb­ni­kiem yan: 2 by­ło­by wte­dy yan yan, a 3 – yan yan yan. 80 owiec to osiem­dzie­się­cio­krot­ne po­wtó­rze­nie sło­wa yan. Sys­tem taki jest nie­przy­dat­ny do li­cze­nia po­wy­żej 3. Dla od­mia­ny wy­obraź so­bie, że każ­da licz­ba ma wła­sną, uni­kal­ną na­zwę – po­li­cze­nie do 80 wy­ma­ga­ło­by za­pa­mię­ta­nia 80 nie­po­wta­rzal­nych słów. Jak w ten spo­sób po­li­czyć do 1000!

W wie­lu od­izo­lo­wa­nych spo­łecz­no­ściach nadal uży­wa się nie­kon­wen­cjo­nal­nych pod­staw. Na przy­kład In­dia­nie Ara­ra z Ama­zo­nii li­czą dwój­ka­mi, a licz­by od 1 do 8 wy­glą­da­ją na­stę­pu­ją­co: ana­ne, adak, adak ana­ne, adak adak, adak adak ana­ne, adak adak adak, adak adak adak ana­ne, adak adak adak adak. Li­cze­nie dwój­ka­mi nie sta­no­wi wiel­kie­go po­stę­pu w sto­sun­ku do li­cze­nia je­dyn­ka­mi. Aby wy­ra­zić licz­bę 100, trze­ba po­wtó­rzyć adak 50 razy z rzę­du – tar­go­wa­nie się o cenę by­ło­by więc dość cza­so­chłon­ne. W Ama­zo­nii spo­ty­ka się rów­nież sys­te­my, w któ­rych licz­by gru­po­wa­ne są trój­ka­mi i czwór­ka­mi.

Do­bry sys­tem licz­bo­wy po­wi­nien mieć pod­sta­wę wy­star­cza­ją­co dużą, by ta­kie licz­by jak 100 wy­ma­wiać bez za­dysz­ki, a jed­no­cze­śnie nie za dużą, by nie trze­ba było nad­we­rę­żać pa­mię­ci. Na prze­strze­ni dzie­jów naj­czę­ściej sto­so­wa­no pod­sta­wy 5, 10 i 20, co po­dyk­to­wa­ne było oczy­wi­sty­mi wzglę­da­mi. Licz­by te wy­wo­dzą się z ludz­kie­go cia­ła. Mamy 5 pal­ców u jed­nej ręki, więc 5 to pierw­sze oczy­wi­ste miej­sce na od­dech w cza­sie li­cze­nia od 1 w górę. Ko­lej­na na­tu­ral­na prze­rwa na­stę­pu­je po dwóch rę­kach, czy­li 10 pal­cach, po­tem zaś po rę­kach i no­gach, czy­li po 20 pal­cach. (Nie­któ­re sys­te­my mają cha­rak­ter mie­sza­ny. Słow­nik pa­ste­rzy z Lin­coln­shi­re za­wie­rał pod­sta­wę 5 i 10, a tak­że 20: pierw­sza dzie­siąt­ka liczb jest nie­po­wta­rzal­na, a na­stęp­na dzie­siąt­ka po­gru­po­wa­na jest w piąt­ki). Rola pal­ców w li­cze­niu ma swo­je od­zwier­cie­dle­nie w wie­lu na­zwach li­czeb­ni­ków, zwłasz­cza w po­dwój­nym zna­cze­niu nazw cyfr. Na przy­kład po ro­syj­sku 5 to pjat’, a sło­wo ozna­cza­ją­ce śród­rę­cze, któ­re skła­da się z 5 ko­ści dłu­gich, to pjast’. Po­dob­nie san­skryc­kie sło­wo zna­czą­ce pięć, pant­cha, spo­krew­nio­ne jest z per­skim pent­cha – dłoń.

Od kie­dy czło­wiek za­czął li­czyć, po­sił­ko­wał się pal­ca­mi – nie ma prze­sa­dy w stwier­dze­niu, że wła­śnie wie­lo­funk­cyj­no­ści na­szych pal­ców za­wdzię­cza­my spo­rą część po­stę­pu na­uko­we­go. Słusz­nie moż­na by przy­pusz­czać, że gdy­by lu­dzie ro­dzi­li się z tę­py­mi ki­ku­ta­mi na koń­cu rąk i nóg, to in­te­lek­tu­al­nie nie wy­szli­by poza epo­kę ka­mie­nia. Przed upo­wszech­nie­niem się pa­pie­ru i ołów­ka licz­by czę­sto prze­ka­zy­wa­no za po­mo­cą skom­pli­ko­wa­ne­go ję­zy­ka mi­go­we­go. W VIII wie­ku Beda Czci­god­ny, nor­tum­bryj­ski mnich i wszech­stron­ny uczo­ny, przed­sta­wił sys­tem li­cze­nia do mi­lio­na, któ­ry był ty­leż aryt­me­ty­ką, co ekwi­li­bry­sty­ką. Jed­no­ści i dzie­siąt­ki były przed­sta­wia­ne za po­mo­cą pal­ców le­wej ręki, a set­ki i ty­sią­ce za po­mo­cą pra­wej. Wyż­sze rzę­dy wiel­ko­ści wy­ra­ża­no przez prze­su­wa­nie dło­ni w górę i w dół cia­ła. Tak Beda – w dość nie­li­cu­ją­cy z jego po­boż­no­ścią spo­sób – opi­sał, jak po­ka­zać 90 000: „chwyć swo­je lę­dź­wie lewą ręką, kciuk kie­ru­jąc w stro­nę ge­ni­ta­liów”. O wie­le bar­dziej su­ge­styw­ny był znak mi­lio­na wy­ra­ża­ją­cy sa­mo­za­do­wo­le­nie i po­czu­cie suk­ce­su: ści­śnię­te dło­nie ze sple­cio­ny­mi pal­ca­mi.

Li­cze­nie na pal­cach za­pre­zen­to­wa­ne w pod­ręcz­ni­ku „ojca współ­cze­snej ra­chun­ko­wo­ści” Luki Pa­cio­le­go Sum­ma de ari­th­me­ti­ca, geo­me­tria, pro­por­tio­ni et pro­por­tio­na­li­tà (1494).

Jesz­cze pa­rę­set lat temu ża­den sza­nu­ją­cy się pod­ręcz­nik do aryt­me­ty­ki nie mógł się obejść bez sche­ma­tów li­cze­nia na pal­cach. Dzi­siaj jest to w du­żej mie­rze sztu­ka za­po­mnia­na, ale utrzy­mu­je się w nie­któ­rych czę­ściach świa­ta. Gdy han­dla­rze w In­diach chcą ukryć swo­je trans­ak­cje przed nie­po­żą­da­nym wzro­kiem, do­ty­ka­ją knyk­ci pod suk­nem lub po­ła­mi ubra­nia. W Chi­nach z ko­lei opra­co­wa­no po­my­sło­wą – choć może nie­co zbyt skom­pli­ko­wa­ną – me­to­dę li­cze­nia do 10 mi­liar­dów mi­nus 1, czy­li do 9 999 999 999. Każ­dy pa­lec ma 9 umow­nych punk­tów – po 3 na każ­dej li­nii zgię­cia, jak po­ka­za­no na ry­sun­ku na na­stęp­nej stro­nie. Punk­ty na ma­łym pal­cu pra­wej ręki ozna­cza­ją licz­by od 1 do 9, na pal­cu ser­decz­nym – licz­by od 10 do 90, a na pal­cu środ­ko­wym – od 100 do 900 i tak da­lej. Każ­dy na­stęp­ny pa­lec sym­bo­li­zu­je ko­lej­ną po­tę­gę 10. Moż­na za­tem na pal­cach po­li­czyć wszyst­kich lu­dzi na Zie­mi i w ten spo­sób zmie­ścić w dło­niach cały świat.

W tym chiń­skim sys­te­mie każ­dy pa­lec ma 9 punk­tów ozna­cza­ją­cych cy­fry od 1 do 9 dla każ­de­go rzę­du wiel­ko­ści, więc do­ty­ka­jąc lewą ręką od­po­wied­nich punk­tów na pra­wej ręce, moż­na wy­ra­zić do­wol­ną licz­bę do 105 – 1. Po za­mia­nie rąk otrzy­mu­je­my ko­lej­ne licz­by do 1010 – 1. Zero nie jest po­trzeb­ne, po­nie­waż kie­dy nie ma war­to­ści zwią­za­nych z ja­kimś pal­cem, po pro­stu się je po­mi­ja.

W nie­któ­rych kul­tu­rach do li­cze­nia uży­wa się rów­nież in­nych czę­ści cia­ła, nie tyl­ko pal­ców u rąk i nóg. Pod ko­niec XIX wie­ku na wy­spy w Cie­śni­nie Tor­re­sa, od­dzie­la­ją­cej Au­stra­lię od No­wej Gwi­nei, do­tar­ła eks­pe­dy­cja bry­tyj­skich an­tro­po­lo­gów. Przy­by­sze od­kry­li tam spo­łecz­ność, któ­ra za­czy­na­ła li­czyć od ma­łe­go pal­ca pra­wej ręki na ozna­cze­nie 1, ser­decz­ne­go pal­ca pra­wej ręki na 2 i da­lej przez ko­lej­ne pal­ce do pra­we­go nad­garst­ka ozna­cza­ją­ce­go 6, pra­we­go łok­cia ozna­cza­ją­ce­go 7, i tak przez bark, mo­stek, lewe ra­mię i dłoń, sto­py i nogi, koń­cząc na ma­łym pal­cu pra­wej nogi, któ­ry ozna­czał 33. Póź­niej­sze eks­pe­dy­cje i ba­da­nia od­kry­ły w tym re­gio­nie wie­le spo­łecz­no­ści po­słu­gu­ją­cych się po­dob­ny­mi sys­te­ma­mi li­cze­nia na czę­ściach cia­ła.

Naj­oso­bliw­szym sys­te­mem li­cze­nia dys­po­nu­je chy­ba Yup­no, pa­pu­aski lud, w któ­rym każ­dy ma wła­sną krót­ką me­lo­dię przy­pi­sa­ną mu ni­czym imię czy in­dy­wi­du­al­ny sy­gnał dźwię­ko­wy. Sys­tem Yup­no obej­mu­je noz­drza, oczy, sut­ki, pę­pek, a jego kul­mi­na­cję sta­no­wią 31 – lewe ją­dro, 32 – pra­we ją­dro i 33 – pe­nis. Moż­na by za­sta­na­wiać się nad zna­cze­niem licz­by 33 w 3 wiel­kich re­li­giach mo­no­te­istycz­nych (wiek chry­stu­so­wy, dłu­gość pa­no­wa­nia kró­la Da­wi­da i licz­ba ko­ra­li­ków w mu­zuł­mań­skim sznu­rze mo­dli­tew­nym), ale w fal­licz­nej licz­bie Yup­no szcze­gól­nie in­try­gu­ją­ce jest to, że sami Yup­no trak­tu­ją ją bar­dzo wsty­dli­wie. Mó­wią o licz­bie 33 w spo­sób eu­fe­mi­stycz­ny, uży­wa­jąc omó­wień typu „mę­ska rzecz”. Ba­da­cze nie byli w sta­nie stwier­dzić, czy ko­bie­ty uży­wa­ją tych sa­mych okre­śleń, po­nie­waż nie po­win­ny znać sys­te­mu licz­bo­we­go i od­ma­wia­ły od­po­wie­dzi na py­ta­nia. Gór­ną gra­ni­cą w ję­zy­ku Yup­no jest 34 – „je­den mar­twy czło­wiek”.

Je­den mar­twy Yup­no.

Sys­te­mów opar­tych na dzie­siąt­ce uży­wa się na Za­cho­dzie od ty­się­cy lat. Mimo har­mo­nij­no­ści z na­szym cia­łem czę­sto jed­nak je kwe­stio­no­wa­no, py­ta­jąc, czy sta­no­wią naj­roz­sąd­niej­szą pod­sta­wę do li­cze­nia. Nie­któ­rzy twier­dzi­li wręcz, że wła­śnie ze wzglę­du na cie­le­sny ro­do­wód jest to bar­dzo zły wy­bór. Król Szwe­cji Ka­rol XII od­rzu­cił sys­tem dzie­sięt­ny jako wy­twór prze­bie­ra­ją­ce­go pal­ca­mi „pro­ste­go wiej­skie­go ludu”. Uwa­żał, że no­wo­cze­snej Skan­dy­na­wii po­trzeb­ny jest sys­tem „o więk­szej prak­tycz­no­ści i szer­szym za­sto­so­wa­niu”. Dla­te­go w 1716 roku na­ka­zał uczo­ne­mu Ema­nu­elo­wi Swe­den­bor­go­wi opra­co­wa­nie no­we­go sys­te­mu o pod­sta­wie 64. Tę im­po­nu­ją­cą licz­bę wy­brał dla­te­go, że wy­wo­dzi się od sze­ścia­nu 4 · 4 · 4. Ka­rol, któ­ry wal­czył – i prze­grał – w wiel­kiej woj­nie pół­noc­nej, uwa­żał, że przy­ję­cie za pod­sta­wę licz­by sze­ścien­nej uła­twi ob­li­cze­nia woj­sko­we, na przy­kład mie­rze­nie ob­ję­to­ści skrzy­nek z pro­chem strzel­ni­czym. Ale, jak na­pi­sał Wol­ter, po­mysł kró­la „świad­czył je­dy­nie o tym, że ko­chał to, co trud­ne i nad­zwy­czaj­ne”. Pod­sta­wa 64 wy­ma­ga 64 nie­po­wta­rzal­nych nazw (i sym­bo­li) na ozna­cze­nie liczb – co jest nie­praw­do­po­dob­nie nie­wy­god­nym sys­te­mem. Swe­den­borg upro­ścił więc sys­tem do ósem­ko­we­go i wy­my­ślił nowy za­pis, w któ­rym 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 prze­mia­no­wa­no na o, l, s, n, m, t, f, ŭ. W tym sys­te­mie l + l = s, a m · m = so. (Same na­zwy no­wych liczb były dość nie­zwy­kłe. Po­tę­gi 8, za­pi­sy­wa­ne lo, loo, looo, lo­ooo i lo­oooo, na­le­ża­ło wy­ma­wiać, czy ra­czej jo­dło­wać, lu, lo, li, le i la). Jed­nak w 1718 roku, na krót­ko przed upły­wem ter­mi­nu, w któ­rym Swe­den­borg miał za­pre­zen­to­wać nowy sys­tem, wład­ca zgi­nął od kuli – a wraz z nim ode­szło w nie­pa­mięć jego ósem­ko­we ma­rze­nie.

W jed­nym nie moż­na od­mó­wić Ka­ro­lo­wi XII ra­cji. Dla­cze­go trzy­mać się sys­te­mu dzie­sięt­ne­go tyl­ko z tego po­wo­du, że wy­wo­dzi się od licz­by pal­ców u rąk i nóg? Gdy­by­śmy wy­glą­da­li jak bo­ha­te­ro­wie ba­jek Di­sneya i mie­li po czte­ry pal­ce u rąk, nie­mal na pew­no ży­li­by­śmy w świe­cie ósem­ko­wym: da­wa­li oce­ny w ska­li do 8, ro­bi­li ze­sta­wie­nia naj­lep­szej ósem­ki utwo­rów na li­ście prze­bo­jów i mie­li ośmio­gro­szo­we mo­ne­ty. Ma­te­ma­ty­ka nie zmie­ni­ła­by się z po­wo­du al­ter­na­tyw­ne­go spo­so­bu gru­po­wa­nia liczb. Wo­jow­ni­czy Szwed miał słusz­ność, kie­dy py­tał, jaka pod­sta­wa naj­bar­dziej od­po­wia­da na­szym po­trze­bom na­uko­wym, za­miast śle­po sto­so­wać tę, któ­ra od­po­wia­da na­szej ana­to­mii.

Pod ko­niec lat 70. XX wie­ku w Chi­ca­go Mi­cha­el de Vlie­ger oglą­dał kre­sków­ki w so­bot­nim po­ran­nym pa­śmie te­le­wi­zyj­nym. Ścież­kę dźwię­ko­wą jed­nej z nich two­rzy­ły de­ner­wu­ją­ce fał­szy­we akor­dy gra­ne na for­te­pia­nie, gi­ta­ro­we „łaa-łaa” i groź­ny kon­tra­bas. Pod roz­gwież­dżo­nym nie­bem, na któ­rym błysz­czał księ­życ w peł­ni, po­ja­wił się oso­bli­wy człe­ko­po­dob­ny stwór. Miał ja­sne wło­sy i dłu­gi nos i zgod­nie z glam­roc­ko­wą modą tego okre­su no­sił cy­lin­der i frak w nie­bie­sko-bia­łe pa­ski. Jak­by tego było mało, u obu rąk i nóg miał po 6 pal­ców.

– Było to nie­co dziw­ne, tro­chę strasz­ne – wspo­mi­nał Mi­cha­el.

Tak roz­po­czął się pro­gram edu­ka­cyj­ny Lit­tle Twe­lve­to­es o sys­te­mie dwu­nast­ko­wym.

– My­ślę, że więk­szość miesz­kań­ców Ame­ry­ki nie mia­ła po­ję­cia, o co cho­dzi. Ale dla mnie to było od­lo­to­we.

Dzi­siaj Mi­cha­el ma 38 lat. Spo­tka­li­śmy się w jego biu­rze znaj­du­ją­cym się nad skle­pa­mi w miesz­ka­nio­wej czę­ści Sa­int Lo­uis w sta­nie Mis­so­uri. Mi­cha­el ma gę­ste czar­ne wło­sy z kil­ko­ma si­wy­mi ko­smy­ka­mi, okrą­głą twarz, ciem­ne oczy i zie­mi­stą cerę. Jako syn mie­sza­nej pary – mat­ka jest Fi­li­pin­ką, a oj­ciec bia­ły – w dzie­ciń­stwie pa­dał ofia­rą drwin. Po­nie­waż był by­strym i wraż­li­wym chłop­cem o ży­wej wy­obraź­ni, po­sta­no­wił wy­my­ślić wła­sny ję­zyk, żeby ko­le­dzy z kla­sy nie mo­gli czy­tać jego za­pi­sków. Pod wpły­wem Lit­tle Twe­lve­to­es tak samo po­stą­pił z licz­ba­mi i przy­jął sys­tem dwu­nast­ko­wy.

Sys­tem dwu­nast­ko­wy ma 12 cyfr: od 0 do 9 oraz do­dat­ko­we ozna­cza­ją­ce 10 i 11. Stan­dar­do­wy za­pis cyfr „po­za­dzie­sięt­nych” to i . Do 12 li­czy się więc tak: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, , , 10.

No­wym po­je­dyn­czym cy­from trze­ba było nadać nowe na­zwy, i tak to dek, a – el. Poza tym na 10 mówi się do, od skró­co­ne­go sło­wa do­zen, czy­li „tu­zin”, by unik­nąć po­mył­ki z 10 w sys­te­mie dzie­sięt­nym. Li­cząc w górę od do w sys­te­mie dwu­nast­ko­wym, czy­li tu­zi­no­wym, mamy do one, czy­li 11, do two – 12, do three – 13 i tak da­lej aż do two­do ozna­cza­ją­ce­go 20 (resz­tę liczb mo­żesz zo­ba­czyć obok).

Mi­cha­el stwo­rzył rów­nież ka­len­darz opar­ty na sys­te­mie dwu­nast­ko­wym. Każ­da data to licz­ba dni ob­li­czo­na w sys­te­mie dwu­nast­ko­wym od dnia, w któ­rym się uro­dził. Nadal go uży­wa i póź­niej po­wie­dział mi, że od­wie­dzi­łem go w 809 dniu jego ży­cia.

Mi­cha­el przy­jął sys­tem dwu­nast­ko­wy ze wzglę­dów bez­pie­czeń­stwa, ale nie on je­den za­ko­chał się w jego uro­kach. Wie­lu po­waż­nych my­śli­cie­li prze­ko­ny­wa­ło, że 12 jest lep­szą pod­sta­wą dla sys­te­mu licz­bo­we­go, po­nie­waż licz­ba ta jest bar­dziej uni­wer­sal­na niż 10. Sys­tem dwu­nast­ko­wy jest w isto­cie czymś wię­cej niż tyl­ko sys­te­mem licz­bo­wym – to spra­wa po­li­tycz­no-ma­te­ma­tycz­na. Jed­nym z jej pierw­szych orę­dow­ni­ków był Jo­shua Jor­da­ine, któ­ry w 1687 roku wła­snym sump­tem wy­dał dzie­ło Du­ode­ci­mal Ari­th­me­tick. Twier­dził w nim, że „nie ma nic bar­dziej na­tu­ral­ne­go i au­ten­tycz­ne­go” od li­cze­nia dwu­nast­ka­mi. W XIX wie­ku do gro­na zna­nych dwu­nast­ko­fi­lów na­le­że­li Isa­ac Pit­man, któ­ry za­sły­nął jako twór­ca po­pu­lar­ne­go sys­te­mu ste­no­gra­fii, oraz so­cjo­log Her­bert Spen­cer. Spen­cer na­ma­wiał do re­for­my sys­te­mu licz­bo­we­go w imie­niu „lu­dzi pra­cy, lu­dzi o ni­skich do­cho­dach oraz drob­nych skle­pi­ka­rzy, któ­rzy dba­ją o ich po­trze­by”. Ko­lej­nym en­tu­zja­stą był ame­ry­kań­ski wy­na­laz­ca i in­ży­nier John W. Ny­strom. Na­zwał on sys­tem o pod­sta­wie dwa­na­ście du­ode­nal – „dwu­nast­ni­czym”, co było chy­ba naj­bar­dziej nie­for­tun­nym dwu­znacz­ni­kiem w dzie­jach na­uki.

Licz­by dwu­nast­ko­we od 1 do 100.

Po­wo­dem, dla któ­re­go dwu­nast­kę moż­na uznać za lep­szą od dzie­siąt­ki, jest jej po­dziel­ność: 12 da się po­dzie­lić przez 2, 3, 4 oraz 6, na­to­miast 10 tyl­ko przez 2 i 5. Zwo­len­ni­cy sys­te­mu dwu­nast­ko­we­go twier­dzą, że na co dzień zde­cy­do­wa­nie ła­twiej by­ło­by nam dzie­lić przez 3 lub 4 niż przez 5. Wy­obraź so­bie, że je­steś skle­pi­ka­rzem. Je­śli masz 12 ja­błek, mo­żesz po­dzie­lić je na 2 siat­ki po 6, 3 siat­ki po 4, 4 siat­ki po 3 lub 6 sia­tek po 2 jabł­ka. Jest to o wie­le wy­god­niej­sze niż 10, któ­re da się po­dzie­lić rów­no je­dy­nie na 2 siat­ki po 5 ja­błek lub 5 sia­tek po 2 jabł­ka. Zresz­tą samo sło­wo gro­cer (skle­pi­karz) jest re­lik­tem upodo­ba­nia kup­ców do dwu­nast­ki – po­cho­dzi od „gross” (gros), ozna­cza­ją­ce­go tu­zin tu­zi­nów, czy­li 144. Po­dziel­ność dwu­nast­ki wy­ja­śnia rów­nież prak­tycz­ny aspekt im­pe­rial­nych jed­no­stek mia­ry: sto­pę li­czą­cą 12 cali moż­na po­dzie­lić bez resz­ty przez 2, 3 oraz 4, co bar­dzo uła­twia pra­cę kraw­com i sto­la­rzom.

Po­dziel­ność ma też zna­cze­nie w ta­blicz­ce mno­że­nia. W każ­dym sys­te­mie licz­bo­wym naj­ła­twiej za­pa­mię­tać mno­że­nie liczb, przez któ­re dzie­li się pod­sta­wa da­ne­go sys­te­mu. Dla­te­go wła­śnie w sys­te­mie dzie­sięt­nym tak ła­two re­cy­tu­je się mno­że­nie przez 2 i 5 – ich ilo­czy­ny to licz­by pa­rzy­ste oraz licz­by za­koń­czo­ne na 5. Ana­lo­gicz­nie w sys­te­mie dwu­nast­ko­wym naj­prost­sze jest mno­że­nie przez dziel­ni­ki pod­sta­wy: 2, 3, 4 i 6.

2 · 1 = 2 3 · 1 = 3 4 · 1 = 4 6 · 1 = 6

2 · 2 = 4 3 · 2 = 6 4 · 2 = 8 6 · 2 = 10

2 · 3 = 6 3 · 3 = 9 4 · 3 = 10 6 · 3 = 16

2 · 4 = 8 3 · 4 = 10 4 · 4 = 14 6 · 4 = 20

2 · 5 = 3 · 5 = 13 4 · 5 = 18 6 · 5 = 26

2 · 6 = 10 3 · 6 = 16 4 · 6 = 20 6 · 6 = 30

2 · 7 = 12 3 · 7 = 19 4 · 7 = 24 6 · 7 = 36

2 · 8 = 14 3 · 8 = 20 4 · 8 = 28 6 · 8 = 40

2 · 9 = 16 3 · 9 = 23 4 · 9 = 30 6 · 9 = 46

2 · = 18 3 · = 26 4 · = 34 6 · = 50

2 · = 1 3 · = 29 4 · = 38 6 · = 56

2 · 10 = 20 3 · 10 = 30 4 · 10 = 40 6 · 10 = 60

Je­śli przyj­rzysz się ostat­nim cy­from w każ­dej ko­lum­nie, zo­ba­czysz rzu­ca­ją­cą się oczy pra­wi­dło­wość. Ko­lum­na z mno­że­niem przez 2 za­wie­ra wszyst­kie licz­by pa­rzy­ste. Ko­lum­na z mno­że­niem przez 3 za­wie­ra wszyst­kie licz­by za­koń­czo­ne na 3, 6, 9 oraz 0. Ko­lum­na czwór­ki to licz­by za­koń­czo­ne na 4, 8 i 0, a ko­lum­na szóst­ki skła­da się wy­łącz­nie z liczb z koń­ców­ką 6 lub 0. In­ny­mi sło­wy, przy pod­sta­wie 12 ko­lum­ny z mno­że­niem przez 2, 3, 4 i 6 mamy za fri­ko. Dużo dzie­ci ma pro­ble­my z opa­no­wa­niem ta­blicz­ki mno­że­nia, więc przej­ście na sys­tem dwu­nast­ko­wy by­ło­by do­praw­dy bar­dzo hu­ma­ni­tar­nym uczyn­kiem. Tak przy­najm­niej się ar­gu­men­tu­je.

Kam­pa­nii na rzecz dwu­nast­ki nie na­le­ży my­lić z kru­cja­tą prze­ciw­ko sys­te­mo­wi me­trycz­ne­mu pro­wa­dzo­ną przez wiel­bi­cie­li miar im­pe­rial­nych. Dla tych, któ­rzy wolą sto­py i cale od me­trów i cen­ty­me­trów, nie ma zna­cze­nia, czy jed­na sto­pa bę­dzie mia­ła 12 cali czy 10 cali, jak by­ło­by w sys­te­mie tu­zi­no­wym. Z hi­sto­rycz­ne­go punk­tu wi­dze­nia mo­to­rem na­pę­do­wym kam­pa­nii na rzecz dwu­nast­ki była szo­wi­ni­stycz­na an­ty­fran­cu­skość. Naj­do­bit­niej­szym chy­ba przy­kła­dem ta­kie­go sta­no­wi­ska jest bro­szu­ra z 1913 roku au­tor­stwa in­ży­nie­ra kontr­ad­mi­ra­ła Geo­r­ge’a El­bro­wa, w któ­rej okre­ślił on fran­cu­ski sys­tem me­trycz­ny mia­nem „wstecz­ne­go”. Opu­bli­ko­wał rów­nież li­stę dat pa­no­wa­nia kró­lów i kró­lo­wych An­glii w sys­te­mie dwu­nast­ko­wym. Za­uwa­żył po­nad­to, że Wiel­ka Bry­ta­nia pa­da­ła ofia­rą pod­bo­ju wkrót­ce po roz­po­czę­ciu no­we­go ty­siąc­le­cia dzie­sięt­ne­go – w 43 roku na­szej ery przez Rzy­mian i w 1066 roku przez Nor­ma­nów. „A je­śli na po­cząt­ku [III ty­siąc­le­cia] – wiesz­czył – te dwa [pań­stwa] po­now­nie ru­szą w tym sa­mym kie­run­ku i tym ra­zem wspól­nie?”. Stwier­dził, że na­jaz­do­wi ze stro­ny Fran­cji i Włoch moż­na by w pro­sty spo­sób za­po­biec przez za­pi­sa­nie roku 1913 zgod­nie z sys­te­mem tu­zi­no­wym jako 1135, od­wle­ka­jąc tym sa­mym na­dej­ście III ty­siąc­le­cia o kil­ka wie­ków.

Naj­słyn­niej­szym tu­zi­no­wym we­zwa­niem do bro­ni był ar­ty­kuł pi­sa­rza F. Emer­so­na An­drew­sa w „The Atlan­tic Mon­th­ly” z paź­dzier­ni­ka 1934 roku, któ­ry do­pro­wa­dził do utwo­rze­nia Du­ode­ci­mal So­cie­ty of Ame­ri­ca, w skró­cie DSA. (Póź­niej to­wa­rzy­stwo zmie­ni­ło na­zwę na The Do­ze­nal So­cie­ty of Ame­ri­ca, czy­li Ame­ry­kań­skie To­wa­rzy­stwo Tu­zi­no­we, po­nie­waż sło­wo du­ode­ci­mal uzna­no za zbyt na­wią­zu­ją­ce do na­zwy sys­te­mu dzie­siąt­ko­we­go, któ­ry za­mie­rza­no za­stą­pić, czy­li de­ci­mal). An­drews twier­dził, że sys­tem dzie­sięt­ny zo­stał przy­ję­ty z „nie­wy­ba­czal­ną krót­ko­wzrocz­no­ścią”, i za­sta­na­wiał się, czy odej­ście od nie­go „by­ło­by aż ta­kim strasz­nym po­świę­ce­niem”. Na po­cząt­ku DSA wy­ma­ga­ło, by kan­dy­da­ci na człon­ków zda­wa­li 4 te­sty z aryt­me­ty­ki tu­zi­no­wej, ale szyb­ko zre­zy­gno­wa­no z tego wa­run­ku. Wy­da­wa­ny do dziś „The Du­ode­ci­mal Bul­le­tin” to zna­ko­mi­te cza­so­pi­smo i je­dy­ne poza li­te­ra­tu­rą me­dycz­ną miej­sce, w któ­rym moż­na zna­leźć ar­ty­ku­ły na te­mat hek­sa­dak­ty­lii, czy­li wady roz­wo­jo­wej po­le­ga­ją­cej na wy­stę­po­wa­niu szó­ste­go pal­ca. (Jest ona częst­sza, niż się wy­da­je. Na oko­ło 500 osób 1 ro­dzi się z nad­licz­bo­wym pal­cem u ręki lub nogi). W 1959 roku po­wsta­ła bliź­nia­cza or­ga­ni­za­cja The Do­ze­nal So­cie­ty of Gre­at Bri­ta­in, a rok póź­niej od­by­ła się we Fran­cji pierw­sza mię­dzy­na­ro­do­wa kon­fe­ren­cja du­ode­cy­mal­na. Oka­za­ła się ona za­ra­zem ostat­nią. Nie­mniej jed­nak człon­ko­wie obu to­wa­rzystw nadal to­czą ba­ta­lię o tu­zi­no­wą przy­szłość, uwa­ża­jąc się za uci­ska­nych bo­jow­ni­ków wy­stę­pu­ją­cych prze­ciw­ko „ty­ra­nii dzie­siąt­ki”.

Logo DSA.

Mło­dzień­cza fa­scy­na­cja Mi­cha­ela de Vlie­ge­ra sys­te­mem dwu­nast­ko­wym nie mi­nę­ła mu z wie­kiem – dzi­siaj Mi­cha­el jest pre­ze­sem DSA. Jest tak za­go­rza­łym zwo­len­ni­kiem tego sys­te­mu, że uży­wa go na­wet w pra­cy do pro­jek­to­wa­nia cy­fro­wych mo­de­li ar­chi­tek­to­nicz­nych.

Choć pod­sta­wa 12 z pew­no­ścią uła­twia na­ukę ta­blicz­ki mno­że­nia, jej naj­więk­szą za­le­tą jest to, jak ra­dzi so­bie z ułam­ka­mi. Sys­tem dzie­sięt­ny czę­sto wy­pa­da nie­chluj­nie w dzie­le­niu. Na przy­kład jed­na trze­cia z 10 to 3,33… z trój­ka­mi cią­gną­cy­mi się w nie­skoń­czo­ność. Jed­na czwar­ta z 10 to 2,5, któ­re wy­ma­ga uży­cia prze­cin­ka dzie­sięt­ne­go. W sys­te­mie dwu­nast­ko­wym na­to­miast jed­na trze­cia z 10 to 4, a jed­na czwar­ta to 3. Ele­ganc­ko. W uję­ciu pro­cen­to­wym jed­na trze­cia sta­je się 40 pro­cen­ta­mi, a jed­na czwar­ta 30 pro­cen­ta­mi. (Oczy­wi­ście te­raz po­praw­nie na­le­ża­ło­by mó­wić nie o 40 pro­cen­tach czy set­nych, lecz o 40 gro­so­wych). Rze­czy­wi­ście, je­śli przyj­rzy­my się dzie­le­niu 100 przez licz­by od 1 do 12, wi­dać, że w sys­te­mie dwu­nast­ko­wym wy­cho­dzą zwięź­lej­sze licz­by (zwróć uwa­gę na śred­ni­ki w pra­wej ko­lum­nie, któ­re są tu­zi­no­wym od­po­wied­ni­kiem prze­cin­ka z sys­te­mu dzie­sięt­ne­go).

Uła­mek ze 100 Sys­tem dzie­sięt­ny Sys­tem tu­zi­no­wy

je­den 100 100

jed­na dru­ga 50 60

jed­na trze­cia 33,333… 40

jed­na czwar­ta 25 30

jed­na pią­ta 20 24;97…

jed­na szó­sta 16,666… 20

jed­na siód­ma 14,285… 18;6χ35…

jed­na ósma 12,5 16

jed­na dzie­wią­ta 11,111… 14

jed­na dzie­sią­ta 10 12;497…

jed­na je­de­na­sta 9,09… 11;11…

jed­na dwu­na­sta 8,333… 10

Wła­śnie dzię­ki więk­szej pre­cy­zji sys­tem dwu­nast­ko­wy le­piej spraw­dza się w pra­cy Mi­cha­ela. Choć klien­ci po­da­ją mu wy­mia­ry dzie­sięt­ne, on woli prze­kła­dać je na tu­zi­no­we.

– Mam wię­cej moż­li­wo­ści dzie­le­nia na pro­ste pro­por­cje – wy­ja­śnił. – Bez [nie­chluj­nych] ułam­ków ła­twiej mi uzgod­nić po­szcze­gól­ne ele­men­ty. Cza­sa­mi z po­wo­du ogra­ni­czeń cza­so­wych lub zmian w ostat­niej chwi­li mu­szę szyb­ko wpro­wa­dzić wie­le mo­dy­fi­ka­cji w ja­kimś miej­scu, któ­re nie pa­su­ją do wcze­śniej usta­lo­nej siat­ki. Dla­te­go po­trzeb­ne są prze­wi­dy­wal­ne sto­sun­ki. W sys­te­mie dwu­nast­ko­wym mam wię­cej moż­li­wo­ści do wy­bo­ru, bar­dziej schlud­nych i szyb­ciej mi idzie.

Mi­cha­el uwa­ża, że po­słu­gi­wa­nie się sys­te­mem dwu­nast­ko­wym za­pew­nia jego fir­mie prze­wa­gę, któ­rą po­rów­nu­je do prze­wa­gi, jaką zy­sku­ją nad kon­ku­ren­cją ko­la­rze i pły­wa­cy go­lą­cy nogi.

DSA chcia­ło daw­niej za­stą­pić sys­tem dzie­sięt­ny tu­zi­no­wym – i jego fun­da­men­ta­li­stycz­ne skrzy­dło nadal do tego dąży – ale am­bi­cje Mi­cha­ela są dużo skrom­niej­sze. Chce po pro­stu po­ka­zać, że ist­nie­je al­ter­na­ty­wa dla sys­te­mu dzie­sięt­ne­go i że być może le­piej od­po­wia­da ona na­szym po­trze­bom. Mi­cha­el zda­je so­bie spra­wę z tego, że nie ma szans na to, by świat po­rzu­cił dix na rzecz do­uze. Taka zmia­na by­ła­by i kło­po­tli­wa, i kosz­tow­na. Poza tym sys­tem dzie­sięt­ny więk­szo­ści lu­dzi wy­star­cza, zwłasz­cza w epo­ce kom­pu­te­rów, w któ­rej umie­jęt­no­ści z za­kre­su aryt­me­ty­ki pa­mię­cio­wej nie są już tak nie­odzow­ne.

– Po­wie­dział­bym, że tu­zin jest opty­mal­ną pod­sta­wą do ogól­nych ob­li­czeń, do co­dzien­ne­go użyt­ku, ale – do­dał – nie mam za­mia­ru ni­ko­go na­wra­cać.

Obec­nie DSA dąży do wpro­wa­dze­nia cyfr ozna­cza­ją­cych dek i el do Uni­co­de, czy­li ze­sta­wu zna­ków tek­sto­wych sto­so­wa­nych w więk­szo­ści kom­pu­te­rów. W to­wa­rzy­stwie tu­zi­no­wym to­czy się po­waż­na de­ba­ta do­ty­czą­ca wy­bo­ru sym­bo­li. Stan­dar­do­we zna­ki i , któ­ry­mi po­słu­gu­je się DSA, zo­sta­ły za­pro­jek­to­wa­ne w la­tach 40. XX wie­ku przez Wil­lia­ma Ad­di­so­na Dwig­gin­sa, jed­ne­go z czo­ło­wych ame­ry­kań­skich pro­jek­tan­tów czcio­nek, twór­cy ta­kich kro­jów pi­sma, jak Fu­tu­ra, Ca­le­do­nia czy Elec­tra. Isa­ac Pit­man wo­lał i . Fran­cuz Jean Es­sig pre­fe­ro­wał oraz . Nie­któ­rzy prak­tycz­ni człon­ko­wie for­su­ją * i #, po­nie­waż zna­ki te znaj­du­ją się już wśród 12 przy­ci­sków na kla­wia­tu­rze te­le­fo­nu. Kwe­stią spor­ną są rów­nież same li­czeb­ni­ki. Ma­nu­al of the Do­zen Sys­tem, na­pi­sa­ny w 1960 roku (czy­li w roku 1174 w sys­te­mie tu­zi­no­wym) pod­ręcz­nik na te­mat sys­te­mu tu­zi­no­we­go, za­le­ca na­zwy dek, el i do (oraz gro na 100, mo na 1000, a dla ko­lej­nych po­tęg do: do-mo, gro-mo, bi-mo oraz tri-mo). Pro­po­no­wa­no też, by po­zo­sta­wić ten, ele­ven i twe­lve, a po nich wpro­wa­dzić twel-one, twel-two i tak da­lej. Te­mat ter­mi­no­lo­gii jest tak draż­li­wy, że DSA sta­ra się nie fa­wo­ry­zo­wać żad­ne­go sys­te­mu. Trze­ba wiel­kiej ostroż­no­ści, by nie zmar­gi­na­li­zo­wać zwo­len­ni­ków kon­kret­nych sym­bo­li czy nazw.

W swo­im za­mi­ło­wa­niu do awan­gar­do­wych sys­te­mów licz­bo­wych Mi­cha­el nie po­prze­stał na dwu­na­st­ce. Eks­pe­ry­men­tu­je z sys­te­mem ósem­ko­wym, któ­re­go uży­wa cza­sem przy maj­ster­ko­wa­niu w domu.

– Uży­wam sys­te­mów jak na­rzę­dzi – wy­ja­śnił.

Do­szedł na­wet do sys­te­mu sześć­dzie­siąt­ko­we­go. Do 10 ist­nie­ją­cych cyfr mu­siał za­pro­jek­to­wać 50 do­dat­ko­wych sym­bo­li. Nie kie­ro­wał się prak­tycz­nym ce­lem. Pra­cę w sys­te­mie sześć­dzie­siąt­ko­wym po­rów­nał do wspi­na­nia się na wy­so­ką górę.

– Nie mogę tam za­miesz­kać. Zbyt wiel­kie zbio­ro­wi­sko. W do­li­nie jest [sys­tem] dzie­sięt­ny i tam mogę od­dy­chać. Ale mogę wy­brać się na górę, żeby zo­ba­czyć, jaki wi­dok się z niej roz­cią­ga.

Na­ry­so­wał ta­be­lę dziel­ni­ków w sys­te­mie sześć­dzie­siąt­ko­wym i z za­chwy­tem wpa­try­wał się w wi­docz­ne pra­wi­dło­wo­ści.

– Jest w tym nie­wąt­pli­wie pew­ne pięk­no – po­wie­dział.

Choć sys­tem sześć­dzie­siąt­ko­wy wy­da­je się wy­two­rem nad­zwy­czaj płod­nej wy­obraź­ni, w isto­cie ma bar­dzo dłu­gą hi­sto­rię. To naj­star­szy zna­ny sys­tem licz­bo­wy.

Jed­ną z naj­prost­szych form za­pi­su licz­bo­we­go jest kij z kar­ba­mi. Po­dob­ne roz­wią­za­nia sto­so­wa­no na ca­łym świe­cie. In­ko­wie li­czy­li, za­wią­zu­jąc wę­zeł­ki na sznur­kach, a lu­dzie ja­ski­nio­wi ma­lo­wa­li zna­ki na ska­łach; od mo­men­tu wy­na­le­zie­nia drew­nia­nych me­bli nie­któ­rzy – przy­najm­niej w prze­no­śni – ro­bi­li na­cię­cia na wez­gło­wiu łóż­ka. Naj­star­szy od­kry­ty „ar­te­fakt ma­te­ma­tycz­ny” to kość z Le­bom­bo – kość strzał­ko­wa pa­wia­na sprzed 35 000 lat zna­le­zio­na w ja­ski­ni w Su­azi, któ­ra ma 29 wy­ry­tych kre­sek. Być może ozna­cza­ją one cykl księ­ży­co­wy.

Jak do­wie­dzie­li­śmy się w po­przed­nim roz­dzia­le, lu­dzie po­tra­fią na­tych­miast roz­po­znać róż­ni­cę mię­dzy jed­nym przed­mio­tem a dwo­ma przed­mio­ta­mi, mię­dzy dwo­ma przed­mio­ta­mi a trze­ma, ale już po­wy­żej czte­rech przed­mio­tów robi się to trud­ne. Tak samo jest z na­cię­cia­mi. Aby li­czy­ło się wy­god­nie, trze­ba je po­gru­po­wać. W Wiel­kiej Bry­ta­nii przy­ję­ła się kon­wen­cja sta­wia­nia czte­rech kre­sek pio­no­wych i prze­kre­śla­nia ich uko­śnie pią­tą – jest to tak zwa­na „furt­ka o pię­ciu szta­che­tach”. W Ame­ry­ce Po­łu­dnio­wej z pierw­szych czte­rech kre­sek two­rzy się kwa­drat, a z pią­tej prze­kąt­ną tego kwa­dra­tu. Ja­poń­czy­cy, Chiń­czy­cy i Ko­re­ań­czy­cy mają bar­dziej skom­pli­ko­wa­ną me­to­dę po­le­ga­ją­cą na kon­stru­owa­niu sym­bo­lu , któ­ry zna­czy „po­praw­ny” lub „wła­ści­wy”. (Je­śli tra­fi ci się oka­zja, by wpaść na su­shi, po­proś kel­ne­ra, żeby po­ka­zał ci, jak pod­li­cza da­nia).

Sys­te­my sta­wia­nia kre­sek na świe­cie.

Oko­ło 8000 lat przed na­szą erą w ca­łym świe­cie sta­ro­żyt­nym po­ja­wił się zwy­czaj uży­wa­nia ma­łych ka­wał­ków gli­ny na ozna­cze­nie przed­mio­tów. Ta­kie „że­to­ny” pier­wot­nie słu­ży­ły do re­je­stro­wa­nia licz­by rze­czy, na przy­kład owiec do ku­pie­nia lub sprze­da­nia. Od­mien­ne że­to­ny ozna­cza­ły róż­ne przed­mio­ty bądź licz­by przed­mio­tów. Od­tąd owce moż­na było li­czyć za­ocz­nie, co znacz­nie uła­twi­ło pro­wa­dze­nie han­dlu i ho­dow­li. Tak na­ro­dzi­ły się dzi­siej­sze licz­by.

W IV ty­siąc­le­ciu przed na­szą erą w Su­me­rze, czy­li na te­re­nie obec­ne­go Ira­ku, sys­tem że­to­nów prze­kształ­cił się w pi­smo: za­ostrzo­ną trzci­ną wy­ci­ska­no zna­ki w mięk­kiej gli­nie. Licz­by przed­sta­wia­no na po­cząt­ku w po­sta­ci kó­łek lub kształ­tu pa­znok­cia. Oko­ło 2700 roku przed na­szą erą ry­lec miał już pła­skie ostrze, a od­ci­ski przy­po­mi­na­ły bar­dziej śla­dy pta­sich stóp, róż­nym licz­bom od­po­wia­da­ły kon­kret­ne od­ci­ski. Pi­smo to, na­zwa­ne kli­no­wym, za­po­cząt­ko­wa­ło dłu­gą hi­sto­rię za­chod­nich sys­te­mów pi­sma. Jest coś cu­dow­nie pa­ra­dok­sal­ne­go w tym, że li­te­ra­tu­ra po­wsta­ła jako pro­dukt ubocz­ny za­pi­su licz­bo­we­go wy­na­le­zio­ne­go przez me­zo­po­tam­skich rach­mi­strzów.

W pi­śmie kli­no­wym tyl­ko licz­by 1, 10, 60 oraz 3600 mia­ły swo­je sym­bo­le, z cze­go wy­ni­ka, że sys­tem ten był mie­szan­ką sześć­dzie­siąt­ko­we­go i dzie­sięt­ne­go, po­nie­waż pod­sta­wo­wy ze­staw liczb kli­no­wych prze­kła­da się na 1, 10, 60 i 60 · 60. Dla­cze­go Su­me­ro­wie gru­po­wa­li licz­by w sześć­dzie­siąt­ki, po­zo­sta­je jed­ną z naj­więk­szych nie­roz­wią­za­nych za­ga­dek w hi­sto­rii aryt­me­ty­ki. Nie­któ­rzy przy­pusz­cza­ją, że był to wy­nik po­łą­cze­nia wcze­śniej­szych sys­te­mów, piąt­ko­we­go i dwu­nast­ko­we­go, ale nie zna­le­zio­no roz­strzy­ga­ją­cych do­wo­dów na po­par­cie tej tezy.

Ba­bi­loń­czy­cy, któ­rzy osią­gnę­li ogrom­ny po­stęp w ma­te­ma­ty­ce i astro­no­mii, przy­ję­li su­me­ryj­ski sys­tem sześć­dzie­siąt­ko­wy, póź­niej zaś Egip­cja­nie, a za nimi Gre­cy wy­pra­co­wa­li me­to­dy li­cze­nia cza­su, wzo­ru­jąc się na spo­so­bie ba­bi­loń­skim – dla­te­go w dal­szym cią­gu mi­nu­tę dzie­li­my na 60 se­kund, a go­dzi­nę na 60 mi­nut. Tak bar­dzo przy­wy­kli­śmy do okre­śla­nia cza­su w sys­te­mie sześć­dzie­siąt­ko­wym, że nig­dy go nie kwe­stio­nu­je­my, choć wca­le nie jest to oczy­wi­ste. Re­wo­lu­cyj­na Fran­cja chcia­ła po­zbyć się tej nie­spój­no­ści z sys­te­mem dzie­sięt­nym. Kon­went Na­ro­do­wy, wpro­wa­dza­jąc w 1793 roku me­trycz­ny sys­tem miar i wag, pró­bo­wał na­rzu­cić dzie­sięt­ny sys­tem cza­su. Pod­pi­sa­no de­kret sta­no­wią­cy, że dzień dzie­lić się bę­dzie na 10 go­dzin po 100 mi­nut, a mi­nu­ta li­czyć bę­dzie 100 se­kund. Wy­szło dość zgrab­nie – dzień miał 100 000 se­kund za­miast 86 400 (60 · 60 · 24). Re­wo­lu­cyj­na se­kun­da była za­tem odro­bi­nę krót­sza od zwy­kłej se­kun­dy. Czas dzie­sięt­ny za­czął obo­wią­zy­wać w 1794 roku, pro­du­ko­wa­no na­wet ze­gar­ki z dzie­się­cio­go­dzin­ny­mi tar­cza­mi, ta­kie jak ten po­ka­za­ny obok. Nowy sys­tem oka­zał się jed­nak dez­orien­tu­ją­cy i po pół roku zo­stał za­rzu­co­ny. Go­dzi­na stu­mi­nu­to­wa nie jest tak wy­god­na jak go­dzi­na sześć­dzie­się­cio­mi­nu­to­wa, bo 100 nie ma tylu dziel­ni­ków co 60: 100 moż­na po­dzie­lić przez 2, 4, 5, 10, 20, 25 oraz 50, na­to­miast 60 przez 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 oraz 30. Po­raż­ka cza­su dzie­sięt­ne­go była jed­no­cze­śnie ma­łym zwy­cię­stwem frak­cji tu­zi­no­wej. Nie tyl­ko jest 12 dziel­ni­kiem 60, lecz tak­że 24, czy­li licz­by go­dzin w do­bie.

Kla­pę zro­bi­ła rów­nież współ­cze­sna kam­pa­nia na rzecz cza­su dzie­sięt­ne­go. W 1998 roku szwaj­car­ski kon­cern Swatch za­in­au­gu­ro­wał czas in­ter­ne­to­wy (Swatch In­ter­net Time), w któ­rym dzień zo­stał po­dzie­lo­ny na 1000 jed­no­stek na­zy­wa­nych be­ats, czy­li ude­rze­nia­mi (od­po­wied­nik 1 mi­nu­ty i 26,4 se­kun­dy). Pro­du­cent sprze­da­wał ze­gar­ki po­ka­zu­ją­ce jego „re­wo­lu­cyj­ną wi­zję cza­su” mniej wię­cej przez rok, by na ko­niec już bez fan­far usu­nąć je z ka­ta­lo­gu.

Re­wo­lu­cyj­ny ze­ga­rek z tar­czą dzie­sięt­ną i tra­dy­cyj­ną.

Fran­cu­zi i Szwaj­ca­rzy nie są jed­nak je­dy­ny­mi za­chod­ni­mi na­cja­mi, któ­re w nie­zbyt od­le­głej prze­szło­ści po­słu­gi­wa­ły się dzi­wacz­ny­mi me­to­da­mi li­cze­nia. Kar­bo­wa­nych desz­czu­łek, któ­re sta­ły się prze­sta­rza­łe już w chwi­li, kie­dy pierw­szy Su­me­ryj­czyk od­ci­snął pierw­szą ta­blicz­kę kli­no­wą, uży­wa­no w Wiel­kiej Bry­ta­nii jako wa­lu­ty aż do 1826 roku. Bank An­glii emi­to­wał tal­ly sticks, któ­rych war­tość mo­ne­tar­ną okre­śla­ła od­le­głość na­cię­cia od pod­sta­wy. W do­ku­men­cie da­to­wa­nym na rok 1180 lord skarb­nik Ri­chard Fit­zne­al usta­lił te war­to­ści w spo­sób na­stę­pu­ją­cy:

1000 — fun­tów gru­bość dło­ni

100 fun­tów — sze­ro­kość kciu­ka

20 fun­tów — sze­ro­kość ma­łe­go pal­ca

1 funt — gru­bość na­pęcz­nia­łe­go ziar­na jęcz­mie­nia

Skarb Pań­stwa sto­so­wał wła­ści­wie sys­tem split tal­lies: ka­wa­łek dre­wien­ka roz­sz­cze­pia­no wzdłuż na 2 czę­ści – stock i foil; daną war­tość za­zna­cza­no na po­łów­ce stock oraz na po­łów­ce foil, co było ro­dza­jem po­kwi­to­wa­nia. Gdy­bym po­ży­czył pie­nią­dze Ban­ko­wi An­glii, otrzy­mał­bym stock z na­cię­tym kar­bem ozna­cza­ją­cym kwo­tę. To wy­ja­śnia po­cho­dze­nie słów stoc­khol­der (ak­cjo­na­riusz, ang. hol­der zna­czy „po­sia­dacz”) i stock­bro­ker (ma­kler, ang. bro­ker zna­czy „po­śred­nik”). Bank za­trzy­mał­by zaś foil z ana­lo­gicz­nym na­cię­ciem.

Zwy­czaj ten za­rzu­co­no za­le­d­wie 200 lat temu. W 1834 roku Skarb Pań­stwa po­sta­no­wił spa­lić prze­sta­rza­łe dre­wien­ka w pie­cu pod Pa­ła­cem West­min­ster­skim, czy­li sie­dzi­bą bry­tyj­skie­go par­la­men­tu. Ogień jed­nak wy­mknął się spod kon­tro­li. Char­les Dic­kens na­pi­sał: „Od pie­ca za­pcha­ne­go po­nad mia­rę tymi idio­tycz­ny­mi pa­ty­ka­mi za­ję­ła się bo­aze­ria, od bo­aze­rii za­ję­ła się Izba Lor­dów, od Izby Lor­dów za­ję­ła się Izba Gmin; obie izby spa­li­ły się do­szczęt­nie”. Róż­ne in­stru­men­ty fi­nan­so­we wpły­wa­ją na pra­cę rzą­du, ale tyl­ko kar­bo­wa­ne desz­czuł­ki oba­li­ły par­la­ment. Przy oka­zji od­bu­do­wy pa­ła­cu wznie­sio­no wie­żę ze­ga­ro­wą, któ­ra szyb­ko sta­ła się naj­bar­dziej cha­rak­te­ry­stycz­ną bu­dow­lą Lon­dy­nu i zna­na jest jako Big Ben.

* * *

1 Tak na­praw­dę o ska­li lo­ga­ryt­micz­nej moż­na mó­wić wte­dy, gdy licz­by zbli­ża­ją się do sie­bie w okre­ślo­ny spo­sób. Ska­lę tę omó­wio­no sze­rzej na stro­nie 229.

2 Geo­r­ge Or­well, Rok 1984, przekł. To­masz Mir­ko­wicz, PIW, War­sza­wa 1988, s. 61 (przyp. red.).

3 Re­la­cję z za­wo­dów ogól­no­kra­jo­wych, któ­re mia­ły miej­sce w 2012 roku, moż­na prze­czy­tać i obej­rzeć na blo­gu au­to­ra: http://www.gu­ar­dian.co.uk/scien­ce/alex-ad­ven­tu­res-in-num­ber­land/2012/oct/29/ma­the­ma­tics (przyp. red.).

4 Fil­mik do­ku­men­tu­ją­cy to za­da­nie moż­na obej­rzeć na ka­na­le YouTu­be au­to­ra: http://www.youtu­be.com/user/Ale­xIn­Num­ber­land (przyp. red.).

5 Fil­mik do­ku­men­tu­ją­cy to za­da­nie moż­na obej­rzeć na ka­na­le YouTu­be au­to­ra: http://www.youtu­be.com/user/Ale­xIn­Num­ber­land (przyp. red.).

6 Mowa tu o roz­sze­rzo­nej, dwu­dzie­sto­sied­mio­li­te­ro­wej wer­sji al­fa­be­tu – kla­sycz­ny wa­riant skła­da się z 24 li­ter (przyp. red.).

7 Gru­pa 8 bóstw w in­dyj­skim epo­sie Ma­ha­bha­ra­ta.

8 Prze­kład za stro­ną: http://www.adam­kli­mow­ski.pl/ma­te­ma­ty­ka-we­dyj­ska.html (przyp. red.).

9 Zbior­nik wody na ka­płań­skim dzie­dziń­cu świą­ty­ni (przyp. red.).

10 Bi­blia Ty­siąc­le­cia On­li­ne, 1 Krl 7,23, Wy­daw­nic­two Pal­lot­ti­num, Po­znań 2003 (przyp. red.).

11 Nie­któ­re de­fi­ni­cje za­li­cza­ją do liczb na­tu­ral­nych 0 (przyp. red.).

12 Na­le­ża­ła do nich Wi­sła­wa Szym­bor­ska, któ­ra w wy­da­nym w 1976 roku to­mi­ku Wiel­ka licz­ba za­mie­ści­ła wiersz Licz­ba Pi (przyp. red.).

13 Sta­ła ma­te­ma­tycz­na e to licz­ba nie­wy­mier­na za­czy­na­ją­ca się od 2,718281828, któ­rą Gre­go­ry Chud­no­vsky na­zy­wa „po­dwój­nym Toł­sto­jem”, po­nie­waż ro­syj­ski pi­sarz uro­dził się w 1828 roku. Nie ma żad­ne­go związ­ku z rów­na­niem Ein­ste­ina E=mc2, w któ­rym E ozna­cza ener­gię.

ROZ­DZIAŁ PIĄ­TY

Nie­wia­do­ma x

Ma­te­ma­ty­cy za­zwy­czaj lu­bią sztucz­ki ma­gicz­ne. By­wa­ją one za­baw­ne i czę­sto skry­wa­ją w so­bie in­te­re­su­ją­cą teo­rię. Oto kla­sycz­na sztucz­ka, któ­ra przy oka­zji w zgrab­ny spo­sób uka­zu­je za­le­ty al­ge­bry. Wy­bierz do­wol­ną licz­bę trzy­cy­fro­wą, w któ­rej pierw­sza cy­fra róż­ni się od ostat­niej przy­najm­niej o 2 – na przy­kład 753. Za­pisz tę licz­bę od koń­ca: 357, a na­stęp­nie odej­mij mniej­szą licz­bę od więk­szej: 753 – 357 = 396. Do­daj tę licz­bę do jej wer­sji wspak: 396 + 693. Suma wy­no­si 1089.

Spró­buj po­now­nie z inną licz­bą, po­wiedz­my 421.

421 – 124 = 297

297 + 792 = 1089

Wy­nik jest taki sam. Tak na­praw­dę nie ma zna­cze­nia, od ja­kiej trzy­cy­fro­wej licz­by za­czniesz, za­wsze na ko­niec otrzy­masz 1089. Jak za do­tknię­ciem cza­ro­dziej­skiej różdż­ki zni­kąd po­ja­wia się 1089 – ni­czym ska­ła po­śród ru­cho­mych pia­sków lo­so­wo wy­bra­nych liczb. Fakt, że za­czy­na­jąc od do­wol­ne­go punk­tu wyj­ścia, po paru pro­stych dzia­ła­niach otrzy­mu­je­my ten sam wy­nik, wpra­wia w kon­ster­na­cję. Ma to jed­nak swo­je wy­tłu­ma­cze­nie i wkrót­ce je po­zna­my. Ta­jem­ni­ca po­wra­ca­ją­ce­go 1089 wy­ja­śnia się nie­mal od razu, gdy pro­blem zo­sta­nie za­pi­sa­ny za po­mo­cą sym­bo­li za­miast liczb.

Choć za­ba­wy licz­ba­mi są po­wra­ca­ją­cym mo­ty­wem w hi­sto­rii od­kryć ma­te­ma­tycz­nych, sama ma­te­ma­ty­ka na­ro­dzi­ła się jako na­rzę­dzie do roz­wią­zy­wa­nia pro­ble­mów prak­tycz­nych. Pa­pi­rus Rhin­da, któ­ry po­cho­dzi mniej wię­cej z 1600 roku przed na­szą erą, to naj­ob­szer­niej­szy za­cho­wa­ny sta­ro­egip­ski do­ku­ment ma­te­ma­tycz­ny. Za­wie­ra 84 pro­ble­my do­ty­czą­ce ta­kich dzie­dzin, jak mier­nic­two, ra­chun­ko­wość czy spo­sób po­dzia­łu da­nej licz­by bo­chen­ków na daną licz­bę lu­dzi.

Egip­cja­nie for­mu­ło­wa­li pro­ble­my w spo­sób re­to­rycz­ny. W pro­ble­mie 30. pa­pi­ru­su Rhin­da pada py­ta­nie: „Je­śli skry­ba mówi, jaka jest ster­ta, któ­rej + wy­nie­sie 10, niech po­słu­cha”. „Ster­ta” to okre­śle­nie nie­wia­do­mej, obec­nie ozna­cza­nej za po­mo­cą x, któ­ry jest pod­sta­wo­wym i nie­zbęd­nym sym­bo­lem współ­cze­snej al­ge­bry. Dzi­siaj po­wie­dzie­li­by­śmy, że w pro­ble­mie 30. za­war­te jest py­ta­nie, ile wy­no­si x, je­śli + po­mno­żo­ne przez x rów­na się 10. Lub zwięź­lej: ile wy­no­si x, je­śli ( + ) x = 10?

Po­nie­waż Egip­cja­nie nie mie­li sym­bo­licz­nych na­rzę­dzi, ja­ki­mi obec­nie dys­po­nu­je­my, na­wia­sy, zna­ki rów­no­ści czy iksy, roz­wią­zy­wa­li po­wyż­sze za­da­nie me­to­dą prób i błę­dów. Naj­pierw sza­co­wa­li nie­wia­do­mą, a po­tem usta­la­li od­po­wiedź. Me­to­da ta na­zy­wa się „re­gu­łą fal­si” i przy­po­mi­na nie­co grę w gol­fa. Kie­dy pił­ka upad­nie na gre­en, ła­twiej zo­ba­czyć, jak umie­ścić ją w doł­ku. Ana­lo­gicz­nie, jak już mamy ja­kąś od­po­wiedź, choć­by złą, wie­my, jak zbli­żyć się do po­praw­nej. Współ­cze­sna me­to­da roz­wią­za­nia po­le­ga na­to­miast na po­łą­cze­niu ułam­ków w rów­na­nie ze zmien­ną x w taki spo­sób, że:

( + ) x = 10

co rów­na się

( + ) x = 10

czy­li

x = 10

co da­lej uprasz­cza się do

x = 10 ·

i na ko­niec

Za­pis sym­bo­licz­ny bar­dzo uła­twia ży­cie.

Egip­ski hie­ro­glif ozna­cza­ją­cy do­da­wa­nie to , para nóg idą­cych od pra­wej do le­wej. Odej­mo­wa­nie ozna­cza­no za po­mo­cą , pary nóg idą­cych od le­wej do pra­wej. Sym­bo­le dzia­łań aryt­me­tycz­nych ewo­lu­owa­ły tak jak cy­fry.

Egip­cja­nie nie mie­li jed­nak sym­bo­lu na ozna­cze­nie nie­wia­do­mej, nie mie­li go też Pi­ta­go­ras czy Eu­kli­des. Dla nich ma­te­ma­ty­ka była geo­me­trycz­na, zwią­za­na z tym, co moż­na skon­stru­ować. Nie­wia­do­ma wy­ma­ga­ła wyż­sze­go po­zio­mu abs­trak­cji. Pierw­szym ma­te­ma­ty­kiem grec­kim, któ­ry wpro­wa­dził sym­bol nie­wia­do­mej, był Dio­fan­tos, któ­ry uży­wał li­te­ry sig­ma (). Kwa­drat nie­wia­do­mej ozna­czał jako ΔY, a sze­ścian jako KY. Choć za­pis taki był wów­czas prze­ło­mem, po­nie­waż umoż­li­wiał bar­dziej zwię­złe wy­ra­ża­nie pro­ble­mów, jed­no­cze­śnie dez­orien­to­wał, po­nie­waż w prze­ci­wień­stwie do x, x2 i x3 nie za­cho­dził oczy­wi­sty wi­zu­al­ny zwią­zek mię­dzy a jego po­tę­ga­mi ΔY i KY. Jed­nak mimo nie­do­stat­ków tych sym­bo­li Grek prze­szedł do hi­sto­rii jako oj­ciec al­ge­bry.

Dio­fan­tos żył w Alek­san­drii mię­dzy I a III wie­kiem na­szej ery. O jego ży­ciu pry­wat­nym wia­do­mo tyle, ile mówi za­gad­ko­we epi­ta­fium, któ­re zna­la­zło się w grec­kim zbio­rze ła­mi­głó­wek i po­noć było wy­ry­te na jego na­grob­ku:

Prze­chod­niu! Pod tym ka­mie­niem spo­czy­wa­ją pro­chy Dio­fan­to­sa, któ­ry zmarł w głę­bo­kiej sta­ro­ści. Przez szó­stą część swe­go dłu­gie­go ży­cia był dziec­kiem, a dwu­na­stą mło­dzień­cem. Przez na­stęp­ną siód­mą część ży­cia był nie­żo­na­tym. W pięć lat po po­ję­ciu mał­żon­ki uro­dził się syn, któ­ry do­żył do wie­ku dwa­kroć mniej­sze­go od lat ojca. W czte­ry lata po śmier­ci syna za­snął snem wiecz­nym Dio­fan­tos, opła­ki­wa­ny przez swych naj­bliż­szych. Po­wiedz, je­śli umiesz ob­li­czyć, w ja­kim umarł on wie­ku?1.

Sło­wa te za­pew­ne nie są do­kład­nym opi­sem sy­tu­acji ro­dzin­nej Dio­fan­to­sa, ra­czej hoł­dem zło­żo­nym czło­wie­ko­wi, któ­re­go po­my­sło­wy za­pis za­po­cząt­ko­wał nowe me­to­dy roz­wią­zy­wa­nia ta­kich pro­ble­mów, jak wy­żej przy­to­czo­ny. Moż­li­wość ja­sne­go wy­ra­ża­nia zdań ma­te­ma­tycz­nych bez dez­orien­tu­ją­cej re­to­ry­ki dała asumpt do po­wsta­nia no­wych tech­nik. Za­nim po­ka­żę, jak roz­wią­zać epi­ta­fium, przyj­rzyj­my się kil­ku z nich.

Al­ge­bra to ter­min ogól­ny ozna­cza­ją­cy ma­te­ma­ty­kę rów­nań, w któ­rej licz­by i dzia­ła­nia za­pi­sy­wa­ne są za po­mo­cą sym­bo­li. Samo sło­wo ma cie­ka­wą hi­sto­rię. W śre­dnio­wiecz­nej Hisz­pa­nii za­kła­dy bal­wier­skie mia­ły szyl­dy z na­pi­sem Al­ge­bri­sta y San­gra­dor. Wy­ra­że­nie to zna­czy do­słow­nie „na­sta­wiacz ko­ści i upusz­czacz krwi” i opi­su­je za­kres usług świad­czo­nych nie­gdyś przez bal­wie­rzy, czy­li fry­zje­rów wy­ko­nu­ją­cych też za­bie­gi lecz­ni­cze. (To dla­te­go po­pu­lar­ny w Wiel­kiej Bry­ta­nii słu­pek przed mę­skim za­kła­dem fry­zjer­skim po­ma­lo­wa­ny jest w czer­wo­no-bia­łe pa­ski: czer­wień sym­bo­li­zu­je krew, a biel ban­da­że).

Rdze­niem sło­wa al­ge­bri­sta jest arab­skie al-dżabr, któ­re ozna­cza nie tyl­ko pry­mi­tyw­ne me­to­dy chi­rur­gicz­ne, lecz tak­że przy­wra­ca­nie lub po­now­ne łą­cze­nie. W dzie­wię­cio­wiecz­nym Bag­da­dzie Mu­ham­mad Ibn Musa Al-Chu­wa­ri­zmi na­pi­sał pod­ręcz­nik do ma­te­ma­ty­ki za­ty­tu­ło­wa­ny Hi­sab al-dżabr w’al-mu­ka­ba­la (O od­twa­rza­niu i prze­ciw­sta­wia­niu). Ob­ja­śnia w nim 2 tech­ni­ki roz­wią­zy­wa­nia pro­ble­mów aryt­me­tycz­nych. Al-Chu­wa­ri­zmi za­pi­sy­wał pro­ble­my w spo­sób re­to­rycz­ny, ale tu­taj dla uła­twie­nia wy­ra­zi­my je za po­mo­cą współ­cze­snych sym­bo­li i ter­mi­no­lo­gii.

Roz­waż­my rów­na­nie A = B – C.

Al-Chu­wa­ri­zmi opi­sał „od­twa­rza­nie” jako pro­ces, w wy­ni­ku któ­re­go rów­na­nie przy­bie­ra po­stać A + C = B. In­a­czej mó­wiąc, wy­raz ujem­ny moż­na za­mie­nić na do­dat­ni po­przez prze­nie­sie­nie go na dru­gą stro­nę zna­ku rów­no­ści.

A te­raz roz­waż­my rów­na­nie A = B + C.

„Prze­ciw­sta­wia­nie” to pro­ces, któ­ry zmie­nia to rów­na­nie w A – C = B.

Dzię­ki współ­cze­sne­mu za­pi­so­wi wi­dzi­my te­raz, że za­rów­no „od­twa­rza­nie”, jak i „prze­ciw­sta­wia­nie” są przy­kła­da­mi ogól­nej za­sa­dy, że co­kol­wiek robi się z jed­ną stro­ną rów­na­nia, na­le­ży zro­bić rów­nież z dru­gą. W pierw­szym rów­na­niu do­da­li­śmy C do obu stron. W dru­gim rów­na­niu od­ję­li­śmy C od obu stron. Po­nie­waż wy­ra­że­nia po obu stro­nach rów­na­nia są z de­fi­ni­cji rów­ne, mu­szą tę rów­ność za­cho­wać, kie­dy po obu stro­nach doda się lub odej­mie inny wy­raz. Z tego wy­ni­ka, że je­śli po­mno­ży­my jed­ną stro­nę przez daną wiel­kość, mu­si­my przez tę samą wiel­kość po­mno­żyć dru­gą stro­nę. To samo do­ty­czy dzie­le­nia i in­nych dzia­łań.

Znak rów­no­ści jest jak płot od­dzie­la­ją­cy ogro­dy 2 ry­wa­li­zu­ją­cych ze sobą ro­dzin. Co­kol­wiek Jo­ne­so­wie zro­bią w swo­im ogród­ku, Smi­tho­wie po są­siedz­ku po­wtó­rzą.

Arab­ski ma­te­ma­tyk nie od­krył za­sad „od­twa­rza­nia” i „prze­ciw­sta­wia­nia” – dzia­ła­nia te moż­na zna­leźć rów­nież u Dio­fan­to­sa – ale kie­dy dzie­ło Al-Chu­wa­ri­zmie­go prze­tłu­ma­czo­no na ła­ci­nę, ty­tu­ło­we al-dżabr sta­ło się al­ge­brą. Pra­ce Al-Chu­wa­ri­zmie­go na te­mat al­ge­bry oraz hin­du­skie­go sys­te­mu dzie­sięt­ne­go tak roz­po­wszech­ni­ły się w Eu­ro­pie, że jego na­zwi­sko zo­sta­ło uwiecz­nio­ne w po­sta­ci po­ję­cia na­uko­we­go: Al-Chu­wa­ri­zmi prze­kształ­cił się w Al­go­ri­smus, Al­go­ri­th­mus, a na ko­niec w al­go­rytm.

Mię­dzy XV a XVII stu­le­ciem re­to­rycz­ny opis zdań ma­te­ma­tycz­nych za­czął ustę­po­wać pierw­szeń­stwa za­pi­so­wi sym­bo­licz­ne­mu. Miej­sce słów po­wo­li zaj­mo­wa­ły li­te­ry. Dio­fan­tos za­po­cząt­ko­wał sto­so­wa­nie sym­bo­li li­te­ro­wych, wpro­wa­dza­jąc jako nie­wia­do­mą, ale zwy­czaj ten spo­pu­la­ry­zo­wał do­pie­ro Fra­nço­is Vi­ète w szes­na­sto­wiecz­nej Fran­cji. Vi­ète za­pro­po­no­wał, by na ozna­cze­nie nie­wia­do­mych uży­wać pi­sa­nych wiel­ką li­te­rą sa­mo­gło­sek A, E, I, O, U oraz Y, a wiel­ko­ści zna­ne za­pi­sy­wać jako spół­gło­ski B, C, D i tak da­lej.

Kil­ka­dzie­siąt lat po śmier­ci Vi­ète’a Kar­te­zjusz opu­bli­ko­wał Roz­pra­wę o me­to­dzie. Za­sto­so­wał w niej ma­te­ma­tycz­ny spo­sób ro­zu­mo­wa­nia do my­śli ludz­kiej. Za­czął od po­da­nia w wąt­pli­wość swo­ich prze­ko­nań i po od­rzu­ce­niu wszyst­kie­go po­zo­sta­ła mu je­dy­nie pew­ność, że ist­nie­je. Ar­gu­ment, że nie moż­na wąt­pić we wła­sne ist­nie­nie, po­nie­waż my­śle­nie wy­ma­ga ist­nie­nia tego, kto my­śli, zo­stał pod­su­mo­wa­ny w Roz­pra­wie jako my­ślę, więc je­stem. Zda­nie to na­le­ży do naj­słyn­niej­szych cy­ta­tów wszech cza­sów, a książ­ka uwa­ża­na jest za ka­mień wę­giel­ny za­chod­niej fi­lo­zo­fii. Kar­te­zjusz pier­wot­nie za­pla­no­wał ją jako wstęp do 3 anek­sów za­wie­ra­ją­cych inne pra­ce na­uko­we. Je­den z nich, La géo­métrie, oka­zał się rów­nie prze­ło­mo­wy w hi­sto­rii ma­te­ma­ty­ki.

W La géo­métrie Kar­te­zjusz wpro­wa­dził za­pis, któ­ry stał się stan­dar­do­wą no­ta­cją al­ge­bra­icz­ną. Jest to pierw­sza pu­bli­ka­cja wy­glą­da­ją­ca jak współ­cze­sna książ­ka do ma­te­ma­ty­ki, peł­na li­ter a, b i c oraz x, y i z. Kar­te­zjusz zde­cy­do­wał, by uży­wać ma­łych li­ter z po­cząt­ku al­fa­be­tu na wiel­ko­ści zna­ne i ma­łych li­ter z koń­ca al­fa­be­tu na nie­wia­do­me. Kie­dy jed­nak książ­ka była w dru­ku, dru­ka­rzo­wi za­czę­ło bra­ko­wać li­ter. Za­py­tał więc, czy ma ja­kieś zna­cze­nie, czy uży­wa x, y czy z. Kar­te­zjusz od­po­wie­dział, że nie, więc dru­karz wy­brał x, po­nie­waż w ję­zy­ku fran­cu­skim jest ono rza­dziej uży­wa­ne niż y lub z. W re­zul­ta­cie x utrwa­li­ło się w ma­te­ma­ty­ce – i kul­tu­rze w ogó­le – jako sym­bol nie­wia­do­mej. Dla­te­go zja­wi­ska pa­ra­nor­mal­ne tra­fia­ją do Ar­chi­wum X i dla­te­go Wil­helm Roe­ntgen za­pro­po­no­wał na­zwę pro­mie­nie X. Gdy­by nie pro­ble­my z ogra­ni­czo­nym za­pa­sem czcion­ki dru­kar­skiej, na okre­śle­nie nie­uchwyt­nych cech gwiaz­dy przy­ję­ło­by się może wy­ra­że­nie Y-fac­tor, a przy­wód­ca po­li­tycz­ne­go ru­chu czar­no­skó­rych Ame­ry­ka­nów mógł­by na­zy­wać się Mal­colm Z.

Sym­bo­li­ka Kar­te­zju­sza wy­ma­za­ła wszel­kie śla­dy re­to­ry­ki w za­pi­sie. Rów­na­nie, któ­re Luca Pa­cio­li w 1494 roku ujął­by jako:

4 Cen­sus p 3 de 5 re­bus ae 0

a Vi­ète za­pi­sał­by w 1591 roku w po­sta­ci:

4 in A quad – 5 in A pla­no + 3 aequ­atur 0

w 1637 roku Kar­te­zjusz osta­tecz­nie usta­lił jako:

4x2 – 5x + 3 = 0

Za­stą­pie­nie słów li­te­ra­mi i sym­bo­la­mi nie było je­dy­nie czymś w ro­dza­ju wy­god­nej ste­no­gra­fii. Sym­bol x na po­cząt­ku sta­no­wił tyl­ko skrót od „nie­wia­do­mej”, ale raz wy­my­ślo­ny stał się po­tęż­nym na­rzę­dziem my­śle­nia. Sło­wo czy skrót nie może być pod­da­wa­ne dzia­ła­niom ma­te­ma­tycz­nym w taki spo­sób, jak sym­bol w ro­dza­ju x. Licz­by umoż­li­wi­ły li­cze­nie, ale sym­bo­le li­te­ro­we za­pro­wa­dzi­ły ma­te­ma­ty­kę da­le­ko poza do­me­nę ję­zy­ka.

W cza­sach, kie­dy pro­ble­my opi­sy­wa­no w spo­sób re­to­rycz­ny, jak w Egip­cie, roz­wią­zy­wa­no je za po­mo­cą po­my­sło­wych, lecz dość cha­otycz­nych me­tod. Ci naj­daw­niej­si ma­te­ma­ty­cy byli jak od­kryw­cy, któ­rzy utknę­li we mgle i mu­sie­li po­ru­szać się po omac­ku, bez punk­tów orien­ta­cyj­nych. Gdy jed­nak pro­blem wy­ra­żo­no za po­mo­cą sym­bo­li, mgła ustą­pi­ła, uka­zu­jąc pre­cy­zyj­nie na­kre­ślo­ny świat.

Cu­dow­ne w al­ge­brze jest to, że czę­sto już samo za­pi­sa­nie pro­ble­mu w po­sta­ci sym­bo­li ozna­cza, iż pro­blem zo­stał wła­ści­wie roz­wią­za­ny.

Spójrz­my na wspo­mnia­ne wcze­śniej epi­ta­fium Dio­fan­to­sa. W ja­kim wie­ku umarł? Je­śli li­te­rą D ozna­czy­my wiek, w któ­rym zmarł Dio­fan­tos, to z epi­ta­fium wy­ni­ka, że przez lat był dziec­kiem, przez ko­lej­ne lat był mło­dzień­cem, a po ko­lej­nych lat się oże­nił. Pięć lat póź­niej uro­dził mu się syn, któ­ry żył lat, a czte­ry lata póź­niej sam Dio­fan­tos od­dał ostat­nie tchnie­nie. Suma tych wszyst­kich od­stę­pów cza­su wy­no­si D, po­nie­waż D to licz­ba lat, ja­kie prze­żył Dio­fan­tos. A za­tem:

Naj­mniej­szą wspól­ną wie­lo­krot­no­ścią liczb 6, 12, 7 i 2 jest 84, więc po spro­wa­dze­niu do wspól­ne­go mia­now­ni­ka:

Co z ko­lei moż­na prze­kształ­cić do po­sta­ci:

Czy­li:

Po skró­ce­niu ułam­ka:

Prze­no­sząc D na jed­ną stro­nę:

Po prze­mno­że­niu obu stron przez od­wrot­ność ułam­ka:

Oj­ciec al­ge­bry zmarł w wie­ku 84 lat.

Te­raz mo­że­my wró­cić do sztucz­ki z po­cząt­ku roz­dzia­łu. Pro­si­łem o po­da­nie trzy­cy­fro­wej licz­by, w któ­rej pierw­sza cy­fra róż­ni się od trze­ciej przy­najm­niej o 2. Na­stęp­nie po­pro­si­łem o za­pi­sa­nie licz­by wspak – w ten spo­sób po­wsta­ła dru­ga licz­ba. Po­tem na­le­ża­ło od­jąć mniej­szą licz­bę od więk­szej. Je­śli więc na po­cząt­ku było 614, po od­wró­ce­niu jest 416. Za­tem 614 – 416 = 198. Na ko­niec po­pro­si­łem o do­da­nie tego wy­ni­ku do jego od­wró­co­nej po­sta­ci. W tym wy­pad­ku jest to 198 + 891.

Tak jak po­przed­nio, wy­nik wy­no­si 1089. Za­wsze taki bę­dzie, a al­ge­bra wy­ja­śnia dla­cze­go. Naj­pierw jed­nak mu­si­my zna­leźć spo­sób opi­sa­nia na­sze­go bo­ha­te­ra, czy­li trzy­cy­fro­wej licz­by, w któ­rej pierw­sza cy­fra róż­ni się od trze­ciej przy­najm­niej o 2.

Roz­waż­my licz­bę 614. Jest ona rów­na 600 + 10 + 4. Każ­dą trzy­cy­fro­wą licz­bę za­pi­sa­ną jako abc moż­na za­pi­sać w po­sta­ci 100a + 10b + c (uwa­ga: abc w tym wy­pad­ku nie ozna­cza a · b · c). Na­zwij­my więc na­szą po­cząt­ko­wą licz­bę abc, gdzie a, b i c są cy­fra­mi. Dla uła­twie­nia niech a bę­dzie więk­sze niż c.

Po od­wró­ce­niu abc otrzy­mu­je­my cba, co moż­na roz­wi­nąć jako 100c + 10b + a.

Mu­si­my od­jąć cba od abc, aby uzy­skać wy­nik po­śred­ni:

(100a + 10b + c) – (100c + 10b + a)

Wy­ra­zy z b się zno­szą, więc wy­nik po­śred­ni uzy­sku­je po­stać:

99a – 99c,

A po wy­łą­cze­niu wspól­ne­go czyn­ni­ka przed na­wias:

99(a – c)

Na pod­sta­wo­wym po­zio­mie al­ge­bra nie wy­ma­ga spe­cjal­nej prze­ni­kli­wo­ści: wy­star­czy sto­so­wać pew­ne re­gu­ły do­tąd, aż wy­ra­że­nie zo­sta­nie mak­sy­mal­nie uprosz­czo­ne.

Wy­raz 99(a – c) ma tak zgrab­ną po­stać, jak tyl­ko się da.

Po­nie­waż pierw­sza cy­fra abc róż­ni się od ostat­niej przy­najm­niej o 2, więc róż­ni­ca a i c wy­no­si 2, 3, 4, 5, 6, 7 lub 8.

Za­tem 99(a – c) ma jed­ną z na­stę­pu­ją­cych war­to­ści: 198, 297, 396, 495, 594, 693 lub 792. Obo­jęt­nie od ja­kiej trzy­cy­fro­wej licz­by za­czę­li­śmy, po od­ję­ciu jej od wer­sji od­wró­co­nej mamy wy­nik rów­ny jed­nej z po­wyż­szych 8 liczb.

Po­zo­sta­je do­dać licz­bę po­śred­nią do jej od­wró­co­nej wer­sji.

Po­wtó­rzy­my to, co zro­bi­li­śmy wcze­śniej, tym ra­zem z licz­bą po­śred­nią def, któ­ra jest rów­na 100d + 10e + f. Chce­my do­dać def do fed, czy­li jej wer­sji od­wró­co­nej. Je­śli przyj­rzy­my się uważ­nie po­wyż­szej li­ście moż­li­wych liczb po­śred­nich, zo­ba­czy­my, że środ­ko­wa licz­ba e to za­wsze 9. Poza tym pierw­sza i trze­cia licz­ba za­wsze su­mu­ją się do 9, in­ny­mi sło­wy d + f = 9. Za­tem def + fed rów­na się:

100d + 10e + f + 100f + 10e + d

czy­li:

100(d + f ) + 20e + d + f

co rów­na się:

100 · 9 + 20 · 9 + 9

czy­li:

900 + 180 + 9

Ho­kus-po­kus! Suma wy­no­si 1089. Za­gad­ka roz­wi­kła­na.

Za­sko­cze­nie w sztucz­ce z 1089 bie­rze się stąd, że wy­cho­dząc od lo­so­wo wy­bra­nej licz­by, na koń­cu za­wsze otrzy­ma­my pew­ną sta­łą licz­bę. Al­ge­bra po­zwa­la nam wyj­rzeć poza sztucz­ki, umoż­li­wia przej­ście od kon­kre­tu do abs­trak­cji – od ob­ser­wa­cji za­cho­wa­nia kon­kret­nej licz­by do ob­ser­wa­cji za­cho­wa­nia do­wol­nej licz­by. Jest nie­za­stą­pio­nym na­rzę­dziem, nie tyl­ko w ma­te­ma­ty­ce. Po­zo­sta­łe na­uki rów­nież ko­rzy­sta­ją z ję­zy­ka rów­nań.

W 1621 roku we Fran­cji uka­za­ło się ła­ciń­skie tłu­ma­cze­nie ar­cy­dzie­ła Dio­fan­to­sa Ari­th­mēti­cá. Edy­cja na nowo roz­bu­dzi­ła za­in­te­re­so­wa­nie sta­ro­żyt­ny­mi me­to­da­mi roz­wią­zy­wa­nia pro­ble­mów, co w po­łą­cze­niu z wy­god­niej­szym za­pi­sem cyfr i sym­bo­li za­po­cząt­ko­wa­ło nową epo­kę my­śli ma­te­ma­tycz­nej. Mniej za­wi­ła no­ta­cja wpro­wa­dzi­ła więk­szą przej­rzy­stość w opi­sy­wa­niu pro­ble­mów. Pier­re de Fer­mat, urzęd­nik służ­by cy­wil­nej i sę­dzia z Tu­lu­zy, był za­pa­lo­nym ma­te­ma­ty­kiem ama­to­rem, któ­ry swój eg­zem­plarz Aryt­me­ty­ki za­peł­niał wła­sny­mi roz­my­śla­nia­mi o licz­bach. Przy czę­ści po­świę­co­nej trój­kom pi­ta­go­rej­skim – do­wol­ny ze­staw liczb na­tu­ral­nych a, b i c ta­kich, że a2+ b2= c2, na przy­kład 3, 4 i 5 – Fer­mat za­no­to­wał na mar­gi­ne­sie, że nie da się zna­leźć ta­kich war­to­ści a, b i c, że a3+ b3= c3. Nie mógł rów­nież zna­leźć ta­kich war­to­ści a, b i c, że a4+ b4= c4. Fer­mat za­pi­sał w swo­jej Aryt­me­ty­ce, że dla do­wol­nej licz­by n więk­szej niż 2 nie ist­nie­ją licz­by a, b i c, któ­re speł­nia­ły­by rów­na­nie an + bn = cn. „Zna­la­złem istot­nie za­dzi­wia­ją­cy do­wód tego twier­dze­nia, ale brak tu miej­sca, aby go umie­ścić”2 – do­dał.

Fer­mat nig­dy nie przed­sta­wił do­wo­du – ani za­dzi­wia­ją­ce­go, ani żad­ne­go in­ne­go – na swo­je twier­dze­nie, na­wet gdy nie ogra­ni­cza­ły go wą­skie mar­gi­ne­sy. Za­pi­ski w Aryt­me­ty­ce mogą świad­czyć o tym, że zna­lazł do­wód bądź wie­rzył, iż go zna­lazł, a może po pro­stu były pro­wo­ka­cją. Tak czy owak, jego zu­chwa­łe zda­nie oka­za­ło się fan­ta­stycz­ną przy­nę­tą dla ca­łych po­ko­leń ma­te­ma­ty­ków. Zy­ska­ło na­zwę wiel­kie­go twier­dze­nia Fer­ma­ta i było naj­słyn­niej­szym nie­roz­wią­za­nym pro­ble­mem ma­te­ma­ty­ki, do­pó­ki An­drew Wi­les nie roz­gryzł go w 1995 roku. Al­ge­bra po­tra­fi być bar­dzo upo­ka­rza­ją­ca – ła­twość po­sta­wie­nia pro­ble­mu nie idzie w pa­rze z ła­two­ścią roz­wią­za­nia. Do­wód Wi­le­sa jest tak skom­pli­ko­wa­ny, że za­pew­ne ro­zu­mie go nie wię­cej niż kil­ka­set osób.

Udo­sko­na­le­nie za­pi­su ma­te­ma­tycz­ne­go do­pro­wa­dzi­ło do od­kry­cia no­wych po­jęć. Ogrom­nie waż­nym wy­na­laz­kiem z po­cząt­ku XVII wie­ku był lo­ga­rytm, wy­my­ślo­ny przez szkoc­kie­go ma­te­ma­ty­ka Joh­na Na­pie­ra, lor­da Mer­chi­ston, któ­ry za ży­cia cie­szył się sła­wą głów­nie jako au­tor prac z dzie­dzi­ny teo­lo­gii. Na­pier na­pi­sał be­st­sel­le­ro­wą po­le­mi­kę pro­te­stanc­ką, w któ­rej stwier­dził, że pa­pież jest an­ty­chry­stem, i prze­po­wie­dział, że dzień Sądu Osta­tecz­ne­go na­stą­pi mię­dzy ro­kiem 1688 a 1700. Wie­czo­ra­mi lu­bił prze­cha­dzać się do­ko­ła swo­jej wie­ży w po­włó­czy­stych sza­tach, czym mię­dzy in­ny­mi zy­skał opi­nię ne­kro­man­ty. Eks­pe­ry­men­to­wał z na­wo­za­mi w roz­le­głym ma­jąt­ku ziem­skim pod Edyn­bur­giem i wy­my­ślił kon­cep­cję urzą­dzeń woj­sko­wych, ta­kich jak ry­dwan z „ru­cho­mym wy­lo­tem z me­ta­lu”, któ­ry bę­dzie „siać znisz­cze­nie na wszyst­kie stro­ny”, a tak­że ma­chi­ny do „pły­wa­nia pod wodą z nur­ka­mi oraz in­ny­mi for­te­la­mi do szko­dze­nia nie­przy­ja­cio­łom” – pier­wo­wzo­rów czoł­gu i ło­dzi pod­wod­nej. Jako ma­te­ma­tyk spo­pu­la­ry­zo­wał sto­so­wa­nie prze­cin­ka dzie­sięt­ne­go, a tak­że wy­my­ślił kon­cep­cję lo­ga­ryt­mów, któ­rych na­zwę ukuł od grec­kich słów lo­gos, czy­li sto­su­nek, oraz ari­th­mos, czy­li licz­ba.

Pro­szę się nie zra­żać na­stę­pu­ją­cą de­fi­ni­cją: lo­ga­rytm (log) da­nej licz­by to wy­kład­nik po­tę­gi, do któ­rej na­le­ży pod­nieść 10, aby otrzy­mać tę licz­bę. Lo­ga­ryt­my dużo ła­twiej zro­zu­mieć, kie­dy wy­ra­zi się je w spo­sób al­ge­bra­icz­ny: je­śli a = 10b, to lo­ga­rytm a rów­na się b. A za­tem:

log 10 = 1 (po­nie­waż 10 = 101)

log 100 = 2 (po­nie­waż 100 = 102)

log 1000 = 3 (po­nie­waż 1000 = 103)

log 10 000 = 4 (po­nie­waż 10 000 =104)

Zna­le­zie­nie lo­ga­ryt­mu ja­kiejś licz­by jest oczy­wi­ste, je­śli licz­ba ta jest po­tę­gą 10. A co je­śli pró­bu­je­my zna­leźć lo­ga­rytm licz­by, któ­ra nie jest po­tę­gą 10? Ile na przy­kład wy­no­si lo­ga­rytm 6? Lo­ga­rytm 6 to licz­ba a taka, że kie­dy 10 zo­sta­nie po­mno­żo­ne przez sie­bie a razy, otrzy­ma­my 6. Stwier­dze­nie, że 10 moż­na po­mno­żyć przez sie­bie okre­ślo­ną licz­bę razy, by uzy­skać 6, wy­da­je się ab­sur­dal­ne. Jak moż­na po­mno­żyć 10 przez sie­bie uła­mek razy? Po­mysł ten oczy­wi­ście jest nie­do­rzecz­ny, kie­dy wy­obra­ża­my so­bie, co mo­gło­by to zna­czyć w świe­cie rze­czy­wi­stym, ale siła i pięk­no ma­te­ma­ty­ki po­le­ga na tym, że nie mu­si­my wca­le przej­mo­wać się żad­nym zna­cze­niem poza de­fi­ni­cją al­ge­bra­icz­ną.

Lo­ga­rytm 6 wy­no­si 0,778 z do­kład­no­ścią do 3 miejsc po prze­cin­ku. In­ny­mi sło­wy, kie­dy po­mno­ży­my 10 przez sie­bie 0,778 razy, otrzy­ma­my 6.

Oto li­sta lo­ga­ryt­mów liczb od 1 do 10 po­da­nych z do­kład­no­ścią do 3 miejsc po prze­cin­ku:

log 1 = 0 log 6 = 0,778

log 2 = 0,301 log 7 = 0,845

log 3 = 0,477 log 8 = 0,903

log 4 = 0,602 log 9 = 0,954

log 5 = 0,699 log 10 = 1

Do cze­go słu­żą lo­ga­ryt­my? Za­mie­nia­ją trud­niej­sze dzia­ła­nie mno­że­nia na prost­szy pro­ces do­da­wa­nia. In­ny­mi sło­wy, mno­że­nie dwóch liczb jest rów­no­waż­ne do­da­wa­niu ich lo­ga­ryt­mów. Je­śli x · y = z, to log x + log y = log z.

Sprawdź­my to:

3 · 3 = 9

log 3 + log 3 = log 9

0,477 + 0,477 = 0,954

I jesz­cze raz:

2 · 4 = 8

log 2 + log 4 = log 8

0,301 + 0,602 = 0,903

Do po­mno­że­nia 2 liczb moż­na za­tem za­sto­so­wać na­stę­pu­ją­cą me­to­dę: prze­kształ­cić je na lo­ga­ryt­my, do­dać je, by uzy­skać ko­lej­ny lo­ga­rytm, a na­stęp­nie prze­kształ­cić ten lo­ga­rytm w licz­bę. Ile się rów­na 2 · 3? Znaj­du­je­my lo­ga­ryt­my 2 i 3, któ­re wy­no­szą 0,301 i 0,477, i do­da­je­my je, otrzy­mu­jąc 0,778. Z po­wyż­szej li­sty wy­ni­ka, że 0,778 jest lo­ga­ryt­mem 6. A za­tem od­po­wiedź to 6.

Po­mnóż­my te­raz 89 przez 62.

Naj­pierw mu­si­my zna­leźć lo­ga­ryt­my tych liczb, na przy­kład wpi­su­jąc je do kal­ku­la­to­ra albo wy­szu­ki­war­ki Go­ogle. Ale jesz­cze pod ko­niec XX wie­ku je­dy­nym spo­so­bem było spraw­dza­nie w ta­bli­cach lo­ga­ryt­micz­nych. Lo­ga­rytm 89 to 1,949 z do­kład­no­ścią do 3 miejsc po prze­cin­ku. Lo­ga­rytm 62 to 1,792.

A więc suma lo­ga­ryt­mów wy­no­si 1,949 + 1,792 = 3,741.

Licz­ba, któ­rej lo­ga­rytm jest rów­ny 3,741, to 5518. I tym ra­zem szu­ka­my w ta­bli­cach lo­ga­ryt­micz­nych.

A za­tem 89 · 62 = 5518.

Co waż­ne, żeby ob­li­czyć ten ilo­czyn, mu­sie­li­śmy wy­ko­nać je­dy­nie dość pro­ste do­da­wa­nie.

Na­pier pi­sał, że lo­ga­ryt­my mogą uwol­nić ma­te­ma­ty­ków od „nu­żą­cych na­kła­dów cza­su” oraz „pod­stęp­nych po­my­łek” zwią­za­nych z „mno­że­niem, dzie­le­niem oraz wy­cią­ga­niem pier­wiast­ków kwa­dra­to­wych i sze­ścien­nych z wiel­kich liczb”. Za po­mo­cą wy­na­laz­ku Na­pie­ra moż­na było za­mie­nić nie tyl­ko mno­że­nie na do­da­wa­nie lo­ga­ryt­mów, lecz rów­nież dzie­le­nie na odej­mo­wa­nie lo­ga­ryt­mów; ob­li­cza­nie pier­wiast­ków kwa­dra­to­wych zmie­nia­ło się w dzie­le­nie lo­ga­ryt­mów przez 2, a ob­li­cza­nie pier­wiast­ków sze­ścien­nych – w dzie­le­nie lo­ga­ryt­mów przez 3.

Wy­go­da, jaką przy­nio­sły lo­ga­ryt­my, uczy­ni­ła z nich naj­do­nio­ślej­szy wy­na­la­zek ma­te­ma­tycz­ny XVII wie­ku. Na­uka, han­del i prze­mysł ogrom­nie na tym sko­rzy­sta­ły. Nie­miec­ki astro­nom Jo­han­nes Ke­pler nie­mal na­tych­miast po­słu­żył się lo­ga­ryt­ma­mi do ob­li­cze­nia or­bi­ty Mar­sa. Ostat­nio wy­su­nię­to hi­po­te­zę, że być może nie od­krył­by 3 praw ru­chu pla­net, gdy­by nie uła­twie­nie ob­li­czeń za spra­wą no­wych liczb Na­pie­ra.

W wy­da­nej w 1614 roku książ­ce Mi­ri­fi­ci Lo­ga­ri­th­mo­rum Ca­no­nis De­scrip­tio Na­pier sto­so­wał nie­co inną wer­sję lo­ga­ryt­mów niż uży­wa­ne we współ­cze­snej ma­te­ma­ty­ce. Lo­ga­ryt­my moż­na wy­ra­żać jako po­tę­gę do­wol­nej licz­by, któ­ra na­zy­wa­na jest pod­sta­wą. Na­pier w swo­im sys­te­mie uży­wał nie­po­trzeb­nie skom­pli­ko­wa­nej pod­sta­wy (1 – 10–7), któ­rą na­stęp­nie mno­żył przez 107. Hen­ry Briggs, czo­ło­wy an­giel­ski ma­te­ma­tyk w cza­sach Na­pie­ra, wy­brał się do Edyn­bur­ga, by po­gra­tu­lo­wać Szko­to­wi od­kry­cia. Briggs upro­ścił sys­tem, wpro­wa­dza­jąc lo­ga­ryt­my dzie­sięt­ne (o pod­sta­wie rów­nej 10), któ­re na­zy­wa­ne są rów­nież lo­ga­ryt­ma­mi brig­g­sow­ski­mi bądź zwy­kły­mi, po­nie­waż od tam­te­go cza­su 10 po­zo­sta­je naj­po­pu­lar­niej­szą pod­sta­wą. W 1617 roku Briggs opu­bli­ko­wał ta­bli­cę lo­ga­ryt­mów wszyst­kich liczb od 1 do 1000 z do­kład­no­ścią do 8 miejsc po prze­cin­ku. W 1628 roku ra­zem z ho­len­der­skim ma­te­ma­ty­kiem Ad­ria­anem Vla­cqiem roz­sze­rzył ta­bli­ce lo­ga­ryt­micz­ne do 100 000 z do­kład­no­ścią do 10 miejsc po prze­cin­ku. Ich ra­chun­ki były żmud­ne i skom­pli­ko­wa­ne – ale raz wy­ko­na­nych po­praw­nie ob­li­czeń nie mu­sia­no nig­dy wię­cej po­wta­rzać.

Stro­na z ta­blic lo­ga­ryt­micz­nych Brig­g­sa z 1624 roku.

To zna­czy aż do 1792 roku, kie­dy mło­da re­pu­bli­ka fran­cu­ska po­sta­no­wi­ła za­mó­wić nowe am­bit­ne ta­bli­ce – lo­ga­ryt­my wszyst­kich liczb do 100 000 z do­kład­no­ścią do 19 miejsc po prze­cin­ku i od 100 000 do 200 000 z do­kład­no­ścią do 24 miejsc po prze­cin­ku. Ga­spard de Pro­ny, któ­ry kie­ro­wał tym przed­się­wzię­ciem, twier­dził, że po­tra­fi „pro­du­ko­wać lo­ga­ryt­my z taką samą ła­two­ścią, jak inni pro­du­ku­ją szpil­ki”. Jego ze­spół li­czył pra­wie 90 rach­mi­strzów, wśród nich było wie­lu daw­nych słu­żą­cych i de­ko­ra­to­rów pe­ruk, któ­rych przed­re­wo­lu­cyj­ny fach stał się w no­wym re­żi­mie zbęd­ny (je­śli nie za­kra­wa­ją­cy na zdra­dę sta­nu). Więk­szość ob­li­czeń ukoń­czo­no już w 1796 roku, ale rząd zdą­żył stra­cić za­in­te­re­so­wa­nie pro­jek­tem i gi­gan­tycz­ny rę­ko­pis Pro­ny’ego nig­dy nie zo­stał opu­bli­ko­wa­ny. Dzi­siaj prze­cho­wy­wa­ny jest w pa­ry­skim ob­ser­wa­to­rium.

Ta­bli­ce Brig­g­sa i Vla­cqa sta­no­wi­ły pod­sta­wę dla wszyst­kich ta­blic lo­ga­ryt­micz­nych przez 300 lat. W 1924 roku Bry­tyj­czyk Ale­xan­der J. Thomp­son przy­stą­pił do ręcz­ne­go ob­li­cza­nia no­we­go ze­sta­wu z do­kład­no­ścią do 20 miejsc po prze­cin­ku. Jed­nak pra­ca Thomp­so­na, za­miast nadać sta­rej kon­cep­cji współ­cze­sny blask, oka­za­ła się prze­sta­rza­ła, za­nim zdą­żył ją ukoń­czyć w 1949 roku. Wte­dy bo­wiem ta­bli­ce moż­na było już z ła­two­ścią ge­ne­ro­wać za po­mo­cą kom­pu­te­rów.

Je­śli na­nie­sie się na li­nij­kę cy­fry od 1 do 10 we­dług war­to­ści lo­ga­ryt­mów, po­wsta­nie po­niż­szy układ:

Mo­że­my kon­ty­nu­ować tak na przy­kład do 100.

Jest to tak zwa­na ska­la lo­ga­ryt­micz­na. Ko­lej­ne licz­by na ska­li znaj­du­ją się co­raz bli­żej sie­bie.

Nie­któ­re ska­le po­mia­ro­we są lo­ga­ryt­micz­ne, co zna­czy, że każ­da jed­nost­ka w górę ska­li ozna­cza dzie­się­cio­krot­ną zmia­nę tego, co mie­rzy. (W dru­giej ska­li od­le­głość mię­dzy 1 a 10 rów­na jest od­stę­po­wi mię­dzy 10 a 100). Przy­kła­dem naj­czę­ściej sto­so­wa­nej ska­li lo­ga­ryt­micz­nej jest ska­la Rich­te­ra mie­rzą­ca am­pli­tu­dę fal za­re­je­stro­wa­nych przez sej­smo­gra­fy. Trzę­sie­nie zie­mi osią­ga­ją­ce 7 stop­ni w ska­li Rich­te­ra wy­wo­łu­je am­pli­tu­dę 10 razy więk­szą niż trzę­sie­nie zie­mi, któ­re ma 6 stop­ni.

W 1620 roku an­giel­ski ma­te­ma­tyk Ed­mund Gun­ter jako pierw­szy za­zna­czył ska­lę lo­ga­ryt­micz­ną na li­nij­ce. Za­uwa­żył, że może mno­żyć, do­da­jąc dłu­go­ści na li­nij­ce. Je­śli umie­ści­ło się lewe ostrze cyr­kla na 1, a pra­we na a, to po prze­nie­sie­niu le­we­go ostrza na b pra­we ostrze wska­zy­wa­ło na a · b. Na ry­sun­ku po­ni­żej wi­dać usta­wie­nie cyr­kla na 2, a na­stęp­nie prze­nie­sie­nie le­we­go ostrza na 3 i au­to­ma­tycz­nie pra­we­go na 2 · 3 = 6.

Mno­że­nie Gun­te­ra.

Wkrót­ce po­tem an­gli­kań­ski du­chow­ny Wil­liam Ough­tred udo­sko­na­lił li­nij­kę lo­ga­ryt­micz­ną Gun­te­ra, two­rząc na­rzę­dzie na­zy­wa­ne su­wa­kiem lo­ga­ryt­micz­nym. Zre­zy­gno­wał z cyr­kla, za­miast któ­re­go umie­ścił obok sie­bie 2 drew­nia­ne ska­le lo­ga­ryt­micz­ne.

Ough­tred wy­my­ślił 2 ro­dza­je su­wa­ków lo­ga­ryt­micz­nych. Jed­na wer­sja skła­da­ła się z 2 pro­stych li­ni­jek, a dru­ga z okrą­głej tar­czy z 2 wska­zów­ka­mi. Z nie­zna­nych przy­czyn Ough­tred nie opu­bli­ko­wał in­for­ma­cji o swo­im wy­na­laz­ku. Zro­bił to w 1630 roku Ri­chard De­la­ma­in, je­den z jego stu­den­tów. Obu­rzo­ny Ough­tred oskar­żył De­la­ma­ina, że jest „zło­dzie­jem”, i spór o po­cho­dze­nie su­wa­ka lo­ga­ryt­micz­ne­go cią­gnął się aż do śmier­ci De­la­ma­ina. „Ten skan­dal – na­rze­kał Ough­tred pod ko­niec ży­cia – przy­niósł mi wie­le krzyw­dy i szko­dy”.

Su­wak lo­ga­ryt­micz­ny był fan­ta­stycz­nie po­my­sło­wą ma­szy­ną li­czą­cą i choć dzi­siaj jest już prze­sta­rza­ły, nadal ma swo­ich fa­na­tycz­nych wiel­bi­cie­li. Od­wie­dzi­łem jed­ne­go z nich, Pe­te­ra Hop­pa, w Bra­in­tree w hrab­stwie Es­sex.

– Od XVIII wie­ku do 1975 roku wszyst­kie co do jed­nej in­no­wa­cje tech­no­lo­gicz­ne wy­na­le­zio­no przy uży­ciu su­wa­ka lo­ga­ryt­micz­ne­go – po­wie­dział, za­bie­ra­jąc mnie ze sta­cji.

Hopp, eme­ry­to­wa­ny in­ży­nier elek­tryk, jest nie­zwy­kle przy­ja­znym czło­wie­kiem, ma krza­cza­ste brwi, nie­bie­skie oczy i ob­wi­słe po­licz­ki. Zgo­dził się po­ka­zać mi swo­ją ko­lek­cję su­wa­ków lo­ga­ryt­micz­nych, jed­ną z naj­więk­szych na świe­cie, za­wie­ra­ją­cą po­nad 1000 za­po­mnia­nych bo­ha­te­rów na­sze­go dzie­dzic­twa na­uko­we­go. Ja­dąc do jego domu, ga­wę­dzi­li­śmy o ko­lek­cjo­no­wa­niu. Hopp po­wie­dział, że naj­lep­sze oka­zy są wy­sta­wia­ne na au­kcjach in­ter­ne­to­wych, gdzie kon­ku­ren­cja nie­uchron­nie win­du­je ceny. Rzad­ki su­wak może kosz­to­wać set­ki fun­tów.

Kie­dy przy­je­cha­li­śmy na miej­sce, żona Hop­pa zro­bi­ła nam her­ba­tę i uda­li­śmy się do ga­bi­ne­tu. Tam go­spo­darz po­ka­zał mi drew­nia­ny su­wak lo­ga­ryt­micz­ny z lat 70. XX wie­ku fir­my Fa­ber-Ca­stell z pla­sti­ko­wym wy­koń­cze­niem w ko­lo­rze ma­gno­lii. Su­wak miał wiel­kość zwy­kłej trzy­dzie­sto­cen­ty­me­tro­wej li­nij­ki i wy­su­wa­ną część środ­ko­wą. Drob­nym pi­smem było na nim za­zna­czo­nych kil­ka skal. Miał rów­nież prze­zro­czy­ste ru­cho­me okien­ko, na któ­rym na­ry­so­wa­na była li­nia cien­ka jak włos. Kształt i do­tyk su­wa­ka Fa­ber-Ca­stell wy­dał mi się kwin­te­sen­cją po­wo­jen­ne­go kli­ma­tu sprzed epo­ki kom­pu­te­rów – kie­dy in­for­ma­ty­cy no­si­li ko­szu­le, kra­wa­ty i etui na dłu­go­pi­sy za­miast T-shir­tów, te­ni­só­wek i iPo­dów.

Cho­dzi­łem do szko­ły śred­niej w la­tach 80., kie­dy su­wa­ki lo­ga­ryt­micz­ne wy­szły już z uży­cia, więc Hopp udzie­lił mi krót­kiej lek­cji. Po­le­cił, bym jako po­cząt­ku­ją­cy ko­rzy­stał ze ska­li lo­ga­ryt­micz­nej od 1 do 100 na głów­nej li­nij­ce i są­sied­niej ska­li lo­ga­ryt­micz­nej od 1 do 100 na ru­cho­mej czę­ści środ­ko­wej.

Mno­że­nie 2 liczb za po­mo­cą su­wa­ka lo­ga­ryt­micz­ne­go – na­zy­wa­ne­go rów­nież ra­chun­ko­wym – wy­ko­nu­je się przez ze­sta­wie­nie pierw­szej licz­by za­zna­czo­nej na jed­nej ska­li z dru­gą licz­bą za­zna­czo­ną na dru­giej ska­li. Nie trze­ba na­wet ro­zu­mieć, co to są lo­ga­ryt­my – wy­star­czy je­dy­nie prze­su­nąć środ­ko­wą li­nij­kę na od­po­wied­nią po­zy­cję i od­czy­tać wy­nik na po­dział­ce.

Po­wiedz­my, że chcę po­mno­żyć 4,5 przez 6,2. Mu­szę do­dać dłu­gość, któ­ra wy­no­si 4,5 na jed­nej li­nij­ce, do dłu­go­ści, któ­ra wy­no­si 6,2 na dru­giej. Robi się to, prze­su­wa­jąc 1 na środ­ko­wej li­nij­ce do punk­tu, w któ­rym na głów­nej li­nij­ce znaj­du­je się 4,5. Wy­ni­kiem mno­że­nia jest punkt na głów­nej li­nij­ce przy­le­ga­ją­cy do 6,2 na środ­ko­wej li­nij­ce. Wy­ja­śnia to po­niż­szy ry­su­nek.

Jak się mno­ży za po­mo­cą su­wa­ka lo­ga­ryt­micz­ne­go.

Dzię­ki okien­ku z li­nią na­staw­czą od razu wi­dać, gdzie spo­ty­ka­ją się obie ska­le. Prze­cho­dząc w górę od 6,2 na środ­ko­wej li­nij­ce, wi­dzę, że prze­ci­na głów­ną li­nij­kę tuż po­ni­żej 28, co jest po­praw­ną od­po­wie­dzią. Su­wa­ki lo­ga­ryt­micz­ne nie są pre­cy­zyj­ny­mi urzą­dze­nia­mi. A wła­ści­wie to my nie­pre­cy­zyj­nie z nich ko­rzy­sta­my. Od­czy­tu­jąc od­po­wiedź na su­wa­ku, nie znaj­du­je­my wy­raź­ne­go wy­ni­ku, lecz sza­cu­je­my, gdzie leży dana licz­ba na ska­li ana­lo­go­wej. Jed­nak mimo nie­unik­nio­nej nie­do­kład­no­ści Hopp stwier­dził, że – przy­najm­niej na jego in­ży­nier­skie po­trze­by – su­wa­ki lo­ga­ryt­micz­ne były wy­star­cza­ją­co do­kład­ne w więk­szo­ści za­sto­so­wań.

Na su­wa­ku, z któ­re­go ko­rzy­sta­łem, była ska­la lo­ga­ryt­micz­na od 1 do 100. Są rów­nież ska­le od 1 do 10, któ­rych uży­wa się, gdy po­trzeb­na jest więk­sza pre­cy­zja, po­nie­waż mię­dzy licz­ba­mi są szer­sze od­stę­py. Dla­te­go war­to prze­kształ­cić pier­wot­ny ra­chu­nek na licz­by od 1 do 10, prze­su­wa­jąc prze­ci­nek dzie­sięt­ny. Aby po­mno­żyć 4576 przez 6231, na­le­ży prze­kształ­cić czyn­ni­ki na 4,576 i 6,231, po uzy­ska­niu wy­ni­ku prze­su­nąć prze­ci­nek dzie­sięt­ny o 6 miejsc z po­wro­tem na pra­wo. Gdy usta­wi się li­nij­kę na 4,576 i odło­ży 6,231, wyj­dzie oko­ło 28,5, co ozna­cza, że 4576 · 6231 wy­no­si oko­ło 28 500 000. Do­kład­na od­po­wiedź ob­li­czo­na za po­mo­cą lo­ga­ryt­mów wy­no­si 28 513 056. Nie­złe przy­bli­że­nie. Su­wak lo­ga­ryt­micz­ny, taki jak ten wy­pro­du­ko­wa­ny przez Fa­ber-Ca­stell, za­pew­nia zwy­kle do­kład­ność do 3 cyfr zna­czą­cych – co czę­sto w zu­peł­no­ści wy­star­cza. Tra­ci się, co praw­da, na pre­cy­zji, ale za to zy­sku­je na szyb­ko­ści – wy­ko­na­nie ob­li­cze­nia za­mu­je nie­ca­łe 5 se­kund. Gdy­by ko­rzy­stać z ta­blic lo­ga­ryt­micz­nych, trwa­ło­by to 10 razy dłu­żej.

Naj­star­szym przed­mio­tem w ko­lek­cji Pe­te­ra Hop­pa był drew­nia­ny su­wak lo­ga­ryt­micz­ny z po­cząt­ku XVIII wie­ku uży­wa­ny przez po­bor­ców po­dat­ko­wych do ob­li­cza­nia za­war­to­ści al­ko­ho­lu. Za­nim po­zna­łem Hop­pa, nie bar­dzo mo­głem so­bie wy­obra­zić, że zbie­ra­nie su­wa­ków lo­ga­ryt­micz­nych może być cie­ka­wym hob­by. Znacz­ki i ska­mie­nia­ło­ści przy­najm­niej by­wa­ją ład­ne! A su­wa­ki lo­ga­ryt­micz­ne to po pro­stu prak­tycz­ne do bólu na­rzę­dzia. Za­byt­ko­wy su­wak Hop­pa oka­zał się jed­nak pięk­nym przed­mio­tem ręcz­nej ro­bo­ty ze szla­chet­ne­go drew­na ozdo­bio­nym ele­ganc­ki­mi licz­ba­mi.

Zbio­ry Hop­pa po­zwa­la­ją prze­śle­dzić drob­ne udo­sko­na­le­nia wpro­wa­dza­ne w cią­gu stu­le­ci. W XIX wie­ku do su­wa­ka do­da­no nowe ska­le. Pe­ter Ro­get – któ­re­go kom­pul­syw­ne spo­rzą­dza­nie list (bę­dą­ce me­cha­ni­zmem ra­dze­nia so­bie z cho­ro­bą umy­sło­wą) za­owo­co­wa­ło po­nad­cza­so­wym, kla­sycz­nym i wy­czer­pu­ją­cym Te­zau­ru­sem – wy­na­lazł ska­lę po­dwój­nie lo­ga­ryt­micz­ną, któ­ra umoż­li­wi­ła ob­li­cza­nie ułam­ków po­tęg, ta­kich jak 32,5, oraz pier­wiast­ków kwa­dra­to­wych. Wraz z roz­wo­jem tech­nik pro­duk­cyj­nych po­wsta­wa­ły nowe urzą­dze­nia o co­raz więk­szej po­my­sło­wo­ści, pre­cy­zji i oka­za­ło­ści. Mo­del Tha­cher’s Cal­cu­la­ting In­stru­ment wy­glą­da jak wa­łek do cia­sta w me­ta­lo­wej opra­wie, a Pro­fes­sor Ful­ler’s Cal­cu­la­tor ma 3 kon­cen­trycz­ne pu­ste cy­lin­dry mo­sięż­ne i ma­ho­nio­wy uchwyt. Wo­kół cy­lin­dra wije się pra­wie dwu­na­sto­ipół­me­tro­wa he­li­sa, któ­ra za­pew­nia do­kład­ność do 5 cyfr zna­czą­cych. Z ko­lei wy­ko­na­ny ze szkła i chro­mo­wa­nej sta­li Hal­den Cal­cu­lex przy­po­mi­na cza­so­mierz. Do­sze­dłem do wnio­sku, że su­wa­ki są rze­czy­wi­ście przed­mio­ta­mi za­ska­ku­ją­cej uro­dy.

Su­wak lo­ga­ryt­micz­ny – mo­del Pro­fes­sor Ful­ler’s Cal­cu­la­tor.

Moją uwa­gę zwró­ci­ło ja­kieś ustroj­stwo przy­po­mi­na­ją­ce mły­nek do pie­przu. Hopp wy­ja­śnił, że jest to cur­ta. Czar­ny wa­lec wiel­ko­ści dło­ni z korb­ką u góry sta­no­wi wy­jąt­ko­wy wy­na­la­zek – jest je­dy­nym me­cha­nicz­nym kal­ku­la­to­rem kie­szon­ko­wym, jaki kie­dy­kol­wiek wy­pro­du­ko­wa­no. De­mon­stru­jąc jej dzia­ła­nie, Hopp wy­ko­nał ob­rót korb­ką, aby zre­se­to­wać urzą­dze­nie. Licz­by wpro­wa­dza się za po­mo­cą su­wa­ków po bo­kach. Hopp usta­wił 346 i prze­krę­cił raz kor­bą. Po­tem prze­sta­wił su­wa­ki na 217. Kie­dy po­now­nie prze­krę­cił kor­bą, u góry urzą­dze­nia uka­za­ła się suma obu liczb: 563. Hopp po­wie­dział, że za po­mo­cą cur­ty moż­na rów­nież odej­mo­wać, mno­żyć, dzie­lić i wy­ko­ny­wać inne dzia­ła­nia ma­te­ma­tycz­ne. Do­dał, że kie­dyś cie­szy­ła się dużą po­pu­lar­no­ścią wśród mi­ło­śni­ków sa­mo­cho­dów spor­to­wych. Pi­lo­ci mo­gli ob­li­czać cza­sy jaz­dy, krę­cąc korb­ką, bez od­ry­wa­nia na dłu­żej wzro­ku od dro­gi. Ła­twiej od­czy­ty­wa­ło się na niej wy­ni­ki niż na su­wa­ku lo­ga­ryt­micz­nym i była mniej wraż­li­wa na wy­bo­je na dro­dze.

Choć cur­ta nie jest su­wa­kiem lo­ga­ryt­micz­nym, swo­ją po­my­sło­wo­ścią w ob­li­cze­niach zy­ska­ła uzna­nie wśród ko­lek­cjo­ne­rów przy­rzą­dów ma­te­ma­tycz­nych. Gdy tyl­ko jej uży­łem, sta­ła się moim ulu­bio­nym eks­po­na­tem z ko­lek­cji Hop­pa. To praw­dzi­wy mły­nek do liczb – wrzu­ca się licz­by, a po za­krę­ce­niu korb­ką wy­cho­dzi wy­nik. Jed­nak sko­ja­rze­nie z mie­le­niem wy­ni­ku nie od­da­je spra­wie­dli­wo­ści urzą­dze­niu, któ­re skła­da się z 600 czę­ści me­cha­nicz­nych po­ru­sza­ją­cych się z pre­cy­zją szwaj­car­skie­go ze­gar­ka.

Re­kla­ma kal­ku­la­to­ra Cur­ta z 1971 roku.

Jesz­cze bar­dziej in­try­gu­ją­ca jest dra­ma­tycz­na hi­sto­ria cur­ty. Jej wy­na­laz­ca, Curt Herz­stark, za­pro­jek­to­wał pro­to­typ urzą­dze­nia jako je­niec obo­zu kon­cen­tra­cyj­ne­go w Bu­chen­wal­dzie pod ko­niec dru­giej woj­ny świa­to­wej. Herz­stark, któ­ry był sy­nem au­striac­kie­go Żyda, otrzy­mał spe­cjal­ne skie­ro­wa­nie do pra­cy nad swo­ją ma­szy­ną li­czą­cą, po­nie­waż wła­dze obo­zu wie­dzia­ły, iż jest ge­niu­szem in­ży­nie­rii. Herz­star­ko­wi po­wie­dzia­no, że je­śli urzą­dze­nie bę­dzie dzia­łać, to zo­sta­nie po­da­ro­wa­ne w pre­zen­cie Adol­fo­wi Hi­tle­ro­wi, a wy­na­laz­ca zo­sta­nie uzna­ny za Aryj­czy­ka i bę­dzie mu da­ro­wa­ne ży­cie. Kie­dy skoń­czy­ła się woj­na, uwol­nio­ny Herz­stark opu­ścił obóz z nie­mal go­to­wy­mi pla­na­mi w kie­sze­ni. Po kil­ku nie­uda­nych pró­bach zna­le­zie­nia in­we­sto­ra w koń­cu uda­ło mu się na­mó­wić księ­cia Liech­ten­ste­inu – gdzie w 1948 roku wy­pro­du­ko­wa­na zo­sta­ła pierw­sza cur­ta. Od tam­te­go cza­su do po­cząt­ku lat 70. fa­bry­ka wy­pu­ści­ła na ry­nek oko­ło 150 000 sztuk tego nie­zwy­kłe­go urzą­dze­nia. Herz­stark miesz­kał w Liech­ten­ste­inie aż do śmier­ci w wie­ku 86 lat w 1988 roku.

W la­tach 50. i 60. cur­ta była je­dy­nym kal­ku­la­to­rem kie­szon­ko­wym, któ­ry da­wał do­kład­ne wy­ni­ki. Ale za­rów­no cur­ta, jak i su­wak lo­ga­ryt­micz­ny zo­sta­ły ska­za­ne na wy­mar­cie przez pew­ne zda­rze­nie w hi­sto­rii przy­rzą­dów aryt­me­tycz­nych o rów­nie ka­ta­stro­fal­nych skut­kach, co me­te­oryt, któ­ry po­noć uni­ce­stwił di­no­zau­ry – cho­dzi mia­no­wi­cie o na­ro­dzi­ny kie­szon­ko­we­go kal­ku­la­to­ra elek­tro­nicz­ne­go.

Trud­no o lep­szy przy­kład przed­mio­tu, któ­ry znik­nął tak bły­ska­wicz­nie po tak dłu­gim okre­sie do­mi­na­cji, niż su­wak lo­ga­ryt­micz­ny. Pa­no­wał nie­po­dziel­nie przez 300 lat aż do 1972 roku, kie­dy fir­ma Hew­lett-Pac­kard wpro­wa­dzi­ła na ry­nek HP-35. Urzą­dze­nie re­kla­mo­wa­no jako „prze­no­śny elek­tro­nicz­ny su­wak lo­ga­ryt­micz­ny o wy­so­kiej pre­cy­zji”, nie był to jed­nak wca­le su­wak lo­ga­ryt­micz­ny. Urzą­dze­nie wiel­ko­ści ma­łej książ­ki mia­ło czer­wo­ny wy­świe­tlacz LED, 35 przy­ci­sków i wy­łącz­nik. Kil­ka lat póź­niej uni­wer­sal­ne su­wa­ki lo­ga­ryt­micz­ne moż­na było ku­pić już tyl­ko z dru­giej ręki i in­te­re­so­wa­li się nimi wy­łącz­nie ko­lek­cjo­ne­rzy.

Choć kal­ku­la­tor elek­tro­nicz­ny uśmier­cił jego uko­cha­ny su­wak, Pe­ter Hopp nie żywi do nie­go ura­zy. Z upodo­ba­niem zbie­ra rów­nież pierw­sze kal­ku­la­to­ry elek­tro­nicz­ne. Gdy roz­mo­wa ze­szła na ich te­mat, po­ka­zał mi HP-35 i za­czął wspo­mi­nać mo­ment, kie­dy po raz pierw­szy zo­ba­czył go na po­cząt­ku lat 70. Hopp pra­co­wał od nie­daw­na w fir­mie Mar­co­ni zaj­mu­ją­cej się te­le­ko­mu­ni­ka­cją elek­trycz­ną. Je­den z ko­le­gów ku­pił HP-35 za 365 fun­tów – wów­czas rów­no­war­tość mniej wię­cej po­ło­wy rocz­nych za­rob­ków młod­sze­go in­ży­nie­ra.

– Był tak cen­ny, że wła­ści­ciel trzy­mał go w biur­ku pod klu­czem i nig­dy nie po­zwa­lał go ni­ko­mu uży­wać – wspo­mi­nał Hopp.

Ale ko­le­ga za­cho­wy­wał się ta­jem­ni­czo rów­nież z in­ne­go po­wo­du. Był prze­ko­na­ny, że zna­lazł spo­sób ko­rzy­sta­nia z kal­ku­la­to­ra, dzię­ki któ­re­mu przed­się­bior­stwo bę­dzie mo­gło za­osz­czę­dzić 1 pro­cent wy­dat­ków.

– Od­by­wał ści­śle taj­ne spo­tka­nia z sze­fa­mi. O wszyst­kim było ci­cho sza! – do­dał Hopp.

Oka­za­ło się jed­nak, że ko­le­ga po­peł­nił błąd. Kal­ku­la­to­ry nie są ide­al­ny­mi przy­rzą­da­mi – wpisz na przy­kład 10 i po­dziel przez 3. Otrzy­masz 3,3333333. Po­mnóż jed­nak wy­nik przez 3, a wca­le nie wró­cisz do punk­tu wyj­ścia – otrzy­masz 9,9999999. Ko­le­ga Hop­pa, opie­ra­jąc się na ano­ma­lii kal­ku­la­to­rów cy­fro­wych, stwo­rzył coś z ni­cze­go. Hopp pod­su­mo­wał z uśmie­chem:

– Kie­dy plan zo­stał zwe­ry­fi­ko­wa­ny przez ko­goś, kto po­słu­gi­wał się su­wa­kiem lo­ga­ryt­micz­nym, uzna­no, że po­pra­wa jest ilu­zo­rycz­na.

Hi­sto­ria ta wy­ja­śnia, dla­cze­go Hopp ubo­le­wa nad upad­kiem su­wa­ków lo­ga­ryt­micz­nych. Su­wak uła­twiał wzro­ko­we ro­zu­mie­nie liczb – za­nim użyt­kow­nik usta­lił do­kład­ny wy­nik, miał po­ję­cie, jaki mniej wię­cej bę­dzie. Obec­nie, twier­dzi Hopp, lu­dzie pa­ku­ją licz­by do kal­ku­la­to­ra bez żad­ne­go in­tu­icyj­ne­go wy­czu­cia, czy od­po­wiedź jest po­praw­na.

Nie­mniej jed­nak elek­tro­nicz­ny kal­ku­la­tor cy­fro­wy sta­no­wił po­stęp w sto­sun­ku do ana­lo­go­we­go su­wa­ka lo­ga­ryt­micz­ne­go. Kal­ku­la­tor kie­szon­ko­wy był ła­twiej­szy w ob­słu­dze, da­wał pre­cy­zyj­ne od­po­wie­dzi i już w 1978 roku kosz­to­wał nie­ca­łe 5 fun­tów, dzię­ki cze­mu stał się po­wszech­nie do­stęp­ny.

Choć od tam­te­go cza­su mi­nę­ło już po­nad 30 lat, oka­zu­je się, że w pew­nej dzie­dzi­nie su­wa­ki prze­trwa­ły do dziś. Pi­lo­ci uży­wa­ją ich do ste­ro­wa­nia sa­mo­lo­ta­mi. Lot­ni­czy su­wak lo­ga­ryt­micz­ny ma okrą­gły kształt i na­zy­wa­ny jest „kal­ku­la­to­rem lot­ni­czym”, mie­rzy pręd­kość, od­le­głość, czas, zu­ży­cie pa­li­wa oraz tem­pe­ra­tu­rę i gę­stość po­wie­trza. Bie­gła ob­słu­ga kal­ku­la­to­ra lot­ni­cze­go sta­no­wi wa­ru­nek uzy­ska­nia upraw­nień pi­lo­ta, co wy­da­je się bar­dzo dziw­ne w kon­tek­ście za­awan­so­wa­nych tech­no­lo­gicz­nie kom­pu­te­rów obec­nych w kok­pi­tach. Wy­móg do­ty­czą­cy su­wa­ka lo­ga­ryt­micz­ne­go wy­ni­ka stąd, że pi­lo­ci mu­szą rów­nież umieć la­tać ma­ły­mi sa­mo­lo­ta­mi, któ­re nie są wy­po­sa­żo­ne w kom­pu­te­ry po­kła­do­we. Ale na­wet pi­lo­ci naj­bar­dziej no­wo­cze­snych od­rzu­tow­ców czę­sto wolą ko­rzy­stać z okrą­głych su­wa­ków lo­ga­ryt­micz­nych. Ma­jąc je pod ręką, mogą bar­dzo szyb­ko sza­co­wać dane i wzro­ko­wo ogar­niać licz­bo­we pa­ra­me­try lotu. La­ta­nie od­rzu­tow­ca­mi jest za­tem bez­piecz­niej­sze dzię­ki zręcz­no­ści pi­lo­tów w po­słu­gi­wa­niu się urzą­dze­niem wy­wo­dzą­cym się z po­cząt­ku XVII wie­ku.

Astro­no­micz­nie dro­gie pierw­sze kal­ku­la­to­ry elek­tro­nicz­ne były luk­su­so­wy­mi pro­duk­ta­mi biz­ne­so­wy­mi. Wy­na­laz­ca Cli­ve Sinc­la­ir na­zwał swój pierw­szy mo­del Exe­cu­ti­ve. Je­den z po­my­słów mar­ke­tin­go­wych po­le­gał na za­an­ga­żo­wa­niu gejsz, by do­trzeć do roz­rzut­nych biz­nes­me­nów w Ja­po­nii. Po nocy spę­dzo­nej na wspól­nej za­ba­wie gej­sza wy­cią­ga­ła z fałd ki­mo­na kal­ku­la­tor Sinc­la­ir Exe­cu­ti­ve, by go­spo­darz mógł pod­li­czyć ra­chu­nek. Po­tem czuł się zo­bo­wią­za­ny do jego za­ku­pu.

Wraz ze spad­kiem cen za­czę­to uży­wać kal­ku­la­to­rów nie tyl­ko do po­mo­cy w aryt­me­ty­ce, lecz tak­że w cha­rak­te­rze uni­wer­sal­nej za­baw­ki. Wy­da­na w 1975 roku książ­ka Po­cket Cal­cu­la­tor Game Book za­wie­ra­ła opi­sy roz­ryw­ko­wych za­sto­so­wań cudu no­wo­cze­snej elek­tro­ni­ki. „Kal­ku­la­to­ry kie­szon­ko­we sta­no­wią no­wość w na­szym ży­ciu. Jesz­cze pięć lat temu nie­zna­ne, dzi­siaj sta­ją się rów­nie po­pu­lar­ne, jak te­le­wi­zo­ry czy ze­sta­wy hi-fi – czy­ta­my w niej. – Jed­nak w prze­ci­wień­stwie do nich nie są bier­ną roz­ryw­ką, ko­rzy­sta­nie z nich wy­ma­ga na­kła­du in­te­li­gen­cji i in­wen­cji twór­czej. In­te­re­su­je nas nie to, co po­tra­fi ro­bić kie­szon­ko­wy kal­ku­la­tor, ale to, co my mo­że­my z nim zro­bić”. W 1977 roku uka­zał się be­st­sel­ler Fun & Ga­mes with Your Elec­tro­nic Cal­cu­la­tor ze słow­nicz­kiem za­wie­ra­ją­cym wy­ra­zy, któ­re moż­na utwo­rzyć wy­łącz­nie z li­ter O, I, Z, E, h, S, g, L oraz B, czy­li elek­tro­nicz­nych cyfr od­wró­co­nych do góry no­ga­mi: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 i 8.

Naj­dłuż­sze sło­wa to:

sied­mio­li­te­ro­we

OBE­LI­ZE

ELE­gI­ZE

LI­BE­LEE

OB­LI­gEE

gLO­BO­SE

SES­SI­LE

LE­gI­BLE

BE­SIE­gE

BIg­gISh

LE­gLESS

ZOO­gE­Og

ośmio­li­te­ro­we

ISO­gLOSS

hE­EL­LESS

Eg­g­ShELL

dzie­wię­cio­li­te­ro­we

gEO­LO­gI­ZE

IL­LE­gI­BLE

EISE­gE­SIS

O dzi­wo, li­sta nie obej­mu­je sło­wa BO­OBLESS – uży­wa­ne­go przez na­sto­let­nich chłop­ców na okre­śle­nie pła­skich jak de­ska ko­le­ża­nek z kla­sy – któ­re praw­do­po­dob­nie od­po­wia­da za znie­chę­ce­nie do ma­te­ma­ty­ki ca­łe­go po­ko­le­nia dziew­czyn. Tak czy owak, Fun & Ga­mes with Your Elec­tro­nic Cal­cu­la­tor to chy­ba je­dy­na książ­ka o licz­bach, któ­ra w więk­szym stop­niu kształ­ci umie­jęt­no­ści ję­zy­ko­we niż aryt­me­tycz­ne.

Za­pał do gier na kal­ku­la­to­rze nie trwał dłu­go, bo na ryn­ku po­ja­wi­ły się faj­niej­sze gry elek­tro­nicz­ne. Wkrót­ce sta­ło się ja­sne, że kal­ku­la­to­ry miast wzbu­dzać mi­łość do liczb, przy­czy­ni­ły się do upad­ku aryt­me­ty­ki pa­mię­cio­wej.

Lo­ga­rytm był wy­na­laz­kiem po­wsta­łym dzię­ki udo­sko­na­le­niu no­ta­cji, ale na no­wej sym­bo­li­ce sko­rzy­sta­ło rów­nież rów­na­nie kwa­dra­to­we zna­ne już w sta­ro­żyt­nej ma­te­ma­ty­ce. We współ­cze­snym za­pi­sie rów­na­nie kwa­dra­to­we ma po­stać: ax2+ bx + c = 0, gdzie x jest nie­wia­do­mą, a, b i c zaś są do­wol­ny­mi sta­ły­mi, na przy­kład: 3x2 + 2x – 4 = 0.

In­a­czej mó­wiąc, rów­na­nia kwa­dra­to­we to ta­kie rów­na­nia, w któ­rych wy­stę­pu­ją x i x2. Sto­su­je się je przede wszyst­kim do ob­li­cza­nia po­wierzch­ni. Roz­waż­my na­stę­pu­ją­cy pro­blem z ba­bi­loń­skiej ta­blicz­ki: pro­sto­kąt­ne pole o po­wierzch­ni 60 jed­no­stek kwa­dra­to­wych ma je­den bok o 7 jed­no­stek dłuż­szy od dru­gie­go. Jaką dłu­gość mają boki tego pola? Aby zna­leźć od­po­wiedź, na­le­ży wy­ko­nać ry­su­nek po­moc­ni­czy i na jego pod­sta­wie uło­żyć rów­na­nie kwa­dra­to­we: x2+ 7x – 60 = 0.

Rów­na­nia kwa­dra­to­we mają tę wy­god­ną wła­sność, że moż­na je roz­wią­zać przez pod­sta­wie­nie war­to­ści a, b oraz c do uni­wer­sal­ne­go wzo­ru:

Sym­bol ± ozna­cza, że ist­nie­ją 2 roz­wią­za­nia, jed­no z plu­sem, a dru­gie z mi­nu­sem. W ba­bi­loń­skim za­da­niu a = 1, b = 7, a c = –60, co daje 2 roz­wią­za­nia 5 i (–12). Roz­wią­za­nie ujem­ne przy opi­sie po­wierzch­ni jest bez­sen­sow­ne, za­tem od­po­wiedź wy­no­si 5.

Rów­nań kwa­dra­to­wych uży­wa się nie tyl­ko do ob­li­czeń zwią­za­nych z po­lem po­wierzch­ni. No­wo­żyt­na fi­zy­ka na­ro­dzi­ła się wraz z teo­rią swo­bod­ne­go spad­ku ciał, któ­rą od­krył Ga­li­le­usz, zrzu­ca­jąc po­noć kule ar­mat­nie z Krzy­wej Wie­ży w Pi­zie. Wy­wie­dzio­ny przez nie­go wzór na dro­gę spa­da­nia przed­mio­tu był rów­na­niem kwa­dra­to­wym. Od tam­te­go cza­su rów­na­nia kwa­dra­to­we sta­ły się tak istot­ne dla ro­zu­mie­nia świa­ta, iż bez prze­sa­dy moż­na po­wie­dzieć, że sta­no­wią fun­da­ment współ­cze­snej na­uki.

Jed­nak nie każ­dy pro­blem da się spro­wa­dzić do rów­nań z x2. Cza­sa­mi po­trzeb­na jest na­stęp­na po­tę­ga x, czy­li x3. Są to rów­na­nia sze­ścien­ne, któ­re mają po­stać: ax3+ bx2+ cx + d = 0, gdzie x jest nie­wia­do­mą, a, b, c i d zaś są do­wol­ny­mi sta­ły­mi, na przy­kład: 2x3– x2+ 5x + 1 = 0.

Rów­na­nia sze­ścien­ne po­ja­wia­ją się czę­sto w ob­li­cze­niach zwią­za­nych z ob­ję­to­ścią, w któ­rych trze­ba po­mno­żyć trzy wy­mia­ry ja­kiejś bry­ły. Choć są tyl­ko o sto­pień wyż­sze od kwa­dra­to­wych, o wie­le trud­niej je roz­wią­zać. Pod­czas gdy rów­na­nia kwa­dra­to­we roz­gry­zio­no już parę ty­się­cy lat temu (Ba­bi­loń­czy­cy po­tra­fi­li je roz­wią­zy­wać, za­nim jesz­cze wy­na­le­zio­no al­ge­brę), rów­na­nia sze­ścien­ne na po­cząt­ku XVI wie­ku nadal po­zo­sta­wa­ły poza za­się­giem umie­jęt­no­ści ma­te­ma­ty­ków. Wszyst­ko mia­ło się zmie­nić w roku 1535.

W re­ne­san­so­wych Wło­szech nie­wia­do­ma, czy­li x, na­zy­wa­ła się cosa, co zna­czy­ło „rzecz”. Na­ukę o rów­na­niach na­zy­wa­no „sztu­ką cos­so­wą”, a ci, któ­rzy za­wo­do­wo spe­cja­li­zo­wa­li się w ich roz­wią­zy­wa­niu, byli „cos­si­sta­mi”3, czy­li do­słow­nie „rze­czy­sta­mi”. Cos­si­ści nie byli uczo­ny­mi z wie­ży z ko­ści sło­nio­wej. Prze­ciw­nie, swy­mi umie­jęt­no­ścia­mi ma­te­ma­tycz­ny­mi słu­ży­li ro­dzą­cej się wła­śnie kla­sie ku­piec­kiej, któ­ra po­trze­bo­wa­ła po­mo­cy w ra­chun­kach. W bran­ży ob­li­cza­nia nie­wia­do­mych pa­no­wa­ła bar­dzo sil­na kon­ku­ren­cja, więc cos­si­ści, wzo­rem mi­strzów rze­mio­sła, swo­je naj­lep­sze me­to­dy trzy­ma­li w se­kre­cie.

Mimo ca­łej tej ta­jem­ni­czo­ści w 1535 roku po Bo­lo­nii za­czę­ła krą­żyć plot­ka, że dwaj cos­si­ści od­kry­li, jak roz­wią­zać rów­na­nie sze­ścien­ne. Wia­do­mość ze­lek­try­zo­wa­ła śro­do­wi­sko. Opa­no­wa­nie rów­nań trze­cie­go stop­nia ozna­cza­ło wy­prze­dze­nie kon­ku­ren­cji i moż­li­wość po­bie­ra­nia wyż­szych sta­wek za usłu­gi.

W dzi­siej­szym świe­cie na­uko­wym do­wód do­ty­czą­cy ja­kie­goś słyn­ne­go nie­roz­wią­za­ne­go pro­ble­mu zo­stał­by za­pre­zen­to­wa­ny w po­sta­ci ar­ty­ku­łu albo na kon­fe­ren­cji pra­so­wej, ale w cza­sach re­ne­san­su od­by­wa­ło się to in­a­czej: cos­si­ści umó­wi­li się na pu­blicz­ny po­je­dy­nek ma­te­ma­tycz­ny.

I tak 13 lu­te­go na Uni­wer­sy­te­cie Bo­loń­skim zgro­ma­dził się tłum, by obej­rzeć ry­wa­li­za­cję mię­dzy Nic­co­lò Tar­ta­glią i An­to­niem Fio­rem. Usta­lo­no, że każ­dy z pa­nów zada dru­gie­mu 30 rów­nań sze­ścien­nych. Za każ­de po­praw­nie roz­wią­za­ne rów­na­nie za­wod­nik miał być pod­ję­ty ucztą na koszt prze­ciw­ni­ka.

Po­je­dy­nek za­koń­czył się miaż­dżą­cym zwy­cię­stwem Tar­ta­glii. (Tar­ta­glia zna­czy „ją­ka­ła” – prze­zwi­sko to za­wdzię­czał ra­nie od sza­bli, któ­ra szpe­ci­ła twarz i spo­wo­do­wa­ła po­waż­ną wadę wy­mo­wy). Roz­wią­zał wszyst­kie za­da­nia Fio­re­go w cią­gu 2 go­dzin, na­to­miast Fio­re nie po­tra­fił roz­gryźć ani jed­ne­go za­da­nia Tar­ta­glii. Jako od­kryw­ca me­to­dy roz­wią­zy­wa­nia rów­nań sze­ścien­nych Tar­ta­glia był obiek­tem za­zdro­ści ma­te­ma­ty­ków z ca­łej Eu­ro­py, nie chciał jed­nak ni­ko­mu zdra­dzić swo­je­go se­kre­tu. Opie­rał się rów­nież usil­nym na­mo­wom Gi­ro­la­ma Car­da­na, któ­ry był bo­daj naj­barw­niej­szym z waż­nych ma­te­ma­ty­ków w hi­sto­rii.

Car­da­no z za­wo­du był le­ka­rzem, któ­ry dzię­ki swej sku­tecz­no­ści zy­skał mię­dzy­na­ro­do­wą sła­wę – pew­ne­go razu po­pro­szo­no go na­wet o przy­jazd do Szko­cji, by pod­jął się le­cze­nia tam­tej­sze­go ar­cy­bi­sku­pa cho­re­go na ast­mę. Był rów­nież płod­nym au­to­rem. W au­to­bio­gra­fii wy­mie­nia 131 wy­dru­ko­wa­nych ksią­żek, 111 nie­opu­bli­ko­wa­nych oraz 170 rę­ko­pi­sów, któ­re sam od­rzu­cił jako nie dość do­bre. Dzie­ło De Con­so­la­tio­ne, kom­pen­dium po­rad dla po­grą­żo­nych w smut­ku, było be­st­sel­le­rem w ca­łej Eu­ro­pie i we­dług ba­da­czy li­te­ra­tu­ry wła­śnie tę książ­kę trzy­mał w rę­kach Ham­let w mo­no­lo­gu „być albo nie być”. Car­da­no speł­niał się tak­że jako astro­log i twier­dził, że wy­na­lazł „me­to­po­sko­pię”, czy­li od­czy­ty­wa­nie cha­rak­te­ru na pod­sta­wie nie­re­gu­lar­no­ści twa­rzy. Głów­ną za­słu­gą tego wszech­stron­ne­go na­ukow­ca na polu ma­te­ma­ty­ki było wy­na­le­zie­nie praw­do­po­do­bień­stwa, do któ­re­go wró­cę póź­niej.

Car­da­no roz­pacz­li­wie pra­gnął się do­wie­dzieć, w jaki spo­sób Tar­ta­glia roz­wią­zał rów­na­nie sze­ścien­ne, więc na­pi­sał do nie­go z py­ta­niem, czy mógł­by omó­wić jego me­to­dę w książ­ce, nad któ­rą wła­śnie pra­co­wał. Kie­dy Tar­ta­glia od­mó­wił, Car­da­no po­pro­sił po­now­nie, tym ra­zem obie­cu­jąc, że nie po­wie ni­ko­mu in­ne­mu. Tar­ta­glia był nie­prze­jed­na­ny.

Wy­do­by­cie wzo­ru sze­ścien­ne­go od Tar­ta­glii sta­ło się ob­se­sją Car­da­na. W koń­cu wy­my­ślił pod­stęp – za­pro­sił Tar­ta­glię do Me­dio­la­nu pod pre­tek­stem przed­sta­wie­nia go po­ten­cjal­ne­mu me­ce­na­so­wi, gu­ber­na­to­ro­wi Lom­bar­dii. Tar­ta­glia przy­jął pro­po­zy­cję, ale gdy do­tarł na miej­sce, od­krył, że gu­ber­na­tor wy­je­chał z mia­sta. Na spo­tka­nie przy­był tyl­ko Car­da­no. Zmę­czo­ny nie­ustan­nym na­ga­by­wa­niem Tar­ta­glia ustą­pił, mó­wiąc Car­da­no­wi, że je­śli po­tra­fi za­cho­wać wzór w ta­jem­ni­cy, wy­ja­wi go mu. Żąd­ny wie­dzy le­karz otrzy­mał upra­gnio­ną in­for­ma­cję, ale oka­za­ło się, że Tar­ta­glia per­fid­nie przed­sta­wił roz­wią­za­nie w za­wi­ły spo­sób: jako dzi­wacz­ny wiersz skła­da­ją­cy się z 25 wer­sów.

Mimo tego utrud­nie­nia wszech­stron­nie uta­len­to­wa­ny Car­da­no od­szy­fro­wał me­to­dę i nie­mal do­trzy­mał da­nej obiet­ni­cy. Ujaw­nił roz­wią­za­nie tyl­ko swe­mu oso­bi­ste­mu se­kre­ta­rzo­wi Lo­do­vi­co Fer­ra­rie­mu. Oka­za­ło się to źró­dłem pro­ble­mów, nie dla­te­go by Fer­ra­ri był nie­dy­skret­ny, lecz dla­te­go, że udo­sko­na­lił me­to­dę Tar­ta­glii i od­krył spo­sób roz­wią­zy­wa­nia rów­nań czwar­te­go stop­nia. Są to rów­na­nia, w któ­rych po­ja­wia się po­tę­ga x4. Na przy­kład 5x4– 2x3– 8x2+ 6x + 3 = 0. Z rów­na­niem czwar­te­go stop­nia mo­że­my mieć do czy­nie­nia, kie­dy mno­ży­my przez sie­bie 2 rów­na­nia kwa­dra­to­we.

Car­da­no był w krop­ce – nie mógł opu­bli­ko­wać od­kry­cia Fer­ra­rie­go, nie ła­miąc sło­wa da­ne­go Tar­ta­glii, ale za­ra­zem nie mógł od­mó­wić Fer­ra­rie­mu pra­wa do pu­blicz­ne­go uzna­nia, na któ­re za­słu­gi­wał. Car­da­no­wi uda­ło się zna­leźć spryt­ne wyj­ście. Otóż oka­za­ło się, że An­to­nio Fio­re, czło­wiek, któ­ry prze­grał po­je­dy­nek sze­ścien­ny z Tar­ta­glią, w rze­czy­wi­sto­ści wie­dział, jak roz­wią­zu­je się rów­na­nia trze­cie­go stop­nia, a me­to­dy na­uczył się od star­sze­go ma­te­ma­ty­ka Sci­pio­ne del Fer­ra, któ­ry wy­ja­wił ją Fio­re­mu na łożu śmier­ci. Car­da­no do­wie­dział się o tym po na­wią­za­niu kon­tak­tu z ro­dzi­ną del Fer­ra i przej­rze­niu nie­opu­bli­ko­wa­nych no­ta­tek zmar­łe­go ma­te­ma­ty­ka. Car­da­no czuł się za­tem mo­ral­nie upraw­nio­ny do opu­bli­ko­wa­nia wy­ni­ku z in­for­ma­cją, że pierw­szym wy­na­laz­cą był del Fer­ro, a Tar­ta­glia dru­gim. Me­to­da zo­sta­ła przed­sta­wio­na w Ars Ma­gna Car­da­na, naj­waż­niej­szej książ­ce na te­mat al­ge­bry w XVI wie­ku.

Tar­ta­glia nig­dy nie wy­ba­czył Car­da­no­wi i zmarł jako za­gnie­wa­ny i zgorzk­nia­ły czło­wiek. Car­da­no do­żył na­to­miast pra­wie 75 lat. Prze­niósł się na łono Abra­ha­ma 21 wrze­śnia 1576 roku, w dniu, któ­ry przed laty prze­wi­dział we wła­snym ho­ro­sko­pie. Nie­któ­rzy hi­sto­ry­cy ma­te­ma­ty­ki uwa­ża­ją, że cie­szył się do­sko­na­łym zdro­wiem, lecz wy­pił tru­ci­znę, by speł­ni­ła się jego prze­po­wied­nia.

Za­miast przy­glą­dać się rów­na­niom z co­raz wyż­szy­mi po­tę­ga­mi x, mo­że­my zwięk­szyć sto­pień kom­pli­ka­cji, do­da­jąc dru­gą nie­wia­do­mą y. Układ rów­nań, ulu­bie­niec szkol­nej al­ge­bry, to za­da­nie wy­ma­ga­ją­ce roz­wią­za­nia 2 rów­nań za­wie­ra­ją­cych po 2 zmien­ne. Na przy­kład:

Aby roz­wią­zać te rów­na­nia, pod­sta­wia­my za zmien­ną w jed­nym rów­na­niu jej war­tość z dru­gie­go rów­na­nia. Po­nie­waż w tym wy­pad­ku y = x, to:

x = 3x – 2

Co spro­wa­dza się do:

2x = 2

A za­tem:

x = 1 oraz y = 1

Każ­de rów­na­nie z 2 zmien­ny­mi moż­na przed­sta­wić gra­ficz­nie. Na­ry­suj 2 prze­ci­na­ją­ce się li­nie, po­zio­mą i pio­no­wą. Niech li­nia po­zio­ma bę­dzie osią x, a li­nia pio­no­wa osią y. Osie prze­ci­na­ją się w punk­cie 0. Po­ło­że­nie do­wol­ne­go punk­tu na płasz­czyź­nie moż­na okre­ślić przez od­wo­ła­nie do punk­tów na obu osiach. Po­ło­że­nie (a, b) de­fi­niu­je się jako prze­cię­cie li­nii pio­no­wej prze­cho­dzą­cej przez a na osi x oraz li­nii po­zio­mej prze­cho­dzą­cej przez b na osi y.

Pro­sto­kąt­ny układ współ­rzęd­nych kar­te­zjań­skich.

Dla każ­de­go rów­na­nia z x i y punk­ty (x, y) z war­to­ścia­mi x i y speł­nia­ją­cy­mi to rów­na­nie opi­su­ją pew­ną pro­stą na wy­kre­sie.

Na przy­kład każ­dy z punk­tów (0, 0), (1, 1), (2, 2) i (3, 3) speł­nia rów­na­nie y = x. Je­śli za­zna­czy­my te punk­ty na wy­kre­sie, sta­nie się ja­sne, że rów­na­nie y = x two­rzy pro­stą, jak na ry­sun­ku na na­stęp­nej stro­nie.

Tak samo mo­że­my wy­kre­ślić dru­gie rów­na­nie, czy­li y = 3x – 2. Przy­pi­su­jąc x ja­kąś war­tość, a na­stęp­nie ob­li­cza­jąc, ile wy­no­si y, mo­że­my usta­lić, że na pro­stej opi­sy­wa­nej tym rów­na­niem znaj­du­ją się punk­ty (0, –2), (1, 1), (2, 4) oraz (3, 7). Jest to pro­sta, któ­ra prze­ci­na oś y w punk­cie (–2).

y = x — y = 3x – 2

Je­śli na­ło­ży­my na sie­bie obie pro­ste, zo­ba­czy­my, że prze­ci­na­ją się w punk­cie (1, 1). Wi­dzi­my więc, że roz­wią­za­nie ukła­du rów­nań sta­no­wią współ­rzęd­ne punk­tu prze­cię­cia 2 pro­stych opi­sy­wa­nych przez te rów­na­nia.

Idea, że pro­ste mogą re­pre­zen­to­wać rów­na­nia, to wiel­ki wy­na­la­zek La géo­métrie Kar­te­zju­sza. Kar­te­zjań­ski układ współ­rzęd­nych był re­wo­lu­cyj­ny, po­nie­waż wy­ty­czył nie­zna­ne do­tąd przej­ście mię­dzy al­ge­brą a geo­me­trią. Po raz pierw­szy uka­za­no nie tyl­ko zwią­zek tych dwóch od­ręb­nych i róż­nych dzie­dzin ba­dań, lecz tak­że to, że re­pre­zen­tu­ją sie­bie na­wza­jem. Jed­nym z mo­ty­wów Kar­te­zju­sza było uła­twie­nie zro­zu­mie­nia za­rów­no al­ge­bry, jak i geo­me­trii, po­nie­waż, jak po­wie­dział, osob­no „roz­cią­ga­ją się je­dy­nie na na­der abs­trak­cyj­ne kwe­stie, któ­re zda­ją się nie mieć prak­tycz­ne­go za­sto­so­wa­nia, [geo­me­tria] za­wsze jest tak przy­wią­za­na do ba­da­nia fi­gur, że nie po­tra­fi wy­krze­sać zro­zu­mie­nia bez wiel­kie­go nad­wy­rę­ża­nia wy­obraź­ni, zaś […] [al­ge­bra] jest tak pod­po­rząd­ko­wa­na pew­nym re­gu­łom i licz­bom, że sta­ła się za­wi­łą i nie­ja­sną sztu­ką, któ­ra drę­czy umysł, miast być na­uką, któ­ra go roz­wi­ja”. Kar­te­zjusz nie był fa­nem prze­mę­cza­nia się. Poza tym na­le­żał do śpio­chów – zna­ny był z tego, że je­śli mógł, nie wsta­wał z łóż­ka przed po­łu­dniem.

Kar­te­zjań­ski ma­riaż al­ge­bry z geo­me­trią to zna­ko­mi­ty przy­kład wza­jem­nej za­leż­no­ści mię­dzy abs­trak­cyj­ny­mi ide­ami a ob­ra­za­mi prze­strzen­ny­mi, któ­ra jest po­wra­ca­ją­cym mo­ty­wem w ma­te­ma­ty­ce. Wie­le naj­bar­dziej im­po­nu­ją­cych do­wo­dów w al­ge­brze – na przy­kład do­wód wiel­kie­go twier­dze­nia Fer­ma­ta – opie­ra się na geo­me­trii. Po­dob­nie dzię­ki moż­li­wo­ści opi­su al­ge­bra­icz­ne­go na nowo od­ży­ły li­czą­ce 2000 lat pro­ble­my geo­me­trycz­ne. Jed­ną z naj­bar­dziej fa­scy­nu­ją­cych cech ma­te­ma­ty­ki jest to, że po­zor­nie róż­ne te­ma­ty są ze sobą po­wią­za­ne i że pro­wa­dzi to do barw­nych od­kryć.

W 1649 roku Kar­te­zjusz prze­niósł się do Sztok­hol­mu, by zo­stać pry­wat­nym na­uczy­cie­lem szwedz­kiej kró­lo­wej Kry­sty­ny. Wład­czy­ni była ran­nym ptasz­kiem. Ge­nial­ny ma­te­ma­tyk nie­przy­zwy­cza­jo­ny za­rów­no do skan­dy­naw­skiej zimy, jak i wsta­wa­nia o pią­tej rano, wkrót­ce po przy­jeź­dzie za­cho­ro­wał na za­pa­le­nie płuc i zmarł.

Jed­nym z naj­bar­dziej oczy­wi­stych na­stępstw spo­strze­że­nia Kar­te­zju­sza, że rów­na­nia z x i y moż­na za­pi­sać w po­sta­ci krzy­wych, było od­kry­cie, że róż­ne typy rów­nań two­rzą róż­ne typy wy­kre­sów.

Rów­na­nia, ta­kie jak y = x i y = 3x – 2, w któ­rych je­dy­ny­mi wy­ra­za­mi są x i y, za­wsze dają pro­ste. Na­to­miast rów­na­nia z wy­ra­za­mi kwa­dra­to­wy­mi – czy­li za­wie­ra­ją­ce war­to­ści x2 i/lub y2– za­wsze dają je­den z 4 ty­pów krzy­wych: okrąg, elip­sę, pa­ra­bo­lę lub hi­per­bo­lę.

Okrąg — Elip­sa — Pa­ra­bo­la — Hi­per­bo­la

To, że każ­dy okrąg, elip­sa, pa­ra­bo­la i hi­per­bo­la, ja­kie moż­na na­ry­so­wać, moż­na opi­sać za po­mo­cą rów­na­nia kwa­dra­to­we­go z x i y, bar­dzo przy­da­je się w na­uce, po­nie­waż wszyst­kie te krzy­we wy­stę­pu­ją w re­al­nym świe­cie. Pa­ra­bo­la to kształt opi­su­ją­cy tor lotu cia­ła w po­wie­trzu (z po­mi­nię­ciem opo­ru po­wie­trza i przy za­ło­że­niu jed­no­rod­no­ści pola gra­wi­ta­cyj­ne­go). Tak leci pił­ka kop­nię­ta przez pił­ka­rza. Elip­sa to krzy­wa opi­su­ją­ca, jak pla­ne­ty krą­żą po or­bi­cie wo­kół Słoń­ca. Ścież­ka, jaką po­ko­nu­je w cią­gu dnia cień igli­cy ze­ga­ra sło­necz­ne­go, ma kształt hi­per­bo­li.

Roz­waż­my po­niż­sze rów­na­nie kwa­dra­to­we, któ­re za­cho­wu­je się jak ma­szy­na do ry­so­wa­nia okrę­gów i elips:

, gdzie a i b są sta­ły­mi.

Ma­szy­na ma 2 po­krę­tła, jed­no dla a i jed­no dla b. Do­bie­ra­jąc war­to­ści a i b, mo­że­my utwo­rzyć do­wol­ny okrąg lub elip­sę o środ­ku w punk­cie 0.

Kie­dy a jest ta­kie samo jak b, rów­na­nie jest ko­łem o pro­mie­niu a. Kie­dy a = b = 1, rów­na­nie ma po­stać x2+ y2= 1 i two­rzy okrąg o pro­mie­niu 1, zwa­ny okrę­giem jed­nost­ko­wym, jak na wy­kre­sie po le­wej. Kie­dy a = b = 4, rów­na­nie ma po­stać i jest to okrąg o pro­mie­niu 4. Je­śli na­to­miast a i b są róż­ny­mi licz­ba­mi, po­wsta­je elip­sa, prze­ci­na­ją­ca oś x w punk­cie a oraz oś y w punk­cie b. Na przy­kład krzy­wa po pra­wej to elip­sa, gdzie a = 3 i b = 2.

W 1818 roku fran­cu­ski ma­te­ma­tyk Ga­briel Lamé za­czął ba­wić się wzo­rem na okrąg i elip­sę. Za­sta­na­wiał się, co się sta­nie, je­śli za­cznie ma­ni­pu­lo­wać wy­kład­ni­kiem po­tę­gi za­miast war­to­ścia­mi a i b.

Efekt tej mo­dy­fi­ka­cji był fa­scy­nu­ją­cy. Roz­waż­my na przy­kład rów­na­nie xn + yn = 1 dla n = 2, n = 4 i n = 8.

x2+y2=1 x4+y4=1 — x8+y8=1

Kie­dy n = 2, po­wsta­je okrąg jed­nost­ko­wy.

Kie­dy n = 4, krzy­wa przy­po­mi­na wi­dzia­ny z góry ser Ba­by­bel4 wci­śnię­ty do pu­deł­ka. Boki są spłasz­czo­ne, czte­ry rogi za­okrą­glo­ne. Wy­glą­da to tak, jak­by koło pró­bo­wa­ło stać się kwa­dra­tem.

Kie­dy n = 8, krzy­wa jesz­cze bar­dziej przy­po­mi­na kwa­drat.

Im wyż­sze n, tym krzy­wa jest bliż­sza kwa­dra­tu. W gra­ni­cy, gdy x∞ + y∞ = 1, rów­na­nie jest kwa­dra­tem. (Je­śli co­kol­wiek za­słu­gu­je na mia­no kwa­dra­tu­ry koła, to z pew­no­ścią wła­śnie to).

To samo dzie­je się z elip­są. Je­śli weź­mie­my elip­sę opi­sa­ną rów­na­niem , to przy co­raz więk­szej war­to­ści n elip­sa w koń­cu za­mie­ni się w pro­sto­kąt. Na na­stęp­nej stro­nie za­miesz­czo­no krzy­we na­ry­so­wa­ne dla n=4 i n=8.

W cen­trum Sztok­hol­mu znaj­du­je się plac zwa­ny Ser­gels torg. Jest to wiel­ka pro­sto­kąt­na prze­strzeń z po­zio­mem dla pie­szych na dole i ron­dem dla po­jaz­dów u góry. Tu­taj or­ga­ni­zo­wa­ne są wie­ce po­li­tycz­ne, tu­taj też gro­ma­dzą się ki­bi­ce, kie­dy szwedz­ka dru­ży­na na­ro­do­wa wy­gra waż­ny mecz. Do­mi­nu­ją­cym ele­men­tem pla­cu jest środ­ko­wa część z po­kaź­ną rzeź­bą z lat 60. XX wie­ku, któ­rą miesz­kań­cy ko­cha­ją nie­na­wi­dzić – świe­cą­cy w nocy trzy­dzie­sto­sied­mio­me­tro­wy obe­lisk ze szkła i sta­li.



Kie­dy pod ko­niec lat 50. urba­ni­ści pro­jek­to­wa­li Ser­gels torg, na­tknę­li się na pro­blem geo­me­trycz­ny. Jaki jest, py­ta­li sie­bie, naj­lep­szy kształt na ron­do w pro­sto­kąt­nej prze­strze­ni? Nie chcie­li okrę­gu, po­nie­waż nie wy­ko­rzy­stał­by w peł­ni prze­strze­ni. Nie chcie­li też owa­lu ani elip­sy, któ­re wy­peł­ni­ły­by prze­strzeń, po­nie­waż zwę­żo­ne koń­ce obu kształ­tów po­gar­sza­ły­by płyn­ność ru­chu. W po­szu­ki­wa­niu od­po­wie­dzi ar­chi­tek­ci pra­cu­ją­cy nad pro­jek­tem skon­sul­to­wa­li z Pie­tem He­inem, czło­wie­kiem, któ­re­go okre­ślo­no kie­dyś jako trze­cie­go z naj­słyn­niej­szych lu­dzi w Da­nii (po fi­zy­ku Nie­lsie Boh­rze i pi­sar­ce Ka­ren Bli­xen). Piet Hein był twór­cą gru­ków, czy­li krót­kich, afo­ry­stycz­nych form po­etyc­kich, któ­re pu­bli­ko­wał w Da­nii pod­czas dru­giej woj­ny świa­to­wej jako wy­raz bier­ne­go opo­ru wo­bec na­zi­stow­skiej oku­pa­cji. Był rów­nież ma­la­rzem i ma­te­ma­ty­kiem, więc miał od­po­wied­ni ze­staw cech – wraż­li­wość ar­ty­stycz­ną, nie­ste­re­oty­po­we my­śle­nie i orien­ta­cję na­uko­wą – by za­pro­po­no­wać świe­że po­my­sły na roz­wią­za­nie szwedz­kich pro­ble­mów pla­ni­stycz­nych.

Roz­wią­za­nie He­ina po­le­ga­ło na zna­le­zie­niu, za po­mo­cą pro­stej ma­te­ma­ty­ki, kształ­tu, któ­ry sy­tu­ował się w po­ło­wie dro­gi mię­dzy elip­są a pro­sto­ką­tem. Wy­ko­rzy­stał me­to­dę opi­sa­ną na stro­nie 249. Do­brał wy­kład­nik po­tę­gi w rów­na­niu na elip­sę, by uzy­skać kształt, któ­ry wpa­so­wał­by się w pro­sto­kąt­ny Ser­gels torg. W ka­te­go­riach al­ge­bra­icz­nych zro­bił to samo, co zro­bił Lamé, ba­wiąc się z n w rów­na­niu elip­sy:

Jak po­ka­za­łem wcze­śniej, zwięk­sza­jąc n od 2 do nie­skoń­czo­no­ści, prze­cho­dzi się od koła do kwa­dra­tu albo od elip­sy do pro­sto­ką­ta. Hein oce­nił, że naj­bar­dziej es­te­tycz­nym kom­pro­mi­sem jest w tym przy­pad­ku krzy­wa dla war­to­ści n = 2,5. Mógł na­zwać nowy kształt „kwa­dro­ło”. Na­zwał go jed­nak su­per­elip­są.

Su­per­elip­sa jest nie tyl­ko ele­ganc­kim two­rem ma­te­ma­tycz­nym, do­ty­ka też głęb­sze­go ludz­kie­go wąt­ku – wszech­obec­ne­go w na­szym oto­cze­niu kon­flik­tu mię­dzy ko­ła­mi a pro­sty­mi. Jak na­pi­sał Piet Hein, „[w] ca­łym krę­gu cy­wi­li­za­cji ist­nie­ją dwie ten­den­cje, jed­na ku li­niom pro­stym i ukła­dom pro­sto­kąt­nym, a dru­ga ku li­niom okrą­głym”. Da­lej pi­sał, że „[o]bie te ten­den­cje mają swo­je uza­sad­nie­nie na­tu­ry me­cha­nicz­nej i psy­cho­lo­gicz­nej. Przed­mio­ty o pro­stych li­niach do­brze do sie­bie pa­su­ją i oszczę­dza­ją prze­strzeń. Na­to­miast ła­two nam się po­ru­sza – fi­zycz­nie lub psy­chicz­nie – wo­kół przed­mio­tów z za­okrą­glo­ny­mi li­nia­mi. Je­ste­śmy jed­nak ogra­ni­cze­ni, mu­si­my go­dzić się na jed­no lub dru­gie, choć czę­sto lep­sza by­ła­by ja­kaś for­ma po­śred­nia. Su­per­elip­sa roz­wią­za­ła pro­blem. Nie jest ani okrą­gła, ani pro­sto­kąt­na, lecz sy­tu­uje się po­środ­ku. A przy tym jest okre­ślo­na i wy­raź­na – ma w so­bie jed­ność”.

Su­per­elip­tycz­ny kształt sztok­holm­skie­go ron­da ko­pio­wa­li inni ar­chi­tek­ci, mię­dzy in­ny­mi w pro­jek­cie sta­dio­nu Az­te­ca w sto­li­cy Mek­sy­ku, na któ­rym ro­ze­gra­no fi­nał mi­strzostw świa­ta w roku 1970 i 1986. Krzy­wa He­ina tra­fi­ła na­wet do mody i sta­ła się ce­chą cha­rak­te­ry­stycz­ną skan­dy­naw­skie­go wzor­nic­twa me­blar­skie­go lat 70. Nadal moż­na ku­pić su­per­elip­tycz­ne ta­le­rze, tace i klam­ki sprze­da­wa­ne przez fir­mę pro­wa­dzo­ną przez syna Pie­ta He­ina.

Sko­ry do igra­szek umysł duń­skie­go ma­te­ma­ty­ka nie za­do­wo­lił się jed­nak su­per­elip­są. Przy na­stęp­nym pro­jek­cie Hein za­sta­na­wiał się, jak wy­glą­da­ła­by trój­wy­mia­ro­wa wer­sja tego kształ­tu. Re­zul­tat był czymś mię­dzy kulą a pu­dłem. Mógł na­zwać go „ku­lu­dłem”. Na­zwał go jed­nak su­per­ja­jem.

Pew­ną nie­spo­dzie­wa­ną wła­sno­ścią su­per­ja­ja było to, że mo­gło stać na czub­ku i nie prze­wra­ca­ło się. W la­tach 70. Hein sprze­da­wał su­per­ja­ja ze sta­li nie­rdzew­nej jako „rzeź­bę, no­wość bądź amu­let”. Były to pięk­ne i oso­bli­we przed­mio­ty. Jed­no z nich mam na ko­min­ku. Ma je rów­nież izra­el­ski ilu­zjo­ni­sta Uri Gel­ler. Do­stał je od Joh­na Len­no­na z wy­ja­śnie­niem, że mu­zyk otrzy­mał jajo od przy­by­szów z ko­smo­su, któ­rzy od­wie­dzi­li go w no­wo­jor­skim miesz­ka­niu. „Za­trzy­maj je – Len­non po­wie­dział Gel­le­ro­wi. – Dla mnie jest zbyt dziw­ne. Je­śli to mój bi­let na inną pla­ne­tę, to nie chcę tam le­cieć”.

Wsu­per­ja­jow­zię­ty: Uri Gel­ler.

* * *

1 Szcze­pan Je­leń­ski, Li­la­va­ti. Roz­ryw­ki ma­te­ma­tycz­ne, Wy­daw­nic­twa Szkol­ne i Pe­da­go­gicz­ne, War­sza­wa 1992, s. 67 (przyp. red.).

2 Szcze­pan Je­leń­ski, Śla­da­mi Pi­ta­go­ra­sa. Roz­ryw­ki ma­te­ma­tycz­ne, Wy­daw­nic­twa Szkol­ne i Pe­da­go­gicz­ne, War­sza­wa 1988, s. 261 (przyp. red.).

3 W li­te­ra­tu­rze przed­mio­tu moż­na się też spo­tkać ze spo­lsz­cze­niem „ko­si­ści” (przyp. tłum.).

4 Po­dob­ny do pol­skie­go li­li­pu­ta (przyp. red.).

ROZ­DZIAŁ SZÓ­STY

Czas na za­ba­wę

Maki Kaji pro­wa­dzi ja­poń­skie cza­so­pi­smo spe­cja­li­zu­ją­ce się w ła­mi­głów­kach licz­bo­wych. Uwa­ża się za fa­chow­ca od roz­ryw­ki, któ­ry w cha­rak­te­rze re­kwi­zy­tów wy­ko­rzy­stu­je licz­by.

– Czu­ję się bar­dziej re­ży­se­rem fil­mo­wym czy te­atral­nym niż ma­te­ma­ty­kiem – wy­ja­śnił.

Spo­tka­łem się z Ka­jim w jego biu­rze w To­kio. Nie wy­glą­dał ani na ma­te­ma­tycz­ne­go ab­ne­ga­ta, ani na ele­ganc­kie­go przed­się­bior­cę, wbrew temu, cze­go moż­na by się spo­dzie­wać po go­ściu od liczb, któ­ry od­niósł suk­ces w biz­ne­sie. Ubra­ny był w czar­ny T-shirt i mod­ny roz­pi­na­ny swe­ter w ko­lo­rze be­żo­wym, na no­sie miał le­non­ki. Pięć­dzie­się­cio­sied­mio­la­tek z przy­strzy­żo­ną bia­łą ko­zią bród­ką i z bo­ko­bro­da­mi czę­sto uśmie­chał się ra­do­śnie. Z en­tu­zja­zmem opo­wia­dał mi o in­nych swo­ich ko­ni­kach poza za­gad­ka­mi licz­bo­wy­mi. Kaji ko­lek­cjo­nu­je na przy­kład gum­ki re­cep­tur­ki i pod­czas nie­daw­nej wy­ciecz­ki do Lon­dy­nu zna­lazł coś, co dla nie­go było wiel­kim skar­bem – dwu­dzie­sto­pię­cio­gra­mo­wą pacz­kę re­cep­tu­rek mar­ki WH Smith oraz stu­gra­mo­we opa­ko­wa­nie ja­kiejś nie­za­leż­nej fir­my pa­pier­ni­czej. Zaj­mu­je się rów­nież fo­to­gra­fo­wa­niem in­te­re­su­ją­cych aryt­me­tycz­nie ta­blic re­je­stra­cyj­nych. W Ja­po­nii ta­bli­ce re­je­stra­cyj­ne skła­da­ją się z dwóch par liczb. Kaji za­wsze nosi przy so­bie mały apa­rat fo­to­gra­ficz­ny i pstry­ka każ­dą re­je­stra­cję, w któ­rej ilo­czyn pierw­szej pary rów­na się dru­giej pa­rze.

Przy za­ło­że­niu, że ża­den ja­poń­ski sa­mo­chód nie ma 00 w dru­giej pa­rze cyfr, każ­da fo­to­gra­fo­wa­na przez Ka­jie­go re­je­stra­cja to po­zy­cja z ta­blicz­ki mno­że­nia od 1 do 9. Na przy­kład 11 01 moż­na ująć jako 1 · 1 = 1. Ana­lo­gicz­nie 12 02 to 1 · 2 = 2. I tak da­lej – w su­mie jest 81 moż­li­wych kom­bi­na­cji. Kaji ze­brał już po­nad 50. Pla­nu­je, że po skom­ple­to­wa­niu ca­łej ta­blicz­ki mno­że­nia wy­sta­wi swo­ją ko­lek­cję w ga­le­rii.

Fot­ka 3 × 5 = 15 zro­bio­na przez Maki Ka­jie­go na par­kin­gu w To­kio.

Po­mysł za­baw z licz­ba­mi jest tak sta­ry jak sama ma­te­ma­ty­ka. Na przy­kład w pa­pi­ru­sie Rhin­da znaj­du­je się po­niż­sze ze­sta­wie­nie, któ­re sta­no­wi część roz­wią­za­nia pro­ble­mu 79. W prze­ci­wień­stwie do in­nych pro­ble­mów z pa­pi­ru­su aku­rat ten nie ma wy­raź­ne­go za­sto­so­wa­nia prak­tycz­ne­go.

Domy — 7

Koty — 49

My­szy — 343

Or­kisz — 24011

He­kat2 — 16 807

Suma — 19 607

Li­sta przed­sta­wia in­wen­tarz 7 do­mów, w któ­rych jest po 7 ko­tów, któ­re zja­dły po 7 my­szy, któ­re zja­dły po 7 zia­ren or­ki­szu, z któ­rych wy­ro­sło­by po 7 he­ka­tów. Licz­by te two­rzą ciąg geo­me­trycz­ny, w któ­rym na­stęp­ny wy­raz po­wsta­je z po­mno­że­nia po­przed­nie­go wy­ra­zu przez sta­łą licz­bę, tu­taj 7. Jest 7 razy wię­cej ko­tów niż do­mów, 7 razy wię­cej my­szy niż ko­tów, 7 razy wię­cej zia­ren or­ki­szu niż my­szy i 7 razy wię­cej he­ka­tów niż zia­ren or­ki­szu. Sumę tych ele­men­tów moż­na za­pi­sać jako 7 + 72 + 73 + 74 + 75.

Nie tyl­ko Egip­cja­nie mie­li sła­bość do tego typu cią­gów. Nie­mal iden­tycz­na za­gad­ka po­ja­wi­ła się na po­cząt­ku XIX wie­ku w ry­mo­wan­ce Bab­ci Gą­ski:

As I was go­ing to St Ives,

I met a man with se­ven wi­ves,

Eve­ry wife had se­ven sacks,

Eve­ry sack had se­ven cats,

Eve­ry cat had se­ven kits.

Kits, cats, sacks, wi­ves,

How many were go­ing to St Ives?

(Kie­dy zmie­rza­łem do St Ives,

Spo­tka­łem człe­ka, co miał sie­dem żon,

A każ­da żona mia­ła sie­dem wor­ków,

A w każ­dym wor­ku było sie­dem ko­tów,

A każ­dy kot miał sie­dem ko­ciąt.

Ko­cię­ta, koty, wor­ki, żony,

Ile ich zmie­rza­ło do St Ives?)

Wier­szyk ten jest naj­słyn­niej­szym pod­chwy­tli­wym py­ta­niem w li­te­ra­tu­rze an­giel­skiej, po­nie­waż przy­pusz­czal­nie ów człek i jego ko­ro­wód żon z ko­ta­mi w wor­kach szli z, a nie do, St Ives. Nie­za­leż­nie jed­nak od kie­run­ku po­dró­ży suma ko­ciąt, ko­tów, wor­ków i żon wy­no­si 7 + 72 + 73 + 74, czy­li 2800.

Inną, mniej zna­ną wer­sję za­gad­ki za­wie­ra pro­blem opi­sa­ny w Li­ber aba­ci Fi­bo­nac­cie­go. U Wło­cha było 7 ko­biet uda­ją­cych się do Rzy­mu z co­raz więk­szy­mi licz­ba­mi mu­łów, wor­ków, bo­chen­ków, noży i po­chew. Do­dat­ko­we 75 po­więk­sza­ją sze­reg do 137 256.

Jaki urok tkwi w ro­sną­cych po­tę­gach sió­dem­ki, że po­ja­wia­ją się w tak róż­nych epo­kach i kon­tek­stach? Wszyst­kie przy­to­czo­ne przy­kła­dy ilu­stru­ją sza­lo­ne przy­śpie­sze­nie cią­gów geo­me­trycz­nych. Ry­mo­wan­ka w po­etyc­ki spo­sób uka­zu­je, jak szyb­ko małe licz­by mogą pro­wa­dzić do wiel­kich. Na po­cząt­ku my­śli­my, że ko­ciąt, ko­tów, wor­ków i żon bę­dzie spo­ro – ale nie aż pra­wie 3000! Tę samą ob­ser­wa­cję ma­te­ma­tycz­ną wy­ra­ża­ją żar­to­bli­we pro­ble­my z pa­pi­ru­su Rhin­da i Li­ber aba­ci. Sama sió­dem­ka – choć mo­gło­by się wy­da­wać, że po­win­na mieć ja­kąś szcze­gól­ną wła­sność, sko­ro tak czę­sto wy­stę­pu­je w po­dob­nych za­da­niach – nie ma tu więk­sze­go zna­cze­nia. Mo­że­my wziąć do­wol­ną licz­bę i po­mno­żyć ją kil­ka razy przez sie­bie, a bar­dzo szyb­ko otrzy­ma­my licz­bę dużo więk­szą, niż pod­po­wia­da­ła­by nam in­tu­icja.

Na­wet przy mno­że­niu przez sie­bie naj­niż­szej moż­li­wej licz­by, czy­li 2, ilo­czyn szy­bu­je w nie­bo w za­wrot­nym tem­pie. Po­łóż 1 ziar­no psze­ni­cy w na­roż­nym polu sza­chow­ni­cy. Na są­sied­nim polu po­łóż 2 ziar­na i za­cznij wy­peł­niać po­zo­sta­łe kwa­dra­ty, po­dwa­ja­jąc za każ­dym ra­zem licz­bę zia­ren. Ile psze­ni­cy trze­ba by po­ło­żyć na ostat­nim polu? Kil­ka cię­ża­ró­wek, może kon­te­ner? Sza­chow­ni­ca skła­da się z 64 pól, więc po­dwa­ja­li­śmy ilość 63 razy, czy­li licz­ba 2 zo­sta­ła po­mno­żo­na przez sie­bie 63 razy, co daje 263. W prze­li­cze­niu na ziar­na licz­ba ta jest mniej wię­cej stu­krot­nie więk­sza, niż wy­no­si obec­nie rocz­na pro­duk­cja psze­ni­cy na ca­łym świe­cie. Albo in­a­czej: gdy­by­śmy za­czę­li li­czyć po 1 ziar­nie na se­kun­dę w mo­men­cie Wiel­kie­go Wy­bu­chu oko­ło 13 mi­liar­dów lat temu, to do dziś nie do­li­czy­li­by­śmy na­wet do jed­nej dzie­sią­tej 263.

Za­gad­ki, ry­mo­wan­ki i gry ma­te­ma­tycz­ne okre­śla się mia­nem ma­te­ma­ty­ki roz­ryw­ko­wej. To bar­dzo sze­ro­ka i pręż­na dzie­dzi­na, a jej pod­sta­wo­wą ce­chą jest to, że obej­mu­je za­gad­nie­nia przy­stęp­ne dla za­pa­lo­nych la­ików, na­wet gdy kry­je się za nimi nie­sa­mo­wi­cie skom­pli­ko­wa­na teo­ria. Zresz­tą nie za­wsze musi być ja­kaś teo­ria, cza­sem cho­dzi po pro­stu o za­chwyt nad cu­dow­no­ścią liczb – na przy­kład o przy­jem­ność ko­lek­cjo­no­wa­nia zdjęć ta­blic re­je­stra­cyj­nych.

Prze­ło­mo­we dla hi­sto­rii ma­te­ma­ty­ki roz­ryw­ko­wej wy­da­rze­nie mia­ło po­noć miej­sce na brze­gu Żół­tej Rze­ki w Chi­nach oko­ło 2000 roku przed na­szą erą. Jak gło­si le­gen­da, ce­sarz Yu zo­ba­czył żół­wia wy­cho­dzą­ce­go z wody. Był to świę­ty żółw z czar­ny­mi i bia­ły­mi krop­ka­mi na brzu­chu. Krop­ki sym­bo­li­zo­wa­ły pierw­sze 9 liczb i two­rzy­ły na brzu­chu żół­wia siat­kę, któ­ra (gdy­by za­pi­sać krop­ki w po­sta­ci cyfr arab­skich) wy­glą­da­ła jak ry­su­nek A.

Kwa­drat, któ­ry za­wie­ra ko­lej­ne licz­by, po­cząw­szy od 1, uło­żo­ne w taki spo­sób, że suma liczb we wszyst­kich rzę­dach, ko­lum­nach i prze­kąt­nych łą­czą­cych prze­ciw­le­głe wierz­choł­ki jest rów­na, na­zy­wa się kwa­dra­tem ma­gicz­nym. Chiń­czy­cy na­zy­wa­li go lo shu. (Suma cyfr w każ­dym rzę­dzie, ko­lum­nie i prze­kąt­nej wy­no­si 15). Chiń­czy­cy wie­rzy­li, że lo shu sym­bo­li­zu­je we­wnętrz­ną har­mo­nię wszech­świa­ta, i uży­wa­li go do wró­że­nia oraz ce­lów re­li­gij­nych. Je­śli za­cznie­my od 1 i na­ry­su­je­my li­nię prze­cho­dzą­cą po ko­lei przez licz­by w kwa­dra­cie, otrzy­ma­my wzór wi­docz­ny na ry­sun­ku B oraz na ry­sun­ku obok, któ­ry za­wie­ra wska­zów­ki dla tao­istycz­nych ka­pła­nów, jak po­ru­szać się po świą­ty­ni. Układ na­zy­wa­ny yubu pod­kre­śla rów­nież nie­któ­re za­sa­dy feng shui, czy­li chiń­skiej fi­lo­zo­fii es­te­ty­ki.

Tao­istycz­ny drze­wo­ryt przed­sta­wia­ją­cy yubu.

Mi­stycz­ny aspekt lo shu do­strze­ga­no nie tyl­ko w kul­tu­rze chiń­skiej. Kwa­dra­ty ma­gicz­ne są przed­mio­ta­mi o du­cho­wym zna­cze­niu dla hin­du­istów, mu­zuł­ma­nów, ży­dów i chrze­ści­jan. Kul­tu­ra is­lam­ska zna­la­zła naj­bar­dziej twór­cze za­sto­so­wa­nia. W Tur­cji i In­diach dzie­wi­ce mia­ły obo­wią­zek ha­fto­wa­nia kwa­dra­tów ma­gicz­nych na ko­szu­lach wo­jow­ni­ków. Wie­rzo­no, że je­śli umie­ści się kwa­drat ma­gicz­ny na ło­nie ro­dzą­cej ko­bie­ty, to po­ród bę­dzie ła­twiej­szy. Hin­du­iści no­si­li wi­sio­rek z kwa­dra­ta­mi ma­gicz­ny­mi jako ochron­ny ta­li­zman, a re­ne­san­so­wi astro­lo­go­wie ko­ja­rzy­li je z pla­ne­ta­mi sys­te­mu sło­necz­ne­go. Ła­two wy­śmie­wać okul­ty­stycz­ne skłon­no­ści na­szych przod­ków, ale współ­cze­sny czło­wiek może zro­zu­mieć ich fa­scy­na­cję kwa­dra­tem ma­gicz­nym. Pro­sty, a za­ra­zem sub­tel­nie za­wi­ły przy­po­mi­na licz­bo­wą man­trę, przed­miot wiecz­nej kon­tem­pla­cji i sa­mo­ist­ny wy­raz po­rząd­ku w cha­otycz­nym świe­cie.

Jed­nym z uro­ków kwa­dra­tów ma­gicz­nych jest to, że nie są one ogra­ni­czo­ne do sia­tek 3 × 3. Słyn­ny przy­kład kwa­dra­tu 4 × 4 po­cho­dzi z dzie­ła Al­brech­ta Düre­ra. W Me­lan­cho­lii I (na na­stęp­nej stro­nie) nie­miec­ki ma­larz i teo­re­tyk sztu­ki umie­ścił kwa­drat 4 × 4 za­wie­ra­ją­cy rok wy­ko­na­nia mie­dzio­ry­tu: 1514.

Kwa­drat Düre­ra tak na­praw­dę jest über­ma­gicz­ny. Nie tyl­ko rzę­dy, ko­lum­ny i prze­kąt­ne su­mu­ją się do 34 – tyle samo wy­no­szą też sumy kom­bi­na­cji 4 liczb, któ­re za­zna­czo­no krop­ka­mi i po­łą­czo­no w kwa­dra­tach.

Wzo­ry ukry­te w kwa­dra­cie Düre­ra są wprost nie­wia­ry­god­ne, a im dłu­żej się pa­trzy, tym wię­cej się ich od­kry­wa. Na przy­kład suma kwa­dra­tów liczb z pierw­sze­go i dru­gie­go rzę­du wy­no­si 748. Tyle samo wy­no­si suma kwa­dra­tów liczb z trze­cie­go i czwar­te­go rzę­du lub kwa­dra­tów liczb z pierw­sze­go i trze­cie­go rzę­du bądź kwa­dra­tów liczb z dru­gie­go i czwar­te­go rzę­du bądź kwa­dra­tów liczb z obu prze­kąt­nych. Nie­sa­mo­wi­te!

Me­lan­cho­lia I: Słyn­ny mie­dzio­ryt Düre­ra przed­sta­wia po­grą­żo­ne­go w my­ślach anio­ła w oto­cze­niu ma­te­ma­tycz­nych i na­uko­wych ak­ce­so­riów, ta­kich jak cyr­kiel, kula, waga, klep­sy­dra i kwa­drat ma­gicz­ny. Hi­sto­ry­cy sztu­ki, zwłasz­cza ci z mi­stycz­ny­mi in­kli­na­cja­mi, od daw­na za­sta­na­wia­ją się nad sym­bo­li­ką obiek­tu geo­me­trycz­ne­go na środ­ku po le­wej, któ­ry na­zy­wa­ny jest „bry­łą Düre­ra” – ma­te­ma­ty­cy na­to­miast od daw­na za­sta­na­wia­ją się nad tym, jak go, u li­cha, skon­stru­ować.

Ale to nie wszyst­ko – ob­róć­my kwa­drat Düre­ra o 180 stop­ni i odej­mij­my 1 od pól za­wie­ra­ją­cych 11, 12, 15 i 16. Re­zul­tat wy­glą­da na­stę­pu­ją­co:

Ten kwa­drat po­cho­dzi z ka­te­dry Sa­gra­da Fa­mília w Bar­ce­lo­nie za­pro­jek­to­wa­nej przez An­to­nia Gau­díe­go. Kwa­drat Gau­díe­go nie jest ma­gicz­ny, po­nie­waż dwie licz­by po­wta­rza­ją się, ale i tak jest dość szcze­gól­ny. Ko­lum­ny, rzę­dy i prze­kąt­ne su­mu­ją się tu­taj do 33 – wie­ku, ja­kie­go do­żył Chry­stus.

Kwa­dra­ty ma­gicz­ne sta­no­wią ab­sor­bu­ją­cą roz­ryw­kę, go­dzi­na­mi moż­na po­dzi­wiać ukła­dy i har­mo­nij­ne pra­wi­dło­wo­ści. Wła­ści­wie ża­den inny nie­prak­tycz­ny ob­szar ma­te­ma­ty­ki nie bu­dził przez tyle lat tak wiel­kie­go za­in­te­re­so­wa­nia ze stro­ny ma­te­ma­ty­ków ama­to­rów. W XVIII i XIX wie­ku buj­nie roz­wi­ja­ła się li­te­ra­tu­ra na te­mat kwa­dra­tów ma­gicz­nych. Do naj­sza­cow­niej­szych mi­ło­śni­ków tej roz­ryw­ki na­le­żał Ben­ja­min Fran­klin, je­den z oj­ców za­ło­ży­cie­li Sta­nów Zjed­no­czo­nych, któ­ry jako mło­dy urzęd­nik Zgro­ma­dze­nia Pen­syl­wa­nii nu­dził się bar­dzo pod­czas ob­rad i kon­stru­ował wła­sne kwa­dra­ty. Naj­słyn­niej­szy jest kwa­drat 8 × 8 po­ka­za­ny obok, któ­ry Fran­klin wy­my­ślił po­noć jako mło­dy chło­pak. Za­warł w nim jed­ną z in­no­wa­cji, ja­kie wpro­wa­dził do teo­rii kwa­dra­tów ma­gicz­nych: „ła­ma­ną prze­kąt­ną” skła­da­ją­cą się z liczb na czar­nych i sza­rych po­lach, jak wi­dać na ry­sun­kach A i B po­ni­żej. Jego kwa­drat nie jest, co praw­da, wła­ści­wym kwa­dra­tem ma­gicz­nym, po­nie­waż peł­ne prze­kąt­ne nie su­mu­ją się do licz­by 260, ale za to su­mu­ją się wy­na­le­zio­ne przez nie­go ła­ma­ne prze­kąt­ne. Suma czar­nych pól w C, D i E oraz suma sza­rych pól w E, a tak­że, rzecz ja­sna, suma każ­de­go rzę­du i ko­lum­ny rów­nież wy­no­si 260.

W li­ście opu­bli­ko­wa­nym w 1769 roku Ben­ja­min Fran­klin tak pi­sał o książ­ce na te­mat kwa­dra­tów ma­gicz­nych: „Za mło­du [...] za­ba­wia­łem się two­rze­niem tego ro­dza­ju kwa­dra­tów ma­gicz­nych, aż wresz­cie do­sze­dłem do ta­kiej wpra­wy, że po­tra­fi­łem wy­peł­nić pola do­wol­ne­go kwa­dra­tu ma­gicz­ne­go o roz­sąd­nych roz­mia­rach cią­giem liczb, tak szyb­ko, jak tyl­ko mo­głem je na­pi­sać, roz­miesz­czo­nych w taki spo­sób, by suma każ­de­go rzę­du, po­zio­me­go, pio­no­we­go lub uko­śne­go, była taka sama; nie bę­dąc jed­nak z nich za­do­wo­lo­ny, gdyż uwa­ża­łem je za coś po­spo­li­te­go i ła­twe­go, na­rzu­ci­łem so­bie trud­niej­sze za­da­nia i z po­wo­dze­niem two­rzy­łem inne ma­gicz­ne kwa­dra­ty o roz­ma­itych wła­ści­wo­ściach i o wie­le cie­kaw­sze”. Na­stęp­nie przed­sta­wił po­wyż­szy kwa­drat ze swo­jej książ­ki Expe­ri­ments and Ob­se­rva­tions on Elec­tri­ci­ty wy­da­nej w Fi­la­del­fii w 1769 roku.

Kwa­drat Fran­kli­na za­wie­ra jesz­cze bar­dziej urze­ka­ją­ce sy­me­trie. Suma liczb w każ­dym we­wnętrz­nym kwa­dra­cie 2 × 2 wy­no­si 130, tyle samo wy­no­si suma do­wol­nych 4 liczb znaj­du­ją­cych się w jed­na­ko­wej od­le­gło­ści od środ­ka. Po­noć Fran­klin po czter­dzie­st­ce wy­na­lazł jesz­cze je­den kwa­drat. Pew­ne­go wie­czo­ru wy­my­ślił nie­wia­ry­god­ny kwa­drat 16 × 16, któ­ry sam na­zwał „naj­ma­gicz­niej ma­gicz­nym ze wszyst­kich kwa­dra­tów ma­gicz­nych wy­my­ślo­nych kie­dy­kol­wiek przez ja­kie­go­kol­wiek ma­gi­ka”. (Znaj­du­je się on w anek­sie trze­cim).

Jed­ną z przy­czyn nie­prze­mi­ja­ją­cej po­pu­lar­no­ści za­ba­wy w ukła­da­nie kwa­dra­tów ma­gicz­nych jest ich za­ska­ku­ją­co duża licz­ba. Po­licz­my je, za­czy­na­jąc od naj­mniej­sze­go: jest tyl­ko 1 kwa­drat ma­gicz­ny 1 × 1: licz­ba 1. Nie ma kwa­dra­tów ma­gicz­nych z 4 licz­ba­mi w ukła­dzie 2 × 2. Na osiem spo­so­bów moż­na uło­żyć cy­fry od 1 do 9, by po­wsta­ły kwa­drat 3 × 3 był ma­gicz­ny, ale każ­da z tych 8 wer­sji to w rze­czy­wi­sto­ści ten sam kwa­drat ob­ró­co­ny bądź od­bi­ty, więc mówi się, że jest tyl­ko 1 praw­dzi­wy kwa­drat ma­gicz­ny 3 × 3. Ry­su­nek obok przed­sta­wia, jak utwo­rzyć po­szcze­gól­ne wa­rian­ty, za­czy­na­jąc od lo shu.

O dzi­wo, po­wy­żej 3 licz­ba moż­li­wych do uło­że­nia kwa­dra­tów ma­gicz­nych ro­śnie w zdu­mie­wa­ją­cym tem­pie. Na­wet od­rzu­ciw­szy ob­ro­ty i od­bi­cia, da się utwo­rzyć 880 kwa­dra­tów ma­gicz­nych o boku 4. Licz­ba kwa­dra­tów ma­gicz­nych 5 × 5 wy­no­si 275 305 224, co ob­li­czo­no w 1973 roku, i to wy­łącz­nie dzię­ki wy­ko­rzy­sta­niu kom­pu­te­ra. I choć licz­ba ta wy­da­je się nie­bo­tycz­nie wy­so­ka, to jed­nak nic w po­rów­na­niu z licz­bą wszyst­kich moż­li­wych ukła­dów liczb od 1 do 25 w kwa­dra­cie 5 × 5. Cał­ko­wi­tą licz­bę ukła­dów ob­li­cza się, mno­żąc 25 przez 24 przez 23 i tak da­lej aż do 1, co rów­na się mniej wię­cej 1,5 z 25 ze­ra­mi, czy­li 15 kwa­dry­lio­nów.

Licz­ba kwa­dra­tów ma­gicz­nych 6 × 6 w ogó­le nie jest zna­na. Jest ona tak wiel­ka, że prze­wyż­sza sumę zia­ren psze­ni­cy z przy­kła­du z sza­chow­ni­cą.

Kwa­dra­ty ma­gicz­ne nie są wy­łącz­ną do­me­ną ama­to­rów. Pod ko­niec ży­cia za­in­te­re­so­wał się nimi osiem­na­sto­wiecz­ny szwaj­car­ski ma­te­ma­tyk Le­on­hard Eu­ler. (Był on wów­czas już nie­mal cał­ko­wi­cie nie­wi­do­my, co bu­dzi tym więk­szy po­dziw dla jego ba­dań nad prze­strzen­nym za­sto­so­wa­niem liczb). Eu­ler zaj­mo­wał się zwłasz­cza zmo­dy­fi­ko­wa­ną wer­sją kwa­dra­tu, w któ­rej każ­da licz­ba lub sym­bol po­ja­wia się do­kład­nie raz w każ­dym rzę­dzie i każ­dej ko­lum­nie. Na­zwał go kwa­dra­tem ła­ciń­skim.

W prze­ci­wień­stwie do kwa­dra­tów ma­gicz­nych kwa­dra­ty ła­ciń­skie mają kil­ka za­sto­so­wań prak­tycz­nych. Moż­na wy­ko­rzy­stać je do utwo­rze­nia gra­fi­ku roz­gry­wek spor­to­wych, w któ­rych każ­dy gra z każ­dym; przy­da­ją się rów­nież w rol­nic­twie do te­sto­wa­nia sku­tecz­no­ści róż­nych na­wo­zów na ka­wał­ku zie­mi. Je­śli rol­nik ma, po­wiedz­my, 6 pro­duk­tów do prze­te­sto­wa­nia i po­dzie­li pole na kwa­drat 6 × 6, roz­pro­wa­dza­jąc każ­dy śro­dek zgod­nie z ukła­dem kwa­dra­tu ła­ciń­skie­go, bę­dzie miał pew­ność, że zmien­ność wa­run­ków gle­bo­wych wpły­nie tak samo na każ­dy ze spe­cy­fi­ków.

Kwa­dra­ty ła­ciń­skie.

Maki Kaji, ja­poń­ski twór­ca ła­mi­głó­wek, któ­re­go przed­sta­wi­łem na po­cząt­ku roz­dzia­łu, na nowo roz­bu­dził fa­scy­na­cję kwa­dra­ta­mi licz­bo­wy­mi. Na po­mysł wpadł pod­czas prze­glą­da­nia ame­ry­kań­skie­go cza­so­pi­sma z roz­ryw­ka­mi umy­sło­wy­mi. Nie zna­jąc an­giel­skie­go, prze­rzu­cał stro­ny z nie­zro­zu­mia­ły­mi gra­mi słow­ny­mi. Za­trzy­mał się do­pie­ro na siat­kach licz­bo­wych o in­try­gu­ją­cym wy­glą­dzie. Ła­mi­głów­ka o na­zwie Num­ber Pla­ce była czę­ścio­wo wy­peł­nio­nym kwa­dra­tem ła­ciń­skim 9 × 9 z cy­fra­mi od 1 do 9. Prze­strze­ga­jąc za­sa­dy, że każ­da licz­ba może wy­stą­pić w każ­dym rzę­dzie i w każ­dej ko­lum­nie tyl­ko je­den raz, na­le­ża­ło lo­gicz­nie wy­de­du­ko­wać, jak uzu­peł­nić pu­ste pola. Po­moc dla roz­wią­zu­ją­ce­go sta­no­wił do­dat­ko­wy wa­ru­nek: kwa­drat po­dzie­lo­ny był na 9 mniej­szych kwa­dra­tów 3 × 3, któ­re wy­róż­nio­no po­gru­bio­ną li­nią. Każ­da licz­ba od 1 do 9 mo­gła po­ja­wić się w mniej­szym kwa­dra­cie rów­nież tyl­ko 1 raz. Kaji roz­wią­zał Num­ber Pla­ce i bar­dzo mu się to spodo­ba­ło – wła­śnie ta­kie­go ro­dza­ju ła­mi­głów­ki chciał dru­ko­wać w swo­im cza­so­pi­śmie.

Num­ber Pla­ce, któ­re po­ja­wi­ło się na ryn­ku w 1979 roku, było dzie­łem Ho­war­da Garn­sa, eme­ry­to­wa­ne­go ar­chi­tek­ta i mi­ło­śni­ka ła­mi­głó­wek z In­dia­ny. Choć Kaji za­chwy­cił się za­gad­ką Garn­sa, po­sta­no­wił ją prze­ro­bić, roz­miesz­cza­jąc ujaw­nio­ne w dia­gra­mie licz­by tak, jak to robi się w krzy­żów­kach. Na­zwał swo­ją wer­sję su­do­ku, co po ja­poń­sku zna­czy „licz­ba musi wy­stą­pić tyl­ko raz”.

Su­do­ku za­de­biu­to­wa­ło w pierw­szych nu­me­rach cza­so­pi­sma roz­ryw­ko­we­go Ka­jie­go w 1980 roku, ale czy­tel­ni­cy nie za­chwy­ci­li się ła­mi­głów­ką. Do­pie­ro kie­dy tra­fi­ła za gra­ni­cę, zy­ska­ła bły­ska­wicz­ną po­pu­lar­ność.

Jak Ja­poń­czyk bez zna­jo­mo­ści an­giel­skie­go mógł zro­zu­mieć Num­ber Pla­ce, tak nie­mó­wią­cy po ja­poń­sku użyt­kow­nik an­giel­skie­go mógł zro­zu­mieć su­do­ku. W 1997 roku No­wo­ze­land­czyk Way­ne Gould wstą­pił do księ­gar­ni w To­kio. Za­gu­bio­ny wśród ja­poń­skich zna­ków w koń­cu na­tknął się na zna­jo­my wi­dok. Zo­ba­czył na okład­ce książ­ki coś na kształt krzy­żów­ki z licz­ba­mi. Gould nie od razu po­jął za­sa­dy ła­mi­głów­ki, ale ku­pił książ­kę z my­ślą, że póź­niej ją roz­pra­cu­je. Pod­czas wa­ka­cji na po­łu­dniu Włoch ana­li­zo­wał od­po­wie­dzi, aż roz­wią­zał za­gad­kę. Gould, któ­ry był świe­żo eme­ry­to­wa­nym sę­dzią z Hong­kon­gu, uczył się sa­mo­dziel­nie pro­gra­mo­wa­nia i po­sta­no­wił na­pi­sać pro­gram do two­rze­nia su­do­ku. Wy­ko­na­nie tego za­da­nia za­ję­ło­by spraw­ne­mu pro­gra­mi­ście może kil­ka dni. Gou­l­do­wi za­ję­ło 6 lat.

Było jed­nak war­to i we wrze­śniu 2004 roku na­mó­wił „Con­way Da­ily Sun” z New Hamp­shi­re do opu­bli­ko­wa­nia jed­nej z ła­mi­głó­wek. Od­nio­sła na­tych­mia­sto­wy suk­ces. W na­stęp­nym mie­sią­cu Gould po­sta­no­wił zwró­cić się do pra­sy ogól­no­bry­tyj­skiej. Uznał, że po­mysł naj­le­piej się sprze­da, je­śli po­ka­że ma­kie­tę ak­tu­al­ne­go wy­da­nia ga­ze­ty z za­miesz­czo­nym su­do­ku. Dzię­ki spra­wom pro­wa­dzo­nym w Hong­kon­gu miał wy­star­cza­ją­ce po­ję­cie o fał­szer­stwach, by spre­pa­ro­wać prze­ko­nu­ją­cą pod­rób­kę dru­gie­go dzia­łu „Ti­me­sa”, z któ­rą wy­brał się do re­dak­cji dzien­ni­ka. Po kil­ku go­dzi­nach cze­ka­nia w re­cep­cji za­pre­zen­to­wał fik­cyj­ny eg­zem­plarz ga­ze­ty i naj­wy­raź­niej zdo­łał prze­ko­nać re­dak­to­rów do swe­go po­my­słu. Za­raz po jego wyj­ściu je­den z sze­fów „Ti­me­sa” wy­słał Gou­l­do­wi e-mail z proś­bą, by nie po­ka­zy­wał su­do­ku ni­ko­mu in­ne­mu. 2 ty­go­dnie póź­niej ła­mi­głów­ka uka­za­ła się po raz pierw­szy, a po 3 dniach „Da­ily Mail” wpro­wa­dził wła­sną wer­sję. W stycz­niu 2005 roku do gry włą­czył się „Da­ily Te­le­graph” i wkrót­ce każ­da bry­tyj­ska ga­ze­ta mu­sia­ła za­wie­rać co­dzien­ną por­cję su­do­ku, by nie od­sta­wać od kon­ku­ren­cji. W tym sa­mym roku „In­de­pen­dent” do­niósł o sie­dem­set­pro­cen­to­wym wzro­ście sprze­da­ży ołów­ków w Wiel­kiej Bry­ta­nii, co zda­niem dzien­ni­ka było re­zul­ta­tem no­wej mody. La­tem w księ­gar­niach, kio­skach i na lot­ni­skach były już całe pół­ki z su­do­ku, i to nie tyl­ko na Wy­spach, lecz na ca­łym świe­cie. W 2005 roku na jed­nej z list be­st­sel­le­rów „USA To­day” 6 spo­śród 50 ksią­żek po­świę­co­nych było su­do­ku. Do koń­ca roku ła­mi­głów­ka zdą­ży­ła upo­wszech­nić się w 30 kra­jach, a ma­ga­zyn „Time” za­li­czył Way­ne’a Gou­l­da do gro­na 100 osób, któ­re naj­bar­dziej zmie­ni­ły ob­li­cze świa­ta w tam­tym roku, obok Bil­la Ga­te­sa, Oprah Win­frey i Geo­r­ge’a Clo­oneya. Pod ko­niec 2006 roku su­do­ku dru­ko­wa­no już w 60 kra­jach, a w 2007 roku – w 90. We­dług Maki Ka­jie­go licz­ba osób re­gu­lar­nie roz­wią­zu­ją­cych su­do­ku prze­kra­cza obec­nie 100 mi­lio­nów.

Roz­wią­za­nie ła­mi­głów­ki za­wsze mile łech­ce ego, ale roz­wią­za­nie su­do­ku ma jesz­cze tę do­dat­ko­wą za­le­tę, że uka­zu­je we­wnętrz­ne pięk­no i rów­no­wa­gę ide­al­ne­go kwa­dra­tu ła­ciń­skie­go, od któ­re­go wzię­ło swo­ją for­mę. Suk­ces su­do­ku to świa­dec­two sta­rej jak świat po­nad­kul­tu­ro­wej ob­se­sji na punk­cie kwa­dra­tów licz­bo­wych. I w prze­ci­wień­stwie do wie­lu in­nych ła­mi­głó­wek, jego po­pu­lar­ność jest rów­nież nie­zwy­kłym zwy­cię­stwem ma­te­ma­ty­ki. Su­do­ku to za­ka­mu­flo­wa­na ma­te­ma­ty­ka. Choć nie za­wie­ra dzia­łań aryt­me­tycz­nych, wy­ma­ga abs­trak­cyj­ne­go my­śle­nia, do­strze­ga­nia pra­wi­dło­wo­ści, de­duk­cji lo­gicz­nej i two­rze­nia al­go­ryt­mów. Za­chę­ca rów­nież do kre­atyw­ne­go roz­wią­zy­wa­nia pro­ble­mów i za­szcze­pia upodo­ba­nie do ma­te­ma­tycz­nej ele­gan­cji.

Kie­dy zro­zu­mie się re­gu­ły su­do­ku, ja­sna na­tych­miast sta­je się kon­cep­cja jed­no­znacz­ne­go roz­wią­za­nia. Dla każ­de­go po­cząt­ko­we­go ukła­du liczb w dia­gra­mie ist­nie­je tyl­ko 1 moż­li­wy spo­sób koń­co­we­go roz­miesz­cze­nia liczb w pu­stych po­lach. Nie cho­dzi jed­nak wca­le o to, że każ­dy czę­ścio­wo wy­peł­nio­ny dia­gram ma jed­no­znacz­ne roz­wią­za­nie. Jest jak naj­bar­dziej moż­li­we, że kwa­drat 9 × 9 z czę­ścio­wo wpi­sa­ny­mi licz­ba­mi nie ma żad­ne­go roz­wią­za­nia albo że ma wie­le roz­wią­zań. W pro­gra­mie o su­do­ku, któ­ry po­ja­wił się w te­le­wi­zji Sky, na­ry­so­wa­no kie­dyś naj­więk­sze su­do­ku na świe­cie – dia­gram 275 × 275 stóp (nie­ca­łe 80 me­trów) wy­ry­to na kre­do­wym zbo­czu na an­giel­skiej wsi. Po­da­ne licz­by roz­miesz­czo­no jed­nak w taki spo­sób, że było 1905 po­praw­nych spo­so­bów uzu­peł­nie­nia kwa­dra­tu. Naj­więk­sze su­do­ku nie mia­ło moż­li­we­go 1 roz­wią­za­nia, a za­tem w ogó­le nie było su­do­ku.

Dział ma­te­ma­ty­ki zaj­mu­ją­cy się ob­li­cza­niem kom­bi­na­cji, ta­kich jak wszyst­kie 1905 roz­wią­zań te­le­wi­zyj­ne­go pseu­do­su­do­ku, na­zy­wa się kom­bi­na­to­ry­ką. Bada per­mu­ta­cje i kom­bi­na­cje róż­nych rze­czy, na przy­kład siat­ki licz­bo­we, a tak­że pla­ny tras dla przed­sta­wi­cie­li han­dlo­wych. Za­łóż­my, że przed­sta­wi­ciel han­dlo­wy ma 20 skle­pów do od­wie­dze­nia. W ja­kiej ko­lej­no­ści po­wi­nien do nich zaj­rzeć, by tra­sa była w su­mie jak naj­krót­sza? Roz­wią­za­nie wy­ma­ga uwzględ­nie­nia wszyst­kich per­mu­ta­cji dróg mię­dzy wszyst­ki­mi skle­pa­mi i sta­no­wi kla­sycz­ny (a przy tym wy­jąt­ko­wo trud­ny) pro­blem kom­bi­na­to­rycz­ny. Po­dob­ne pro­ble­my po­ja­wia­ją się w ca­łym biz­ne­sie i prze­my­śle, mię­dzy in­ny­mi przy ukła­da­niu roz­kła­du od­lo­tów na lot­ni­skach lub two­rze­niu wy­daj­ne­go sys­te­mu sor­to­wa­nia na po­czcie.

Kom­bi­na­to­ry­ka to dział ma­te­ma­ty­ki, któ­ry nie­ustan­nie ma do czy­nie­nia z wy­jąt­ko­wo wiel­ki­mi licz­ba­mi. Jak wi­dzie­li­śmy na przy­kła­dzie kwa­dra­tów ma­gicz­nych, mały zbiór liczb moż­na upo­rząd­ko­wać na zdu­mie­wa­ją­co wie­le spo­so­bów. Mimo że oba ro­dza­je kwa­dra­tów mają ta­kie same dia­gra­my, to przy iden­tycz­nej licz­bie pól kwa­dra­tów ła­ciń­skich jest mniej niż kwa­dra­tów ma­gicz­nych, choć nadal jest to ol­brzy­mia licz­ba. Na przy­kład licz­ba kwa­dra­tów ła­ciń­skich 9 × 9 skła­da się z 28 cyfr.

Ile jest moż­li­wych su­do­ku? Aby ła­ciń­ski kwa­drat 9 × 9 uznać za wy­peł­nio­ny dia­gram su­do­ku, rów­nież 9 mniej­szych kwa­dra­tów musi za­wie­rać każ­dą z cyfr, a to zmniej­sza ogól­ną licz­bę na­da­ją­cych się na su­do­ku kwa­dra­tów 9 × 9 do 6 670 903 752 021 072 963 960. Jed­nak wie­le tych dia­gra­mów to róż­ne wer­sje tego sa­me­go kwa­dra­tu po od­bi­ciu lub ob­ró­ce­niu (jak po­ka­za­łem na przy­kła­dzie kwa­dra­tu ma­gicz­ne­go 3 × 3). Po­mi­nąw­szy za­tem kwa­dra­ty, któ­re są ob­ró­ce­nia­mi i od­bi­cia­mi, otrzy­ma­my mniej wię­cej 5,5 mi­liar­da róż­nych wy­peł­nio­nych dia­gra­mów su­do­ku.

Ale nie jest to jesz­cze cała licz­ba moż­li­wych su­do­ku – jest ich znacz­nie wię­cej, gdyż każ­dy wy­peł­nio­ny dia­gram może być roz­wią­za­niem wie­lu su­do­ku. Weź­my su­do­ku z ga­ze­ty, któ­re ma jed­no­znacz­ne roz­wią­za­nie. Po wy­peł­nie­niu jed­ne­go z pól otrzy­ma­my nowy dia­gram z no­wym ze­sta­wem da­nych, czy­li nowe su­do­ku z tym sa­mym jed­no­znacz­nym roz­wią­za­niem, i tak da­lej wraz z każ­dym wy­peł­nia­nym po­lem. Je­śli więc su­do­ku ma, daj­my na to, 30 po­da­nych liczb, to za­nim wy­peł­ni­my dia­gram, bę­dzie­my mo­gli w ten spo­sób utwo­rzyć ko­lej­ne 50 su­do­ku o tym sa­mym jed­no­znacz­nym roz­wią­za­niu. (Czy­li 1 nowe su­do­ku po każ­dej do­dat­ko­wej licz­bie, aż wy­peł­ni­my 80 z 81 pól w dia­gra­mie). Usta­le­nie cał­ko­wi­tej licz­by su­do­ku nie jest tak in­te­re­su­ją­ce, po­nie­waż więk­szość z nich bę­dzie mia­ło bar­dzo mało wol­nych pól, co jest sprzecz­ne z ideą ła­mi­głów­ki. Ma­te­ma­ty­ków o wie­le bar­dziej in­try­gu­je, ile liczb moż­na zo­sta­wić w dia­gra­mie. Pod­sta­wo­wy pro­blem kom­bi­na­to­rycz­ny do­ty­czą­cy su­do­ku brzmi: jaką naj­mniej­szą licz­bę liczb moż­na zo­sta­wić w dia­gra­mie, by dało się wy­peł­nić go tyl­ko na 1 spo­sób?

W ga­ze­to­wych su­do­ku za­zwy­czaj po­da­je się oko­ło 25 liczb. Do dziś nikt nie wy­my­ślił su­do­ku o jed­no­znacz­nym roz­wią­za­niu, któ­re mia­ło­by mniej niż 17 wy­peł­nio­nych pól. Wo­kół su­do­ku z 17 licz­ba­mi zro­dził się swo­isty kult kom­bi­na­to­rycz­ny. Gor­don Roy­le z Uni­ver­si­ty of We­stern Au­stra­lia pro­wa­dzi bazę da­nych su­do­ku z 17 licz­ba­mi i co­dzien­nie do­sta­je 3 lub 4 nowe od twór­ców ła­mi­głó­wek z ca­łe­go świa­ta. Zgro­ma­dził ich już nie­mal 50 000. Ale choć jest świa­to­wym eks­per­tem od sie­dem­na­stek, mówi, że nie wie, jak bli­sko jest usta­le­nia cał­ko­wi­tej licz­by moż­li­wych plansz.

– Ja­kiś czas temu po­wie­dział­bym, że je­ste­śmy bli­scy koń­ca, ale po­tem pe­wien ano­ni­mo­wy ofia­ro­daw­ca przy­słał pra­wie 5000 no­wych su­do­ku – do­dał. – Tak na­praw­dę nig­dy nie do­wie­dzie­li­śmy się, jak ano­n17 zdo­łał to zro­bić, ale naj­wy­raź­niej mu­siał użyć ja­kie­goś spryt­ne­go al­go­ryt­mu.

Zda­niem Roy­le’a nikt nie wy­my­ślił su­do­ku z 16 licz­ba­mi.

– Albo nie je­ste­śmy dość in­te­li­gent­ni, albo na­sze kom­pu­te­ry nie mają wy­star­cza­ją­cej mocy – wy­ja­śnił.

Ano­n17 nie ujaw­nił swo­jej me­to­dy naj­praw­do­po­dob­niej dla­te­go, że bez po­zwo­le­nia ko­rzy­stał z czy­je­goś bar­dzo wiel­kie­go kom­pu­te­ra. Roz­wią­zy­wa­nie pro­ble­mów kom­bi­na­to­rycz­nych czę­sto po­le­ga na za­da­wa­niu kom­pu­te­ro­wi ogro­mu skom­pli­ko­wa­nych ob­li­czeń do wy­ko­na­nia.

– Cał­ko­wi­ta prze­strzeń moż­li­wych plansz z 16 licz­ba­mi jest dla nas zde­cy­do­wa­nie zbyt roz­le­gła, by­śmy bez ja­kichś no­wych po­my­słów teo­re­tycz­nych zdo­ła­li zgłę­bić wię­cej niż drob­ną część – stwier­dził Roy­le. Ma jed­nak prze­czu­cie, że nig­dy nie od­naj­dzie się su­do­ku z 16 licz­ba­mi. – Tak wie­le mamy dzi­siaj plansz z 17 pod­po­wie­dzia­mi, że by­ło­by do­praw­dy dziw­ne, gdy­by ist­nia­ły plan­sze z 16 i do­tąd nie na­tknę­li­by­śmy się na żad­ną z nich.

Na wi­zy­tów­ce Maki Ka­jie­go wid­nie­ją sło­wa oj­ciec chrzest­ny su­do­ku. Way­ne Gould na­zy­wa sie­bie oj­czy­mem su­do­ku. Spo­tka­łem się z nim na ka­wie w ba­rze w za­chod­nim Lon­dy­nie. Przy­szedł w ko­szul­ce no­wo­ze­landz­kich rug­by­stów. Ty­po­wy dla miesz­kań­ca an­ty­po­dów zre­lak­so­wa­ny spo­sób by­cia, prze­rwa mię­dzy przed­ni­mi zę­ba­mi, oku­la­ry w gru­bych opraw­kach, krót­ko przy­cię­te sre­brzy­ste wło­sy i en­tu­zjazm przy­wo­dzą na myśl ra­czej mło­de­go wy­kła­dow­cę aka­de­mic­kie­go, a nie by­łe­go sę­dzie­go. Su­do­ku zmie­ni­ło ży­cie Gou­l­da. Na eme­ry­tu­rze jest bar­dziej za­pra­co­wa­ny niż kie­dy­kol­wiek do­tąd. Do­star­cza za dar­mo ła­mi­głów­ki do po­nad 700 ga­zet w 81 kra­jach, za­ra­bia­jąc pie­nią­dze na sprze­da­ży swo­je­go pro­gra­mu oraz ksią­żek, co – jak sam mówi – daje mu je­dy­nie oko­ło 2 pro­cent świa­to­we­go ryn­ku su­do­ku. Mimo to zbił na su­do­ku sied­mio­cy­fro­wy ma­ją­tek. Poza tym zy­skał sta­tus gwiaz­dy. Kie­dy za­py­ta­łem go, jak jego nie­spo­dzie­wa­ną sła­wę znio­sła żona, za­wa­hał się.

– Roz­sta­li­śmy się w ze­szłym roku – wy­du­kał. – Po 32 la­tach mał­żeń­stwa. Może to przez te wszyst­kie pie­nią­dze. Może to dało jej wol­ność, ja­kiej nig­dy wcze­śniej nie za­zna­ła.

W ci­szy za­brzmiał roz­dzie­ra­ją­cy smu­tek tych słów: Gould wy­kre­ował świa­to­wą modę, ale za przy­go­dę ży­cia za­pła­cił wy­so­ką cenę.

My­ślę, że jed­ną z przy­czyn suk­ce­su su­do­ku jest eg­zo­tycz­na na­zwa od­wo­łu­ją­ca się do obie­go­wych wy­obra­żeń o głę­bo­kiej mą­dro­ści Wscho­du, choć tak na­praw­dę pierw­szy na ten po­mysł wpadł Ame­ry­ka­nin Ho­ward Garns z In­dia­ny. Ist­nie­je jed­nak pew­na tra­dy­cja ukła­da­nek, któ­ra rze­czy­wi­ście wy­wo­dzi się ze Wscho­du. Pierw­szy mię­dzy­na­ro­do­wy szał ła­mi­głów­ko­wy wy­buchł na po­cząt­ku XIX wie­ku, kie­dy eu­ro­pej­scy i ame­ry­kań­scy że­gla­rze za­czę­li przy­wo­zić z Chin ze­sta­wy fi­gur geo­me­trycz­nych z drew­na lub ko­ści sło­nio­wej skła­da­ją­ce się z 7 ele­men­tów – 2 du­żych trój­ką­tów, 2 ma­łych trój­ką­tów, trój­ką­ta śred­niej wiel­ko­ści, rów­no­le­gło­bo­ku oraz kwa­dra­tu. Po zło­że­niu ich ra­zem po­wsta­wał kwa­drat. Do ze­sta­wów do­łą­cza­no bro­szur­ki z dzie­siąt­ka­mi fi­gur geo­me­trycz­nych, syl­we­tek lu­dzi i in­nych przed­mio­tów. Za­ba­wa po­le­ga­ła na tym, by z wszyst­kich 7 ele­men­tów uło­żyć każ­dy z po­ka­za­nych kształ­tów.

Ła­mi­głów­ka zro­dzi­ła się z chiń­skiej tra­dy­cji usta­wia­nia sto­łów na przy­ję­cia. W pew­nej chiń­skiej książ­ce z XII wie­ku przed­sta­wio­no 76 ukła­dów ban­kie­to­wych, z któ­rych wie­le przy­po­mi­na­ło kon­kret­ne przed­mio­ty, ta­kie jak ło­po­czą­ca fla­ga, pa­smo gór­skie czy kwia­ty. U pro­gu XIX wie­ku chiń­ski pi­sarz o żar­to­bli­wym pseu­do­ni­mie Przy­głup Sa­mot­nik prze­niósł tę ce­re­mo­nial­ną cho­re­ogra­fię na małe kloc­ki geo­me­trycz­ne i opu­bli­ko­wał fi­gu­ry w książ­ce Ob­raz­ki z sied­miu zmyśl­nych ele­men­tów.

Fi­gu­ry tan­gra­mo­we z róż­nych cza­sów.

Ze­sta­wy pier­wot­nie na­zy­wa­no „chiń­ską ła­mi­głów­ką”, ale z cza­sem przy­ję­ła się na­zwa „tan­gram”. Pierw­sza książ­ka o tan­gra­mie wy­da­na poza Chi­na­mi uka­za­ła się w Lon­dy­nie w 1817 roku. Bły­ska­wicz­nie za­po­cząt­ko­wa­ła nową modę. Mię­dzy ro­kiem 1817 a 1818 we Fran­cji, Niem­czech, Wło­szech, Ho­lan­dii i w kra­jach Skan­dy­na­wii po­ja­wi­ły się dzie­siąt­ki ksią­żek z tan­gra­ma­mi. Ów­cze­śni ka­ry­ka­tu­rzy­ści por­tre­to­wa­li ła­mi­głów­ko­we sza­leń­stwo, przed­sta­wia­jąc męż­czyzn, któ­rzy ocią­ga­li się z pój­ściem do łóż­ka z żoną, sze­fów kuch­ni, któ­rzy nie byli w sta­nie go­to­wać, oraz le­ka­rzy, któ­rzy od­ma­wia­li przyj­mo­wa­nia pa­cjen­tów, po­nie­waż wszy­scy byli po­chło­nię­ci prze­sta­wia­niem trój­ką­tów. We Fran­cji sza­leń­stwo przy­bra­ło więk­szą ska­lę, być może dla­te­go, że w jed­nej z ksią­żek na­pi­sa­no, iż ukła­dan­ka sta­no­wi­ła ulu­bio­ną roz­ryw­kę Na­po­le­ona pod­czas ze­sła­nia na Wy­spie Świę­tej He­le­ny na po­łu­dnio­wym Atlan­ty­ku. Daw­ny ce­sarz był jed­nym z pierw­szych mi­ło­śni­ków gry, po­nie­waż wła­śnie tam za­trzy­my­wa­ły się stat­ki w dro­dze po­wrot­nej z Azji.

Uwiel­biam tan­gram. W tan­gra­mie w ma­gicz­ny spo­sób oży­wa­ją męż­czyź­ni, ko­bie­ty i zwie­rzę­ta. Wy­star­czy nie­co tyl­ko prze­su­nąć je­den klo­cek, a cał­ko­wi­cie zmie­nia się oso­bo­wość po­sta­ci. Fi­gu­ry o kan­cia­stych i czę­sto gro­te­sko­wych kon­tu­rach są nie­zwy­kle su­ge­styw­ne. Fran­cu­zi naj­da­lej po­su­nę­li się w per­so­ni­fi­ka­cji fi­gur i ma­lo­wa­li na­wet wi­ze­run­ki na tan­gra­mo­wych syl­wet­kach.

Trud­no uwie­rzyć, jak wcią­ga­ją­ca jest ta ła­mi­głów­ka, do­pó­ki sa­me­mu się nie spró­bu­je. I choć wy­da­je się ła­twa, roz­wią­zy­wa­nie pro­ble­mów tan­gra­mo­wych w rze­czy­wi­sto­ści po­tra­fi być za­ska­ku­ją­co trud­ne. Kształ­ty są bar­dzo zwod­ni­cze, na przy­kład 2 po­dob­ne syl­wet­ki mogą mieć cał­kiem róż­ne ukry­te struk­tu­ry. Tan­gram bywa od­trut­ką na sa­mo­za­do­wo­le­nie, przy­po­mi­na­jąc, że isto­ta rze­czy nie za­wsze jest taka, jak się na pierw­szy rzut oka wy­da­je. Przyj­rzyj się fi­gu­rom obok. Wy­glą­da­ją, jak­by dru­ga po­wsta­ła przez wy­ję­cie ma­łe­go trój­ką­ci­ka z pierw­szej. W rze­czy­wi­sto­ści obie fi­gu­ry za­wie­ra­ją wszyst­kie ele­men­ty tan­gra­mu i zo­sta­ły uło­żo­ne w zu­peł­nie inny spo­sób.

W po­ło­wie XIX wie­ku tan­gra­my przy­ję­ły się w szko­łach, choć nie prze­sta­ły być roz­ryw­ką do­ro­słych. Nie­miec­ka fir­ma Rich­ter prze­mia­no­wa­ła tan­gram na Kop­fzer­bre­cher, czy­li „drę­czy­gło­wa”, i na fali suk­ce­su pro­duk­tu wpro­wa­dzi­ła po­nad tu­zin ukła­da­nek o róż­nych kształ­tach po­cię­tych na roz­ma­ite ele­men­ty. Pod­czas pierw­szej woj­ny świa­to­wej ukła­dan­ki Rich­te­ra sta­ły się ulu­bio­ną roz­ryw­ką od­dzia­łów tkwią­cych w oko­pach. Po­pyt był tak wiel­ki, że asor­ty­ment zwięk­szo­no o ko­lej­nych 18 ukła­da­nek. Jed­na z nich no­si­ła na­zwę Schüt­zen­gra­ben Ge­duld­spiel (pa­sjans oko­po­wy) i za­wie­ra­ła kształ­ty woj­sko­we, ta­kie jak zep­pe­lin, re­wol­wer czy gra­nat. Część fi­gur zo­sta­ła za­pro­jek­to­wa­na przez żoł­nie­rzy, któ­rzy nad­sy­ła­li po­my­sły z fron­tu.

Przed pierw­szą woj­ną świa­to­wą ukła­dan­ki fir­my Rich­ter sprze­da­wa­no sze­ro­ko poza gra­ni­ca­mi Nie­miec. Kie­dy jed­nak Wiel­ka Bry­ta­nia za­ka­za­ła w cza­sie woj­ny im­por­tu z Nie­miec, do ak­cji wkro­czy­ła fir­ma Lott’s Bricks Ltd z Wat­ford, któ­ra aż do lat 40. pro­du­ko­wa­ła bry­tyj­skie ko­pie.

Re­kla­ma ła­mi­głó­wek Lott’s Bricks z cza­sów dru­giej woj­ny świa­to­wej: „Chwi­lu­nia, Adolf – mu­szę skoń­czyć nr 62!”.

Każ­de po­ko­le­nie two­rzy nowe fi­gu­ry, dzię­ki cze­mu od pra­wie 200 lat tan­gram wła­ści­wie nig­dy nie wy­szedł z mody. Nadal moż­na ku­pić ukła­dan­kę w księ­gar­niach i skle­pach z za­baw­ka­mi. Licz­ba opu­bli­ko­wa­nych do­tych­czas kształ­tów prze­kra­cza 5900.

Choć tan­gram jest sy­no­ni­mem ła­mi­głów­ki ukła­dan­ki, nie był pierw­szą tego typu grą na świe­cie. W sta­ro­żyt­nej Gre­cji wy­my­ślo­no sto­ma­chion, kwa­drat po­dzie­lo­ny na 14 czę­ści. (Sto­ma­chi zna­czy „żo­łą­dek” i uwa­ża się, że na­zwa po­cho­dzi od bólu brzu­cha, jaki wy­wo­łu­je ukła­dan­ka, choć by­najm­niej nie z po­wo­du tra­wie­nia kloc­ków). Ar­chi­me­des na­pi­sał trak­tat na te­mat sto­ma­chio­nu, z któ­re­go za­cho­wa­ła się je­dy­nie nie­wiel­ka część. Z oca­la­łe­go frag­men­tu wy­ni­ka, że dzie­ło było pró­bą usta­le­nia, na ile róż­nych spo­so­bów moż­na uło­żyć ele­men­ty ła­mi­głów­ki, by utwo­rzyć ide­al­ny kwa­drat. Do­pie­ro nie­daw­no roz­wią­za­no ten pro­blem. W 2003 roku in­for­ma­tyk Bill Cu­tler od­krył, że ist­nie­je 536 spo­so­bów (nie li­cząc roz­wią­zań, któ­re są iden­tycz­ne po ob­ró­ce­niu lub od­bi­ciu).

Sto­ma­chion, na­zy­wa­ny też „lo­cu­lus Ar­chi­me­do­lius” – pu­deł­kiem Ar­chi­me­de­sa.

Od cza­sów Ar­chi­me­de­sa wie­lu ma­te­ma­ty­ków żywo in­te­re­so­wa­ło się gra­mi lo­gicz­ny­mi. „Czło­wiek w ni­czym nie jest tak po­my­sło­wy, jak w wy­my­śla­niu gier”, po­wie­dział Got­t­fried Le­ib­niz, któ­re­go za­mi­ło­wa­nie do sa­mot­nic­twa współ­gra­ło z ob­se­sją na punk­cie liczb dwój­ko­wych: w za­głę­bie­niu jest kula albo jej nie ma; jest albo 1, albo 0. Naj­bar­dziej jed­nak za­pa­lo­nym z wiel­kich ma­te­ma­ty­ków był Le­on­hard Eu­ler, któ­ry chcąc roz­gryźć pew­ną osiem­na­sto­wiecz­ną ła­mi­głów­kę, wy­my­ślił zu­peł­nie nowy dział ma­te­ma­ty­ki.

W Kró­lew­cu, któ­ry daw­niej był sto­li­cą Prus, a obec­nie jest ro­syj­skim mia­stem Ka­li­nin­grad, nad Pre­go­łą prze­rzu­co­no 7 mo­stów. Miesz­kań­cy chcie­li wie­dzieć, czy da się przejść po wszyst­kich sied­miu mo­stach, nie prze­kra­cza­jąc żad­ne­go z nich wię­cej niż 1 raz, i wró­cić do miej­sca, z któ­re­go się wy­ru­szy­ło.

Aby przed­sta­wić do­wód, że taka tra­sa jest nie­moż­li­wa, Eu­ler utwo­rzył graf, na któ­rym każ­dy frag­ment lądu przed­sta­wił w po­sta­ci krop­ki, czy­li wierz­choł­ka, a każ­dy most w po­sta­ci li­nii, czy­li kra­wę­dzi. Eu­ler sfor­mu­ło­wał twier­dze­nie wią­żą­ce licz­bę kra­wę­dzi wy­cho­dzą­cych z każ­de­go wierz­choł­ka z moż­li­wo­ścią utwo­rze­nia ob­wo­du gra­fu, co w tym wy­pad­ku oka­za­ło się nie­moż­li­we.

Kró­le­wiec w XVIII wie­ku: w po­sta­ci mapy i gra­fu.

Eu­ler od­krył, że dla roz­wią­za­nia pro­ble­mu waż­na była in­for­ma­cja nie o do­kład­nym po­ło­że­niu mo­stów, lecz o ich po­łą­cze­niach. Na tym sa­mym po­my­śle opie­ra się mapa lon­dyń­skie­go me­tra: nie jest wier­na pod wzglę­dem geo­gra­ficz­nym, od­da­je za to do­kład­nie układ wza­jem­nych po­łą­czeń mię­dzy po­szcze­gól­ny­mi li­nia­mi. Twier­dze­nie Eu­le­ra dało po­czą­tek teo­rii gra­fów i sta­no­wi­ło za­po­wiedź roz­wo­ju to­po­lo­gii – bar­dzo roz­le­głe­go dzia­łu ma­te­ma­ty­ki ba­da­ją­ce­go te wła­sno­ści obiek­tów, któ­re nie ule­ga­ją zmia­nie przy kur­cze­niu, skrę­ca­niu lub roz­cią­ga­niu.

Fa­scy­na­cja tan­gra­ma­mi w 1817 roku była ni­czym w po­rów­na­niu ze ska­lą sza­leń­stwa, ja­kie wy­wo­ła­ła dru­ga mię­dzy­na­ro­do­wa moda ła­mi­głów­ko­wa. Od pew­ne­go gru­dnio­we­go dnia w 1879 roku, kie­dy w bo­stoń­skim skle­pie z za­baw­ka­mi po­ja­wi­ła się pięt­nast­ka zwa­na też prze­su­wan­ką, pro­du­cen­ci nie mo­gli na­dą­żyć za za­mó­wie­nia­mi. „Ani po­marsz­czo­ne ob­li­cze sta­ro­ści, ani che­ru­bin­ko­we licz­ko dzie­ciń­stwa nie jest od­por­ne na tę za­ra­zę” – do­no­sił „Bo­ston Post”.

Gra skła­da­ła się z 15 kwa­dra­to­wych drew­nia­nych kloc­ków uło­żo­nych w pu­deł­ku w kwa­drat 4 × 4 z jed­nym wol­nym miej­scem. Kloc­ki po­nu­me­ro­wa­ne były od 1 do 15 i roz­miesz­czo­ne w spo­sób przy­pad­ko­wy. Wy­ko­rzy­stu­jąc wol­ne miej­sce, na­le­ża­ło po­prze­su­wać kloc­ki w ob­rę­bie kwa­dra­tu i uło­żyć je w ko­lej­no­ści licz­bo­wej. Gra była tak faj­na i wcią­ga­ją­ca, że wkrót­ce moda upo­wszech­ni­ła się od Mas­sa­chu­setts do No­we­go Jor­ku, a po­tem w ca­łych Sta­nach Zjed­no­czo­nych. „Ogar­nę­ła ob­szar od wscho­du do za­cho­du z gwał­tow­no­ścią si­roc­co, wy­pa­la­jąc po dro­dze mó­zgi lu­dzi i naj­wy­raź­niej wy­wo­łu­jąc w nich cza­so­wy obłęd” – do­no­si­ła „Chi­ca­go Tri­bu­ne”. We­dług „New York Ti­me­sa” żad­na za­ra­za, „jaka kie­dy­kol­wiek na­wie­dzi­ła ten lub inne kra­je, nie roz­prze­strze­nia­ła się z [taką] strasz­li­wą szyb­ko­ścią”.

Ukła­dan­ka wkrót­ce tra­fi­ła za gra­ni­cę, pe­wien sklep w Lon­dy­nie po­noć nie sprze­da­wał ni­cze­go in­ne­go. W cią­gu pół roku do­tar­ła na an­ty­po­dy. „Nie­ma­ło po­pa­dło już w obłęd” – gło­sił list wy­dru­ko­wa­ny w „Ota­go Wit­ness” w No­wej Ze­lan­dii 1 maja 1880 roku.

Pięt­nast­ka na po­cząt­ku no­si­ła na­zwę Gem Puz­zle.

Pięt­nast­ka była dzie­łem Noy­esa Chap­ma­na, na­czel­ni­ka pocz­ty z pół­noc­nej czę­ści sta­nu Nowy Jork, któ­ry nie­mal 20 lat wcze­śniej pró­bo­wał skon­stru­ować fi­zycz­ny mo­del kwa­dra­tu ma­gicz­ne­go 4 × 4. Wy­ko­nał małe drew­nia­ne kwa­dra­ci­ki dla każ­dej z 16 liczb i umie­ścił je w kwa­dra­to­wym pu­deł­ku. Kie­dy za­uwa­żył, że po­zo­sta­wie­nie jed­ne­go miej­sca wol­ne­go po­zwa­la na prze­su­wa­nie przy­le­ga­ją­cych kloc­ków, od­krył, że samo prze­sta­wia­nie liczb jest bar­dzo cie­ka­wą grą. Chap­man zro­bił kil­ka wer­sji dla ro­dzi­ny i przy­ja­ciół, ale nig­dy nie do­ro­bił się na swo­im wy­na­laz­ku. Do­pie­ro pe­wien ob­rot­ny sto­larz z Bo­sto­nu po­sta­no­wił sko­mer­cja­li­zo­wać ła­mi­głów­kę i po­mysł chwy­cił od razu.

Pięt­nast­ka była praw­dzi­wą zmo­rą dla tych, któ­rzy się do niej za­bie­ra­li, po­nie­waż cza­sem dało się ją roz­wią­zać, a cza­sem nie. Wy­da­wa­ło się, że roz­miesz­czo­ne w przy­pad­ko­wy spo­sób kloc­ki moż­na do­pro­wa­dzić tyl­ko do 2 roz­wią­zań: usta­wić je w po­rząd­ku licz­bo­wym albo w taki spo­sób, by pierw­sze 3 rzę­dy były po ko­lei, ale w ostat­nim rzę­dzie po­zo­sta­wał układ 13-15-14. Go­rącz­kę do­dat­ko­wo pod­sy­ca­ło pra­gnie­nie roz­strzy­gnię­cia, czy moż­li­we jest przej­ście od 13-15-14 do 13-14-15. W stycz­niu 1890 roku, po paru ty­go­dniach od sprze­da­ży pierw­szej ła­mi­głów­ki, den­ty­sta z Ro­che­ster w sta­nie Nowy Jork za­mie­ścił w lo­kal­nej ga­ze­cie ogło­sze­nie, że ofe­ru­je na­gro­dę w wy­so­ko­ści 100 do­la­rów i kom­plet­ną sztucz­ną szczę­kę dla tego, kto zdo­ła udo­wod­nić jed­ną lub dru­gą hi­po­te­zę. Sam był prze­ko­na­ny, że przej­ście jest nie­moż­li­we – ale po­trze­bo­wał ma­te­ma­tycz­ne­go wspar­cia.

Kon­ster­na­cja zwią­za­na z pięt­nast­ką prze­nio­sła się ze świa­to­wych sa­lo­nów do auli uni­wer­sy­tec­kich i kie­dy do dys­pu­ty włą­czy­li się pro­fe­sjo­na­li­ści, przy­pra­wia­ją­ca o obłęd nie­roz­wią­zy­wal­ność ła­mi­głów­ki sta­ła się nie­roz­wią­zy­wal­no­ścią za­do­wa­la­ją­cą. W kwiet­niu 1890 roku je­den z wy­bit­nych ma­te­ma­ty­ków epo­ki Her­mann Schu­bert opu­bli­ko­wał w nie­miec­kiej ga­ze­cie pierw­szy do­wód na to, że układ 13-15-14 jest nie­roz­wią­zy­wal­ny. Wkrót­ce po­tem ist­nie­ją­cy od nie­daw­na „Ame­ri­can Jo­ur­nal of Ma­the­ma­tics” rów­nież opu­bli­ko­wał do­wód po­twier­dza­ją­cy, że po­ło­wa wszyst­kich po­cząt­ko­wych ukła­dów w pięt­na­st­ce ma koń­co­we roz­wią­za­nie 13-14-15, a dru­ga po­ło­wa koń­czy się na 13-15-14. Pięt­nast­ka do dziś jest je­dy­ną ła­mi­głów­ką, któ­ra zro­bi­ła mię­dzy­na­ro­do­wą fu­ro­rę, choć nie za­wsze ma roz­wią­za­nie. Nic dziw­ne­go, że do­pro­wa­dza­ła do obłę­du.

Po­dob­nie jak tan­gram pięt­nast­ka nie zni­kła do koń­ca. Była po­przed­nicz­ką ukła­da­nek z prze­su­wa­ny­mi płyt­ka­mi, ja­kie wciąż moż­na zna­leźć w skle­pach z za­baw­ka­mi, w sło­dy­czach z nie­spo­dzian­ką oraz fir­mo­wych ko­szach upo­min­ko­wych. W 1974 roku pe­wien Wę­gier, za­sta­na­wia­jąc się nad spo­so­ba­mi udo­sko­na­le­nia ła­mi­głów­ki, wpadł na po­mysł wy­ko­na­nia jej w 3 wy­mia­rach. Na­zy­wał się Ernő Ru­bik i stwo­rzył pro­to­typ – kost­kę Ru­bi­ka – któ­ra mia­ła od­nieść naj­więk­szy suk­ces w hi­sto­rii ła­mi­głó­wek.

W wy­da­nej w 2002 roku książ­ce The Puz­zle In­stinct se­mio­tyk Mar­cel Da­ne­si na­pi­sał, że in­tu­icyj­na zdol­ność do roz­wią­zy­wa­nia za­ga­dek sta­no­wi część kon­dy­cji ludz­kiej. Kie­dy mamy do czy­nie­nia z ła­mi­głów­ką, in­stynkt zmu­sza nas do po­szu­ki­wa­nia za­do­wa­la­ją­ce­go roz­wią­za­nia. Za­gad­ki spo­ty­ka­ne są po­wszech­nie we wszyst­kich cza­sach i kul­tu­rach, po­cząw­szy od za­gad­ki Sfink­sa z grec­kiej mi­to­lo­gii po współ­cze­sne kry­mi­na­ły. Zda­niem Da­ne­sie­go sta­no­wią one for­mę te­ra­pii eg­zy­sten­cjal­nej, po­ka­zu­jąc nam, że trud­ne kwe­stie mogą mieć pre­cy­zyj­ne roz­wią­za­nie. Hen­ry Du­de­ney, naj­więk­szy bry­tyj­ski twór­ca ła­mi­głó­wek, uznał roz­wią­zy­wa­nie za­ga­dek za pod­sta­wo­wą ce­chę ludz­kiej na­tu­ry. „Istot­nie, ży­cie w du­żej mie­rze upły­wa nam na roz­wią­zy­wa­niu za­ga­dek; czym­że jest bo­wiem za­gad­ka, je­śli nie kło­po­tli­wym py­ta­niem? Już od dzie­ciń­stwa nie­ustan­nie za­da­je­my py­ta­nia bądź pró­bu­je­my na nie od­po­wie­dzieć”.

Ła­mi­głów­ki to tak­że cu­dow­nie zwię­zły spo­sób na za­chwy­ce­nie się ma­te­ma­ty­ką. Czę­sto wy­ma­ga­ją my­śle­nia la­te­ral­ne­go, opie­ra­ją się na praw­dach sprzecz­nych z in­tu­icją. Po­czu­cie sa­tys­fak­cji z roz­wią­za­nia za­gad­ki to uza­leż­nia­ją­ca przy­jem­ność; po­czu­cie po­raż­ki w tej mie­rze jest nie­zno­śnie fru­stru­ją­ce. Wy­daw­cy dość szyb­ko za­uwa­ży­li po­pyt na ma­te­ma­ty­kę roz­ryw­ko­wą. W 1612 roku we Fran­cji uka­za­ła się książ­ka, któ­rej ty­tuł moż­na prze­tłu­ma­czyć jako Za­baw­ne i zaj­mu­ją­ce kwe­stie ty­czą­ce liczb (wiel­ce uży­tecz­ne dla wsze­la­kich do­cie­kli­wych lu­dzi, któ­rzy uży­wa­ją aryt­me­ty­ki) pió­ra Clau­de’a-Ga­spar­da Ba­che­ta. Zna­la­zły się w niej kwa­dra­ty ma­gicz­ne, sztucz­ki kar­cia­ne, py­ta­nia w sys­te­mach nie­dzie­sięt­nych oraz za­da­nia typu „po­myśl ja­kąś licz­bę”. Ba­chet był po­waż­nym uczo­nym, któ­ry prze­tłu­ma­czył Aryt­me­ty­kę Dio­fan­to­sa. Nie­wąt­pli­wie jed­nak jego po­pu­lar­no­nau­ko­wa pu­bli­ka­cja o ma­te­ma­ty­ce wy­war­ła o wie­le więk­szy wpływ niż pra­ce aka­de­mic­kie. Wy­ty­czy­ła grunt dla wszyst­kich póź­niej­szych ksią­żek po­świę­co­nych ła­mi­głów­kom i nie ze­sta­rza­ła się przez stu­le­cia – ostat­nio wzno­wio­no ją w 1959 roku. Cha­rak­te­ry­stycz­ną ce­chą ma­te­ma­ty­ki, na­wet ma­te­ma­ty­ki roz­ryw­ko­wej, jest to, że nig­dy nie tra­ci na ak­tu­al­no­ści.

W po­ło­wie XIX stu­le­cia ame­ry­kań­skie ga­ze­ty za­czę­ły dru­ko­wać pro­ble­my sza­cho­we. Jed­nym z pierw­szych au­to­rów ta­kich za­dań – i za­ra­zem naj­bar­dziej nad wiek roz­wi­nię­tym – był no­wo­jor­czyk Sam Loyd. Miał za­le­d­wie 14 lat, kie­dy w miej­sco­wej ga­ze­cie uka­za­ła się jego pierw­sza za­gad­ka. W wie­ku 17 lat był już naj­bar­dziej wzię­tym au­to­rem za­dań sza­cho­wych w Sta­nach Zjed­no­czo­nych.

Od za­ga­dek sza­cho­wych Loyd prze­szedł do ma­te­ma­tycz­nych i pod ko­niec wie­ku był pierw­szym na świe­cie za­wo­do­wym twór­cą ła­mi­głó­wek i im­pre­sa­rio. Dużo pu­bli­ko­wał w ame­ry­kań­skiej pra­sie, po­wie­dział kie­dyś, że do jego ru­bry­ki na­pły­wa­ło 100 000 li­stów dzien­nie. Do tej licz­by na­le­ży jed­nak od­no­sić się ze szczyp­tą re­zer­wy. Loyd, jak przy­sta­ło na ko­goś, kto za­wo­do­wo zaj­mu­je się wy­my­śla­niem za­ga­dek, prze­ja­wiał żar­to­bli­wy sto­su­nek do praw­dy. Twier­dził na przy­kład, że wy­na­lazł pięt­nast­kę, co bra­no za do­brą mo­ne­tę przez po­nad wiek, do­pó­ki w 2006 roku hi­sto­ry­cy Jer­ry Slo­cum i Dic Son­ne­veld nie prze­śle­dzi­li jej po­cho­dze­nia do Noy­esa Chap­ma­na. Loyd roz­bu­dził na nowo za­in­te­re­so­wa­nie tan­gra­mem za spra­wą książ­ki The 8th Book of Tan Part I, prze­rób­ki sta­ro­żyt­ne­go tek­stu o li­czą­cej rze­ko­mo 4000 lat ła­mi­głów­ce. Książ­ka w isto­cie była pa­ro­dią, cho­ciaż z po­cząt­ku zo­sta­ła po­waż­nie przy­ję­ta przez aka­de­mi­ków.

Loyd z bez­kon­ku­ren­cyj­ną bły­sko­tli­wo­ścią po­tra­fił prze­kształ­cać pro­ble­my ma­te­ma­tycz­ne w za­baw­ne, spe­cy­ficz­nie ilu­stro­wa­ne ła­mi­głów­ki. Naj­bar­dziej ge­nial­ną wy­my­ślił dla „Bro­oklyn Da­ily Eagle” w 1896 roku. Ła­mi­głów­ka Get off the Earth3 zy­ska­ła taką po­pu­lar­ność, że wy­ko­rzy­sta­no ją póź­niej w re­kla­mach kil­ku ma­rek, mię­dzy in­ny­mi „The Young La­dies Home Jo­ur­nal”, Gre­at Atlan­tic & Pa­ci­fic Tea Com­pa­ny, oraz w pro­gra­mie re­pu­bli­ka­nów w wy­bo­rach pre­zy­denc­kich w 1896 roku. (Jej prze­sła­nie nie było jed­nak obiet­ni­cą wy­bor­czą). Ła­mi­głów­ka przed­sta­wia ob­raz chiń­skich wo­jow­ni­ków roz­miesz­czo­nych do­ko­ła Zie­mi znaj­du­ją­cej się na tek­tu­ro­wej tar­czy, któ­rą moż­na ob­ra­cać wo­kół środ­ka. Kie­dy strzał­ka wska­zu­je kie­ru­nek NE, wo­jow­ni­ków jest 13, ale po ob­ró­ce­niu tar­czy w taki spo­sób, by strzał­ka wska­zy­wa­ła kie­ru­nek NW, wo­jow­ni­ków jest 12. Ła­mi­głów­ka wpra­wia w kon­ster­na­cję. Naj­pierw jest 13 Chiń­czy­ków, a po­tem – w mgnie­niu oka – już tyl­ko 12. Któ­ry z nich znik­nął i gdzie się po­dział?

Sztucz­ka, jaką za­sto­so­wa­no w tej ła­mi­głów­ce, na­zy­wa się znik­nię­ciem geo­me­trycz­nym. Za­de­mon­stru­ję ją na in­nym przy­kła­dzie. Po­niż­szy ry­su­nek przed­sta­wia kart­kę z dzie­się­cio­ma pio­no­wy­mi kre­ska­mi. Kie­dy kart­kę prze­tnie się wzdłuż uko­śnej li­nii, roz­cię­te czę­ści moż­na prze­su­nąć w taki spo­sób, by po­wsta­ło je­dy­nie dzie­więć kre­sek. Gdzie po­dzia­ła się dzie­sią­ta? Otóż prze­su­nię­cie seg­men­tów spo­wo­do­wa­ło utwo­rze­nie dzie­wię­ciu kre­sek dłuż­szych niż pier­wot­ne. Je­śli kre­ski na pierw­szym ry­sun­ku mają dłu­gość 10 jed­no­stek, to dłu­gość kre­sek na dru­gim ry­sun­ku wy­no­si , po­nie­waż jed­na z pier­wot­nych kre­sek zo­sta­ła po­dzie­lo­na rów­no mię­dzy po­zo­sta­łych dzie­więć.

Znik­nię­cie geo­me­trycz­ne: z 10 li­nii po­wsta­je 9.

Sam Loyd w swo­jej ła­mi­głów­ce za­krzy­wił znik­nię­cie geo­me­trycz­ne, na­da­jąc mu po­stać ko­li­stą, a za­miast kre­sek umie­ścił chiń­skich wo­jow­ni­ków: 13 po­zy­cji od­po­wia­da 10 kre­skom; po­zy­cja w le­wym dol­nym rogu, gdzie pier­wot­nie znaj­du­je się 2 wo­jow­ni­ków, jest od­po­wied­ni­kiem koń­co­wych kre­sek znik­nię­cia. Kie­dy strzał­kę prze­su­nie się z NE na NW, we wszyst­kich po­zy­cjach przy­by­wa tro­chę wo­jow­ni­ka, wy­jąw­szy po­zy­cję z 2 wo­jow­ni­ka­mi, któ­ra ra­dy­kal­nie się zmniej­sza, spra­wia­jąc wra­że­nie, że za­gi­nął cały wo­jow­nik. Fak­tycz­nie zo­stał po pro­stu roz­dzie­lo­ny mię­dzy po­zo­sta­łych. Sam Loyd twier­dził, że wy­pro­du­ko­wa­no 10 mi­lio­nów eg­zem­pla­rzy tej za­gad­ki. Zy­skał bo­gac­two i sła­wę oraz nie­kwe­stio­no­wa­ny ty­tuł ła­mi­głów­ko­we­go kró­la Ame­ry­ki.

Tym­cza­sem w Wiel­kiej Bry­ta­nii po­dob­ną re­no­mę zdo­by­wał Hen­ry Du­de­ney. Ka­pi­ta­li­stycz­na huc­pa Sama Loy­da i jego dar au­to­re­kla­my od­zwier­cie­dla­ły za­cię­tą ry­wa­li­za­cję pa­nu­ją­cą w No­wym Jor­ku na prze­ło­mie wie­ków, Du­de­ney na­to­miast uosa­biał bar­dziej po­wścią­gli­wy an­giel­ski spo­sób by­cia.

Du­de­ney uro­dził się w ro­dzi­nie ho­dow­ców owiec z Sus­sex i w wie­ku 13 lat pod­jął pra­cę jako urzęd­nik służ­by cy­wil­nej w Lon­dy­nie. Z nu­dów za­czął wy­sy­łać opo­wia­da­nia i za­gad­ki do róż­nych wy­daw­nictw. W koń­cu mógł cał­ko­wi­cie po­świę­cić się dzien­ni­kar­stwu. Jego żona Ali­ce pi­sa­ła be­st­sel­le­ro­we ro­man­se osa­dzo­ne w wiej­skiej sce­ne­rii Sus­sex, gdzie dzię­ki jej tan­tie­mom mał­żeń­stwo mo­gło wieść luk­su­so­we ży­cie. Du­de­ney­owie, dzie­lą­cy czas mię­dzy wsią a Lon­dy­nem, byli człon­ka­mi eli­ty li­te­rac­kiej, do któ­rej na­le­żał sir Ar­thur Co­nan Doy­le, twór­ca Sher­loc­ka Hol­me­sa – bo­daj naj­słyn­niej­sze­go po­grom­cy za­ga­dek w ca­łej li­te­ra­tu­rze.

Du­de­ney i Loyd po raz pierw­szy na­wią­za­li ze sobą kon­takt praw­do­po­dob­nie w 1894 roku, kie­dy to Ame­ry­ka­nin przed­sta­wił pe­wien pro­blem sza­cho­wy, świę­cie prze­ko­na­ny, że nikt nie od­kry­je jego roz­wią­za­nia w 53 ru­chach. Młod­szy od Loy­da o 17 lat Du­de­ney zna­lazł roz­wią­za­nie w 50 ru­chach. Póź­niej pa­no­wie współ­pra­co­wa­li ze sobą, ale po­kłó­ci­li się, gdy Du­de­ney od­krył, że Loyd pla­gia­tu­je jego pra­ce. Du­de­ney na­brał tak głę­bo­kiej po­gar­dy dla Loy­da, że po­rów­ny­wał go do dia­bła.

Choć obaj byli sa­mo­uka­mi, Du­de­ney od­zna­czał się o wie­le tęż­szym umy­słem ma­te­ma­tycz­nym. Jego ła­mi­głów­ki czę­sto do­ty­czy­ły głę­bo­kich pro­ble­mów i wy­prze­dza­ły do­cie­ka­nia aka­de­mic­kie. Na przy­kład w 1962 roku ma­te­ma­tyk Mei-Ko Kwan zaj­mo­wał się pro­ble­mem mar­szru­ty, jaką po­wi­nien wy­brać li­sto­nosz, aby przejść każ­dą z ulic po jak naj­krót­szej tra­sie. Du­de­ney sfor­mu­ło­wał – i roz­wią­zał – ten sam pro­blem w za­gad­ce o in­spek­to­rze gór­ni­czym ob­cho­dzą­cym pod­ziem­ne szy­by nie­mal 50 lat wcze­śniej.

Du­de­ney przy­czy­nił się rów­nież nie­chcą­cy do roz­wo­ju teo­rii liczb. Jed­na z jego za­ga­dek – „wy­cią­ga­nie pier­wiast­ków” – wy­ko­rzy­stu­je fakt, że pier­wiast­ki sze­ścien­ne po­niż­szych liczb są rów­ne su­mie cyfr skła­da­ją­cych się na te licz­by:

1 = 1 · 1 · 1 1 = 1

512 = 8 · 8 · 8 8 = 5 + 1 + 2

4913 = 17 · 17 · 17 17 = 4 + 9 + 1 + 3

5832 = 18 · 18 · 18 18 = 5 + 8 + 3 + 2

17 576 = 26 · 26 · 26 26 = 1 + 7 + 5 + 7 + 6

19 683 = 27 · 27 · 27 27 = 1 + 9 + 6 + 8 + 3

Licz­by o ta­kiej wła­sno­ści – a jest ich je­dy­nie 6 – dzi­siaj na­zy­wa się licz­ba­mi Du­de­neya. Inną szcze­gól­nie moc­ną stro­ną Bry­tyj­czy­ka była dy­sek­cja geo­me­trycz­na, któ­ra po­le­ga na tym, że daną fi­gu­rę tnie się na czę­ści, z któ­rych ukła­da się inną fi­gu­rę, na ta­kiej sa­mej za­sa­dzie jak w tan­gra­mie. Du­de­ney zna­lazł spo­sób prze­kształ­ce­nia kwa­dra­tu w pię­cio­kąt za po­mo­cą po­dzia­łu na 6 ele­men­tów. Me­to­da ta we­szła do ka­no­nu kla­sy­ki, po­nie­waż przez wie­le lat są­dzo­no, że prze­kształ­ce­nie kwa­dra­tu w pię­cio­kąt wy­ma­ga po­dzia­łu przy­najm­niej na 7 czę­ści.

Du­de­ney od­krył rów­nież no­wa­tor­ski spo­sób po­dzia­łu trój­ką­ta na 4 czę­ści i utwo­rze­nia z nie­go kwa­dra­tu. Za­uwa­żył przy tym, że je­śli te 4 ele­men­ty po­łą­czy się ze sobą za­wia­sa­mi, moż­na uło­żyć je w łań­cuch, któ­ry w jed­ną stro­nę skła­da się w trój­kąt, a w dru­gą stro­nę – w kwa­drat. Du­de­ney na­zwał to „ła­mi­głów­ką bła­wat­ni­ka”, po­nie­waż kształ­ty przy­po­mi­na­ją ścin­ki tka­nin w skle­pie bła­wat­nym. W ten oto spo­sób ła­mi­głów­ka wpro­wa­dzi­ła kon­cep­cję „po­dzia­łu za­wia­so­we­go” i wzbu­dzi­ła ta­kie za­in­te­re­so­wa­nie, że Du­de­ney wy­ko­nał eg­zem­plarz z ma­ho­niu z mo­sięż­ny­mi za­wia­sa­mi i przed­sta­wił go w 1905 roku pod­czas spo­tka­nia To­wa­rzy­stwa Kró­lew­skie­go w Lon­dy­nie. „Ła­mi­głów­ka bła­wat­ni­ka” jest naj­wspa­nial­szą spu­ści­zną Du­de­neya i od po­nad 100 lat fa­scy­nu­je i za­chwy­ca ma­te­ma­ty­ków.

Za­chwy­cił się nią mię­dzy in­ny­mi ka­na­dyj­ski na­sto­la­tek Erik De­ma­ine. De­ma­ine’a, któ­ry był tak ge­nial­nym dziec­kiem, że w wie­ku 20 lat zo­stał pro­fe­so­rem In­sty­tu­tu Tech­no­lo­gicz­ne­go Mas­sa­chu­setts (MIT), naj­bar­dziej in­te­re­so­wa­ła „uni­wer­sal­ność” pro­ble­mu. Za­sta­na­wiał się, czy do­wol­ną fi­gu­rę o pro­stych bo­kach da się po­dzie­lić w taki spo­sób, by po­łą­czyw­szy za­wia­sa­mi ele­men­ty w łań­cuch, moż­na było z nich zło­żyć do­wol­ną inną fi­gu­rę o pro­stych bo­kach i ta­kiej sa­mej po­wierzch­ni? Przez 10 lat gło­wił się na tym pro­ble­mem i w mar­cu 2008 roku, w wie­ku 27 lat, ogło­sił roz­wią­za­nie przed nie­zwy­kle otwar­tym au­dy­to­rium mi­ło­śni­ków ła­mi­głó­wek w sali ba­lo­wej ho­te­lu w Atlan­cie.

„Ła­mi­głów­ka bła­wat­ni­ka”.

De­ma­ine jest wy­so­ki i chu­dy, ma pu­szy­stą bro­dę i ciem­no­blond wło­sy spię­te w ku­cyk. Na wiel­kim ekra­nie za swo­imi ple­ca­mi wy­świe­tlił ob­raz „ła­mi­głów­ki bła­wat­ni­ka”. Po­wie­dział, że ostat­nio po­sta­no­wił za­brać się do tego pro­ble­mu ze swo­imi dok­to­ran­ta­mi. „Nie wie­rzy­łem, że to praw­da” – wy­ja­śnił. Jed­nak wbrew swo­im ocze­ki­wa­niom wspól­nie z dok­to­ran­ta­mi prze­ko­nał się, że moż­na prze­kształ­cić do­wol­ny wie­lo­kąt na do­wol­ny inny wie­lo­kąt o ta­kiej sa­mej po­wierzch­ni za po­mo­cą po­dzia­łu za­wia­so­we­go w sty­lu „ła­mi­głów­ki bła­wat­ni­ka”. Sala za­czę­ła kla­skać – co nie jest zja­wi­skiem czę­stym na wy­ży­nach geo­me­trii ob­li­cze­nio­wej. Ale w kra­inie ła­mi­głó­wek był to nie­zmier­nie eks­cy­tu­ją­cy prze­łom – roz­wią­za­nie słyn­ne­go pro­ble­mu przez je­den z naj­in­te­li­gent­niej­szych umy­słów swo­je­go po­ko­le­nia.

Trud­no wy­obra­zić so­bie wdzięcz­niej­szą wi­dow­nię dla wy­stą­pie­nia De­ma­ine’a od uczest­ni­ków Ga­the­ring for Gard­ner. Kon­fe­ren­cja na­zy­wa­na w skró­cie G4G to naj­waż­niej­szy na świe­cie zjazd ma­te­ma­ty­ków, ilu­zjo­ni­stów i mi­ło­śni­ków ła­mi­głó­wek. Jest or­ga­ni­zo­wa­na co 2 lata na cześć czło­wie­ka, któ­ry w dru­giej po­ło­wie ubie­głe­go wie­ku zre­wo­lu­cjo­ni­zo­wał ma­te­ma­ty­kę roz­ryw­ko­wą. Dzie­więć­dzie­się­cio­trzy­let­ni obec­nie Mar­tin Gard­ner pro­wa­dził co­mie­sięcz­ną ru­bry­kę ma­te­ma­tycz­ną w „Scien­ti­fic Ame­ri­can” w la­tach 1957–1981. Był to okres wiel­kie­go roz­wo­ju na­uki – lo­tów w ko­smos, tech­no­lo­gii kom­pu­te­ro­wej oraz ge­ne­ty­ki – ale tak na­praw­dę wy­obraź­nię czy­tel­ni­ków naj­bar­dziej po­bu­dza­ła żywa i kla­row­na pro­za Gard­ne­ra. Jego ru­bry­ka obej­mo­wa­ła roz­le­gły za­kres te­ma­tycz­ny, od gier plan­szo­wych po sztucz­ki ma­gicz­ne, od nu­me­ro­lo­gii po pierw­sze gry kom­pu­te­ro­we, i czę­sto wy­pusz­cza­ła się na te­re­ny gra­nicz­ne, ta­kie jak lin­gwi­sty­ka czy pro­jek­to­wa­nie.

– Uwa­ża­łem, że [Gard­ner] ma żar­to­bli­wy sza­cu­nek do ma­te­ma­ty­ki, któ­re­go czę­sto bra­ku­je w ko­łach ma­te­ma­tycz­nych – po­wie­dział mi De­ma­ine, kie­dy roz­ma­wia­łem z nim po wy­kła­dzie. – Lu­dzie na ogół są zbyt po­waż­ni. Po­sta­wi­łem so­bie za cel, by wszyst­ko, co ro­bię, było za­baw­ne.

De­ma­ine’a do lek­tu­ry ru­bry­ki Gard­ne­ra za­chę­cił oj­ciec, dmu­chacz szkła i rzeź­biarz. De­ma­ine’owie, któ­rzy czę­sto wspól­nie pu­bli­ku­ją ar­ty­ku­ły ma­te­ma­tycz­ne, sta­no­wią ucie­le­śnie­nie in­ter­dy­scy­pli­nar­ne­go du­cha Gard­ne­ra. Erik jest pio­nie­rem ori­ga­mi ob­li­cze­nio­we­go, dzie­dzi­ny ty­leż ma­te­ma­tycz­nej, co ar­ty­stycz­nej – kil­ka mo­de­li ori­ga­mi au­tor­stwa De­ma­ine’ów znaj­du­je się na­wet w zbio­rach no­wo­jor­skie­go Mu­seum of Mo­dern Art. De­ma­ine uwa­ża ma­te­ma­ty­kę i sztu­kę za dzie­dzi­ny po­krew­ne, któ­re łą­czy „es­te­ty­ka pro­sto­ty i pięk­na”.

W Atlan­cie De­ma­ine nie wy­ja­śnił słu­cha­czom szcze­gó­łów swo­je­go do­wo­du na uni­wer­sal­ność po­dzia­łów typu „ła­mi­głów­ki bła­wat­ni­ka”, po­wie­dział jed­nak, że po­dział jed­ne­go wie­lo­ką­ta w taki spo­sób, by moż­na było z po­łą­czo­nych za­wia­sa­mi ele­men­tów utwo­rzyć inny wie­lo­kąt, nie za­wsze jest ele­ganc­ki, a czę­sto jest prak­tycz­nie nie­wy­ko­nal­ny. De­ma­ine pra­cu­je obec­nie nad za­sto­so­wa­niem swo­ich usta­leń teo­re­tycz­nych do­ty­czą­cych po­dzia­łów za­wia­so­wych do utwo­rze­nia ro­bo­tów, któ­re mo­gły­by po­przez skła­da­nie zmie­niać kształt – tak jak bo­ha­te­ro­wie ko­mik­su i fil­mu Trans­for­me­ry, w któ­rych ro­bo­ty płyn­nie prze­kształ­ca­ją się w in­ne­go typu ma­szy­ny.

Była to ósma edy­cja kon­fe­ren­cji G4G, któ­rej logo, jak zwy­kle, za­pro­jek­to­wał Scott Kim. Nadał mu po­stać in­wer­sji zwa­nej am­bi­gra­mem. Je­śli prze­krę­ci­my ry­su­nek do góry no­ga­mi, otrzy­ma­my iden­tycz­ny na­pis. Kim, nie­gdy­siej­szy in­for­ma­tyk, a obec­nie twór­ca ła­mi­głó­wek, wy­my­ślił ten styl sy­me­trycz­nej ka­li­gra­fii w la­tach 70. Am­bi­gra­my nie mu­szą być ta­kie same po ob­ró­ce­niu o 180 stop­ni – może to być do­wol­ny ro­dzaj sy­me­trii bądź ukry­ty tekst.

Pi­sarz Isa­ac Asi­mov na­zwał Kima „Esche­rem al­fa­be­tu”, po­rów­nu­jąc go do ho­len­der­skie­go ar­ty­sty, któ­ry prze­wrot­nie wy­ko­rzy­sty­wał per­spek­ty­wę i sy­me­trię do two­rze­nia we­wnętrz­nie sprzecz­nych ob­ra­zów – naj­słyn­niej­sze są scho­dy, któ­re zda­ją się pro­wa­dzić co­raz wy­żej, by w koń­cu do­trzeć do punk­tu wyj­ścio­we­go. Inne po­do­bień­stwo mię­dzy Esche­rem a Ki­mem po­le­ga na tym, że twór­czość obu ar­ty­stów po raz pierw­szy tra­fi­ła do ma­so­we­go od­bior­cy za spra­wą Mar­ti­na Gard­ne­ra.

Am­bi­gra­my nie­za­leż­nie i jed­no­cze­śnie stwo­rzył rów­nież ty­po­graf i ar­ty­sta John Lang­don. Ma­te­ma­ty­cy szcze­gól­nie upodo­ba­li so­bie tego typu li­ter­nic­two, po­nie­waż w dow­cip­ny spo­sób od­zwier­cie­dla ich wła­sne po­szu­ki­wa­nia w za­kre­sie wzo­rów i sy­me­trii. Pi­sarz Dan Brown po­znał am­bi­gra­my dzię­ki ojcu, Ri­char­do­wi Brow­no­wi, któ­ry był na­uczy­cie­lem ma­te­ma­ty­ki. Dan Brown zle­cił Lang­do­no­wi za­pro­jek­to­wa­nie wy­ra­że­nia An­gels & De­mons (anio­ły i de­mo­ny) w po­sta­ci am­bi­gra­mu do swej be­st­sel­le­ro­wej książ­ki o ta­kim sa­mym ty­tu­le i na jego cześć na­zwał głów­ne­go bo­ha­te­ra Ro­bert Lang­don. Lang­don po­now­nie wy­stą­pił jako bo­ha­ter Kodu Le­onar­da da Vin­ci i Za­gi­nio­ne­go sym­bo­lu. Am­bi­gra­my zna­la­zły so­bie rów­nież nową ni­szę – body art. Qu­asi-go­tyc­kie za­wi­ja­sy, do­da­wa­ne czę­sto po to, by do­peł­nić sy­me­trię, w po­łą­cze­niu z mi­stycz­ną ener­gią od­czy­ty­wa­nia imie­nia zwy­czaj­nie i wspak bądź do góry no­ga­mi, ide­al­nie wpa­so­wa­ły się w es­te­ty­kę ta­tu­ażu.

Za­pro­jek­to­wa­ny przez Mar­ka Pal­me­ra ta­tu­aż, w któ­rym anioł (An­gel) po od­wró­ce­niu do góry no­ga­mi sta­je się dia­błem (De­vil).

Pod­czas G4G trud­no oprzeć się my­śli, że ma­te­ma­ty­ka chro­ni przed de­men­cją. Wie­lu go­ści było po sie­dem­dzie­siąt­ce – nie­któ­rzy zaś po osiem­dzie­siąt­ce, a na­wet po dzie­więć­dzie­siąt­ce. Przez po­nad pół­wie­cze Gard­ner ko­re­spon­do­wał z ty­sią­ca­mi czy­tel­ni­ków, wśród któ­rych zna­la­zło się wie­lu słyn­nych ma­te­ma­ty­ków, a część z nich zo­sta­ła jego bli­ski­mi przy­ja­ciół­mi.

Osiem­dzie­się­cio­ośmio­let­ni Ray­mond Smul­ly­an jest świa­to­wym eks­per­tem w za­kre­sie pa­ra­dok­sów lo­gicz­nych – „ma­te­ma­gi­kiem”. Wy­kład roz­po­czął sło­wa­mi: „Za­nim za­cznę mó­wić, chciał­bym coś po­wie­dzieć”. Smu­kły i uro­czo nie­dba­ły Smul­ly­an, któ­ry ma opa­da­ją­ce pa­sma bia­łych wło­sów i pie­rza­stą bro­dę, czę­sto za­ba­wiał go­ści grą na ho­te­lo­wym pia­ni­nie, pre­zen­to­wał rów­nież sztucz­ki ma­gicz­ne na ni­cze­go nie­podej­rze­wa­ją­cych prze­chod­niach, a pew­ne­go wie­czo­ru pod­czas ko­la­cji po­wa­lił wi­dow­nię na ko­la­na so­lo­wym wy­stę­pem ka­ba­re­to­wym.

Sie­dem­dzie­się­cio­sze­ścio­let­ni So­lo­mon Go­lomb był mniej żwa­wy od Smul­ly­ana, ale za to po­tra­fił roz­ma­wiać, nie sy­piąc pa­ra­dok­sa­mi. Ten czło­wiek o wy­glą­dzie dziad­ka i ła­god­nym gło­sie do­ko­nał waż­nych od­kryć w dzie­dzi­nie łącz­no­ści ko­smicz­nej, ma­te­ma­ty­ki oraz in­ży­nie­rii elek­trycz­nej, a dzię­ki po­moc­nej dło­ni Mar­ti­na Gard­ne­ra wniósł wkład do po­pkul­tu­ry. Na po­cząt­ku ka­rie­ry aka­de­mic­kiej Go­lomb wy­my­ślił kon­cep­cję po­li­mi­na, czy­li ro­dza­ju ko­stek do­mi­na zło­żo­nych z wię­cej niż 2 kwa­dra­tów. Trio­mi­no skła­da się z 3, te­tro­mi­no z 4 i tak da­lej. Ar­ty­kuł Gard­ne­ra o tym, jak do­pa­so­wu­je się kost­ki, wy­wo­łał tak duże za­in­te­re­so­wa­nie mię­dzy­na­ro­do­we, że książ­ka Go­lom­ba Po­lyomi­no­es zo­sta­ła prze­tłu­ma­czo­na i wy­da­na w Ro­sji, gdzie sta­ła się be­st­sel­le­rem. Pe­wien en­tu­zja­sta opra­co­wał grę ze spa­da­ją­cy­mi kost­ka­mi te­tro­mi­na. Owa gra, któ­ra zy­ska­ła na­zwę Te­tris, sta­ła się jed­ną z naj­ży­wot­niej­szych i naj­ulu­bień­szych gier kom­pu­te­ro­wych na świe­cie. Go­lomb, oczy­wi­ście, po­grał w te­tris nie dłu­żej niż pół go­dzi­ny.

Inny uczest­nik G4G, Ivan Mo­sco­vich, jest po­dob­ny jak dwie kro­ple wody do Vin­cen­ta Pri­ce’a w po­de­szłym wie­ku. Nie­na­gan­nie ubra­ny w szy­kow­ny ciem­ny gar­ni­tur, z bły­skiem w oku i sta­ran­nie przy­strzy­żo­ny­mi cie­niut­ki­mi wą­si­ka­mi, miał za­cze­sa­ne do tyłu gę­ste, siwe wło­sy. Dla Mo­sco­vi­cha atrak­cyj­ność ła­mi­głó­wek po­le­ga na tym, że wy­ma­ga­ją twór­cze­go my­śle­nia. Uro­dził się na te­re­nie dzi­siej­szej Ser­bii i w cza­sie dru­giej woj­ny świa­to­wej był więź­niem obo­zów w Au­schwitz i Ber­gen-Bel­sen. Uwa­ża, że prze­żył dzię­ki wro­dzo­nej in­wen­cji twór­czej – nie­ustan­nie kre­ował sy­tu­acje, któ­re w efek­cie ura­to­wa­ły mu ży­cie. Po woj­nie zmie­nił się w pra­co­ho­licz­ne­go au­to­ra ła­mi­głó­wek. Lubi cią­gle my­śleć nie­kon­wen­cjo­nal­nie, by uni­kać tego, co nie­unik­nio­ne. Nie­ustan­ne ge­ne­ro­wa­nie no­wych po­my­słów, jak sam po­wie­dział, jest efek­tem trau­my zwią­za­nej z cu­dow­nym oca­le­niem.

W cią­gu mi­nio­ne­go pół­wie­cza Mo­sco­vich opa­ten­to­wał i wy­pro­du­ko­wał oko­ło 150 ła­mi­głó­wek i opra­co­wał książ­kę z ła­mi­głów­ka­mi, któ­rą okrzyk­nię­to naj­wspa­nial­szym zbio­rem od cza­sów Loy­da i Du­de­neya. Dzi­siaj, w wie­ku 82 lat, wią­że na­dzie­je ze swo­im naj­now­szym dzie­łem: grą lo­gicz­ną o na­zwie You and Ein­ste­in. Po­le­ga ona na tym, by prze­su­wa­jąc kloc­ki w ob­rę­bie kwa­dra­to­wej ram­ki, uło­żyć zdję­cie Ein­ste­ina. Mo­sco­vich za­sto­so­wał jed­nak prze­wrot­ną in­no­wa­cję: każ­dy klo­cek za­wie­ra uko­śne lu­stro, któ­re od­bi­ja są­sied­ni klo­cek, a więc to, co wy­da­je się nam ob­ra­zem na kloc­ku, w isto­cie jest od­bi­ciem cze­goś in­ne­go. Mo­sco­vich opo­wia­dał mi, że jest pod­eks­cy­to­wa­ny tym, iż gra może od­nieść świa­to­wy suk­ces.

Ma­rze­niem Mo­sco­vi­cha, jak każ­de­go w tej bran­ży, jest oczy­wi­ście wy­na­le­zie­nie ła­mi­głów­ki, któ­ra za­po­cząt­ku­je nowe sza­leń­stwo. Tyl­ko 4 ła­mi­głów­ki o ma­te­ma­tycz­nym cha­rak­te­rze sta­ły się mię­dzy­na­ro­do­wą modą: tan­gram, pięt­nast­ka, kost­ka Ru­bi­ka oraz su­do­ku. Naj­bar­dziej lu­kra­tyw­ną była kost­ka. Od cza­su opra­co­wa­nia po­my­słu przez Ernő Ru­bi­ka w 1974 roku sprze­da­no po­nad 300 mi­lio­nów jej eg­zem­pla­rzy. Kost­ka o krzy­kli­wych ko­lo­rach od­nio­sła nie tyl­ko suk­ces ko­mer­cyj­ny, lecz tak­że za­ko­rze­ni­ła się w kul­tu­rze po­pu­lar­nej. W kró­le­stwie ła­mi­głó­wek nie ma so­bie rów­nych i rzecz ja­sna nie mo­gło jej za­brak­nąć pod­czas G4G w 2008 roku. Wy­kład o ko­st­ce Ru­bi­ka w 4 wy­mia­rach przy­ję­to en­tu­zja­stycz­ny­mi bra­wa­mi.

Ory­gi­nal­na kost­ka Ru­bi­ka ma układ 3 × 3 × 3 i skła­da się z 26 sze­ścia­nów. Każ­dy „pla­ster” po­zio­my i pio­no­wy moż­na prze­krę­cać nie­za­leż­nie. Gra się w ten spo­sób, że po po­mie­sza­niu sze­ścia­nów ob­ra­ca się pla­stra­mi, by na koń­cu każ­dy bok sze­ścia­nu był jed­no­barw­ny. Jest 6 ko­lo­rów, po jed­nym na każ­dą ścia­nę. Mo­sco­vich po­wie­dział mi, że Ru­bik wy­ka­zał się po­dwój­ną bły­sko­tli­wo­ścią. Już sam po­mysł kost­ki nosi zna­mio­na ge­niu­szu, a do tego spo­sób do­pa­so­wa­nia do sie­bie sze­ścia­nów jest przy­kła­dem nie­zwy­kle zmyśl­nej in­ży­nier­skiej ro­bo­ty. Po ro­ze­bra­niu kost­ki Ru­bi­ka nie znaj­dzie­my żad­ne­go do­dat­ko­we­go urzą­dze­nia me­cha­nicz­ne­go, któ­re spa­ja­ło­by wszyst­ko ra­zem – każ­dy klo­cek za­wie­ra ka­wa­łek środ­ko­wej, za­zę­bia­ją­cej się kuli.

Kost­ka jest atrak­cyj­na tak­że jako przed­miot. Jest bry­łą pla­toń­ską, któ­rej kul­to­wy i mi­stycz­ny sta­tus się­ga przy­najm­niej cza­sów sta­ro­żyt­nej Gre­cji. Ma zna­ko­mi­tą na­zwę fir­mo­wą: chwy­tli­wą, ze wspa­nia­łym aso­nan­sem i kon­so­nan­sem. Przez pe­wien czas uwo­dzi­ła wschod­nią eg­zo­ty­ką, tym ra­zem nie ro­dem z Azji, lecz z zim­no­wo­jen­nej Eu­ro­py Wschod­niej. Brzmie­nie jej na­zwy ko­ja­rzy­ło się ze sput­ni­kiem – po­ka­zo­wym wy­two­rem ra­dziec­kiej tech­no­lo­gii ko­smicz­nej.

Ko­lej­ny czyn­nik suk­ce­su to fakt, że choć uło­że­nie kost­ki nie było ła­twe, nie znie­chę­ca­ło lu­dzi. Gra­ham Par­ker, bu­dow­la­niec z Hamp­shi­re, zma­gał się z nią przez 26 lat, aż w koń­cu zre­ali­zo­wał swo­je ma­rze­nie. „Opusz­cza­łem waż­ne wy­da­rze­nia, zo­sta­wa­łem w domu i ją ukła­da­łem, w nocy nie mo­głem za­snąć, tyl­ko cały czas o niej my­śla­łem – mó­wił po spę­dze­niu mniej wię­cej 27 400 go­dzin na ukła­da­niu kost­ki. – Kie­dy wsta­wi­łem ostat­ni ka­wa­łek na miej­sce i każ­da ścian­ka była w jed­nym ko­lo­rze, roz­pła­ka­łem się. Nie po­tra­fię opo­wie­dzieć, jaka to była ulga”. Ci, któ­rym uda­ło się ją uło­żyć w roz­sąd­niej­szym cza­sie, za­wsze chcie­li uło­żyć ją jesz­cze raz, ale szyb­ciej. Skra­ca­nie swo­ich re­kor­dów w ko­st­ce Ru­bi­ka sta­ło się spor­tem wy­czy­no­wym.

Spe­ed­cu­bing, czy­li ukła­da­nie kost­ki na czas, na do­bre na­ro­dził się do­pie­ro nie­daw­no, oko­ło roku 2000. Do jego roz­kwi­tu po czę­ści przy­czy­nił się sport jesz­cze dzi­wacz­niej­szy niż roz­wią­zy­wa­nie na czas me­cha­nicz­nych ła­mi­głó­wek. Spe­ed­stac­king to dys­cy­pli­na po­le­ga­ją­ca na jak naj­szyb­szym ukła­da­niu pię­tra­mi pla­sti­ko­wych kub­ków we­dług usta­lo­nych wzo­rów. Jest ona ty­leż fa­scy­nu­ją­ca, co wi­do­wi­sko­wa – naj­lep­si za­wod­ni­cy po­ru­sza­ją się tak szyb­ko, że wy­da­je się, jak­by ma­lo­wa­li po­wie­trze pla­sti­kiem. Sport wy­na­le­zio­no w Ka­li­for­nii w la­tach 80. jako spo­sób na do­sko­na­le­nie ko­or­dy­na­cji ręka–oko oraz ogól­nej spraw­no­ści dzie­ci. Po­noć 20 000 szkół na ca­łym świe­cie ma dzi­siaj tę dys­cy­pli­nę w pro­gra­mie wy­cho­wa­nia fi­zycz­ne­go. W ukła­da­niu kub­ków uży­wa się spe­cjal­nych mat wy­po­sa­żo­nych w czuj­nik do­ty­ku po­łą­czo­ny ze sto­pe­rem. Dzię­ki ma­tom śro­do­wi­sko spe­ed­cu­bin­gu zy­ska­ło wresz­cie znor­ma­li­zo­wa­ną me­to­dę po­mia­ru cza­su ukła­da­nia kost­ki i uży­wa się ich obec­nie pod­czas wszyst­kich za­wo­dów.

Mniej wię­cej co ty­dzień gdzieś na świe­cie od­by­wa­ją się ofi­cjal­ne za­wo­dy w spe­ed­cu­bin­gu. Aby za­gwa­ran­to­wać do­sta­tecz­nie trud­ny układ wyj­ścio­wy, prze­pi­sy okre­śla­ją, że kost­ki na­le­ży mie­szać zgod­nie z lo­so­wą se­kwen­cją ru­chów wy­ge­ne­ro­wa­ną przez pro­gram kom­pu­te­ro­wy. Ak­tu­al­ny re­kord 7,08 se­kun­dy zo­stał usta­no­wio­ny w 2008 roku przez Eri­ka Ak­kers­dij­ka, dzie­więt­na­sto­let­nie­go stu­den­ta z Ho­lan­dii. Do Ak­kers­dij­ka na­le­ży rów­nież re­kord w ukła­da­niu kost­ki 2 × 2 × 2 (0,96 se­kun­dy), kost­ki 4 × 4 × 4 (40,05 se­kun­dy) oraz kost­ki 5 × 5 × 5 (1 mi­nu­ta 16,21 se­kun­dy). Po­tra­fi on uło­żyć kost­kę Ru­bi­ka tak­że za po­mo­cą stóp – jego czas wy­no­si 51,36 se­kun­dy i jest 4. na świe­cie. Ak­kers­dijk musi jed­nak po­pra­co­wać nad bie­gło­ścią w ukła­da­niu kost­ki jed­ną ręką (33. miej­sce na świe­cie) i z za­wią­za­ny­mi ocza­mi (43. miej­sce). Za­sa­dy ukła­da­nia z za­wią­za­ny­mi ocza­mi są na­stę­pu­ją­ce: sto­per włą­cza się w mo­men­cie po­ka­za­nia kost­ki za­wod­ni­ko­wi. Za­wod­nik musi do­kład­nie się jej przyj­rzeć i za­ło­żyć prze­pa­skę na oczy. Kie­dy uzna, że uło­żył kost­kę, mówi sę­dzie­mu, by za­trzy­mał sto­per. Ak­tu­al­ny re­kord 48,05 se­kun­dy usta­no­wił Vil­le Sep­pänen z Fin­lan­dii w 2008 roku. Inne dys­cy­pli­ny spe­ed­cu­bin­gu to ukła­da­nie kost­ki Ru­bi­ka pod­czas jaz­dy ko­lej­ką gór­ską, pod wodą, za po­mo­cą chiń­skich pa­łe­czek, pod­czas ba­lan­so­wa­nia na mo­no­cy­klu oraz w trak­cie swo­bod­ne­go spa­da­nia.

Od stro­ny ma­te­ma­tycz­nej naj­bar­dziej in­te­re­su­ją­cą ka­te­go­rią w tur­nie­jach kost­ko­wych jest usta­la­nie spo­so­bu roz­wią­za­nia w jak naj­mniej­szej licz­bie ru­chów. Za­wod­nik do­sta­je ofi­cjal­nie po­mie­sza­ną kost­kę i ma 60 mi­nut na prze­stu­dio­wa­nie po­ło­że­nia pól, by po­tem opi­sać naj­krót­szą se­kwen­cję ukła­da­nia, jaką jest w sta­nie wy­my­ślić. W 2009 roku Jim­my Coll z Bel­gii usta­no­wił re­kord świa­ta: 22 ru­chy. Ale była to tyl­ko licz­ba ru­chów, jaką bar­dzo by­stry czło­wiek po­trze­bo­wał do uło­że­nia po­mie­sza­nej kost­ki po sześć­dzie­się­cio­mi­nu­to­wym na­my­śle. Czy był­by w sta­nie zna­leźć roz­wią­za­nie tej sa­mej kon­fi­gu­ra­cji w mniej­szej licz­bie ru­chów, gdy­by miał na to 60 go­dzin? Ma­te­ma­ty­ków w związ­ku z kost­ką Ru­bi­ka naj­bar­dziej in­try­gu­je, jaka jest naj­mniej­sza licz­ba ru­chów n, taka że każ­dą kon­fi­gu­ra­cję moż­na roz­wią­zać w co naj­wy­żej n ru­chach. Na znak sza­cun­ku n w tym przy­pad­ku na­zwa­no „licz­bą Boga”.

Od­na­le­zie­nie licz­by Boga jest nie­zwy­kle skom­pli­ko­wa­nym za­da­niem, gdyż w grę wcho­dzą bar­dzo wiel­kie licz­by. Ist­nie­je oko­ło 43 · 1018 (czy­li 43 z 18 ze­ra­mi) kon­fi­gu­ra­cji kost­ki. Gdy­by wszyst­kie kost­ki o nie­po­wta­rzal­nym ukła­dzie usta­wić jed­na na dru­giej, wie­ża by­ła­by po­nad 8 mi­lio­nów razy dłuż­sza niż od­le­głość do Słoń­ca i z po­wro­tem. Ana­li­zo­wa­nie każ­de­go ukła­du po ko­lei by­ło­by zde­cy­do­wa­nie zbyt cza­so­chłon­ne. Dla­te­go ma­te­ma­ty­cy stu­diu­ją gru­py ukła­dów. To­mas Ro­kic­ki, któ­ry zaj­mu­je się tym pro­ble­mem od oko­ło 20 lat, prze­ana­li­zo­wał zbiór 19,5 mi­liar­da zbli­żo­nych ukła­dów i od­krył spo­so­by roz­wią­za­nia ich w 20 lub mniej ru­chach. Zba­dał już ja­kiś mi­lion po­dob­nych zbio­rów po 19,5 mi­liar­da ukła­dów, by po­now­nie prze­ko­nać się, że wy­star­czy 20 ru­chów. W 2008 roku udo­wod­nił, że wszyst­kie po­zo­sta­łe kon­fi­gu­ra­cje kost­ki Ru­bi­ka dzie­lą je­dy­nie 2 ru­chy od któ­re­goś z ukła­dów w jego zbio­rach, więc gór­ną gra­ni­cą licz­by Boga jest 22.

Ro­kic­ki prze­ko­na­ny jest, że licz­ba Boga to 20.

– Roz­wią­za­łem do tej pory oko­ło 9 pro­cent wszyst­kich kon­fi­gu­ra­cji kost­ki i do żad­nej z nich nie trze­ba było 21 ru­chów. Je­śli po­zy­cje wy­ma­ga­ją­ce co naj­mniej 21 ru­chów w ogó­le ist­nie­ją, to są one wy­jąt­ko­wo rzad­kie.

Wy­zwa­niem dla Ro­kic­kie­go są nie tyle kwe­stie teo­re­tycz­ne, ile lo­gi­stycz­ne. Ana­li­zo­wa­nie zbio­rów kon­fi­gu­ra­cji kost­ki wy­ma­ga nie­wia­ry­god­nej ilo­ści pa­mię­ci kom­pu­te­ro­wej i cza­su.

– Przy mo­jej obec­nej me­to­dzie po­trzeb­ne by­ło­by mi oko­ło 1000 no­wo­cze­snych kom­pu­te­rów przez ja­kiś rok, by udo­wod­nić [że licz­ba Boga] wy­no­si 20.

Ma­te­ma­ty­ka kost­ki jest hob­by Ro­kic­kie­go od daw­na. Kie­dy za­py­ta­łem go, czy my­ślał o za­ję­ciu się ma­te­ma­ty­ką in­nych ła­mi­głó­wek, na przy­kład su­do­ku, za­żar­to­wał:

– Niech pan nie pró­bu­je mnie roz­pra­szać in­ny­mi lśnią­cy­mi pro­ble­ma­mi. Ma­te­ma­ty­ka kost­ki jest wy­star­cza­ją­co am­bit­nym za­da­niem!

Ernő Ru­bik nadal miesz­ka na Wę­grzech i rzad­ko udzie­la wy­wia­dów. Mia­łem jed­nak oka­zję po­znać w Atlan­cie jed­ne­go z jego daw­nych stu­den­tów, Dánie­la Er­dély­ego. Spo­tka­li­śmy się w sali ho­te­lo­wej po­świę­co­nej „obiek­tom ma­te­ma­tycz­nym”. Na sto­łach wy­ło­żo­no mo­de­le ori­ga­mi, kształ­ty geo­me­trycz­ne i wy­myśl­ne ła­mi­głów­ki. Er­dély szu­kał tam swo­ich dzieł: błę­kit­nych przed­mio­tów wiel­ko­ści pił­ki do kry­kie­ta o po­wierzch­ni po­fał­do­wa­nej w skom­pli­ko­wa­ne za­wi­ja­sy. Trak­to­wał je z czu­ło­ścią, z jaką ho­dow­ca psów od­no­si się do mio­tu szcze­niąt. Pod­niósł je­den z nich, po­ka­zał kry­sta­licz­ny kra­jo­braz pla­ne­ty miesz­czą­cej się w dło­ni i rzekł:

– Spi­dro­ny.

Er­dély, tak jak Ru­bik, nie jest ma­te­ma­ty­kiem. Ru­bik jest ar­chi­tek­tem, a Er­dély gra­fi­kiem, któ­ry stu­dio­wał pro­jek­to­wa­nie gra­ficz­ne na Mo­ho­ly-Nagy Művésze­ti Egy­etem – bu­da­pesz­teń­skim uni­wer­sy­te­cie sztuk pięk­nych i użyt­ko­wych, gdzie Ru­bik był wy­kła­dow­cą. W 1979 roku Er­dély uczęsz­czał na za­ję­cia pro­wa­dzo­ne przez Ru­bi­ka. W ra­mach pra­cy do­mo­wej za­pro­jek­to­wał nowy kształt zło­żo­ny z cią­gu ma­le­ją­cych trój­ką­tów na prze­mian rów­no­bocz­nych i rów­no­ra­mien­nych. Na­zwał go spi­dro­nem, po­nie­waż za­krę­ca się jak spi­ra­la. Za­nim ukoń­czył stu­dia, spi­dro­ny sta­ły się jego ob­se­sją. Ba­wił się nimi bez koń­ca i za­uwa­żył, że tak jak ka­fel­ki moż­na je do­pa­so­wy­wać do sie­bie na wie­le es­te­tycz­nie efek­tow­nych spo­so­bów, za­rów­no w 2, jak i w 3 wy­mia­rach. Oko­ło 5 lat temu przy­ja­ciel po­mógł mu na­pi­sać pro­gram do two­rze­nia spi­dro­nów na kom­pu­te­rze. Ich mo­zai­ko­we wła­sno­ści za­uro­czy­ły po­tem ma­te­ma­ty­ków, in­ży­nie­rów i rzeź­bia­rzy, a Er­dély zo­stał po­dró­żu­ją­cym po świe­cie opie­ku­nem spi­dro­nu. Uwa­ża, że mógł­by zna­leźć za­sto­so­wa­nie w pro­jek­to­wa­niu na przy­kład pa­ne­li sło­necz­nych. Pod­czas G4G spo­tkał czło­wie­ka, któ­ry pro­wa­dzi fir­mę wy­strze­li­wu­ją­cą ra­kie­ty. Jak mi po­wie­dział, być może spi­dron cze­ka wła­śnie lot w ko­smos.

Spi­dron i kula spi­dro­no­wa.

Pew­ne­go po­po­łu­dnia de­le­ga­ci z kon­fe­ren­cji prze­nie­śli się do domu Toma Rod­ger­sa na przed­mie­ściach Atlan­ty. Rod­gers, biz­nes­men do­brze po pięć­dzie­siąt­ce, zor­ga­ni­zo­wał pierw­sze G4G w 1993 roku. Od dziec­ka był wiel­bi­cie­lem Gard­ne­ra i po­cząt­ko­wo my­ślał o zjeź­dzie, pod­czas któ­re­go sły­ną­cy z nie­śmia­ło­ści Gard­ner mógł­by spo­tkać się z czę­ścią licz­ne­go gro­na ko­re­spon­du­ją­cych z nim czy­tel­ni­ków. Rod­gers po­sta­no­wił za­pro­sić go­ści z 3 kon­kret­nych dzie­dzin in­te­re­su­ją­cych Gard­ne­ra – ma­te­ma­ty­ki, sztu­czek ma­gicz­nych i ła­mi­głó­wek. Zjazd oka­zał się ta­kim suk­ce­sem, że w 1996 roku zor­ga­ni­zo­wa­no na­stęp­ny. Gard­ner po­ja­wił się na 2 pierw­szych, ale po­tem był już na to za sła­by.

Rod­gers miesz­ka w par­te­ro­wym domu za­pro­jek­to­wa­nym w sty­lu ja­poń­skim, w oto­cze­niu lasu, w któ­rym ro­sną bam­bu­sy, so­sny i drze­wa owo­co­we, któ­re wła­śnie kwi­tły, kie­dy przy­je­cha­łem. W ogro­dzie gru­pa go­ści dzie­li­ła się na dru­ży­ny, aby zbu­do­wać rzeź­by geo­me­trycz­ne z drew­na i me­ta­lu. Inni ba­wi­li się w spe­cjal­nie przy­go­to­wa­ne ła­mi­głów­ko­we pod­cho­dy ze wska­zów­ka­mi przy­cze­pio­ny­mi do ze­wnętrz­nych ścian domu.

Na­gle uwa­gę wszyst­kich przy­kuł krzyk pro­fe­so­ra ma­te­ma­ty­ki Joh­na Hor­to­na Con­waya z Uni­wer­sy­te­tu Prin­ce­ton. Con­way miał roz­czo­chra­ną bro­dę, gę­stą grzy­wę srebr­nych wło­sów i ubra­ny był w T-shirt z rów­na­niem. Jest jed­nym z naj­wy­bit­niej­szych ma­te­ma­ty­ków ostat­nie­go pięć­dzie­się­cio­le­cia. Po­pro­sił, by wszy­scy przy­nie­śli mu po 10 so­sno­wych szy­szek, by mógł li­czyć ich spi­ra­le. Kla­sy­fi­ka­cja szy­szek to jego nowe hob­by – w cią­gu paru lat, od kie­dy się tym zaj­mu­je, prze­ana­li­zo­wał oko­ło 5000 szy­szek.

W domu Rod­ger­sa spo­tka­łem Co­li­na Wri­gh­ta, Au­stra­lij­czy­ka miesz­ka­ją­ce­go w Port Sun­li­ght w dys­tryk­cie Wir­ral. Z rudą chło­pię­cą fry­zu­rą i oku­la­ra­mi wy­glą­da tak, jak lu­dzie wy­obra­ża­ją so­bie ma­te­ma­ty­ka. Wri­ght jest żon­gle­rem, co, jak po­wie­dział, „wy­da­wa­ło się rze­czą oczy­wi­stą po tym, kie­dy opa­no­wa­łem jaz­dę na mo­no­cy­klu”. Przy­czy­nił się rów­nież do utwo­rze­nia ma­te­ma­tycz­ne­go za­pi­su żon­glo­wa­nia, co może nie brzmi im­po­nu­ją­co, ale ze­lek­try­zo­wa­ło mię­dzy­na­ro­do­we śro­do­wi­sko żon­gler­ki. Oka­zu­je się, że dzię­ki temu żon­gle­rzy po­tra­fią od­kryć sztucz­ki, któ­re wy­my­ka­ły się im od ty­się­cy lat.

– Kie­dy mamy ję­zyk do­ty­czą­cy da­ne­go pro­ble­mu, wspo­ma­ga to nasz pro­ces my­ślo­wy – po­wie­dział Wri­ght, wyj­mu­jąc pił­ki, aby za­de­mon­stro­wać nie­daw­no wy­my­ślo­ną żon­gler­kę 3 pił­ka­mi. – Ma­te­ma­ty­ka to nie ra­chun­ki, ob­li­cze­nia i wzo­ry. To roz­kła­da­nie rze­czy na czę­ści, żeby zro­zu­mieć ich dzia­ła­nie.

Za­py­ta­łem go, czy nie do­strze­ga prze­ja­wów bez­tro­ski, ja­ło­wo­ści albo na­wet mar­no­traw­stwa w tym, że naj­wspa­nial­sze umy­sły ma­te­ma­ty­ki po­świę­ca­ją czas na zaj­mo­wa­nie się tak bła­hy­mi roz­ryw­ka­mi, jak żon­gler­ka, li­cze­nie szy­szek czy choć­by roz­wią­zy­wa­nie ła­mi­głó­wek.

– Niech ma­te­ma­ty­cy ro­bią to, co ro­bią – od­po­wie­dział. – Nig­dy tak na­praw­dę nie wia­do­mo, co oka­że się przy­dat­ne.

Przy­to­czył przy­kład pro­fe­so­ra z Cam­brid­ge G.H. Har­dy’ego, któ­ry w 1940 roku za­sły­nął za­du­fa­ną wy­po­wie­dzią, że teo­ria liczb nie ma żad­nych za­sto­so­wań prak­tycz­nych – tym­cza­sem dzi­siaj sta­no­wi ona pod­sta­wę wie­lu pro­gra­mów bez­pie­czeń­stwa w in­ter­ne­cie. Zda­niem Wri­gh­ta ma­te­ma­ty­cy z „ab­sur­dal­nym po­wo­dze­niem” znaj­du­ją za­sto­so­wa­nia dla po­zor­nie bez­u­ży­tecz­nych twier­dzeń, czę­sto po wie­lu la­tach od ich od­kry­cia.

Jed­nym z naj­bar­dziej uj­mu­ją­cych aspek­tów G4G jest to, że wszy­scy go­ście pro­sze­ni są o przy­nie­sie­nie po­da­run­ku – „cze­goś co, chcie­li­by po­da­ro­wać Mar­ti­no­wi”. Wła­ści­wie to na­le­ży przy­nieść 300 eg­zem­pla­rzy swo­je­go pre­zen­tu, po­nie­waż każ­dy gość na za­koń­cze­nie otrzy­mu­je tor­bę za­wie­ra­ją­cą po 1 pre­zen­cie od każ­de­go. Tam­te­go roku w pa­kie­cie zna­la­złem ła­mi­głów­ki, sztucz­ki ma­gicz­ne, książ­ki, pły­ty CD, ga­dże­ty i ka­wa­łek pla­sti­ku, za po­mo­cą któ­re­go może prze­mó­wić pusz­ka coli. Jed­na tor­ba była dla Mar­ti­na Gard­ne­ra i za­bra­łem ją dla nie­go.

Gard­ner miesz­ka w Nor­man w Okla­ho­mie. W dniu mo­je­go przy­jaz­du przez cały stan prze­ta­cza­ły się bu­rze. Po kil­ku złych skrę­tach z au­to­stra­dy zna­la­złem jego dom – ośro­dek spo­koj­nej sta­ro­ści obok lo­ka­lu z tek­sa­skim fast fo­odem. Drzwi do po­ko­ju znaj­du­ją się za­le­d­wie kil­ka kro­ków od wej­ścia, za świe­tli­cą, w któ­rej sie­dzia­ło i ga­wę­dzi­ło kil­ko­ro star­szych pen­sjo­na­riu­szy. Obok drzwi Gard­ne­ra, któ­ry nie uży­wa pocz­ty elek­tro­nicz­nej, za­mon­to­wa­no skrzyn­kę na ko­re­spon­den­cję. Wy­sy­ła on wię­cej li­stów niż po­zo­sta­li miesz­kań­cy domu ra­zem wzię­ci.

Gard­ner otwo­rzył drzwi i za­pro­sił mnie do środ­ka. Na ścia­nie wi­sia­ły jego por­tret wy­ko­na­ny z ko­stek do­mi­na, duża fo­to­gra­fia Ein­ste­ina oraz ory­gi­nal­na pra­ca Esche­ra. Gard­ner był ubra­ny w zie­lo­ną ko­szu­lę i spodnie. Miał mięk­ką cerę bez za­ro­stu, ko­smy­ki bia­łych wło­sów, duże szyl­kre­to­we oku­la­ry i żywe oczy. Było w nim coś ete­rycz­ne­go. Szczu­pły, do­sko­na­łą po­sta­wę za­wdzię­czał praw­do­po­dob­nie co­dzien­nej pra­cy przy pul­pi­cie na sto­ją­co.

Wi­zy­ta u Gard­ne­ra przy­po­mi­na­ła żyw­cem Czar­no­księż­ni­ka z kra­iny Oz. Znaj­do­wa­łem się na tar­ga­nym hu­ra­ga­nem Środ­ko­wym Za­cho­dzie i sze­dłem na spo­tka­nie ze sta­rym sztuk­mi­strzem. Sko­ja­rze­nie z Do­rot­ką i spół­ką oka­za­ło się wy­jąt­ko­wo traf­ne. Choć nie wie­dzia­łem o tym przed spo­tka­niem, Gard­ner jest świa­to­wym eks­per­tem od L. Fran­ka Bau­ma, au­to­ra Czar­no­księż­ni­ka z kra­iny Oz. Gard­ner po­wie­dział mi, że de­ka­dę wcze­śniej na­pi­sał na­wet dal­szy ciąg, w któ­rym Do­ro­ta z przy­ja­ciół­mi wy­bie­ra się na Man­hat­tan. Re­cen­zje, choć nie­szcze­gól­nie przy­chyl­ne, uka­za­ły się w po­waż­nych ga­ze­tach.

– Książ­ka zo­sta­ła na­pi­sa­na głów­nie dla fa­nów Oza – stwier­dził Gard­ner.

Prze­ka­za­łem mu tor­bę z po­da­run­ka­mi z G4G i za­py­ta­łem, jak to jest być te­ma­tem kon­fe­ren­cji.

– Je­stem za­szczy­co­ny i za­sko­czo­ny – od­po­wie­dział. – Zdu­mie­wa mnie, jak to się roz­wi­nę­ło. – Szyb­ko sta­ło się ja­sne, że roz­mo­wa o jego splen­do­rze wśród ma­te­ma­ty­ków krę­pu­je go. – Nie je­stem ma­te­ma­ty­kiem – wy­ja­śnił. – Wła­ści­wie je­stem dzien­ni­ka­rzem. Nie wy­cho­dzę poza ra­chu­nek róż­nicz­ko­wy. To był se­kret suk­ce­su mo­jej ru­bry­ki. Tak dużo cza­su zaj­mo­wa­ło mi zro­zu­mie­nie tego, o czym pi­sa­łem, że wie­dzia­łem, jak pi­sać, by więk­szość czy­tel­ni­ków zro­zu­mia­ła.

Kie­dy do­wie­dzia­łem się, że Gard­ner nie jest praw­dzi­wym ma­te­ma­ty­kiem, na po­cząt­ku po­czu­łem się nie­co roz­cza­ro­wa­ny, jak­by Czar­no­księż­nik ze­rwał za­sło­nę.

Ulu­bio­nym te­ma­tem Gard­ne­ra są sztucz­ki ma­gicz­ne. Na­zy­wa je swo­im głów­nym hob­by. Pre­nu­me­ru­je cza­so­pi­sma ilu­zjo­ni­stycz­ne i – na tyle, na ile po­zwa­la mu ar­tre­tyzm – sam robi sztucz­ki. Za­pro­po­no­wał, że po­ka­że mi coś, co okre­ślił jako je­dy­ną kar­cia­ną sztucz­kę ilu­zjo­ni­stycz­ną, jaką sam wy­my­ślił: wink chan­ge, w któ­rej ko­lor kar­ty zmie­nia się „w mgnie­niu oka”. Wziął ta­lię kart i umie­ścił czar­ną kar­tę mię­dzy ta­lią a dło­nią. Czar­na kar­ta na­tych­miast sta­ła się czer­wo­ną. Gard­ner za­in­te­re­so­wał się ma­te­ma­ty­ką za spra­wą „ma­te­ma­tycz­nych sztu­czek ma­gicz­nych”, i to wła­śnie ma­gi­cy, a nie ma­te­ma­ty­cy, sta­no­wi­li za mło­du jego krąg to­wa­rzy­ski. Po­wie­dział, że lubi sztucz­ki ma­gicz­ne, po­nie­waż wy­wo­łu­ją uczu­cie za­chwy­tu świa­tem.

– Wi­dzisz ko­bie­tę uno­szą­cą się w po­wie­trzu i uświa­da­miasz so­bie, że rów­nie cu­dow­ne jest to, że spa­da na zie­mię pod wpły­wem gra­wi­ta­cji […] nie zda­je­my so­bie spra­wy, że gra­wi­ta­cja jest czymś rów­nie ta­jem­ni­czym, jak le­wi­tu­ją­ca ko­bie­ta.

Za­py­ta­łem, czy ma­te­ma­ty­ka bu­dzi w nim taki sam za­chwyt.

– Ab­so­lut­nie tak – od­po­wie­dział.

Gard­ner zna­ny jest przede wszyst­kim jako au­tor pi­szą­cy o ma­te­ma­ty­ce, ale to za­le­d­wie część jego do­rob­ku. Jego de­biu­tem była Pseu­do­nau­ka i pseu­do­ucze­ni, pierw­sza po­pu­lar­na książ­ka de­ma­sku­ją­ca pseu­do­nau­kę. Pi­sał o fi­lo­zo­fii i wy­dał po­waż­ną po­wieść na te­mat re­li­gii. Jego be­st­sel­le­rem jest The An­no­ta­ted Ali­ce, po­nad­cza­so­we kom­pen­dium przy­pi­sów do Ali­cji w Kra­inie Cza­rów oraz Po dru­giej stro­nie lu­stra Le­wi­sa Car­rol­la. W wie­ku 93 lat naj­wy­raź­niej nie zwal­nia tem­pa. Ma wła­śnie wy­dać zbiór ese­jów po­świę­co­nych G.K. Che­ster­to­no­wi i po­śród wie­lu in­nych za­jęć opra­co­wu­je opa­słą księ­gę gier słow­nych.

Dzię­ki Gard­ne­ro­wi ma­te­ma­ty­ka roz­ryw­ko­wa utrzy­mu­je się w bar­dzo do­brej kon­dy­cji. Jest to pa­sjo­nu­ją­ca i róż­no­rod­na dzie­dzi­na, któ­ra spra­wia przy­jem­ność lu­dziom w każ­dym wie­ku i każ­dej na­ro­do­wo­ści, a tak­że sta­no­wi in­spi­ra­cję dla po­waż­nych ba­dań nad po­waż­ny­mi pro­ble­ma­mi. By­łem nie­co zbi­ty z tro­pu, gdy do­wie­dzia­łem się, że Gard­ner nie jest ma­te­ma­ty­kiem. Po wyj­ściu z ośrod­ka do­sze­dłem jed­nak do wnio­sku, że to prze­cież zna­ko­mi­cie pa­su­je do du­cha ma­te­ma­ty­ki roz­ryw­ko­wej, iż czło­wiek, któ­ry ją dzi­siaj uosa­bia, jest je­dy­nie za­pa­lo­nym ama­to­rem.

* * *

1 W ory­gi­na­le licz­ba zia­ren or­ki­szu za­pi­sa­na była błęd­nie jako 2301.

2 Egip­ska mia­ra ob­ję­to­ści.

3 Do­słow­nie „spa­daj z Zie­mi”. W Pol­sce ła­mi­głów­ka zna­na jest pod na­zwą „Gdzie jest Chiń­czyk?” oraz „Zni­ka­ją­cy Chiń­czyk” (przyp. red.).

ROZ­DZIAŁ SIÓD­MY

Wcią­ga­ją­ce cią­gi

W Atlan­cie po­zna­łem czło­wie­ka o nie­zwy­kłym hob­by. Neil Slo­ane ko­lek­cjo­nu­je licz­by. Nie po­je­dyn­cze, to by­ło­by głu­pie, lecz całe ro­dzi­ny liczb w upo­rząd­ko­wa­nych li­stach zwa­nych cią­ga­mi. Na przy­kład licz­by na­tu­ral­ne sta­no­wią ciąg, któ­ry moż­na zde­fi­nio­wać w ten spo­sób, że n-ty wy­raz cią­gu to n:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …

Slo­ane za­czął gro­ma­dzić swo­ją ko­lek­cję w 1963 roku jako dok­to­rant na Uni­wer­sy­te­cie Cor­nel­la i naj­pierw za­pi­sy­wał cią­gi na kar­tach. Dla ko­goś, kto lubi upo­rząd­ko­wa­ne li­sty, oczy­wi­stym kro­kiem było spo­rzą­dze­nie ich upo­rząd­ko­wa­ne­go ze­sta­wie­nia. De­ka­dę póź­niej do­szedł już do 2400 cią­gów, któ­re opu­bli­ko­wał w książ­ce za­ty­tu­ło­wa­nej A Hand­bo­ok of In­te­ger Se­qu­en­ces. W po­ło­wie lat 90. miał ich 5500. Jed­nak do­pie­ro dzię­ki wy­na­le­zie­niu in­ter­ne­tu ko­lek­cja zna­la­zła swo­je ide­al­ne me­dium. Li­sta Slo­ane’a prze­ro­dzi­ła się w On-Line En­cyc­lo­pe­dia of In­te­ger Se­qu­en­ces (in­ter­ne­to­wą en­cy­klo­pe­dię cią­gów liczb cał­ko­wi­tych), kom­pen­dium, któ­re za­wie­ra dzi­siaj po­nad 160 000 po­zy­cji i po­więk­sza się o mniej wię­cej 10 000 rocz­nie.

Na pierw­szy rzut oka Slo­ane wy­da­je się ty­po­wym do­ma­to­rem. Jest drob­nej bu­do­wy, łysy i nosi gru­be kwa­dra­to­we oku­la­ry. Od­zna­cza się przy tym mu­sku­lar­no­ścią i tę­ży­zną, po­ru­sza się kro­kiem mi­strza zen, co jest efek­tem upra­wia­nia jego dru­giej pa­sji – wspi­nacz­ki. Slo­ane tak samo lubi tru­dy wspi­na­nia się po for­ma­cjach geo­lo­gicz­nych, jak i po licz­bo­wych. Jego zda­niem po­do­bień­stwo mię­dzy ba­da­niem cią­gów i po­ko­ny­wa­niem trud­ne­go te­re­nu gór­skie­go po­le­ga na tym, że jed­no i dru­gie wy­ma­ga umie­jęt­no­ści spryt­ne­go roz­wią­zy­wa­nia ła­mi­głó­wek. Po­wie­dział­bym, że jest jesz­cze jed­na pa­ra­le­la: cią­gi za­chę­ca­ją do licz­bo­we­go al­pi­ni­zmu – ile­kroć czło­wiek do­cie­ra do wy­ra­zu n, bu­dzi się w nim na­tu­ral­na chęć zna­le­zie­nia wy­ra­zu n + 1. Pra­gnie­nie do­tar­cia do na­stęp­ne­go wy­ra­zu jest jak pra­gnie­nie zdo­by­wa­nia co­raz wyż­szych szczy­tów – z tym że al­pi­ni­stów rzecz ja­sna ogra­ni­cza geo­gra­fia, na­to­miast cią­gi czę­sto cią­gną się w nie­skoń­czo­ność.

Jak ko­lek­cjo­ner płyt, któ­ry prze­bo­je sprzed lat ukła­da obok barw­nych rzad­ko­ści, Slo­ane w swo­jej en­cy­klo­pe­dii łą­czy za­rów­no zwy­czaj­ne, jak i dzi­wacz­ne oka­zy. Jego ko­lek­cja obej­mu­je na przy­kład po­niż­szy ciąg na­zy­wa­ny „cią­giem zero”, któ­ry skła­da się z sa­mych zer. (Każ­dy ciąg w en­cy­klo­pe­dii ozna­czo­ny jest nu­me­rem re­fe­ren­cyj­nym za­czy­na­ją­cym się od li­te­ry A. Ciąg zero był czwar­tym cią­giem w zbio­rze Slo­ane’a, stąd jego na­zwa A4).

(A4) 0, 0, 0, 0, 0, …

Jako naj­prost­szy nie­koń­czą­cy się ciąg, jest naj­mniej dy­na­micz­nym cią­giem w ko­lek­cji, choć trud­no mu od­mó­wić pew­ne­go ni­hi­li­stycz­ne­go wdzię­ku.

Ob­słu­ga en­cy­klo­pe­dii in­ter­ne­to­wej to pra­ca na okrą­gło, któ­rą Slo­ane wy­ko­nu­je oprócz eta­to­wej – w cha­rak­te­rze ma­te­ma­ty­ka w AT&T Labs w New Jer­sey1. Nie musi już jed­nak po­świę­cać cza­su na wy­grze­by­wa­nie no­wych cią­gów. Po suk­ce­sie en­cy­klo­pe­dii nie­ustan­nie otrzy­mu­je nowe pro­po­zy­cje. Przy­cho­dzą od za­wo­do­wych ma­te­ma­ty­ków oraz, w więk­szych ilo­ściach, od la­ików z ob­se­sją na punk­cie liczb. Slo­ane ma tyl­ko 1 kry­te­rium de­cy­du­ją­ce o przy­ję­ciu cią­gu do klu­bu: musi on być „do­brze zde­fi­nio­wa­ny i in­te­re­su­ją­cy”. To pierw­sze ozna­cza po pro­stu, że każ­dy wy­raz cią­gu musi być opi­sa­ny w spo­sób al­ge­bra­icz­ny bądź re­to­rycz­ny. Dru­gie jest kwe­stią jego oce­ny, choć je­śli nie ma pew­no­ści, zwy­kle ak­cep­tu­je dany ciąg. Z fak­tu, że ciąg jest do­brze zde­fi­nio­wa­ny i in­te­re­su­ją­cy, nie wy­ni­ka by­najm­niej, że dzie­je się w nim coś ma­te­ma­tycz­ne­go. Jest tu miej­sce rów­nież dla hi­sto­rii, folk­lo­ru i naj­roz­ma­it­szych dzi­wactw.

W en­cy­klo­pe­dii znaj­du­je się sta­ro­żyt­ny ciąg:

(A100000) 3, 6, 4, 8, 10, 5, 5, 7

Licz­by cią­gu to prze­ło­żo­ne na cy­fry zna­ki wy­ry­te na jed­nym z naj­star­szych zna­nych ar­te­fak­tów ma­te­ma­tycz­nych – ko­ści z Ishan­go, któ­ra po­cho­dzi sprzed 22 000 lat i zo­sta­ła od­na­le­zio­na na te­re­nie dzi­siej­szej De­mo­kra­tycz­nej Re­pu­bli­ki Kon­ga. Po­cząt­ko­wo my­śla­no, że ta kość mał­py była ro­dza­jem tal­ly stick, póź­niej jed­nak wy­su­nię­to hi­po­te­zę, że se­kwen­cja 3 i jego po­dwo­je­nie, 4 i jego po­dwo­je­nie, 10 i jego po­ło­wa wska­zu­je na bar­dziej wy­ra­fi­no­wa­ne ro­zu­mo­wa­nie aryt­me­tycz­ne.

W ko­lek­cji znaj­du­je się rów­nież zło­wro­gi ciąg:

(A51003) 666, 1666, 2666, 3666, 4666, 5666, 6660, 6661, …

Ciąg ten bywa na­zy­wa­ny „licz­ba­mi Be­stii”, po­nie­waż za­wie­ra­ją one se­kwen­cję 666 w roz­wi­nię­ciu dzie­sięt­nym.

W lżej­szym to­nie utrzy­ma­ny jest ciąg:

(A38674) 2, 2, 4, 4, 2, 6, 6, 2, 8, 8, 16

Są to licz­by z la­ty­no­skiej pio­sen­ki dzie­cię­cej La Fa­ro­le­ra: Dos y dos son qu­atro, cu­atro y dos son seis. Seis y dos son ocho, y ocho die­ci­se­is.

Ale bo­daj naj­bar­dziej kla­sycz­ny ze wszyst­kich cią­gów two­rzą licz­by pierw­sze:

(A40) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, …

Licz­by pierw­sze to licz­by na­tu­ral­ne więk­sze od 1, któ­re dzie­lą się wy­łącz­nie przez sie­bie oraz 1. Ła­two je opi­sać, ale ciąg ma dość efek­tow­ne, a cza­sem za­gad­ko­we wła­ści­wo­ści. Po pierw­sze, jak do­wiódł Eu­kli­des, ich licz­ba jest nie­skoń­czo­na. Je­śli po­my­śli­my ja­kąś licz­bę, ja­ką­kol­wiek, za­wsze bę­dzie­my w sta­nie zna­leźć licz­bę pierw­szą więk­szą od niej. Po dru­gie, każ­dą licz­bę na­tu­ral­ną po­wy­żej 1 moż­na za­pi­sać jako nie­po­wta­rzal­ny ilo­czyn liczb pierw­szych. In­ny­mi sło­wy, każ­da licz­ba rów­na się nie­po­wta­rzal­ne­mu ze­sta­wo­wi liczb pierw­szych po­mno­żo­nych przez sie­bie. Na przy­kład 221 to 13 · 17. Na­stęp­na licz­ba, 222, to 2 · 3 · 37. Ko­lej­na licz­ba, 223, jest pierw­sza, więc jest ilo­czy­nem tyl­ko 223 · 1, a 224 to 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 7. Mo­że­my po­stę­po­wać tak w nie­skoń­czo­ność, każ­dą licz­bę da się spro­wa­dzić do ilo­czy­nu liczb pierw­szych. Na przy­kład mi­liard to 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5. Ta ce­cha liczb na­zy­wa­na jest pod­sta­wo­wym twier­dze­niem aryt­me­ty­ki i wy­ja­śnia, dla­cze­go licz­by pierw­sze uwa­ża się za nie­po­dziel­ne pod­sta­wo­we ele­men­ty sys­te­mu liczb na­tu­ral­nych.

Licz­by pierw­sze są pod­sta­wo­wy­mi ele­men­ta­mi rów­nież wte­dy, gdy je do­da­je­my. Każ­da licz­ba pa­rzy­sta więk­sza od 2 jest sumą 2 liczb pierw­szych:

4 = 2 + 2

6 = 3 + 3

8 = 5 + 3

10 = 5 + 5

12 = 5 + 7



222 = 199 + 23

224 = 211 + 13



Przy­pusz­cze­nie, że każ­da licz­ba pa­rzy­sta jest sumą 2 liczb pierw­szych, na­zy­wa­na jest hi­po­te­zą Gold­ba­cha, od na­zwi­ska pru­skie­go ma­te­ma­ty­ka Chri­stia­na Gold­ba­cha, któ­ry ko­re­spon­do­wał na ten te­mat z Le­on­har­dem Eu­le­rem. Eu­ler był „cał­ko­wi­cie pe­wien”, że hi­po­te­za jest praw­dzi­wa. W cią­gu nie­mal 300 lat ba­dań i prób ni­ko­mu nie uda­ło się zna­leźć licz­by pa­rzy­stej, któ­ra nie by­ła­by sumą 2 liczb pierw­szych, ale jak do­tąd nikt też nie zdo­łał udo­wod­nić praw­dzi­wo­ści hi­po­te­zy. Jest to je­den z naj­star­szych i naj­słyn­niej­szych nie­roz­wią­za­nych pro­ble­mów w ma­te­ma­ty­ce. W 2000 roku wy­daw­cy ma­te­ma­tycz­ne­go kry­mi­na­łu Za­bój­cza hi­po­te­za Apo­sto­lo­sa Do­xia­di­sa byli tak pew­ni, że zna­le­zie­nie do­wo­du nadal prze­kra­cza moż­li­wo­ści ma­te­ma­ty­ki, że ufun­do­wa­li na­gro­dę w wy­so­ko­ści mi­lio­na do­la­rów dla każ­de­go, kto zdo­ła roz­wią­zać ten pro­blem. Nikt tego nie do­ko­nał.

Hi­po­te­za Gold­ba­cha nie jest je­dy­ną nie­roz­strzy­gnię­tą kwe­stią do­ty­czą­cą liczb pierw­szych. Przed­mio­tem ba­dań jest rów­nież ich roz­miesz­cze­nie na osi licz­bo­wej – bez żad­ne­go oczy­wi­ste­go sche­ma­tu. W isto­cie po­szu­ki­wa­nie pra­wi­dło­wo­ści rzą­dzą­cych roz­miesz­cze­niem liczb pierw­szych jest jed­nym z naj­żyź­niej­szych ob­sza­rów ba­dań w teo­rii liczb i do­pro­wa­dzi­ło do wie­lu po­waż­nych od­kryć i hi­po­tez.

Mimo ca­łej swej wy­jąt­ko­wo­ści licz­by pierw­sze nie mają jed­nak mo­no­po­lu na skry­wa­nie ta­jem­nic ma­te­ma­tycz­ne­go po­rząd­ku (lub nie­po­rząd­ku). Wszyst­kie cią­gi w ja­kiś spo­sób przy­czy­nia­ją się do lep­sze­go zro­zu­mie­nia wła­ści­wo­ści liczb. En­cy­klo­pe­dię Slo­ane’a moż­na po­trak­to­wać jako kom­pen­dium wzor­ców, księ­gę ka­ta­stral­ną ma­te­ma­tycz­ne­go DNA, ka­ta­log ukry­te­go ładu licz­bo­we­go świa­ta. Całe przed­się­wzię­cie zro­dzi­ło się być może z oso­bi­stej ob­se­sji Ne­ila Slo­ane’a, ale z cza­sem sta­ło się na­praw­dę waż­ną bazą na­uko­wą.

Slo­ane wi­dzi w en­cy­klo­pe­dii ma­te­ma­tycz­ny od­po­wied­nik bazy da­nych FBI z od­ci­ska­mi pal­ców.

– Po zna­le­zie­niu od­ci­sków pal­ców na miej­scu zbrod­ni spraw­dza się je w kar­to­te­ce, żeby zi­den­ty­fi­ko­wać po­dej­rza­ne­go – po­wie­dział. – Tak samo jest z en­cy­klo­pe­dią. Ma­te­ma­ty­cy na­tra­fią na ja­kiś ciąg liczb, któ­ry w na­tu­ral­ny spo­sób po­ja­wia się w ich pra­cy, a po­tem szu­ka­ją go w ba­zie da­nych; miło im, kie­dy oka­zu­je się, że już tam jest.

Baza przy­da­je się nie tyl­ko w czy­stej ma­te­ma­ty­ce. In­ży­nie­ro­wie, che­mi­cy, fi­zy­cy i astro­no­mo­wie rów­nież spraw­dza­ją cią­gi w en­cy­klo­pe­dii, od­kry­wa­jąc nie­ocze­ki­wa­ne po­wią­za­nia i zy­sku­jąc ma­te­ma­tycz­ne spoj­rze­nie na swój ob­szar ba­dań. Dla spe­cja­li­stów z dzie­dzin ob­fi­tu­ją­cych w nie­prze­nik­nio­ne cią­gi licz­bo­we, któ­re mają na­dzie­ję zro­zu­mieć, baza da­nych jest żyłą zło­ta.

Dzię­ki en­cy­klo­pe­dii Slo­ane po­zna­je mnó­stwo no­wych idei ma­te­ma­tycz­nych, poza tym zaj­mu­je się wy­my­śla­niem swo­ich wła­snych. W 1973 roku stwo­rzył kon­cep­cję „opor­no­ści licz­by” (per­si­sten­ce of a num­ber). Jest to licz­ba kro­ków po­trzeb­nych do otrzy­ma­nia jed­no­cy­fro­wej licz­by z ja­kiejś licz­by: mno­ży się przez sie­bie wszyst­kie cy­fry da­nej licz­by, by otrzy­mać ko­lej­ną licz­bę, na­stęp­nie mno­ży się przez sie­bie jej cy­fry, by otrzy­mać trze­cią i tak da­lej, aż uzy­ska­my licz­bę jed­no­cy­fro­wą. Na przy­kład:

88 → 8 · 8 = 64 → 6 · 4 = 24 → 2 · 4 = 8

Za­tem zgod­nie z sys­te­mem Slo­ane’a 88 ma opor­ność 3, po­nie­waż do­tar­cie do licz­by jed­no­cy­fro­wej wy­ma­ga 3 kro­ków. Wy­da­wa­ło­by się, że im więk­sza licz­ba, tym więk­szą ma opor­ność. Na przy­kład 679 ma opor­ność 5:

679 → 378 → 168 → 48 → 32 → 6

Li­cząc w taki sam spo­sób, prze­ko­na­li­by­śmy się, że opor­ność 277 777 788 888 899 wy­no­si 11. W opor­no­ści tkwi jed­nak pew­na za­gwozd­ka: Slo­ane nie od­krył licz­by o opor­no­ści więk­szej niż 11, choć spraw­dził wszyst­kie licz­by po ko­lei aż do 10233, któ­re skła­da się z 1 i 233 zer. In­ny­mi sło­wy, obo­jęt­nie jaką licz­bę wy­bie­rze­my, mno­żąc wszyst­kie cy­fry skła­do­we zgod­nie z za­sa­da­mi ob­li­cza­nia opor­no­ści, do licz­by jed­no­cy­fro­wej do­trze­my w co naj­wy­żej 11 kro­kach.

Jest to cu­dow­nie sprzecz­ne z in­tu­icją. Wy­da­wa­ło­by się bo­wiem, że je­śli mamy licz­bę zło­żo­ną z ja­kichś 200 wy­so­kich cyfr, po­wiedz­my óse­mek i dzie­wią­tek, to ilo­czyn po­szcze­gól­nych cyfr po­wi­nien być do­sta­tecz­nie duży, by spro­wa­dze­nie tej licz­by do po­je­dyn­czej cy­fry wy­ma­ga­ło dużo wię­cej niż 11 kro­ków. Wiel­kie licz­by za­ła­mu­ją się jed­nak pod wła­snym cię­ża­rem. Dzie­je się tak dla­te­go, że ile­kroć w licz­bie wy­stą­pi 0, ilo­czyn wszyst­kich cyfr wy­no­si 0. Je­śli w da­nej licz­bie po­cząt­ko­wo nie ma żad­nych zer, to i tak za­wsze po­ja­wi się ono przed je­de­na­stym kro­kiem, chy­ba że licz­ba zo­sta­nie wcze­śniej zre­du­ko­wa­na do po­je­dyn­czej cy­fry. Slo­ane od­krył w opor­no­ści nie­zwy­kle sku­tecz­ne­go po­grom­cę ol­brzy­mów.

Na tym jed­nak nie po­prze­stał i skom­pi­lo­wał ciąg, w któ­rym n-ty wy­raz jest naj­mniej­szą licz­bą o opor­no­ści n. (Bie­rze­my pod uwa­gę tyl­ko licz­by zło­żo­ne z przy­najm­niej 2 cyfr). Pierw­szym ta­kim wy­ra­zem jest 10, po­nie­waż:

10 → 0 i 10 jest naj­mniej­szą licz­bą dwu­cy­fro­wą re­du­ko­wa­ną w 1 kro­ku.

Dru­gim wy­ra­zem jest 25, po­nie­waż:

25 → 10 → 0 i 25 jest naj­mniej­szą licz­bą dwu­cy­fro­wą re­du­ko­wa­ną w 2 kro­kach.

Trze­ci wy­raz to 39, po­nie­waż:

39 → 27 → 14 → 4 i 39 jest naj­mniej­szą licz­bą dwu­cy­fro­wą re­du­ko­wa­ną w 3 kro­kach.

Peł­na li­sta wy­glą­da na­stę­pu­ją­co:

(A3001) 10, 25, 39, 77, 679, 6788, 68 889, 2 677 889, 26 888 999, 3 778 888 999, 277 777 788 888 899

Jest w tym ze­sta­wie liczb coś dziw­nie fa­scy­nu­ją­ce­go. Z jed­nej stro­ny wy­ka­zu­ją wy­raź­ny ład, ale z dru­giej stro­ny sta­no­wią tro­chę asy­me­trycz­ną mie­sza­ni­nę. Opor­ność przy­po­mi­na ma­szyn­kę do mie­le­nia mię­sa na kieł­ba­ski, któ­ra wy­twa­rza tyl­ko 11 kieł­ba­sek o bar­dzo dziw­nych kształ­tach.

Do­bry zna­jo­my Slo­ane’a, pro­fe­sor John Hor­ton Con­way z Prin­ce­ton, rów­nież lubi za­ba­wiać się wy­my­śla­niem nie­kon­wen­cjo­nal­nych kon­cep­cji ma­te­ma­tycz­nych. W 2007 roku wy­my­ślił kon­cep­cję „ukła­du prze­no­sze­nia na­pę­du” (po­wer­tra­in). Dla do­wol­nej licz­by za­pi­sy­wa­nej jako abcd… jej po­wer­tra­in to abcd… W przy­pad­ku liczb o nie­pa­rzy­stej licz­bie cyfr ostat­nia cy­fra nie ma wy­kład­ni­ka po­tę­gi, więc abc­de przyj­mu­je po­stać abcde. Roz­waż­my licz­bę 3462. Re­du­ku­je się ona do 3462= 81 · 36 = 2916. Za­sto­suj­my po­wer­tra­in do skut­ku, aż otrzy­ma­my licz­bę jed­no­cy­fro­wą:

3462 → 2916 → 2916= 512 · 1 = 512 → 512 = 10 → 10= 1

Con­way chciał się do­wie­dzieć, czy ist­nie­ją licz­by, któ­re nie re­du­ku­ją się do licz­by jed­no­cy­fro­wej pod wpły­wem po­wer­tra­in. Zdo­łał zna­leźć tyl­ko jed­ną:

2592 → 2592= 32 · 81 = 2592

Slo­ane na­tu­ral­nie pod­jął wy­zwa­nie i od­krył dru­gą2:

24 547 284 284 866 560 000 000 000

Slo­ane jest obec­nie prze­ko­na­ny, że nie ma już wię­cej nie­znisz­czal­nych liczb.

Za­sta­nów­my się nad tym przez chwi­lę: po­wer­tra­in Con­waya jest tak za­bój­czą ma­chi­ną, że uni­ce­stwia każ­dą licz­bę na świe­cie oprócz 2592 i 24 547 284 284 866 560 000 000 000 – na po­zór nie­po­wią­za­nych ze sobą, sta­łych punk­tów w nie­koń­czą­cym się prze­stwo­rze liczb.

– Re­zul­tat jest spek­ta­ku­lar­ny – stwier­dził Slo­ane.

Wiel­kie licz­by giną dość szyb­ko w ob­li­cze­niach po­wer­tra­in z tej sa­mej przy­czy­ny co w opor­no­ści – po­ja­wia się 0 i ob­ra­ca wszyst­ko wni­wecz. Za­py­ta­łem Slo­ane’a, czy so­lid­ność owych 2 liczb, dzię­ki któ­rej są wy­trzy­ma­łe na po­wer­tra­in, może mieć ja­kieś za­sto­so­wa­nie w re­al­nym świe­cie. Od­po­wie­dział, że ra­czej nie.

– To po pro­stu za­baw­ne. Ale nie ma w tym nic złe­go. Trze­ba mieć tro­chę fraj­dy w ży­ciu.

Slo­ane rze­czy­wi­ście ma fraj­dę. Zba­dał tak wie­le cią­gów, że wy­ro­bił so­bie wła­sny gust es­te­tycz­ny w tej mie­rze. Je­den z jego ulu­bio­nych cią­gów wy­my­ślił ko­lum­bij­ski ma­te­ma­tyk Ber­nar­do Re­ca­mán San­tos:

(A5132) 0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24, 8, 25, 43, 62, 42, 63, 41, 18, 42, 17, 43, 16, 44, 15, 45, …

Przyj­rzyj się tym licz­bom i spró­buj do­strzec sche­mat. Prze­śledź je uważ­nie. Licz­by neu­ro­tycz­nie pod­ska­ku­ją. Wszyst­ko jest po­plą­ta­ne: jed­na tu, dru­ga tam, ko­lej­na jesz­cze gdzieś in­dziej.

W rze­czy­wi­sto­ści jed­nak licz­by two­rzo­ne są we­dług pro­stej re­gu­ły: „odej­mij, je­śli się da, a jak się nie da, to do­daj”. Aby uzy­skać n-ty wy­raz, bie­rze­my po­przed­ni wy­raz i do­da­je­my do nie­go lub odej­mu­je­my od nie­go n. Re­gu­ła jest taka, że na­le­ży sto­so­wać odej­mo­wa­nie, chy­ba że wy­nik jest licz­bą ujem­ną lub licz­bą, któ­ra już wy­stą­pi­ła w cią­gu.

Oto jak ob­li­cza się pierw­sze 8 wy­ra­zów.

Za­cznij od 0

Pierw­szy wy­raz to wy­raz ze­ro­wy plus 1 = 1 Mu­si­my do­dać, po­nie­waż po od­ję­ciu 1 od 0 uzy­ska­my – 1, co nie jest do­zwo­lo­ne

Dru­gi wy­raz to pierw­szy wy­raz plus 2 = 3 Zno­wu mu­si­my do­dać, po­nie­waż po od­ję­ciu 2 od 1 uzy­ska­my – 1, co nie jest do­zwo­lo­ne

Trze­ci wy­raz to wy­raz dru­gi plus 3 = 6 Mu­si­my do­dać, po­nie­waż po od­ję­ciu 3 od 3 uzy­ska­my 0, któ­re wy­stę­pu­je już w cią­gu

Czwar­ty wy­raz to wy­raz trze­ci mi­nus 4 = 2 Mu­si­my od­jąć, po­nie­waż 6 – 4 jest licz­bą do­dat­nią i nie wy­stę­pu­je w cią­gu

Pią­ty wy­raz to wy­raz czwar­ty plus 5 = 7 Mu­si­my do­dać, po­nie­waż po od­ję­ciu 5 od 2 uzy­ska­my –3, co nie jest do­zwo­lo­ne

Szó­sty wy­raz to wy­raz pią­ty plus 6 = 13 Mu­si­my do­dać, po­nie­waż po od­ję­ciu 6 od 7 uzy­ska­my 1, któ­re wy­stę­pu­je już w cią­gu

Siód­my wy­raz to wy­raz szó­sty plus 7 = 20 Mu­si­my do­dać, po­nie­waż po od­ję­ciu 7 od 13 uzy­ska­my 6, któ­re wy­stę­pu­je już w cią­gu

Ósmy wy­raz to wy­raz siód­my mi­nus 8 = 12 Mu­si­my od­jąć, po­nie­waż 20 – 8 jest licz­bą do­dat­nią i nie wy­stę­pu­je w cią­gu

I tak da­lej.

W ten dość mo­zol­ny spo­sób bie­rze się licz­by cał­ko­wi­te i wy­li­cza od­po­wie­dzi, któ­re wy­glą­da­ją na zu­peł­nie przy­pad­ko­we. Mo­że­my jed­nak do­strzec wy­ła­nia­ją­cy się wzo­rzec, je­śli przed­sta­wi­my ciąg na wy­kre­sie. Oś po­zio­ma ozna­cza po­zy­cję wy­ra­zów, więc n-ty wy­raz znaj­du­je się w n, a oś pio­no­wa ozna­cza war­tość wy­ra­zów. Wy­kres pierw­sze­go ty­sią­ca wy­ra­zów cią­gu Re­ca­mána nie jest po­dob­ny chy­ba do żad­ne­go zna­ne­go wy­kre­su. Przy­po­mi­na kro­ple wody roz­pry­ska­ne przez zra­szacz ogro­do­wy lub pró­bę po­łą­cze­nia kro­pek przez dziec­ko. (Gru­be li­nie na wy­kre­sie to gru­py kro­pek oglą­da­ne w wiel­kiej ska­li).

– To w in­te­re­su­ją­cy spo­sób po­ka­zu­je, ile po­rząd­ku moż­na wnieść do cha­osu – za­uwa­żył Slo­ane. – Ciąg Re­ca­mána mie­ści się do­kład­nie na po­gra­ni­czu cha­osu i do­sko­na­łej ma­te­ma­ty­ki i wła­śnie dla­te­go jest tak fa­scy­nu­ją­cy.

Ciąg Re­ca­mána.

Kon­flikt mię­dzy ła­dem a nie­ła­dem w cią­gu Re­ca­mána moż­na rów­nież uzmy­sło­wić so­bie w spo­sób mu­zycz­ny. En­cy­klo­pe­dia ma funk­cję, któ­ra po­zwa­la wy­słu­chać do­wol­ne­go cią­gu w po­sta­ci nut. Wy­obraź­my so­bie kla­wia­tu­rę for­te­pia­no­wą z 88 kla­wi­sza­mi, któ­ra obej­mu­je pra­wie 8 oktaw. Licz­ba 1 uru­cha­mia naj­niż­szy ton for­te­pia­nu, licz­ba 2 uru­cha­mia dru­gi dźwięk w ko­lej­no­ści i tak da­lej, aż do 88, któ­ra włą­cza naj­wyż­szy dźwięk. Kie­dy tony się koń­czą, wra­ca­my – a więc 89 cofa się do pierw­sze­go kla­wi­sza. Licz­by na­tu­ral­ne 1, 2, 3, 4, 5, … brzmią jak ro­sną­ca gama usta­wio­na na nie­skoń­czo­ną pę­tlę. Mu­zy­ka two­rzo­na przez ciąg Re­ca­mána mro­zi jed­nak krew w ży­łach. Przy­po­mi­na ścież­kę dźwię­ko­wą hor­ro­ru. Jest dy­so­nan­so­wa, ale nie brzmi przy­pad­ko­wo. Moż­na usły­szeć wy­raź­ne pra­wi­dło­wo­ści, jak­by za ka­ko­fo­nią w ta­jem­ni­czy spo­sób kry­ła się ludz­ka ręka.

Ma­te­ma­ty­ków w cią­gu Re­ca­mána in­te­re­su­je to, czy za­wie­ra on wszyst­kie licz­by. Po 1025 wy­ra­zach cią­gu naj­mniej­szą bra­ku­ją­cą licz­bą jest 852 655. Slo­ane po­dej­rze­wa, że każ­da licz­ba w koń­cu się po­ja­wi, tak­że 852 655, ale nie zo­sta­ło to do­wie­dzio­ne. Nie­trud­no zro­zu­mieć, dla­cze­go Slo­ane uwa­ża ciąg Re­ca­mána za tak fra­pu­ją­cy.

Do ulu­bio­nych cią­gów Slo­ane’a na­le­ży też ciąg Gij­swij­ta3, po­nie­waż w prze­ci­wień­stwie do wie­lu in­nych, któ­re ro­sną z nie­sa­mo­wi­tą pręd­ko­ścią, ten ciąg wzra­sta w za­dzi­wia­ją­co śli­ma­czym tem­pie. Jest cu­dow­ną me­ta­fo­rą nie­da­wa­nia za wy­gra­ną:

(A90822) 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 1, 1, …

Trój­ka po­ja­wia się po raz pierw­szy na 9. miej­scu. Czwór­ka de­biu­tu­je na miej­scu 221. Piąt­ka po raz pierw­szy uka­że się za to do­pie­ro oko­ło po­zy­cji 10100 000 000 000 000 000 000 000. Jest to nie­zwy­kle wiel­ka licz­ba. Dla po­rów­na­nia – wszech­świat za­wie­ra je­dy­nie 1080 czą­stek ele­men­tar­nych. W koń­cu wy­sko­czy i 6, lecz w od­le­gło­ści tak da­le­kiej, że jej po­zy­cję moż­na opi­sać je­dy­nie w po­sta­ci po­tę­gi po­tę­gi po­tę­gi po­tę­gi:

Po­zo­sta­łe licz­by też się w koń­cu po­ja­wią, ale – trze­ba to pod­kre­ślić – bez cie­nia po­śpie­chu.

– Zie­mia umie­ra, na­wet oce­any umie­ra­ją – po­wie­dział Slo­ane z po­etyc­ką em­fa­zą – ale czło­wiek może szu­kać schro­nie­nia w abs­trak­cyj­nym pięk­nie cią­gów, ta­kich jak A90822 Dio­na Gij­swij­ta.

Gre­cy po­waż­nie in­te­re­so­wa­li się licz­ba­mi pierw­szy­mi, ale jesz­cze bar­dziej fa­scy­no­wa­ło ich coś, co na­zy­wa­li licz­ba­mi do­sko­na­ły­mi. Weź­my licz­bę 6: licz­by, przez któ­re się dzie­li – jej dziel­ni­ki – to 1, 2 i 3. Je­śli do­da­my 1, 2 i 3, vo­ilà, otrzy­ma­my po­now­nie 6. Licz­ba do­sko­na­ła to licz­ba, taka jak 6, któ­ra rów­na się su­mie swo­ich dziel­ni­ków. (Ści­śle mó­wiąc, dziel­ni­kiem licz­by 6 jest rów­nież 6, ale w kon­tek­ście do­sko­na­ło­ści uwzględ­nia się tyl­ko dziel­ni­ki mniej­sze od da­nej licz­by). Ko­lej­ną licz­bą do­sko­na­łą jest 28, po­nie­waż dzie­li się przez 1, 2, 4, 7 i 14, któ­rych suma wy­no­si 28. Nie tyl­ko Gre­cy, lecz tak­że ży­dzi i chrze­ści­ja­nie przy­pi­sy­wa­li ko­smo­lo­gicz­ne zna­cze­nie ta­kiej do­sko­na­ło­ści licz­bo­wej. Be­ne­dyk­tyń­ski teo­log Ra­ba­nus Mau­rus pi­sał w IX wie­ku, że: „Szóst­ka nie jest do­sko­na­ła dla­te­go, że Bóg stwo­rzył świat w cią­gu sze­ściu dni; to ra­czej Bóg udo­sko­na­lił świat w cią­gu sze­ściu dni, po­nie­waż licz­ba ta była do­sko­na­ła”.

Po­mysł do­da­wa­nia dziel­ni­ków licz­by pro­wa­dzi do naj­bar­dziej dzi­wacz­nych kon­cep­cji w ma­te­ma­ty­ce. Licz­by są za­przy­jaź­nio­ne, je­śli suma dziel­ni­ków pierw­szej licz­by rów­na się dru­giej licz­bie i je­śli suma dziel­ni­ków dru­giej licz­by rów­na się pierw­szej. Na przy­kład dziel­ni­ka­mi 220 są 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 i 110. Ich suma wy­no­si 284. Dziel­ni­ki 284 to 1, 2, 4, 71 i 142. Ra­zem dają 220. Uro­cze! Pi­ta­go­rej­czy­cy uwa­ża­li 220 i 284 za sym­bo­le przy­jaź­ni. W śre­dnio­wie­czu ro­bio­no ta­li­zma­ny z tymi licz­ba­mi, któ­re mia­ły sprzy­jać mi­ło­ści. Pe­wien Arab na­pi­sał, że chciał spraw­dzić, jaki efekt ero­tycz­ny uzy­ska, je­śli zje coś ozna­czo­ne­go licz­bą 284, a jego uko­cha­na – licz­bą 220. W 1636 roku Pier­re de Fer­mat od­krył dru­gą parę liczb za­przy­jaź­nio­nych: 17 296 i 18 416. Dzię­ki moż­li­wo­ściom ob­li­cze­nio­wym kom­pu­te­rów dzi­siaj zna­my po­nad 11 mi­lio­nów za­przy­jaź­nio­nych par. Licz­by z naj­więk­szej pary mają po po­nad 24 000 cyfr, więc trud­no by­ło­by na­pi­sać je na ka­wał­ku ba­kła­wy.

W 1918 roku fran­cu­ski ma­te­ma­tyk Paul Po­ulet ukuł ter­min licz­by sto­wa­rzy­szo­ne dla no­we­go ro­dza­ju przy­jaź­ni licz­bo­wej. Licz­by po­da­ne ni­żej to licz­by sto­wa­rzy­szo­ne, po­nie­waż je­śli do­da­my dziel­ni­ki pierw­szej, do­sta­nie­my dru­gą. Je­śli zsu­mu­je­my dziel­ni­ki dru­giej, otrzy­ma­my trze­cią. Je­śli do­da­my dziel­ni­ki trze­ciej, uzy­ska­my czwar­tą, dziel­ni­ki czwar­tej da­dzą pią­tą, a dzię­ki dziel­ni­kom pią­tej wra­ca­my do punk­tu wyj­ścia – su­mu­ją się one do pierw­szej:

12 496

14 288

15 472

14 536

14 264

Po­ulet od­krył tyl­ko 2 łań­cu­chy liczb sto­wa­rzy­szo­nych – 5 po­wyż­szych oraz mniej eks­klu­zyw­ną pacz­kę 28 liczb roz­po­czy­na­ją­cych się od 14 316. Na­stęp­ny ze­staw liczb sto­wa­rzy­szo­nych zna­le­zio­no do­pie­ro w 1969 roku. Hen­ri Co­hen od­krył 9 łań­cusz­ków to­wa­rzy­skich po za­le­d­wie 4 licz­by – łań­cuch o naj­mniej­szych war­to­ściach to 1 264 460, 1 547 860, 1 727 636 oraz 1 305 184. Obec­nie zna­nych jest 175 łań­cu­chów liczb sto­wa­rzy­szo­nych i pra­wie wszyst­kie skła­da­ją się z 4 liczb. Ża­den z nich nie skła­da się z trzech (ma to szcze­gól­nie po­etyc­ki wy­dźwięk, gdyż po­wszech­nie wia­do­mo, że tro­je to tłum, a czwo­ro jest gru­pą zde­cy­do­wa­nie bar­dziej to­wa­rzy­ską). Naj­dłuż­szym łań­cu­chem po­zo­sta­je 28 liczb Po­ule­ta, co jest o tyle cie­ka­we, że 28 jest za­ra­zem licz­bą do­sko­na­łą.

To Gre­cy wpa­dli na nie­spo­dzie­wa­ne po­wią­za­nie mię­dzy licz­ba­mi do­sko­na­ły­mi a licz­ba­mi pierw­szy­mi, co za­owo­co­wa­ło dal­szy­mi przy­go­da­mi licz­bo­wy­mi. Roz­waż­my ciąg A79 – ciąg po­dwo­jeń roz­po­czy­na­ją­cy się od 1:

(A79) 1, 2, 4, 8, 16, …

W Ele­men­tach Eu­kli­des wy­ka­zał, że kie­dy suma po­dwo­jeń jest licz­bą pierw­szą, to przez po­mno­że­nie tej sumy przez naj­wyż­sze z do­da­wa­nych po­dwo­jeń moż­na utwo­rzyć licz­bę do­sko­na­łą. Brzmi to za­wi­le, więc po pro­stu za­cznij­my do­da­wać po­dwo­je­nia, by zo­ba­czyć, o co cho­dzi:

1 + 2 = 3. 3 to licz­ba pierw­sza, mno­ży­my więc 3 przez naj­więk­sze po­dwo­je­nie, któ­re wy­no­si 2. 3 · 2 = 6 i 6 jest licz­bą do­sko­na­łą.

1 + 2 + 4 = 7. 7 rów­nież jest licz­bą pierw­szą. Mno­ży­my więc 7 przez 4, by otrzy­mać ko­lej­ną licz­bę do­sko­na­łą: 28.

1 + 2 + 4 + 8 = 15. Nie jest to licz­ba pierw­sza. Nie ma tu liczb do­sko­na­łych.

1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31. Jest to licz­ba pierw­sza, a 31 · 16 daje 496, czy­li licz­bę do­sko­na­łą.

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63. Nie jest to licz­ba pierw­sza.

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127. Jest to licz­ba pierw­sza, a 127 · 64 daje 8128, licz­bę do­sko­na­łą.

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 255. Nie jest to licz­ba pierw­sza.

Swój do­wód Eu­kli­des prze­pro­wa­dził, ma się ro­zu­mieć, za po­mo­cą geo­me­trii. Nie za­pi­sał go w po­sta­ci liczb, lecz po­słu­żył się od­cin­ka­mi. Gdy­by mógł so­bie po­zwo­lić na luk­sus współ­cze­snej no­ta­cji al­ge­bra­icz­nej, za­uwa­żył­by, że sumę po­dwo­jeń 1 + 2 + 4 + … moż­na wy­ra­zić jako sumę po­tęg dwój­ki, czy­li 20+ 21+ 22+ … (Do­wol­na licz­ba pod­nie­sio­na do po­tę­gi 0 zwy­cza­jo­wo za­wsze rów­na się 1, a licz­ba pod­nie­sio­na do po­tę­gi pierw­szej jest rów­na sa­mej so­bie). Sta­je się wów­czas ja­sne, że suma po­dwo­jeń jest rów­na na­stęp­ne­mu po­dwo­je­niu mi­nus 1. Na przy­kład:

1 + 2 = 3 = 4 – 1

czy­li

20+ 21= 22– 1

1 + 2 + 4 = 7 = 8 – 1

czy­li

20+ 21+ 22= 23– 1

Moż­na to uogól­nić zgod­nie ze wzo­rem: 20+ 21+ 22+ … + 2n–1 = 2n – 1, czy­li in­ny­mi sło­wy suma pierw­szych n wy­ra­zów w cią­gu po­dwo­jeń roz­po­czy­na­ją­cym się od 1 wy­no­si 2n – 1.

Opie­ra­jąc się na ory­gi­nal­nym twier­dze­niu Eu­kli­de­sa, że „je­śli suma po­dwo­jeń jest licz­bą pierw­szą, to ilo­czyn tej sumy i naj­więk­sze­go po­dwo­je­nia jest licz­bą do­sko­na­łą”, i do­da­jąc współ­cze­sny za­pis al­ge­bra­icz­ny, moż­na dojść do dużo zwięź­lej­sze­go twier­dze­nia:

Je­śli 2n – 1 jest licz­bą pierw­szą, to (2n – 1) · 2n–1 jest licz­bą do­sko­na­łą.

Dla kul­tur ce­nią­cych licz­by do­sko­na­łe do­wód Eu­kli­de­sa był fan­ta­stycz­ną no­wi­ną. Je­śli da się utwo­rzyć licz­bę do­sko­na­łą, gdy tyl­ko 2n – 1 jest licz­bą pierw­szą, to do zna­le­zie­nia no­wych liczb do­sko­na­łych wy­star­czy je­dy­nie od­na­le­zie­nie no­wych liczb pierw­szych, któ­re moż­na za­pi­sać w po­sta­ci 2n – 1. Po­ścig za licz­ba­mi do­sko­na­ły­mi zo­stał spro­wa­dzo­ny do po­ści­gu za pew­nym ro­dza­jem liczb pierw­szych.

Ma­te­ma­tycz­ne za­in­te­re­so­wa­nie licz­ba­mi pierw­szy­mi w po­sta­ci 2n – 1 zro­dzi­ło się być może w związ­ku z licz­ba­mi do­sko­na­ły­mi, ale już w XVII wie­ku licz­by pierw­sze same w so­bie sta­ły się przed­mio­tem fa­scy­na­cji. Tak jak nie­któ­rzy ma­te­ma­ty­cy mie­li ob­se­sję na punk­cie od­kry­wa­nia co­raz dal­szych cyfr roz­wi­nię­cia pi po prze­cin­ku, tak in­nych po­chła­nia­ło wy­szu­ki­wa­nie co­raz więk­szych liczb pierw­szych. Było to ty­leż po­dob­ne, co prze­ciw­staw­ne: szu­ka­nie cyfr w roz­wi­nię­ciu pi po­le­ga na wy­pa­try­wa­niu co­raz mniej­szych obiek­tów, na­to­miast po­goń za licz­ba­mi pierw­szy­mi to się­ga­nie do nie­ba. Uczest­ni­cy obu mi­sji kie­ro­wa­li się za­rów­no pra­gnie­niem prze­ży­cia przy­go­dy, jak i ewen­tu­al­nym za­sto­so­wa­niem liczb od­kry­wa­nych po dro­dze.

W po­go­ni za licz­ba­mi pierw­szy­mi me­to­da ge­ne­ro­wa­nia „2n – 1” za­czę­ła żyć wła­snym ży­ciem. Nie dla każ­dej war­to­ści n otrzy­my­wa­no w ten spo­sób licz­by pierw­sze, ale w przy­pad­ku ma­łych liczb sku­tecz­ność była cał­kiem nie­zła. Jak wi­dzie­li­śmy po­wy­żej, kie­dy n rów­na się 2, 3, 5 lub 7, wów­czas 2n – 1 jest licz­bą pierw­szą.

Ma­te­ma­ty­kiem naj­bar­dziej sfik­so­wa­nym na za­sto­so­wa­niu 2n – 1 do ge­ne­ro­wa­nia liczb pierw­szych był fran­cu­ski za­kon­nik Ma­rin Mer­sen­ne. W 1644 roku wy­gło­sił ogól­ni­ko­we za­pew­nie­nie, że zna wszyst­kie war­to­ści n aż do 257, dla któ­rych 2n – 1 jest licz­bą pierw­szą. Stwier­dził, że są to:

(A109461) 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257

Mer­sen­ne był zdol­nym ma­te­ma­ty­kiem, ale jego li­sta była w du­żej mie­rze opar­ta na do­my­słach. Licz­ba 2257– 1 skła­da się z 78 cyfr, więc jest zde­cy­do­wa­nie zbyt wiel­ka, by ludz­ki umysł mógł spraw­dzić, czy jest licz­bą pierw­szą. Mer­sen­ne zda­wał so­bie spra­wę z tego, że po­da­ne przez nie­go licz­by były strze­la­niem w ciem­no. Po­wie­dział, że „ca­łe­go cza­su nie star­czy­ło­by, by usta­lić, czy są pierw­sze”.

Jak to jed­nak czę­sto bywa w ma­te­ma­ty­ce, cza­su wy­star­czy­ło. W 1876 roku, po 250 la­tach od po­wsta­nia li­sty Mer­sen­ne’a, fran­cu­ski teo­re­tyk liczb Edo­uard Lu­cas opra­co­wał me­to­dę spraw­dza­nia, czy licz­by w po­sta­ci 2n – 1 są pierw­sze, i stwier­dził, że Mer­sen­ne my­lił się co do 67 oraz po­mi­nął 61, 89 i 107.

O dzi­wo jed­nak, Mer­sen­ne miał ra­cję ze 127. Lu­cas po­słu­żył się swo­ją me­to­dą, by udo­wod­nić, że 2127– 1 jest licz­bą pierw­szą. Licz­ba 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727 była naj­więk­szą zna­ną licz­bą pierw­szą aż do na­sta­nia epo­ki kom­pu­te­ro­wej. Lu­cas nie po­tra­fił jed­nak usta­lić, czy licz­ba 2257– 1 jest pierw­sza. Była ona po pro­stu za wiel­ka jak na ob­li­cze­nia z kart­ką i ołów­kiem w ręce.

Li­sta Mer­sen­ne’a, mimo pew­nych błę­dów, za­pew­ni­ła mu nie­śmier­tel­ność; dzi­siaj licz­by pierw­sze, któ­re moż­na za­pi­sać w po­sta­ci 2n – 1, na­zy­wa­ne są licz­ba­mi Mer­sen­ne’a.

Do­wód na to, czy 2257– 1 jest licz­bą pierw­szą, uzy­ska­no do­pie­ro w 1952 roku, dzię­ki wy­ko­rzy­sta­niu me­to­dy Lu­ca­sa, ale z wiel­ką asy­stą. Pew­ne­go dnia w In­sti­tu­te for Nu­me­ri­cal Ana­ly­sis w Los An­ge­les ze­spół na­ukow­ców ob­ser­wo­wał, jak do jed­ne­go z pierw­szych kom­pu­te­rów cy­fro­wych o na­zwie SWAC (ang. Stan­dards We­stern Au­to­ma­tic Com­pu­ter) wkła­da­na jest rol­ka ta­śmy dłu­go­ści 24 stóp. Samo umiesz­cza­nie ta­śmy trwa­ło kil­ka mi­nut. Ope­ra­tor wpro­wa­dził na­stęp­nie licz­bę do prze­te­sto­wa­nia: 257. W ułam­ku se­kun­dy po­ja­wił się wy­nik. Kom­pu­ter po­wie­dział nie: 2257– 1 nie jest licz­bą pierw­szą.

Tego sa­me­go wie­czo­ru 1952 roku, kie­dy od­kry­to, że 2257– 1 nie jest licz­bą pierw­szą, po­da­no ma­szy­nie nowe po­ten­cjal­ne licz­by Mer­sen­ne’a. SWAC od­rzu­cił 42 kan­dy­dat­ki. W koń­cu o go­dzi­nie dwu­dzie­stej dru­giej kom­pu­ter po­wie­dział tak! Ogło­sił, że 2521– 1 jest licz­bą pierw­szą. Była to naj­wyż­sza licz­ba Mer­sen­ne’a zi­den­ty­fi­ko­wa­na w cią­gu 75 lat, a od­po­wia­da­ją­ca jej licz­ba do­sko­na­ła, 2520(2521– 1), była do­pie­ro 13. od­kry­tą w cią­gu nie­mal 2 razy więk­szej licz­bie stu­le­ci. Licz­ba 2521– 1 mia­ła jed­nak tyl­ko 2 go­dzi­ny na na­cie­sze­nie się miej­scem na szczy­cie. Tuż po pół­no­cy SWAC po­twier­dził, że 2607– 1 też jest licz­bą pierw­szą. W cią­gu kil­ku mie­się­cy do­tarł do gra­nic swo­ich moż­li­wo­ści, znaj­du­jąc jesz­cze 3 licz­by pierw­sze. W la­tach 1957–1996 od­kry­to 17 na­stęp­nych liczb Mer­sen­ne’a.

Od 1952 roku naj­więk­sza zna­na licz­ba pierw­sza za­wsze jest licz­bą Mer­sen­ne’a (wy­jąw­szy trzy­let­ni okres mię­dzy ro­kiem 1989 a 1992, kie­dy naj­więk­szą licz­bą pierw­szą było 39 1581 · 2216 193 – 1, któ­re jest spo­krew­nio­nym ro­dza­jem licz­by pierw­szej). Wśród wszyst­kich ist­nie­ją­cych liczb pierw­szych, a wie­my, że jest ich nie­skoń­cze­nie wie­le, licz­by Mer­sen­ne’a do­mi­nu­ją w gru­pie naj­wyż­szych od­kry­tych, po­nie­waż sta­no­wią ła­twiej­szy cel dla po­szu­ki­wa­czy liczb pierw­szych. Naj­lep­szym spo­so­bem znaj­do­wa­nia wy­so­kich liczb pierw­szych jest szu­ka­nie liczb Mer­sen­ne’a: trze­ba wpi­sać do kom­pu­te­ra licz­bę 2n – 1 dla co­raz wyż­szych war­to­ści n i za­sto­so­wać test Lu­ca­sa-Leh­me­ra – któ­ry jest udo­sko­na­lo­ną wer­sją me­to­dy Lu­ca­sa – żeby spraw­dzić, czy jest to licz­ba pierw­sza.

Licz­by Mer­sen­ne’a mają tak­że pe­wien es­te­tycz­ny urok. W no­ta­cji dwój­ko­wej każ­da licz­ba 2n za­pi­sy­wa­na jest jako 1 z n ze­ra­mi. Na przy­kład 22= 4 w sys­te­mie dwój­ko­wym za­pi­su­je się jako 100, a 25= 32 jako 100 000. Po­nie­waż wszyst­kie licz­by Mer­sen­ne’a są mniej­sze o 1 od 2n, to wszyst­kie dwój­ko­we roz­wi­nię­cia liczb Mer­sen­ne’a są cią­ga­mi cyfr za­wie­ra­ją­cy­mi wy­łącz­nie je­dyn­ki.

Naj­bar­dziej wpły­wo­wy po­szu­ki­wacz liczb pierw­szych na­szych cza­sów in­spi­ra­cję dla swo­jej mi­sji zna­lazł w stem­plach na ko­per­cie. W la­tach 60., kie­dy Geo­r­ge Wolt­man był chłop­cem, oj­ciec po­ka­zał mu stem­pel pocz­to­wy z wy­ra­że­niem 211 213 – 1, któ­re było wów­czas naj­now­szą ob­li­czo­ną licz­bą pierw­szą. Jak wspo­mi­na Wolt­man: „By­łem zdu­mio­ny, że moż­na do­wieść pierw­szo­ści tak wiel­kiej licz­by”.

Wolt­man na­pi­sał póź­niej pro­gram, któ­ry wniósł ogrom­ny wkład w po­szu­ki­wa­nia liczb pierw­szych. Nie­gdyś wszyst­kie pro­jek­ty wy­ma­ga­ją­ce ol­brzy­mich i skom­pli­ko­wa­nych ob­li­czeń re­ali­zo­wa­no na su­per­kom­pu­te­rach, do któ­rych do­stęp był li­mi­to­wa­ny. Jed­nak od lat 90. wie­le du­żych za­dań dzie­li się na ka­wał­ki i pra­ca roz­kła­da się na ty­sią­ce mniej­szych urzą­dzeń po­łą­czo­nych ze sobą przez in­ter­net. W 1996 roku Wolt­man stwo­rzył pro­gram, któ­ry po dar­mo­wym po­bra­niu i za­in­sta­lo­wa­niu przy­dzie­la użyt­kow­ni­kom nie­prze­ba­da­ny frag­ment osi licz­bo­wej, na któ­rej ich kom­pu­ter może szu­kać liczb pierw­szych. Pro­gram ko­rzy­sta z pro­ce­so­ra tyl­ko wte­dy, gdy kom­pu­ter jest bez­czyn­ny. Kie­dy uczest­nik po­grą­żo­ny jest w głę­bo­kim śnie, jego kom­pu­ter pra­co­wi­cie prze­dzie­ra się przez licz­by na ru­bie­ży na­uki. GIMPS (ang. Gre­at In­ter­net Mer­sen­ne Pri­me Se­arch) łą­czy obec­nie ja­kieś 75 000 kom­pu­te­rów. Nie­któ­re znaj­du­ją się w pla­ców­kach aka­de­mic­kich, nie­któ­re w fir­mach, a jesz­cze inne to pry­wat­ne lap­to­py. GIMPS był jed­nym z pierw­szych pro­jek­tów „ob­li­czeń roz­pro­szo­nych” i na­le­ży do naj­bar­dziej uda­nych. (Naj­więk­szy po­dob­ny pro­jekt, czy­li Seti@home, od­szy­fro­wu­je szum ko­smicz­ny w po­szu­ki­wa­niu oznak ży­cia po­za­ziem­skie­go. Szczy­ci się 3 mi­lio­na­mi użyt­kow­ni­ków, ale jak do­tąd ni­cze­go nie zna­lazł). Już po kil­ku mie­sią­cach dzia­ła­nia GIMPS w in­ter­ne­cie dwu­dzie­sto­dzie­wię­cio­let­ni fran­cu­ski pro­gra­mi­sta zło­wił 35. licz­bę Mer­sen­ne’a: 21 398 269 – 1. Od tam­te­go cza­su GIMPS ujaw­nił ko­lej­nych 11 liczb Mer­sen­ne’a, co daje śred­nio mniej wię­cej 1 licz­bę na rok. Ży­je­my w zło­tej epo­ce wy­so­kich liczb pierw­szych.

Obec­nie ber­ło naj­wyż­szej licz­by pierw­szej dzier­ży 45. licz­ba Mer­sen­ne’a: 243 112 609 – 1, któ­ra skła­da się z pra­wie 13 mi­lio­nów cyfr i zo­sta­ła od­kry­ta w 2008 roku przez kom­pu­ter pod­łą­czo­ny do GIMPS na Uni­ver­si­ty of Ca­li­for­nia w Los An­ge­les. Licz­by Mer­sen­ne’a zna­le­zio­ne jako 46. i 47. są w rze­czy­wi­sto­ści mniej­sze od 45. Wy­ni­ka to z tego, że kom­pu­te­ry pra­cu­ją z róż­ną szyb­ko­ścią nad róż­ny­mi frag­men­ta­mi osi licz­bo­wej jed­no­cze­śnie, więc może się zda­rzyć, że licz­by pierw­sze z wyż­szych sek­cji zo­sta­ną od­kry­te wcze­śniej niż licz­by pierw­sze z niż­szych par­tii.

GIMPS, któ­re­go ra­cją bytu jest zbio­ro­wa współ­pra­ca ochot­ni­ków na rzecz roz­wo­ju na­uki, stał się sym­bo­lem li­be­ral­ne­go in­ter­ne­tu. Wolt­man nie­chcą­cy uczy­nił z po­szu­ki­wa­nia liczb pierw­szych ruch qu­asi-po­li­tycz­ny. W uzna­niu sym­bo­licz­ne­go zna­cze­nia pro­jek­tu Elec­tro­nic Fron­tier Fo­un­da­tion, or­ga­ni­za­cja bro­nią­ca praw oby­wa­tel­skich w sie­ci, od 1999 roku ofe­ru­je na­gro­dy pie­nięż­ne za każ­dą licz­bę pierw­szą, któ­rej cy­fry osią­ga­ją ko­lej­ny rząd wiel­ko­ści. 45. licz­ba Mer­sen­ne’a była pierw­szą, któ­ra prze­kro­czy­ła 10 mi­lio­nów cyfr, a na­gro­da wy­nio­sła 100 000 do­la­rów. EFF ofe­ru­je 150 000 do­la­rów za pierw­szą licz­bę pierw­szą o 100 mi­lio­nach cyfr oraz 250 000 do­la­rów za pierw­szą licz­bę pierw­szą o mi­liar­dzie cyfr. Je­śli przed­sta­wi­my naj­więk­sze zna­ne licz­by pierw­sze zna­le­zio­ne od 1952 roku na wy­kre­sie z lo­ga­ryt­micz­ną ska­lą wzglę­dem cza­su od­kry­cia, po­wsta­nie nie­mal pro­sta li­nia.

Licz­ba cyfr w naj­wyż­szych zna­nych licz­bach pierw­szych a rok od­kry­cia.

Krzy­wa ta ilu­stru­je nie­zwy­kle sys­te­ma­tycz­ny wzrost mocy prze­twa­rza­nia w cza­sie, a poza tym po­zwa­la osza­co­wać, kie­dy po­zna­my pierw­szą licz­bę pierw­szą o mi­liar­dzie cyfr. Po­sta­wił­bym pie­nią­dze na to, że sta­nie się to oko­ło 2025 roku. Za­pis tej licz­by mi­li­me­tro­wą czcion­ką był­by dłuż­szy, niż wy­no­si od­le­głość z Pa­ry­ża do Los An­ge­les.

Przy nie­skoń­czo­nej licz­bie liczb pierw­szych (nie wia­do­mo jed­nak jesz­cze, czy liczb Mer­sen­ne’a jest nie­skoń­cze­nie wie­le) po­szu­ki­wa­nie co­raz wyż­szych liczb pierw­szych to za­da­nie nie­ma­ją­ce kre­su. Nie­waż­ne, do jak wiel­kiej licz­by pierw­szej do­trze­my, za­wsze ja­kaś jesz­cze więk­sza licz­ba pierw­sza bę­dzie szy­dzić z na­sze­go bra­ku am­bi­cji.

Nie­skoń­czo­ność jest chy­ba naj­bar­dziej głę­bo­ką i trud­ną ideą pod­sta­wo­wej ma­te­ma­ty­ki. Umy­sło­wi trud­no wy­obra­zić so­bie coś cią­gną­ce­go się bez koń­ca. Co na przy­kład by się sta­ło, gdy­by­śmy za­czę­li li­czyć 1, 2, 3, 4, 5, … i nig­dy nie prze­sta­li? Pa­mię­tam, jak w dzie­ciń­stwie za­da­wa­łem to po­zor­nie ła­twe py­ta­nie i nie otrzy­my­wa­łem ja­snej od­po­wie­dzi. Stan­dar­do­wa od­po­wiedź ro­dzi­ców i na­uczy­cie­li była taka, że do­trze­my do „nie­skoń­czo­no­ści”, ale w grun­cie rze­czy było to po­wtó­rze­nie py­ta­nia. Nie­skoń­czo­ność po pro­stu de­fi­niu­je się jako licz­bę, do któ­rej do­trze­my, je­śli za­cznie­my li­czyć i nig­dy nie prze­sta­nie­my.

Już w sto­sun­ko­wo wcze­snym wie­ku je­ste­śmy ucze­ni, by trak­to­wać nie­skoń­czo­ność jak licz­bę, oso­bli­wą co praw­da, ale jed­nak licz­bę. Po­ka­zu­je się nam sym­bol nie­skoń­czo­no­ści – pę­tlę ∞ na­zy­wa­ną „lem­ni­ska­tą” – i uczy jej dziw­nej aryt­me­ty­ki. Je­śli do­da­my do­wol­ną skoń­czo­ną licz­bę do nie­skoń­czo­no­ści, otrzy­ma­my nie­skoń­czo­ność. Je­śli odej­mie­my do­wol­ną skoń­czo­ną licz­bę od nie­skoń­czo­no­ści, otrzy­ma­my nie­skoń­czo­ność. Je­śli po­mno­ży­my lub po­dzie­li­my nie­skoń­czo­ność przez skoń­czo­ną licz­bę róż­ną od 0, wy­ni­kiem bę­dzie rów­nież nie­skoń­czo­ność. Ła­twość, z jaką mówi się nam, że nie­skoń­czo­ność jest licz­bą, tu­szu­je po­nad 2000 lat zma­gań i oswa­ja­nia się z jej ta­jem­ni­ca­mi.

Kło­po­ty z nie­skoń­czo­no­ścią pierw­szy omó­wił grec­ki fi­lo­zof Ze­non z Elei, któ­ry żył w V wie­ku przed na­szą erą. W jed­nym ze słyn­nych pa­ra­dok­sów opi­sał teo­re­tycz­ny wy­ścig Achil­le­sa z żół­wiem. Achil­les jest szyb­szy od żół­wia, więc żółw do­sta­je fory. Słyn­ny wo­jow­nik star­tu­je z punk­tu A, a jego ga­dzi ry­wal z po­ło­żo­ne­go da­lej punk­tu B. Po roz­po­czę­ciu wy­ści­gu Achil­les pę­dzi przed sie­bie i bły­ska­wicz­nie do­cie­ra do punk­tu B, ale w tym cza­sie żółw osią­ga punkt C. Achil­les ru­sza więc do punk­tu C. Lecz i tym ra­zem żółw zdą­ża do­czła­pać do punk­tu D. Achil­les musi więc oczy­wi­ście do­biec do D, ale wte­dy żółw bę­dzie już w E. Ze­non prze­ko­ny­wał, że za­ba­wa w po­ścig musi trwać w nie­skoń­czo­ność i – co za tym idzie – że śmi­gły Achil­les nig­dy nie prze­go­ni śla­ma­zar­ne­go ry­wa­la. Atle­ta jest o wie­le szyb­szy niż żółw, ale nie może po­ko­nać go w wy­ści­gu.

We wszyst­kich pa­ra­dok­sach Ze­no­na ab­sur­dal­ne wnio­ski wy­ni­ka­ją z po­dzia­łu cią­głe­go ru­chu na zda­rze­nia dys­kret­ne4. Za­nim Achil­les do­trze do żół­wia, musi po­ko­nać nie­skoń­czo­ną licz­bę dys­kret­nych od­cin­ków. Pa­ra­doks ro­dzi się z za­ło­że­nia, że nie spo­sób po­ko­nać nie­skoń­czo­nej licz­by od­cin­ków w skoń­czo­nej ilo­ści cza­su.

Gre­cy nie ro­zu­mie­li jed­nak na tyle do­głęb­nie ma­te­ma­ty­ki nie­skoń­czo­no­ści, by za­uwa­żyć, że ta­kie za­ło­że­nie jest błęd­ne. Otóż da się po­ko­nać nie­skoń­czo­ną licz­bę od­cin­ków w skoń­czo­nej ilo­ści cza­su. Za­sad­ni­czy wa­ru­nek po­le­ga na tym, by od­cin­ki były co­raz krót­sze i zaj­mo­wa­ły mniej cza­su oraz by za­rów­no od­le­głość, jak i czas zbli­ża­ły się do 0. Jest to wa­ru­nek ko­niecz­ny, ale nie wy­star­cza­ją­cy – od­cin­ki mu­szą jed­no­cze­śnie ma­leć w do­sta­tecz­nie szyb­kim tem­pie.

Oto, co dzie­je się z Achil­le­sem i żół­wiem. Po­wiedz­my, że Achil­les bie­gnie dwa razy szyb­ciej niż żółw i że B znaj­du­je się o metr przed A. Kie­dy Achil­les do­trze do B, żółw prze­mie­ści się o 0,5 me­tra do C. Kie­dy Achil­les do­trze do C, żółw prze­su­nie się o ko­lej­ne 0,25 me­tra do D. I tak da­lej. Łącz­na od­le­głość w me­trach, jaką prze­bie­gnie Achil­les, za­nim do­go­ni żół­wia, wy­no­si:

Achil­les i żółw.

Je­śli Achil­le­so­wi po­ko­na­nie każ­de­go z tych od­cin­ków bę­dzie zaj­mo­wać se­kun­dę, to po­ko­na­nie ca­łej od­le­gło­ści bę­dzie trwać w nie­skoń­czo­ność. Tak jed­nak nie jest. Przy za­ło­że­niu sta­łej pręd­ko­ści prze­bie­gnię­cie me­tra zaj­mie mu se­kun­dę, 0,5 me­tra zaj­mie mu 0,5 se­kun­dy, 0,25 me­tra 0,25 se­kun­dy i tak da­lej. A za­tem czas w se­kun­dach, jaki zaj­mie mu do­go­nie­nie żół­wia, moż­na opi­sać ta­kim sa­mym do­da­wa­niem:

Czas i od­le­głość opi­sy­wa­ne przez ciąg wy­ra­zów ma­le­ją­cych o po­ło­wę zbie­ga­ją się jed­no­cze­śnie do sta­łej, skoń­czo­nej war­to­ści. W tym wy­pad­ku do 2 se­kund i 2 me­trów. Oka­zu­je się, że Achil­les może jed­nak do­go­nić żół­wia.

Nie wszyst­kie pa­ra­dok­sy Ze­no­na roz­wią­zu­je się za po­mo­cą ma­te­ma­ty­ki sze­re­gów nie­skoń­czo­nych. W pa­ra­dok­sie dy­cho­to­mii bie­gacz zmie­rza od A do B. Aby jed­nak do­trzeć do B, musi mi­nąć punkt C le­żą­cy w po­ło­wie dro­gi mię­dzy A i B. Ale by bie­gacz do­tarł do C, musi naj­pierw mi­nąć punkt znaj­du­ją­cy się w po­ło­wie dro­gi mię­dzy A i C. Wy­ni­ka z tego, że nie może być żad­ne­go „pierw­sze­go punk­tu” mi­ja­ne­go przez bie­ga­cza, bo za­wsze bę­dzie ja­kiś punkt, któ­ry bie­gacz musi mi­nąć przed nim, na przy­kład punkt w po­ło­wie dro­gi. A je­śli nie ma pierw­sze­go punk­tu mi­ja­ne­go przez bie­ga­cza, to – jak prze­ko­nu­je Ze­non – bie­gacz w ogó­le nie może opu­ścić A.

Le­gen­da gło­si, że Dio­ge­nes z Sy­no­py, aby oba­lić ten pa­ra­doks, wstał i bez sło­wa prze­szedł z A do B, de­mon­stru­jąc w ten spo­sób, że taki ruch jest moż­li­wy. Ale pa­ra­dok­su dy­cho­to­mii Ze­no­na nie da się tak ła­two oba­lić. Przez 2500 lat ła­ma­nia so­bie głów ża­den uczo­ny nie po­tra­fił roz­wią­zać tej za­gad­ki. Przy­czy­ną za­mę­tu było mię­dzy in­ny­mi to, że li­nii cią­głej nie re­pre­zen­tu­je ide­al­nie ciąg nie­skoń­czo­nej licz­by punk­tów czy nie­skoń­czo­na licz­ba ma­łych od­cin­ków. Po­dob­nie nie­prze­rwa­ne­go od­cin­ka cza­su nie re­pre­zen­tu­je ide­al­nie nie­skoń­czo­na licz­ba dys­kret­nych chwil. Po­ję­cia cią­gło­ści i dys­kret­no­ści nie dają się cał­ko­wi­cie ze sobą po­go­dzić.

Do­sko­na­łe­go przy­kła­du pa­ra­dok­su w du­chu Ze­no­na do­star­cza sys­tem dzie­sięt­ny. Jaka jest naj­więk­sza licz­ba mniej­sza od 1? Nie jest to 0,9, po­nie­waż 0,99 jest od niej więk­sze i nadal mniej­sze niż 1. Nie jest to 0,99, po­nie­waż 0,999 jest jesz­cze więk­sze, a przy tym rów­nież mniej­sze niż 1. Je­dy­nym moż­li­wym kan­dy­da­tem jest uła­mek dzie­sięt­ny okre­so­wy 0,(9), gdzie (9) ozna­cza, że dzie­wiąt­ki cią­gną się w nie­skoń­czo­ność. Ale tu wła­śnie do­cho­dzi­my do pa­ra­dok­su. Nie może to być 0,(9), po­nie­waż licz­ba 0,(9) jest iden­tycz­na z 1!

Po­myśl­my o tym w ten spo­sób. Je­śli 0,(9) jest licz­bą róż­ną od 1, to musi ist­nieć od­stęp mię­dzy nimi na osi licz­bo­wej. A za­tem musi być moż­li­we wci­śnię­cie ja­kiejś licz­by, któ­ra jest więk­sza od 0,(9) i mniej­sza od 1. Ale jaka mo­gła­by to być licz­ba? Nie moż­na zbli­żyć się bar­dziej do 1 niż 0,(9). Je­śli za­tem 0,(9) i 1 nie mogą być róż­ne, to mu­szą być ta­kie same. Choć jest to sprzecz­ne z in­tu­icją, 0,(9)… = 1.

Jaka jest za­tem naj­więk­sza licz­ba mniej­sza od 1? Je­dy­na za­do­wa­la­ją­ca od­po­wiedź na ten pa­ra­doks jest taka, że naj­więk­sza licz­ba mniej­sza od 1 nie ist­nie­je. (Po­dob­nie jak nie ma naj­więk­szej licz­by mniej­szej od 2 lub mniej­szej od 3 czy w ogó­le mniej­szej od do­wol­nej licz­by).

Pa­ra­doks Achil­le­sa i żół­wia zo­stał roz­wią­za­ny przez za­pi­sa­nie cza­su po­ko­ny­wa­nych od­cin­ków w po­sta­ci sumy o nie­skoń­czo­nej licz­bie wy­ra­zów, któ­ra jest na­zy­wa­na sze­re­giem nie­skoń­czo­nym. Je­śli wy­ra­zy cią­gu są do sie­bie do­da­wa­ne, two­rzą sze­reg. Ist­nie­ją za­rów­no sze­re­gi skoń­czo­ne, jak i nie­skoń­czo­ne. Je­śli zsu­mu­je­my pierw­sze 5 liczb na­tu­ral­nych, otrzy­ma­my sze­reg skoń­czo­ny:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

Oczy­wi­ście mo­że­my ob­li­czyć tę sumę w gło­wie, ale kie­dy sze­reg ma dużo wię­cej wy­ra­zów, cała sztu­ka po­le­ga na zna­le­zie­niu dro­gi na skró­ty. Pe­wien słyn­ny przy­kład roz­wią­zał w dzie­ciń­stwie nie­miec­ki ma­te­ma­tyk Carl Frie­drich Gauss. Po­dob­no na­uczy­ciel po­pro­sił o ob­li­cze­nie sumy sze­re­gu pierw­szych 100 liczb na­tu­ral­nych:

1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100

Ku nie­do­wie­rza­niu na­uczy­cie­la Gauss od­po­wie­dział nie­mal na­tych­miast: „5050”. Cu­dow­ne dziec­ko opra­co­wa­ło po­ka­za­ny ni­żej wzór. Je­śli spryt­nie po­łą­czy się licz­by w pary, bio­rąc pierw­szą i ostat­nią, dru­gą i dru­gą od koń­ca i tak da­lej, to sze­reg moż­na prze­kształ­cić na­stę­pu­ją­co:

(1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + … + (50 + 51)

co rów­na się:

101 + 101 + 101 + 101 + … + 101

Jest 50 wy­ra­zów, każ­dy o war­to­ści 101, a za­tem suma wy­no­si 50 · 101 = 5050. Mo­że­my sfor­mu­ło­wać uogól­nie­nie, że dla do­wol­nej licz­by n suma pierw­szych n liczb wy­no­si n + 1 do­da­wa­ne do sie­bie razy, co rów­na się . W tym przy­pad­ku n rów­na się 100, więc suma wy­no­si = 5050.

Kie­dy do­da­je­my wy­ra­zy sze­re­gu skoń­czo­ne­go, za­wsze otrzy­ma­my licz­bę skoń­czo­ną, to oczy­wi­ste. Kie­dy jed­nak do­da­je­my wy­ra­zy sze­re­gu nie­skoń­czo­ne­go, moż­li­we są 2 sce­na­riu­sze. Gra­ni­ca, czy­li licz­ba, do któ­rej zbli­ża się suma w mia­rę do­da­wa­nia co­raz więk­szej licz­by wy­ra­zów, może być licz­bą skoń­czo­ną bądź nie­skoń­czo­no­ścią. Je­śli gra­ni­ca jest skoń­czo­na, sze­reg na­zy­wa się zbież­nym. W prze­ciw­nym wy­pad­ku sze­reg jest roz­bież­ny.

Wi­dzie­li­śmy już na przy­kład, że sze­reg

jest zbież­ny i dąży do 2. Do­wie­dzie­li­śmy się rów­nież, że ist­nie­je wie­le sze­re­gów nie­skoń­czo­nych, któ­re są zbież­ne do pi.

Z dru­giej stro­ny sze­reg

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …

jest roz­bież­ny i dąży do nie­skoń­czo­no­ści.

Gre­cy byli nie­uf­ni wo­bec nie­skoń­czo­no­ści, ale już w XVII wie­ku ma­te­ma­ty­cy z ra­do­ścią sta­wi­li jej czo­ła. Dzię­ki zro­zu­mie­niu sze­re­gu nie­skoń­czo­ne­go Isa­ac New­ton mógł wy­my­ślić ra­chu­nek róż­nicz­ko­wy i cał­ko­wy – je­den z naj­waż­niej­szych wy­na­laz­ków ma­te­ma­ty­ki.

Kie­dy stu­dio­wa­łem ma­te­ma­ty­kę, do mo­ich ulu­bio­nych ćwi­czeń na­le­ża­ło usta­la­nie, czy dany sze­reg nie­skoń­czo­ny jest zbież­ny, czy roz­bież­ny. Za­wsze zdu­mie­wa­ło mnie, że choć mię­dzy zbież­no­ścią i roz­bież­no­ścią za­cho­dzi dra­stycz­na róż­ni­ca – róż­ni­cą mię­dzy skoń­czo­ną licz­bą a nie­skoń­czo­no­ścią jest nie­skoń­czo­ność – to czyn­ni­ki de­cy­du­ją­ce, jaką dro­gę obie­rze sze­reg, czę­sto wy­da­ją się zu­peł­nie nie­znacz­ne.

Oto sze­reg har­mo­nicz­ny:

Licz­nik każ­de­go wy­ra­zu to je­den, a mia­now­ni­ka­mi są licz­by na­tu­ral­ne. Wy­da­je się, że sze­reg har­mo­nicz­ny po­wi­nien być zbież­ny. Ko­lej­ne wy­ra­zy w sze­re­gu są co­raz mniej­sze, więc mo­gli­by­śmy po­my­śleć, że suma wszyst­kich wy­ra­zów bę­dzie ogra­ni­czo­na przez ja­kąś sta­łą licz­bę. Sze­reg har­mo­nicz­ny jest jed­nak nie­spo­dzie­wa­nie roz­bież­ny, po­su­wa się co­raz wol­niej, lecz się nie za­trzy­mu­je. Po 100 wy­ra­zach sze­re­gu suma le­d­wo prze­kra­cza 5. Po 15 092 688 622 113 788 323 693 563 264 538 101 449 859 497 wy­ra­zach suma po raz pierw­szy prze­kra­cza 100. Lecz upar­ty śli­mak bę­dzie kon­ty­nu­ował swój marsz, po­ko­nu­jąc do­wol­ną od­le­głość, jaką ze­chce­my mu wy­zna­czyć. Sze­reg w koń­cu osią­gnie mi­lion, po­tem mi­liard, dą­żąc w kie­run­ku nie­skoń­czo­no­ści. (Do­wód znaj­du­je się w anek­sie pią­tym).

Z sze­re­giem har­mo­nicz­nym mamy do czy­nie­nia pod­czas ukła­da­nia kloc­ków jen­ga. Po­wiedz­my, że 2 kloc­ki chce­my uło­żyć je­den na dru­gim w taki spo­sób, by gór­ny był jak naj­bar­dziej wy­su­nię­ty, a jed­no­cze­śnie nie spadł. Otóż na­le­ży wy­su­nąć gór­ny klo­cek do­kład­nie o po­ło­wę dłu­go­ści. W ten spo­sób śro­dek cięż­ko­ści gór­ne­go kloc­ka przy­pa­da na kra­wędź dol­ne­go.

A jak usta­wić 3 kloc­ki, żeby su­ma­rycz­ny wy­stęp był jak naj­więk­szy, a przy tym sta­bil­ny? Gór­ny klo­cek na­le­ży wy­su­nąć o po­ło­wę nad środ­ko­wym, a środ­ko­wy o jed­ną czwar­tą nad dol­nym (B).

Ogól­ny sche­mat two­rze­nia mak­sy­mal­ne­go łącz­ne­go wy­stę­pu przy co­raz więk­szej licz­bie kloc­ków jest taki, że gór­ny klo­cek za­wsze musi być wy­su­nię­ty o po­ło­wę nad dru­gim, któ­ry musi być o jed­ną czwar­tą wy­su­nię­ty nad trze­cim, któ­ry musi być o jed­ną szó­stą wy­su­nię­ty nad czwar­tym, któ­ry musi być o jed­ną ósmą wy­su­nię­ty nad pią­tym i tak da­lej. W ten spo­sób po­wsta­je krzy­wa wie­ża z kloc­ków (C).

Łącz­ny wy­stęp tej wie­ży, któ­ry sta­no­wi sumę po­je­dyn­czych wy­stę­pów, two­rzy na­stę­pu­ją­cy sze­reg:

Co moż­na prze­kształ­cić w

Co jest po­ło­wą sze­re­gu har­mo­nicz­ne­go, je­śli bę­dzie­my kon­ty­nu­ować przez nie­skoń­czo­ną licz­bę wy­ra­zów.

Sko­ro już wie­my, że sze­reg har­mo­nicz­ny ro­śnie w nie­skoń­czo­ność, to wie­my rów­nież, że sze­reg har­mo­nicz­ny po­dzie­lo­ny przez 2 ro­śnie w nie­skoń­czo­ność, po­nie­waż nie­skoń­czo­ność po­dzie­lo­na przez 2 daje nie­skoń­czo­ność. W kon­tek­ście ukła­da­nia kloc­ków jen­ga ozna­cza to, że teo­re­tycz­nie jest moż­li­we zbu­do­wa­nie wol­no sto­ją­ce­go wy­stę­pu o do­wol­nej dłu­go­ści. Je­śli sze­reg har­mo­nicz­ny po­dzie­lo­ny przez 2 prze­kro­czy żą­da­ną licz­bę (pod wa­run­kiem że uwzględ­ni­my do­sta­tecz­nie dużo wy­ra­zów), wów­czas wy­stęp krzy­wej wie­ży z kloc­ków prze­kro­czy żą­da­ną dłu­gość (pod wa­run­kiem że uło­ży­my do­sta­tecz­nie dużo kloc­ków). Choć zbu­do­wa­nie wie­ży o du­żym wy­stę­pie jest teo­re­tycz­nie moż­li­we, to jed­nak per­spek­ty­wa prak­tycz­na nie wy­da­je się za­chę­ca­ją­ca. Aby utwo­rzyć wy­stęp o dłu­go­ści 50 kloc­ków, mu­sie­li­by­śmy zbu­do­wać wie­żę z 15 · 1042 kloc­ków – o wie­le dłuż­szą niż od­le­głość dzie­lą­ca nas od krań­ca ob­ser­wo­wal­ne­go wszech­świa­ta.

A

B

C

Jak ukła­dać kloc­ki jen­ga, by były mak­sy­mal­nie wy­su­nię­te, a jed­no­cze­śnie nie spa­da­ły.

Sze­re­gi har­mo­nicz­ne mają wie­le uro­ków, więc po­roz­ko­szuj­my się nimi. Roz­waż­my sze­reg har­mo­nicz­ny wy­klu­cza­ją­cy wszyst­kie wy­ra­zy za­wie­ra­ją­ce cy­frę 9, któ­ry rów­nież jest sze­re­giem nie­skoń­czo­nym. In­ny­mi sło­wy, usu­wa­my na­stę­pu­ją­ce wy­ra­zy:

Za­tem uszczu­plo­ny sze­reg wy­glą­da tak:

Sze­reg har­mo­nicz­ny su­mu­je się w nie­skoń­czo­ność, więc moż­na by po­my­śleć, że sze­reg har­mo­nicz­ny bez dzie­wią­tek rów­nież su­mu­je się do po­kaź­nej licz­by. Błąd. Su­mu­je się za­le­d­wie do nie­speł­na 23.

Od­fil­tro­wu­jąc dzie­wiąt­ki, po­skro­mi­li­śmy nie­skoń­czo­ność: za­bi­li­śmy be­stię wiecz­no­ści, po któ­rej po­zo­stał smęt­ny ze­włok oko­ło 23.

Wy­nik wy­da­je się nie­zwy­kły, ale po bliż­szym przyj­rze­niu jest zu­peł­nie zro­zu­mia­ły. Eli­mi­na­cja dzie­wią­tek usu­wa tyl­ko 1 wy­raz z pierw­szych 10 wy­ra­zów sze­re­gu har­mo­nicz­ne­go. Ale już z pierw­szych 100 wy­ra­zów usu­wa 19, a z pierw­sze­go 1000 wy­ra­zów – 271. Kie­dy licz­by ro­bią się bar­dzo wiel­kie, po­wiedz­my stu­cy­fro­we, ogrom­na więk­szość za­wie­ra dzie­wiąt­kę. Jak się oka­zu­je, od­chu­dze­nie sze­re­gu har­mo­nicz­ne­go przez od­rzu­ce­nie wy­ra­zów za­wie­ra­ją­cych dzie­wiąt­kę usu­wa go nie­mal w ca­ło­ści.

Przy­kra­wa­nie sze­re­gu har­mo­nicz­ne­go może być jesz­cze bar­dziej in­try­gu­ją­ce. De­cy­zja o wy­rzu­ce­niu dzie­wią­tek była ar­bi­tral­na. Gdy­by usu­nąć z sze­re­gu har­mo­nicz­ne­go wszyst­kie wy­ra­zy za­wie­ra­ją­ce ósem­ki, po­zo­sta­łe wy­ra­zy rów­nież zbie­ga­ły­by się do skoń­czo­nej licz­by. Tak samo by­ło­by, gdy­by usu­nąć tyl­ko wy­ra­zy za­wie­ra­ją­ce sió­dem­kę albo inną po­je­dyn­czą cy­frę. Tak na­praw­dę nie trze­ba się ogra­ni­czać do po­je­dyn­czych cyfr. Wy­star­czy usu­nąć wszyst­kie wy­ra­zy za­wie­ra­ją­ce ja­ką­kol­wiek licz­bę, a od­chu­dzo­ny sze­reg har­mo­nicz­ny bę­dzie zbież­ny. Do­ty­czy to z rów­nym po­wo­dze­niem 9, jak i 42 lub 666 czy 314 159.

Po­słu­żę się przy­kła­dem 666. Mię­dzy 1 a 1000 licz­ba 666 wy­stę­pu­je raz. Mię­dzy 1 a 10 000 wy­stę­pu­je 20 razy, a mię­dzy 1 a 100 000 wy­stę­pu­je 300 razy. In­ny­mi sło­wy, czę­stość wy­stę­po­wa­nia 666 wy­no­si 0,1 pro­cent w pierw­szym 1000 liczb, 0,2 pro­cent w pierw­szych 10 000 oraz 0,3 pro­cent w pierw­szych 100 000. Przy co­raz więk­szych licz­bach se­kwen­cja cyfr 666 jest pro­por­cjo­nal­nie częst­sza. W koń­cu pra­wie wszyst­kie licz­by będą za­wie­ra­ły 666. Po ich usu­nię­ciu prze­trze­bio­ny sze­reg har­mo­nicz­ny bę­dzie zbież­ny.

W 2008 roku Tho­mas Schmel­zer i Ro­bert Ba­il­lie ob­li­czy­li, że sze­reg har­mo­nicz­ny bez wszyst­kich wy­ra­zów za­wie­ra­ją­cych licz­bę 314 159 su­mu­je się do nie­co po­nad 2,3 mi­lio­na. Jest to wiel­ka licz­ba, ale bar­dzo od­le­gła od nie­skoń­czo­no­ści.

Z po­wyż­sze­go wy­ni­ka, że sze­reg har­mo­nicz­ny skła­da­ją­cy się wy­łącz­nie z wy­ra­zów za­wie­ra­ją­cych 314 159 musi su­mo­wać się do nie­skoń­czo­no­ści. In­ny­mi sło­wy:

su­mu­je się do nie­skoń­czo­no­ści. Choć za­czy­na się od nie­wiel­kiej licz­by, a ko­lej­ne wy­ra­zy są jesz­cze mniej­sze, to suma wy­ra­zów w koń­cu prze­kro­czy każ­dą licz­bę, jaką chce­my. Przy­czy­na jest taka sama – kie­dy licz­by ro­bią się bar­dzo wiel­kie, nie­mal każ­da z nich za­wie­ra 314 159. Pra­wie wszyst­kie ułam­ki z licz­ni­kiem 1 za­wie­ra­ją 314 159.

Spójrz­my na ostat­ni sze­reg nie­skoń­czo­ny – sze­reg har­mo­nicz­ny liczb pierw­szych, czy­li ułam­ków z 1 w licz­ni­ku i licz­ba­mi pierw­szy­mi w mia­now­ni­ku:

W mia­rę wzra­sta­nia licz­by pierw­sze sta­ją się co­raz rzad­sze, więc moż­na by się spo­dzie­wać, że sze­reg nie ma wy­star­cza­ją­ce­go roz­ma­chu, by su­mo­wać się do nie­skoń­czo­no­ści. Trud­no w to uwie­rzyć, ale się jed­nak su­mu­je. Ten sprzecz­ny z in­tu­icją, spek­ta­ku­lar­ny wy­nik uświa­da­mia nam moc i zna­cze­nie liczb pierw­szych. Moż­na uznać je nie tyl­ko za pod­sta­wo­we skład­ni­ki liczb na­tu­ral­nych, lecz tak­że za bu­du­lec nie­skoń­czo­no­ści.

ROZ­DZIAŁ ÓSMY

Zło­ty pa­lec

Sie­dzie­li­śmy w sa­lo­nie, gdy Eddy Le­vin wrę­czył mi bia­łą kart­kę i po­pro­sił, bym na­pi­sał swo­je imię i na­zwi­sko dru­ko­wa­ny­mi li­te­ra­mi. Le­vin, któ­ry ma 75 lat i pro­fe­sor­ską twarz z si­wym za­ro­stem oraz wy­so­kim czo­łem, nie­gdyś był den­ty­stą. Miesz­ka w East Fin­chley w pół­noc­nej czę­ści Lon­dy­nu, przy uli­cy, któ­ra jest ty­po­wym przy­kła­dem bo­ga­te­go i kon­ser­wa­tyw­ne­go bry­tyj­skie­go przed­mie­ścia. Dro­gie sa­mo­cho­dy sto­ją na pod­jaz­dach przed ce­gla­ny­mi do­ma­mi z mię­dzy­woj­nia ze świe­żo przy­cię­ty­mi ży­wo­pło­ta­mi i zie­lo­ny­mi traw­ni­ka­mi. Wzią­łem kart­kę i na­pi­sa­łem: ALEX BEL­LOS.

Le­vin pod­niósł przy­rząd ze sta­li nie­rdzew­nej, któ­ry wy­glą­dał jak małe szczyp­ce z 3 pa­zu­ra­mi. Przy­ło­żył go do kart­ki i za­czął ana­li­zo­wać moje pi­smo ze sku­pie­niem ra­bi­na przy­go­to­wu­ją­ce­go się do ob­rze­za­nia.

– Cał­kiem nie­źle – stwier­dził.

Szczyp­ce to wy­na­la­zek Le­vi­na. Pa­zu­ry usy­tu­owa­ne są w taki spo­sób, że kie­dy szczyp­ce się roz­wie­ra­ją, ich szpi­ce po­zo­sta­ją w jed­nej li­nii i w ta­kim sa­mym sto­sun­ku do sie­bie. Od­le­głość mię­dzy pa­zu­rem środ­ko­wym a gór­nym za­wsze wy­no­si 1,618 od­le­gło­ści mię­dzy środ­ko­wym a dol­nym. Po­nie­waż licz­bę tę na­zy­wa się zło­tym po­dzia­łem, Le­vin na­zwał swój przy­rząd Gol­den Mean Gau­ge – mier­ni­kiem zło­te­go po­dzia­łu. (Inne sy­no­ni­my 1,618 to tak­że zło­ta licz­ba, zło­ta pro­por­cja, bo­ska pro­por­cja lub , czy­li fi).

Le­vin przy­ło­żył mier­nik do li­te­ry E w moim imie­niu i ostrze gór­ne­go pa­zu­ra zna­la­zło się na gór­nej po­zio­mej kre­sce E, środ­ko­we ostrze na środ­ko­wej kre­sce E, a dol­ne na dol­nej. Przy­pusz­cza­łem, że pi­sząc dru­ko­wa­ne E, po­sta­wi­łem środ­ko­wą kre­skę w rów­nej od­le­gło­ści od gór­nej i dol­nej, ale mier­nik Le­vi­na po­ka­zał, że pod­świa­do­mie umie­ści­łem kre­skę nie­co po­wy­żej środ­ka – dzie­ląc w ten spo­sób wy­so­kość li­te­ry na 2 od­cin­ki, któ­rych pro­por­cja wy­no­si­ła 1 do 1,618. Choć na­ba­zgra­łem imię z ra­do­sną bez­tro­ską, z prze­dziw­ną do­kład­no­ścią za­cho­wa­łem zło­ty po­dział.

Le­vin uśmiech­nął się i prze­szedł do S. Wy­re­gu­lo­wał mier­nik, żeby bocz­ne ostrza do­ty­ka­ły naj­wyż­sze­go i naj­niż­sze­go punk­tu li­te­ry, i ku mo­je­mu jesz­cze więk­sze­mu zdu­mie­niu środ­ko­we ostrze zna­la­zło się do­kład­nie w miej­scu, w któ­rym li­nia S się za­krzy­wia­ła.

– Strzał w dzie­siąt­kę – po­wie­dział spo­koj­nie Le­vin. – Pi­smo od­ręcz­ne za­wsze ma zło­te pro­por­cje.

Zło­ty po­dział to licz­ba opi­su­ją­ca do­kład­ną pro­por­cję, kie­dy od­ci­nek dzie­li się na 2 czę­ści w taki spo­sób, by sto­su­nek ca­łe­go od­cin­ka do dłuż­szej czę­ści był taki sam jak sto­su­nek dłuż­szej czę­ści do krót­szej. In­ny­mi sło­wy, kie­dy sto­su­nek A + B do A rów­na się sto­sun­ko­wi A do B:

Od­ci­nek po­dzie­lo­ny zgod­nie z za­sa­dą zło­te­go po­dzia­łu ma zło­tą pro­por­cję, a fi, czy­li sto­su­nek dłuż­szej czę­ści do krót­szej, moż­na ob­li­czyć jako . Jest to licz­ba nie­wy­mier­na, któ­rej po­stać dzie­sięt­na roz­po­czy­na się na­stę­pu­ją­co: 1,61803398874989484820…

Gre­ków fa­scy­no­wa­ło fi. Od­kry­li je w pię­cio­ra­mien­nej gwieź­dzie, czy­li pen­ta­gra­mie, oto­czo­nym czcią sym­bo­lu Związ­ku Pi­ta­go­rej­skie­go. Eu­kli­des na­zy­wał je „po­dzia­łem w sto­sun­ku śred­nim i skraj­nym” i po­dał me­to­dę wy­kre­śla­nia go za po­mo­cą cyr­kla i li­nia­łu. Po­cząw­szy co naj­mniej od cza­sów re­ne­san­su, licz­ba fi in­try­go­wa­ła za­rów­no ar­ty­stów, jak i ma­te­ma­ty­ków. Głów­nym dzie­łem na te­mat zło­te­go po­dzia­łu było De di­vi­na pro­por­tio­ne (O bo­skiej pro­por­cji) Luki Pa­cio­le­go z 1509 roku z ilu­stra­cja­mi Le­onar­da da Vin­ci, w któ­rym po­da­no licz­ne przy­kła­dy kon­struk­cji geo­me­trycz­nych za­wie­ra­ją­cych licz­bę fi. Pa­cio­li na­pi­sał, że zło­ta pro­por­cja była prze­sła­niem od Boga, źró­dłem ta­jem­nej wie­dzy o we­wnętrz­nym pięk­nie rze­czy.

Pen­ta­gram, mi­stycz­ny sym­bol zna­ny od cza­sów sta­ro­żyt­nych, za­wie­ra zło­tą pro­por­cję.

Ma­te­ma­tycz­ne za­in­te­re­so­wa­nie licz­bą fi wy­ni­ka z jej związ­ku z naj­słyn­niej­szym cią­giem w ma­te­ma­ty­ce – cią­giem Fi­bo­nac­cie­go, któ­ry za­czy­na się od 0, 1, a każ­dy na­stęp­ny wy­raz cią­gu jest sumą dwóch po­przed­nich:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, …

Oto, jak wy­zna­cza się ko­lej­ne licz­by:

0 + 1 = 1

1 + 1 = 2

1 + 2 = 3

2 + 3 = 5

3 + 5 = 8

5 + 8 = 13

. . .

Za­nim omó­wię zwią­zek mię­dzy fi a cią­giem Fi­bo­nac­cie­go, zba­daj­my licz­by tego cią­gu. Szcze­gól­ne upodo­ba­nie do liczb Fi­bo­nac­cie­go ma na­tu­ra. Je­śli zaj­rzy­my do ogro­du, od­kry­je­my, że licz­ba płat­ków w więk­szo­ści kwia­tów jest licz­bą Fi­bo­nac­cie­go:

3 płat­ki — li­lia i irys

5 płat­ków — goź­dzik i ja­skier

8 płat­ków — ostróż­ka

13 płat­ków — na­gie­tek i sta­rzec

21 płat­ków — aster

55 lub 89 płat­ków — sto­krot­ka

Może nie każ­dy kwiat ma do­kład­nie taką licz­bę płat­ków, ale śred­nia licz­ba płat­ków jest licz­bą Fi­bo­nac­cie­go. Na ło­dyż­ce ko­ni­czy­ny na przy­kład zwy­kle są 3 li­ście, co jest licz­bą Fi­bo­nac­cie­go. Rzad­ko się zda­rza, by ko­ni­czy­ny mia­ły 4 li­ście, i wła­śnie dla­te­go uwa­ża­my je za wy­jąt­ko­we. Czte­ro­list­ne ko­ni­czy­ny są nie­po­spo­li­te, po­nie­waż czwór­ka nie jest licz­bą Fi­bo­nac­cie­go.

Licz­by Fi­bo­nac­cie­go wy­stę­pu­ją rów­nież w spi­ral­nych ukła­dach na po­wierzch­ni szy­szek, ana­na­sów, ka­la­fio­rów i sło­necz­ni­ków. Jak wi­dać na zdję­ciu obok, moż­na po­li­czyć spi­ra­le pra­wo­skręt­ne i le­wo­skręt­ne. Licz­by spi­ral w obu kie­run­kach to ko­lej­ne licz­by Fi­bo­nac­cie­go. Ana­na­sy mają zwy­kle 5 i 8 spi­ral lub 8 i 13. Szysz­ki świer­ko­we naj­czę­ściej mają 8 i 13 spi­ral. Sło­necz­ni­ki mogą mieć 21 i 34 spi­ra­le lub 34 i 55 spi­ral – choć zna­le­zio­no też oka­zy li­czą­ce 144 i 233 spi­ra­le. Im wię­cej na­sion, tym wyż­sze war­to­ści przyj­mu­ją spi­ra­le.

Na­zwa ciąg Fi­bo­nac­cie­go wzię­ła się stąd, że jego wy­ra­zy po­ja­wia­ją się w Li­ber aba­ci Fi­bo­nac­cie­go w pro­ble­mie do­ty­czą­cym kró­li­ków. Ale do­pie­ro w 1877 roku, po­nad 600 lat po wy­da­niu książ­ki, teo­re­tyk liczb Edo­uard Lu­cas, któ­ry ba­dał ciąg, po­sta­no­wił zło­żyć hołd Wło­cho­wi, na­zy­wa­jąc ciąg jego imie­niem.

Sło­necz­nik z 34 spi­ra­la­mi le­wo­skręt­ny­mi i 21 pra­wo­skręt­ny­mi.

W Li­ber aba­ci ciąg zo­stał opi­sa­ny w na­stę­pu­ją­cy spo­sób: „Po­wiedz­my, że mamy parę kró­li­ków i po mie­sią­cu tej pa­rze ro­dzi się ko­lej­na para. Je­śli każ­da do­ro­sła para kró­li­ków spro­wa­dza na świat parę mło­dych co mie­siąc, a mło­de osią­ga­ją doj­rza­łość po mie­sią­cu, to ile kró­li­ków od pierw­szej pary po­ja­wi się w cią­gu roku?”.

Od­po­wiedź moż­na zna­leźć, li­cząc kró­li­ki mie­siąc po mie­sią­cu, tak jak zro­bio­no to na na­stęp­nej stro­nie. W pierw­szym mie­sią­cu jest tyl­ko 1 para. W dru­gim są 2, po­nie­waż pier­wot­nej pa­rze uro­dzi­ła się nowa para. W 3 mie­sią­cu są trzy pary, gdyż pier­wot­na para ma zno­wu mło­de, ale tyl­ko pierw­sza para jest do­ro­sła. W czwar­tym mie­sią­cu 2 do­ro­słe pary mają mło­de, co zwięk­sza po­pu­la­cję kró­li­ków o ko­lej­ne 2 pary. I tak da­lej. Ciąg Fi­bo­nac­cie­go sta­no­wi sumę par mie­siąc po mie­sią­cu:

Suma par

Pierw­szy mie­siąc: 1 do­ro­sła para 1

Dru­gi mie­siąc: 1 do­ro­sła para i 1 para mło­dych 2

Trze­ci mie­siąc: 2 do­ro­słe pary i 1 para mło­dych 3

Czwar­ty mie­siąc: 3 do­ro­słe pary i 2 pary mło­dych 5

Pią­ty mie­siąc: 5 do­ro­słych par i 3 pary mło­dych 8

Szó­sty mie­siąc: 8 do­ro­słych par i 5 par mło­dych 13

… …

Waż­ną ce­chą cią­gu Fi­bo­nac­cie­go jest re­ku­ren­cyj­ność – każ­dy nowy wy­raz po­wsta­je z war­to­ści po­przed­nich wy­ra­zów. Wy­ja­śnia to, dla­cze­go licz­by Fi­bo­nac­cie­go są tak sze­ro­ko roz­po­wszech­nio­ne w na­tu­rze. Wie­le form ży­cia roz­wi­ja się na za­sa­dzie re­ku­ren­cji.

Wy­kres ilu­stru­ją­cy ro­do­wód trut­nia (po­ka­za­ne­go u dołu).

Przy­kła­dów liczb Fi­bo­nac­cie­go w przy­ro­dzie jest mnó­stwo – je­den z mo­ich ulu­bio­nych do­ty­czy sche­ma­tu roz­mna­ża­nia psz­czół. Kie­dy na­ry­su­je­my „drze­wo ge­ne­alo­gicz­ne” sam­ca psz­czo­ły, czy­li trut­nia, zo­ba­czy­my, że ma on tyl­ko jed­ne­go ro­dzi­ca: swo­ją mat­kę. Na­to­miast sa­mi­ce psz­czół mają dwo­je ro­dzi­ców: mat­kę i ojca. Za­tem tru­teń ma tro­je dziad­ków, pię­cio­ro pra­dziad­ków, ośmio­ro pra­pra­dziad­ków i tak da­lej. Licz­ba krew­nych w każ­dym po­ko­le­niu jest za­wsze licz­bą Fi­bo­nac­cie­go!

Oprócz związ­ków z owo­ca­mi, pro­mi­sku­itycz­ny­mi ssa­ka­mi oraz owa­da­mi la­ta­ją­cy­mi ciąg Fi­bo­nac­cie­go cha­rak­te­ry­zu­je się pa­sjo­nu­ją­cy­mi wła­sno­ścia­mi ma­te­ma­tycz­ny­mi. Li­sta pierw­szych 20 liczb po­mo­że nam do­strzec pew­ne pra­wi­dło­wo­ści. Licz­by Fi­bo­nac­cie­go tra­dy­cyj­nie za­pi­su­je się za po­mo­cą li­te­ry F z in­dek­sem dol­nym ozna­cza­ją­cym miej­sce da­nej licz­by w cią­gu:

(F 0)

F1 1 F11 89

F2 1 F12 144

F3 2 F13 233

F4 3 F14 377

F5 5 F15 610

F6 8 F16 987

F7 13 F17 1597

F8 21 F18 2584

F9 34 F19 4181

F10 55 F20 6765

Po do­kład­nej ana­li­zie moż­na za­uwa­żyć, że ciąg od­twa­rza się na wie­le za­ska­ku­ją­cych spo­so­bów. Spójrz­my na wy­ra­zy F3, F6, F9, …, czy­li na co trze­cią licz­bę F. Wszyst­kie są po­dziel­ne przez 2. Po­rów­naj­my to z F4, F8, F12, …, czy­li z co czwar­tą licz­bą F – wszyst­kie są po­dziel­ne przez 3. Co pią­ta licz­ba F po­dziel­na jest przez 5; co szó­sta licz­ba F dzie­li się przez 8; a co siód­ma przez 13. Dziel­ni­ki te są ni mniej, ni wię­cej, tyl­ko ko­lej­ny­mi licz­ba­mi F w cią­gu.

In­nym nie­zwy­kłym przy­kła­dem jest , czy­li . Licz­ba ta jest rów­na na­stę­pu­ją­cej su­mie:

0,0

0,01

0,001

0,0002

0,00003

0,000005

0,0000008

0,00000013

0,000000021

0,0000000034

0,00000000055

0,000000000089

0,0000000000144

Zno­wu jak kró­lik z ka­pe­lu­sza wy­ska­ku­je ciąg Fi­bo­nac­cie­go.

Oto na­stęp­na in­te­re­su­ją­ca wła­sność ma­te­ma­tycz­na cią­gu. Weź­my 3 do­wol­ne ko­lej­ne licz­by F. Pierw­sza po­mno­żo­na przez trze­cią za­wsze róż­ni się o 1 od kwa­dra­tu dru­giej:

dla F4, F5, F6:

F4 · F6 = F5 · F5 – 1 ...po­nie­waż 24 = 25 – 1

dla F5, F6, F7:

F5 · F7 = F6 · F6 + 1 ...po­nie­waż 65 = 64 + 1

dla F18, F19, F20:

F18 · F20 = F19 · F19 – 1 ...po­nie­waż 17 480 760 = 17 480 761 – 1

Na tej wła­sno­ści opie­ra się sztucz­ka ma­gicz­na, któ­ra po­le­ga na tym, że tnie się kwa­drat zło­żo­ny z 64 kwa­dra­tów jed­nost­ko­wych na 4 czę­ści i skła­da się z nich pro­sto­kąt zło­żo­ny z 65 ele­men­tów. Robi się to w ten spo­sób: ry­su­je­my kwa­drat zło­żo­ny z 64 kwa­dra­tów jed­nost­ko­wych. Ma on bok dłu­go­ści 8. Dwie licz­by F po­prze­dza­ją­ce 8 w cią­gu to 5 i 3. Po­dziel­my kwa­drat, uży­wa­jąc dłu­go­ści 5 i 3, jak po­ka­za­no na ry­sun­ku po le­wej. Po­cię­te ka­wał­ki moż­na zło­żyć w pro­sto­kąt o bo­kach 5 i 13, któ­re­go po­wierzch­nia wy­no­si 65.

Sztucz­kę wy­ja­śnia się fak­tem, że zło­żo­ne kształ­ty nie są ide­al­nie do­pa­so­wa­ne. Choć nie jest to zbyt wi­docz­ne go­łym okiem, w środ­ko­wej czę­ści prze­kąt­nej znaj­du­je się dłu­ga wą­ska szcze­li­na o po­wierzch­ni 1 kwa­dra­tu jed­nost­ko­we­go.

Wy­ni­ka stąd, że kwa­drat zło­żo­ny ze 169 kwa­dra­tów jed­nost­ko­wych (13 × 13) moż­na prze­kształ­cić w pro­sto­kąt zbu­do­wa­ny ze 168 kwa­dra­tów jed­nost­ko­wych (8 × 21). W tym wy­pad­ku seg­men­ty będą nie­co na sie­bie na­cho­dzić na środ­ku prze­kąt­nej.

Na po­cząt­ku XVII wie­ku nie­miec­ki astro­nom Jo­han­nes Ke­pler na­pi­sał, że: „Jak 5 ma się do 8, tak 8 ma się w przy­bli­że­niu do 13, i jak 8 ma się do 13, tak 13 ma się w przy­bli­że­niu do 21”. Za­uwa­żył, in­ny­mi sło­wy, że pro­por­cje ko­lej­nych liczb F są po­dob­ne. Wiek póź­niej szkoc­ki ma­te­ma­tyk Ro­bert Sim­son do­strzegł coś jesz­cze bar­dziej nie­sa­mo­wi­te­go. Je­śli usta­wi­my sto­sun­ki ko­lej­nych liczb F w cią­gu:

co rów­na się:

czy­li (z do­kład­no­ścią do 3 miejsc po prze­cin­ku):

1; 2; 1,5; 1,667; 1,6; 1,625; 1,615; 1,619; 1,618; …

to war­to­ści tych wy­ra­zów co­raz bar­dziej zbli­ża­ją się do fi.

In­a­czej mó­wiąc, pro­por­cje są­sied­nich liczb Fi­bo­nac­cie­go sta­no­wią przy­bli­że­nie zło­tej pro­por­cji, przy czym do­kład­ność przy­bli­że­nia wzra­sta wraz z ko­lej­ny­mi wy­ra­za­mi cią­gu.

Idź­my da­lej tym to­kiem my­śle­nia i roz­waż­my ciąg po­dob­ny do cią­gu Fi­bo­nac­cie­go – roz­pocz­nie­my od dwóch przy­pad­ko­wych liczb, a ko­lej­ne wy­ra­zy bę­dzie­my two­rzyć przez do­da­nie 2 po­przed­nich. Za­cznij­my od 4 i 10, na­stęp­nym wy­ra­zem bę­dzie więc 14, ko­lej­nym 24 i tak da­lej, czy­li:

4, 10, 14, 24, 38, 62, 100, 162, 262, 424, …

Przyj­rzy­my się pro­por­cjom ko­lej­nych wy­ra­zów:

czy­li:

2,5; 1,4; 1,714; 1,583; 1,632; 1,612; 1,620; 1,617; 1,618; …

Al­go­rytm re­ku­ren­cji Fi­bo­nac­cie­go po­le­ga­ją­cy na do­da­wa­niu 2 ko­lej­nych wy­ra­zów cią­gu, by uzy­skać na­stęp­ny, ma taką siłę, że obo­jęt­nie od ja­kich 2 liczb za­cznie­my, pro­por­cja ko­lej­nych wy­ra­zów za­wsze jest zbież­na do fi. Uwa­żam to za ab­so­lut­nie fa­scy­nu­ją­ce zja­wi­sko ma­te­ma­tycz­ne.

Roz­po­wszech­nie­nie liczb Fi­bo­nac­cie­go w na­tu­rze ozna­cza rów­nież sta­łą obec­ność fi w świe­cie. Wróć­my za­tem do eme­ry­to­wa­ne­go den­ty­sty Eddy’ego Le­vi­na. Na po­cząt­ku pra­cy za­wo­do­wej mnó­stwo cza­su po­świę­cał na wy­ko­ny­wa­nie sztucz­nych szczęk, co uwa­żał za bar­dzo fru­stru­ją­ce za­ję­cie, po­nie­waż bez wzglę­du na to, jak uło­żył zęby, nie był w sta­nie spra­wić, by uśmiech ich wła­ści­cie­la wy­glą­dał do­brze.

– Wy­pru­wa­łem so­bie żyły – wspo­mi­nał. – Cze­go bym nie zro­bił, zęby wy­glą­da­ły sztucz­nie.

Ale wte­dy wła­śnie Le­vin za­czął cho­dzić na za­ję­cia z ma­te­ma­ty­ki i du­cho­wo­ści, na któ­rych po­znał licz­bę fi. Do­wie­dział się o trak­ta­cie De di­vi­na pro­por­tio­ne, któ­ry go za­in­spi­ro­wał. A może fi, któ­re zda­niem Pa­cio­le­go ujaw­nia­ło praw­dzi­we pięk­no, skry­wa­ło rów­nież se­kret bo­skich pro­tez?

– To był mój mo­ment „Eu­re­ka!” – opo­wia­dał Le­vin. Była dru­ga w nocy, a on pę­dził do ga­bi­ne­tu. – Przez resz­tę nocy mie­rzy­łem zęby.

Le­vin prze­wer­to­wał zdję­cia i od­krył, że w naj­bar­dziej atrak­cyj­nych uzę­bie­niach duży gór­ny ząb przed­ni (sie­kacz przy­środ­ko­wy) był szer­szy niż ząb są­sied­ni (sie­kacz bocz­ny) o czyn­nik fi. Sie­kacz bocz­ny był rów­nież szer­szy niż są­sied­ni ząb (kieł) o czyn­nik fi, po­dob­nie kieł był szer­szy od na­stęp­ne­go zęba (przed­trzo­no­we­go). Le­vin nie mie­rzył wiel­ko­ści praw­dzi­wych zę­bów, lecz zę­bów na zdję­ciach ro­bio­nych z przo­du. Mimo to czuł, że do­ko­nał hi­sto­rycz­ne­go od­kry­cia: pięk­no ide­al­ne­go uśmie­chu okre­śla­ła licz­ba fi.

– By­łem bar­dzo pod­eks­cy­to­wa­ny – wspo­mi­nał Le­vin.

Po­wie­dział o od­kry­ciu ko­le­gom z pra­cy, ale wzię­li go za dzi­wa­ka. Mimo to kon­ty­nu­ował pra­ce i w 1978 roku opu­bli­ko­wał ar­ty­kuł ze swo­imi po­my­sła­mi w „Jo­ur­nal of Pro­sthe­tic Den­ti­stry”.

– Wte­dy po­ja­wi­ło się za­in­te­re­so­wa­nie – po­wie­dział. – Dzi­siaj w żad­nym wy­kła­dzie na te­mat es­te­ty­ki [sto­ma­to­lo­gicz­nej] nie może za­brak­nąć czę­ści po­świę­co­nej zło­tej pro­por­cji.

Le­vin tak czę­sto sto­so­wał fi w swo­jej pra­cy, że na po­cząt­ku lat 80. po­pro­sił pew­ne­go in­ży­nie­ra o za­pro­jek­to­wa­nie przy­rzą­du, za po­mo­cą któ­re­go mógł­by spraw­dzać, czy 2 zęby po­zo­sta­ją w zło­tej pro­por­cji. Tak po­wstał mier­nik zło­te­go po­dzia­łu z 3 pa­zu­ra­mi. Do dziś Le­vin sprze­da­je go den­ty­stom z ca­łe­go świa­ta.

Nie umia­łem roz­po­znać, czy wła­sne zęby Le­vi­na speł­nia­ją za­sa­dę zło­tej pro­por­cji, choć nie­wąt­pli­wie mia­ły w so­bie spo­ro zło­ta. Le­vin po­wie­dział mi, że mier­nik stał się czymś wię­cej niż tyl­ko na­rzę­dziem pra­cy, że za­czął nim mie­rzyć rów­nież inne przed­mio­ty. Od­na­lazł fi w for­mach kwia­tów, w roz­miesz­cze­niu ga­łą­zek wzdłuż ło­dy­gi oraz list­ków wzdłuż ga­łą­zek. Za­bie­rał ze sobą mier­nik na wa­ka­cje i od­naj­dy­wał fi w pro­por­cjach bu­dyn­ków. Od­krył też fi w in­nych czę­ściach ludz­kie­go cia­ła, w sto­sun­ku dłu­go­ści knyk­ci do pal­ców oraz w usy­tu­owa­niu nosa, zę­bów i pod­bród­ka wzglę­dem sie­bie. Za­uwa­żył po­nad­to, że więk­szość lu­dzi sto­su­je zło­ty po­dział w pi­śmie od­ręcz­nym, jak po­ka­zał na moim przy­kła­dzie.

Im bar­dziej Le­vin po­szu­ki­wał fi, tym czę­ściej je znaj­do­wał.

– Od­kry­łem tak wie­le zbież­no­ści, że za­czą­łem się za­sta­na­wiać, o co w tym wszyst­kim cho­dzi.

Otwo­rzył lap­top i pu­ścił mi po­kaz slaj­dów – na każ­dym 3 koń­ce mier­ni­ka wska­zy­wa­ły, gdzie do­kład­nie znaj­do­wał się zło­ty po­dział. Zo­ba­czy­łem zdję­cia skrzy­deł mo­ty­li, pa­wich piór i ubar­wie­nia zwie­rząt, od­czyt EKG ser­ca zdro­we­go czło­wie­ka, ob­ra­zy Mon­dria­na i zdję­cie sa­mo­cho­du.

Kie­dy na­ry­su­je się pro­sto­kąt o pro­por­cji bo­ków rów­nej fi, otrzy­ma­my „zło­ty pro­sto­kąt”. Pro­sto­kąt ten ma tę prak­tycz­ną ce­chę, że gdy­by­śmy prze­cię­li go pio­no­wo, by po jed­nej stro­nie był kwa­drat, to po dru­giej stro­nie zna­la­zł­by się rów­nież zło­ty pro­sto­kąt. Mat­ka ro­dzi có­recz­kę.

Zło­ty pro­sto­kąt i spi­ra­la lo­ga­ryt­micz­na.

Mo­że­my po­stę­po­wać w ten spo­sób w nie­skoń­czo­ność, two­rząc wnucz­ki, pra­wnucz­ki i tak da­lej. Na­ry­suj­my te­raz w naj­więk­szym kwa­dra­cie ćwiart­kę koła za po­mo­cą cyr­kla: w pra­wym dol­nym wierz­choł­ku na­le­ży umie­ścić nóż­kę cyr­kla, a ry­si­kiem prze­su­nąć od jed­ne­go są­sied­nie­go wierz­choł­ka do dru­gie­go. Po­wtórz­my to w na­stęp­nym pod wzglę­dem wiel­ko­ści kwa­dra­cie: tym ra­zem nóż­kę cyr­kla wbi­ja się w le­wym dol­nym wierz­choł­ku, a ry­si­kiem kon­ty­nu­uje krzy­wi­znę przez na­stęp­ne ćwierć koła. Ana­lo­gicz­nie po­stę­pu­je­my w mniej­szych kwa­dra­tach. Po­wsta­ła w ten spo­sób krzy­wa jest przy­bli­że­niem spi­ra­li lo­ga­ryt­micz­nej.

Praw­dzi­wa spi­ra­la lo­ga­ryt­micz­na prze­cho­dzi­ła­by przez te same wierz­choł­ki tych sa­mych kwa­dra­tów, ale za­krę­ca­ła­by się płyn­nie w od­róż­nie­niu od krzy­wej na ry­sun­ku, któ­ra ma małe sko­ki krzy­wi­zny w miej­scach łą­cze­nia ćwiar­tek kół. W spi­ra­li lo­ga­ryt­micz­nej li­nia pro­sta od środ­ka spi­ra­li – „bie­gu­na” – prze­ci­na krzy­wi­znę spi­ra­li w każ­dym punk­cie pod tym sa­mym ką­tem, co wy­ja­śnia, dla­cze­go Kar­te­zjusz na­zwał ją spi­ra­lą rów­no­kąt­ną.

Spi­ra­la lo­ga­ryt­micz­na jest jed­ną z naj­bar­dziej urze­ka­ją­cych krzy­wych w ma­te­ma­ty­ce. Pierw­szym uczo­nym, któ­ry grun­tow­nie ba­dał jej wła­sno­ści, był sie­dem­na­sto­wiecz­ny ma­te­ma­tyk Ja­kob Ber­no­ul­li. Na­zwał ją spi­ra mi­ra­bi­lis, czy­li cu­dow­ną. Po­pro­sił o wy­ry­cie jej na swo­im na­grob­ku, nie­ste­ty ka­mie­niarz przez po­mył­kę wy­kuł spi­ra­lę Ar­chi­me­de­sa.

Spi­ra­la lo­ga­ryt­micz­na – cu­dow­na.

Spi­ra­la Ar­chi­me­de­sa – nie tak cu­dow­na.

Pod­sta­wo­wą ce­chą spi­ra­li lo­ga­ryt­micz­nej jest to, że nig­dy nie zmie­nia kształ­tu. Ber­no­ul­li wy­ra­ził to w swo­im epi­ta­fium: Eadem mu­ta­ta re­sur­go, czy­li „Po­zo­sta­ję tym sa­mym, choć się zmie­ni­łem”. Spi­ra­la ob­ra­ca się nie­skoń­czo­ną licz­bę razy, nim do­trze do swo­je­go bie­gu­na. Gdy­by­śmy wzię­li mi­kro­skop i po­pa­trzy­li na śro­dek spi­ra­li lo­ga­ryt­micz­nej, zo­ba­czy­li­by­śmy taki sam kształt, jaki uka­zał­by się nam, gdy­by spi­ra­la lo­ga­ryt­micz­na roz­wi­nę­ła się do roz­mia­rów ga­lak­ty­ki, a my oglą­da­li­by­śmy ją z in­ne­go sys­te­mu sło­necz­ne­go. W isto­cie wie­le ga­lak­tyk ma ten wła­śnie kształt. Spi­ra­la lo­ga­ryt­micz­na, ni­czym frak­tal, jest sa­mo­po­dob­na, każ­dy mniej­szy frag­ment ma kształt iden­tycz­ny z więk­szym.

Naj­bar­dziej olśnie­wa­ją­cym przy­kła­dem spi­ra­li lo­ga­ryt­micz­nej w przy­ro­dzie jest musz­la ło­dzi­ka. W mia­rę roz­ra­sta­nia się musz­li każ­da ko­lej­na ko­mo­ra jest więk­sza, ale ma taki sam kształt, jak po­przed­nia. Je­dy­ną spi­ra­lą, któ­ra może po­mie­ścić ta­kie ko­mo­ry jest spi­ra mi­ra­bi­lis Ber­no­ul­le­go.

Musz­la ło­dzi­ka.

Jak za­uwa­żył Kar­te­zjusz, li­nia pro­sta od bie­gu­na spi­ra­li lo­ga­ryt­micz­nej za­wsze prze­ci­na krzy­wą pod ta­kim sa­mym ką­tem, i to tłu­ma­czy wła­śnie, dla­cze­go so­ko­ły wę­drow­ne ata­ku­ją swo­je ofia­ry po ta­kiej spi­ra­li.

So­kół spa­da­ją­cy na ofia­rę po spi­ra­li lo­ga­ryt­micz­nej.

So­ko­ły nie pi­ku­ją w li­nii pro­stej, ale do­pa­da­ją ofia­ry, ob­ni­ża­jąc się spi­ral­nie wo­kół niej. W 2000 roku Van­ce Tuc­ker z Duke Uni­ver­si­ty w Ka­ro­li­nie Pół­noc­nej prze­te­sto­wał so­ko­ły w tu­ne­lu ae­ro­dy­na­micz­nym. Za­uwa­żył bo­wiem, że pta­ki te mają oczy po bo­kach gło­wy, dla­te­go je­śli chcą pa­trzeć przed sie­bie, mu­szą ob­ró­cić gło­wę o 40 stop­ni. Wy­ka­zał, że przy gło­wie usta­wio­nej pod ta­kim ką­tem opór wia­tru jest o 50 pro­cent więk­szy niż wte­dy, gdy so­ko­ły pa­trzą pro­sto przed sie­bie. Tor, któ­ry po­zwa­la dra­pież­ni­ko­wi utrzy­my­wać gło­wę w naj­bar­dziej ae­ro­dy­na­micz­nej po­zy­cji, umoż­li­wia­jąc mu przy tym sta­łą ob­ser­wa­cję ofia­ry pod tym sa­mym ką­tem, to spi­ra­la lo­ga­ryt­micz­na.

Nie tyl­ko pta­ki dra­pież­ne, lecz rów­nież ro­śli­ny po­ru­sza­ją się w rytm mu­zy­ki fi. Kie­dy ro­śli­na wzra­sta, musi wy­pusz­czać li­ście z ło­dy­gi w taki spo­sób, by na każ­dy z nich pa­da­ło jak naj­wię­cej świa­tła sło­necz­ne­go. Li­ście nie są za­tem umiesz­czo­ne bez­po­śred­nio je­den nad dru­gim, po­nie­waż spo­wo­do­wa­ło­by to zu­peł­ne za­cie­nie­nie dol­nych.

Na wy­dłu­ża­ją­cej się ło­dy­dze każ­dy nowy liść wy­ra­sta pod sta­łym ką­tem w sto­sun­ku do po­przed­nie­go li­ścia. Ło­dy­ga wy­pusz­cza ko­lej­ne li­ście, za­cho­wu­jąc okre­ślo­ny z góry ob­rót, jak po­ka­za­no na ry­sun­ku obok.

Jaki jest sta­ły kąt mak­sy­ma­li­zu­ją­cy do­stęp świa­tła sło­necz­ne­go do li­ści, przy któ­rym li­ście wy­ra­sta­ją­ce wo­kół ło­dy­gi na­cho­dzą na sie­bie w naj­mniej­szym stop­niu? Nie jest to 180 stop­ni, czy­li pół ob­ro­tu, bo wte­dy trze­ci liść znaj­do­wał­by się do­kład­nie nad pierw­szym. Kąt ten nie wy­no­si 90 stop­ni, czy­li ćwierć ob­ro­tu, po­nie­waż wów­czas pią­ty liść wy­rósł­by bez­po­śred­nio nad pierw­szym – a poza tym pierw­sze 3 li­ście zna­la­zły­by się po jed­nej stro­nie ro­śli­ny, co by­ło­by mar­no­wa­niem świa­tła sło­necz­ne­go do­stęp­ne­go po dru­giej stro­nie. Kąt, któ­ry za­pew­nia naj­lep­sze roz­miesz­cze­nie, jest rów­ny 137,5 stop­nia. Ry­su­nek obok po­ka­zu­je, jak usy­tu­owa­ne by­ły­by li­ście, gdy­by każ­dy ko­lej­ny za­wsze wy­ra­stał pod tym ką­tem do po­przed­nie­go. Pierw­sze 3 li­ście są roz­miesz­czo­ne dość da­le­ko od sie­bie. Na­stęp­ne 2, czy­li czwar­ty i pią­ty, od­da­lo­ne są od są­sied­nich o po­nad 50 stop­ni, co nadal daje im spo­ro miej­sca. Szó­sty liść znaj­du­je się pod ką­tem 32,5 stop­nia od pierw­sze­go. Jest to mniej­sza od­le­głość niż mię­dzy po­przed­ni­mi, bo w koń­cu przy­by­ło li­ści, ale cały czas jest cał­kiem sze­ro­ka.

Kąt 137,5 stop­nia na­zy­wa­ny jest zło­tym ką­tem. Moż­na go uzy­skać po po­dzie­le­niu koła (360 stop­ni na 2 kąty) zgod­nie ze zło­tą pro­por­cją, czy­li w ten spo­sób, by pro­por­cja więk­sze­go do mniej­sze­go wy­no­si­ła fi, czy­li 1,618. Te 2 kąty mają 222,5 i 137,5 stop­nia, z do­kład­no­ścią do 1 miej­sca po prze­cin­ku.

Jak li­ście wy­ra­sta­ją spi­ral­nie w górę ło­dy­gi.

Ma­te­ma­tycz­ne wy­ja­śnie­nie, dla­cze­go zło­ty kąt umoż­li­wia naj­lep­szy roz­kład li­ści wo­kół ło­dy­gi, ma zwią­zek z po­ję­ciem liczb nie­wy­mier­nych, czy­li liczb, któ­rych nie moż­na wy­ra­zić w po­sta­ci ułam­ków. Je­śli dany kąt jest licz­bą nie­wy­mier­ną, to bez wzglę­du na to, ile razy ob­ró­ci­my go wo­kół koła, nig­dy nie tra­fi­my z po­wro­tem na miej­sce, z któ­re­go za­czę­li­śmy. Może to brzmieć jak z Or­wel­la, ale nie­któ­re licz­by nie­wy­mier­ne są bar­dziej nie­wy­mier­ne od in­nych. I nie ma licz­by bar­dziej nie­wy­mier­nej niż zło­ta pro­por­cja. (Krót­kie wy­ja­śnie­nie znaj­dziesz w anek­sie szóś­tym).

Zło­ty kąt.

Zło­ty kąt wy­ja­śnia, dla­cze­go na ło­dy­gach ro­ślin za­rów­no licz­ba li­ści, jak i licz­ba ob­ro­tów do mo­men­tu, gdy ja­kiś liść wy­ro­śnie mniej wię­cej bez­po­śred­nio nad pierw­szym, na ogół jest licz­bą Fi­bo­nac­cie­go. Na przy­kład róże mają po 5 li­ści na 2 ob­ro­ty, astry po 8 li­ści na 3 ob­ro­ty, a mig­da­łow­ce po 13 li­ści na 5 ob­ro­tów. Licz­by Fi­bo­nac­cie­go po­ja­wia­ją się tu dla­te­go, że sta­no­wią naj­bar­dziej zbli­żo­ne do zło­te­go kąta pro­por­cje wy­ra­żo­ne w licz­bach cał­ko­wi­tych: je­śli ro­śli­na wy­pusz­cza 8 li­ści na 3 ob­ro­ty, to każ­dy liść wy­stę­pu­je co ob­ro­tu, czy­li 135 stop­ni.

Je­dy­ne w swo­im ro­dza­ju wła­sno­ści zło­te­go kąta naj­bar­dziej rzu­ca­ją się w oczy w ukła­dzie na­sion. Wy­obraź­my so­bie, że ko­szy­czek kwia­to­wy wy­twa­rza na­sio­na pod sta­łym ką­tem ob­ro­tu od punk­tu środ­ko­we­go. Kie­dy po­ja­wia­ją się nowe na­sio­na, star­sze są wy­py­cha­ne bar­dziej na ze­wnątrz. Na po­niż­szym ry­sun­ku po­ka­za­no ukła­dy na­sion roz­miesz­czo­nych pod trze­ma róż­ny­mi ką­ta­mi sta­ły­mi:

Nie­znacz­na zmia­na może spo­wo­do­wać za­ska­ku­ją­co wiel­kie róż­ni­ce w roz­miesz­cze­niu na­sion. Przy zło­tym ką­cie ko­szy­czek kwia­to­wy ma hip­no­ty­zu­ją­cy układ sple­cio­nych spi­ra­li lo­ga­ryt­micz­nych. Jest to naj­bar­dziej zwar­ty układ. Na­tu­ra wy­bie­ra zło­ty kąt wła­śnie z po­wo­du owej zwar­to­ści – na­sio­na są ści­ślej upa­ko­wa­ne i dzię­ki temu or­ga­nizm bę­dzie sil­niej­szy.

Pod ko­niec XIX wie­ku Nie­miec Adolf Ze­ising wy­su­nął po­gląd, że zło­ta pro­por­cja jest wcie­lo­nym pięk­nem, na­zy­wa­jąc ją uni­wer­sal­nym pra­wem, „któ­re prze­ni­ka jako nad­rzęd­ny ide­ał du­cho­wy wszel­kie struk­tu­ry, for­my i pro­por­cje, za­rów­no ko­smicz­ne, jak i jed­nost­ko­we, or­ga­nicz­ne i nie­orga­nicz­ne, aku­stycz­ne i optycz­ne; któ­re naj­peł­niej­szą jed­nak­że re­ali­za­cję znaj­du­je w ludz­kiej for­mie”. Ze­ising pierw­szy twier­dził, że fa­sa­da Par­te­no­nu ma kształt zło­te­go pro­sto­ką­ta. W rze­czy­wi­sto­ści nie ma żad­nych świa­dectw pi­sa­nych, by oso­by od­po­wie­dzial­ne za pro­jekt ar­chi­tek­to­nicz­ny, w tym rzeź­biarz Fi­diasz, po­słu­gi­wa­ły się zło­tą pro­por­cją. Poza tym, je­śli przyj­rzeć się uważ­nie, oka­zu­je się, że zło­ty pro­sto­kąt wca­le nie jest do­kład­nym od­po­wied­ni­kiem. Nie miesz­czą się w nim kra­wę­dzie co­ko­łu. Nie­mniej jed­nak zwią­zek Fi­dia­sza z Par­te­no­nem za­in­spi­ro­wał oko­ło 1909 roku ame­ry­kań­skie­go ma­te­ma­ty­ka Mar­ka Bar­ra do okre­śle­nia zło­tej pro­por­cji mia­nem fi.

Mimo eks­cen­trycz­ne­go wy­dźwię­ku pra­ca Ze­isin­ga zo­sta­ła po­trak­to­wa­na se­rio przez Gu­sta­va Fech­ne­ra, jed­ne­go z twór­ców psy­cho­lo­gii eks­pe­ry­men­tal­nej. W po­szu­ki­wa­niu do­świad­czal­nych do­wo­dów na po­twier­dze­nie tezy, że zło­ty pro­sto­kąt ucho­dzi za pięk­niej­szy od wszyst­kich in­nych ro­dza­jów pro­sto­ką­tów, Fech­ner opra­co­wał test, w któ­rym ba­da­nym po­ka­zy­wa­no kil­ka róż­nych pro­sto­ką­tów i py­ta­no, jaki wolą.

Wy­ni­ki Fech­ne­ra zda­wa­ły się do­wo­dzić słusz­no­ści po­glą­dów Ze­isin­ga. Pro­sto­kąt naj­bar­dziej zbli­żo­ny do zło­te­go był wy­bie­ra­ny naj­czę­ściej – pre­fe­ro­wa­ła go nie­co po­nad jed­na trze­cia ba­da­nej gru­py. Choć me­to­dy Fech­ne­ra były nie­wy­ra­fi­no­wa­ne, te­sto­wa­nie pro­sto­ką­tów dało po­czą­tek no­wej dzie­dzi­nie na­uko­wej – eks­pe­ry­men­tal­nej psy­cho­lo­gii sztu­ki – oraz węż­szej dział­ce „es­te­ty­ki pro­sto­ką­tów”. Wie­lu psy­cho­lo­gów prze­pro­wa­dza­ło po­dob­ne ba­da­nia na te­mat atrak­cyj­no­ści pro­sto­ką­tów, co wca­le nie jest ta­kie nie­do­rzecz­ne, jak mo­gło­by się wy­da­wać. Gdy­by bo­wiem ist­niał naj­bar­dziej „raj­cow­ny” pro­sto­kąt, taki kształt przy­dał­by się pro­jek­tan­tom wy­ro­bów han­dlo­wych. Kar­ty kre­dy­to­we, pacz­ki pa­pie­ro­sów i książ­ki czę­sto mają pro­por­cje zbli­żo­ne do zło­te­go pro­sto­ką­ta. Ku roz­cza­ro­wa­niu fa­nów zło­te­go pro­sto­ką­ta, naj­now­sze szcze­gó­ło­we ba­da­nia prze­pro­wa­dzo­ne przez ze­spół pod kie­row­nic­twem Chri­sa McMa­nu­sa z Uni­ver­si­ty Col­le­ge Lon­don wska­zu­ją, że Fech­ner się my­lił. W ar­ty­ku­le z 2008 roku czy­ta­my, że „z prze­szło stu­let­niej pra­cy do­świad­czal­nej wy­ni­ka, iż zło­ty po­dział od­gry­wa fak­tycz­nie nie­wiel­ką rolę nor­ma­tyw­ną w pre­fe­ren­cjach ba­da­nych w za­kre­sie pro­sto­ką­tów”. Au­to­rzy nie do­cho­dzą jed­nak do wnio­sku, że ana­li­zo­wa­nie pre­fe­ren­cji w za­kre­sie pro­sto­ką­tów jest stra­tą cza­su. Wręcz prze­ciw­nie. Stwier­dzi­li, że choć nie ma jed­ne­go po­wszech­nie pre­fe­ro­wa­ne­go pro­sto­ką­ta, to ist­nie­ją waż­ne róż­ni­ce in­dy­wi­du­al­ne w es­te­tycz­nym upodo­ba­niu do pro­sto­ką­tów, któ­re za­słu­gu­ją na dal­sze ba­da­nia.

Rów­nież na­ukow­cy mniej­sze­go ka­li­bru niż Fech­ner in­spi­ro­wa­li się teo­ria­mi Ze­isin­ga. Frank A. Lonc z No­we­go Jor­ku po­rów­nał wzrost 65 ko­biet z wy­so­ko­ścią pęp­ka i od­krył, że pro­por­cja wy­no­si 1,618. Kie­dy tak nie było, miał wy­tłu­ma­cze­nie: „Ba­da­ne, któ­rych wy­mia­ry nie mie­ści­ły się w tej pro­por­cji, in­for­mo­wa­ły o ura­zach sta­wu bio­dro­we­go bądź in­nych de­for­mu­ją­cych wy­pad­kach w dzie­ciń­stwie”. Fran­cu­ski ar­chi­tekt Le Cor­bu­sier utwo­rzył Mo­du­lo­ra, aby sto­so­wać wła­ści­we pro­por­cje w ar­chi­tek­tu­rze i wzor­nic­twie. Sto­su­nek wzro­stu mo­de­lo­we­go czło­wie­ka do­sko­na­łe­go do wy­so­ko­ści pęp­ka rów­na się 1829/1130, czy­li 1,619, a sto­su­nek od­le­gło­ści mię­dzy pęp­kiem a pod­nie­sio­ną pra­wą ręką do od­le­gło­ści mię­dzy pęp­kiem a gło­wą 1130/698, czy­li po­now­nie 1,619. W za­my­śle Cor­bu­sie­ra Mo­du­lor miał sta­no­wić ka­non pro­por­cji dla ar­chi­tek­tu­ry oraz wzor­nic­twa.

Gary Me­isner jest pięć­dzie­się­cio­trzy­let­nim do­rad­cą biz­ne­so­wym z Ten­nes­see. Na­zy­wa sie­bie Phi Guy (gość od fi) i na swo­jej stro­nie in­ter­ne­to­wej sprze­da­je ga­dże­ty, ta­kie jak T-shir­ty i kub­ki z fi. Be­st­sel­le­rem jest jed­nak Phi­Ma­trix, czy­li pro­gram, któ­ry two­rzy na ekra­nie kom­pu­te­ra siat­kę do spraw­dza­nia ob­ra­zów pod ką­tem zło­tej pro­por­cji. Więk­szość na­byw­ców wy­ko­rzy­stu­je go do pro­jek­to­wa­nia sztuć­ców, me­bli i do­mów. Nie­któ­rzy klien­ci uży­wa­ją pro­gra­mu do spe­ku­la­cji fi­nan­so­wych – na­kła­da­ją siat­kę na wy­kre­sy in­dek­sów i sto­su­ją fi do prze­wi­dy­wa­nia przy­szłych tren­dów.

– Pe­wien czło­wiek na Ka­ra­ibach uży­wał mo­jej ma­try­cy w han­dlu ropą, gość z Chin wy­ko­rzy­sty­wał ją w han­dlu wa­lu­ta­mi – po­wie­dział Phi Guy.

Me­isner za­in­te­re­so­wał się zło­tym po­dzia­łem, bo jest udu­cho­wio­nym czło­wie­kiem i po­mo­gło mu to zro­zu­mieć wszech­świat, ale na­wet on uwa­ża, że zwo­len­ni­cy fi po­tra­fią się za­ga­lo­po­wać. Nie prze­ko­nu­ją go na przy­kład spe­ku­lan­ci gieł­do­wi.

– Kie­dy pa­trzy się na gieł­dę wstecz, dość ła­two od­na­leźć po­wią­za­nia pa­su­ją­ce do fi – stwier­dził. – Kło­pot w tym, że pa­trze­nie wstecz róż­ni się od wy­glą­da­nia przez fron­to­we okno.

Za po­śred­nic­twem stro­ny in­ter­ne­to­wej do Me­isne­ra zwra­ca­ją się róż­nej ma­ści mi­ło­śni­cy fi. Po­wie­dział mi, że mie­siąc wcze­śniej otrzy­mał e-mail od pew­ne­go bez­ro­bot­ne­go, któ­ry wie­rzył, że je­dy­nym spo­so­bem do­sta­nia się na roz­mo­wę kwa­li­fi­ka­cyj­ną jest za­pro­jek­to­wa­nie ży­cio­ry­su w pro­por­cjach zgod­nych ze zło­tym po­dzia­łem. Me­isne­ro­wi zro­bi­ło się żal tego na­iw­ne­go czło­wie­ka. Udzie­lił mu kil­ku wska­zó­wek do­ty­czą­cych pro­jek­to­wa­nia zgod­ne­go z fi, ale za­su­ge­ro­wał, że bar­dziej obie­cu­ją­ce by­ło­by po­sta­wie­nie na bar­dziej tra­dy­cyj­ne spo­so­by szu­ka­nia pra­cy, ta­kie jak na­wią­zy­wa­nie kon­tak­tów za­wo­do­wych.

– Dzi­siaj rano do­sta­łem od nie­go list – zdra­dził Me­isner. – Po­wie­dział, że umó­wił się na roz­mo­wę kwa­li­fi­ka­cyj­ną. Uwa­ża, że to dzię­ki no­we­mu ukła­do­wi CV!

W Lon­dy­nie opo­wie­dzia­łem Eddy’emu Le­vi­no­wi hi­sto­ryj­kę o zło­tym ży­cio­ry­sie jako przy­kład prze­sad­ne­go dzi­wac­twa. Le­vi­no­wi nie wy­da­ło się to jed­nak wca­le śmiesz­ne. Po­twier­dził, że układ CV zgod­ny z pro­por­cja­mi fi jest lep­szy od zwy­kłe­go.

– Bę­dzie ład­niej wy­glą­dać, więc bar­dziej za­in­te­re­su­je czy­ta­ją­ce­go.

Po 30 la­tach stu­dio­wa­nia zło­te­go po­dzia­łu Le­vin jest prze­ko­na­ny, że tam, gdzie jest pięk­no, tam jest fi.

– We wszel­kich dzie­łach sztu­ki, któ­re są do­bre wi­zu­al­nie, do­mi­nu­ją zło­te pro­por­cje – stwier­dził.

Wie, że po­gląd ten nie cie­szy się po­pu­lar­no­ścią, po­nie­waż okre­śla prze­pis na pięk­no, ale Le­vin za­pew­nia, że po­tra­fi zna­leźć fi w do­wol­nym dzie­le sztu­ki.

Moją od­ru­cho­wą re­ak­cją na ob­se­sję Le­vi­na na punk­cie fi był scep­ty­cyzm. Nie by­łem prze­ko­na­ny, że jego mier­nik jest na tyle do­kład­ny, by mie­rzyć 1,618 z wy­star­cza­ją­cą pre­cy­zją. Nie jest wiel­ką sztu­ką zna­leźć pro­por­cję „zbli­żo­ną do fi” w ob­ra­zie czy bu­dow­li, zwłasz­cza gdy moż­na sa­me­mu wy­brać ele­men­ty do po­mia­ru. Poza tym sko­ro sto­su­nek ko­lej­nych liczb Fi­bo­nac­cie­go sta­no­wi do­bre przy­bli­że­nie 1,618, to zło­ty pro­sto­kąt bę­dzie wszę­dzie tam, gdzie wy­stę­pu­je siat­ka 5 × 3 lub 8 × 5, lub 13 × 8 i tak da­lej. Nic dziw­ne­go, że taka pro­por­cja jest czę­sto spo­ty­ka­na.

Nie­mniej jed­nak przy­kła­dy po­da­wa­ne przez Le­vi­na mia­ły w so­bie coś fa­scy­nu­ją­ce­go. Od­czu­wa­łem dreszcz za­chwy­tu za każ­dym ra­zem, kie­dy po­ka­zy­wał mi nowy ob­raz. Fi rze­czy­wi­ście było wszę­dzie. Owszem, zło­ty po­dział za­wsze przy­cią­gał ma­nia­ków, nie zna­czy to jed­nak, że wszyst­kie teo­rie na ten te­mat są ma­niac­kie. Są rów­nież bar­dzo po­wa­ża­ni ucze­ni, któ­rzy twier­dzą, że fi two­rzy pięk­no, szcze­gól­nie w struk­tu­rze kom­po­zy­cji mu­zycz­nych. Ar­gu­ment, że lu­dzi po­cią­ga pew­na pro­por­cja, któ­ra naj­le­piej wy­ra­ża na­tu­ral­ny wzrost i od­ra­sta­nie, nie wy­da­je się zbyt na­cią­ga­ny.

Dzień był sło­necz­ny, więc prze­nie­śli­śmy się z Le­vi­nem do ogro­du. Usie­dli­śmy na krze­słach i po­pi­ja­li­śmy her­ba­tę. Le­vin po­wie­dział mi, że li­me­ryk jest tak uda­ną for­mą po­etyc­ką, po­nie­waż sy­la­by w wer­sach (8, 8, 5, 5, 8) są licz­ba­mi Fi­bo­nac­cie­go. Przy­szedł mi do gło­wy pe­wien po­mysł. Za­py­ta­łem Le­vi­na, czy wie, co to jest iPod. Nie wie­dział. Wy­cią­gną­łem swój eg­zem­plarz z kie­sze­ni i po­da­łem mu. Po­wie­dzia­łem, że jest to pięk­ny przed­miot, więc zgod­nie z jego ro­zu­mo­wa­niem po­wi­nien za­wie­rać zło­ty po­dział.

Le­vin wziął mój bia­ły błysz­czą­cy iPod i po­trzy­mał go w dło­ni. Od­po­wie­dział, że owszem, jest pięk­ny. By ostu­dzić na­dzie­je, ostrzegł mnie jed­nak, że przed­mio­ty pro­du­ko­wa­ne fa­brycz­nie czę­sto nie sto­su­ją się do­kład­nie do zło­te­go po­dzia­łu.

– Zmie­nia się nie­co kształt dla uła­twie­nia pro­duk­cji – wy­ja­śnił, otwo­rzył swo­je szczyp­ce i za­czął mie­rzyć wszyst­kie istot­ne punk­ty. – Och, tak – po­wie­dział z uśmie­chem.

* * *

1 Slo­ane w maju 2012 roku prze­szedł na eme­ry­tu­rę (przyp. red.).

2 Przy za­ło­że­niu, że 00 = 1. Gdy­by 00 = 0, licz­ba na­tych­miast by ru­nę­ła.

3 De­fi­ni­cja tego cią­gu znaj­du­je się w anek­sie czwar­tym.

4 A za­tem nie­cią­głe (przyp. red.).

ROZ­DZIAŁ DZIE­WIĄ­TY

Szan­sa od losu

Kie­dyś mó­wi­ło się, że do Las Ve­gas jeź­dzi się, żeby wziąć ślub, a do Reno, żeby wziąć roz­wód. Te­raz do obu tych miast moż­na wy­brać się, by po­sza­leć na au­to­ma­tach. Ka­sy­no Pep­per­mill w Reno z 1900 au­to­ma­ta­mi do gier nie jest na­wet naj­więk­szym przy­byt­kiem ha­zar­du w mie­ście. Kie­dy sze­dłem przez głów­ny hol, ude­rzy­ło mnie, że sto­ły do ru­let­ki i blac­kjac­ka są ciem­ne i przy­ga­szo­ne w po­rów­na­niu z za­stę­pa­mi świe­cą­cych, wi­ru­ją­cych i brzę­czą­cych au­to­ma­tów. Roz­wój tech­nicz­ny po­zba­wił więk­szość jed­no­rę­kich ban­dy­tów dźwi­gnio­wych koń­czyn i me­cha­nicz­nych wnętrz­no­ści. Obec­nie gra­cze sta­wia­ją za­kła­dy, na­ci­ska­jąc pod­świe­tlo­ne przy­ci­ski lub ekra­ny do­ty­ko­we. Od cza­su do cza­su sły­sza­łem eks­cy­tu­ją­cy dźwięk brzę­czą­ce­go bi­lo­nu, ale do­cho­dził on z na­gra­nych sam­pli, po­nie­waż mo­ne­ty zo­sta­ły za­stą­pio­ne przez elek­tro­nicz­ne punk­ty.

Au­to­ma­ty do gier to pod­sta­wa dzia­łal­no­ści w bran­ży ha­zar­do­wej – wy­ko­rzy­stu­ją naj­no­wo­cze­śniej­sze tech­no­lo­gie i są głów­nym źró­dłem do­cho­dów. W Sta­nach Zjed­no­czo­nych ma­szy­ny za­ra­bia­ją 25 mi­liar­dów do­la­rów rocz­nie (już po wy­pła­ce­niu wszyst­kich wy­gra­nych), czy­li dwu­ipół­krot­nie wię­cej, niż wy­no­si łącz­na war­tość bi­le­tów do kina sprze­da­wa­nych rocz­nie w ca­łym kra­ju. W Ne­va­dzie, świa­to­wym za­głę­biu ka­syn, au­to­ma­ty przy­no­szą obec­nie pra­wie 70 pro­cent do­cho­dów z ha­zar­du – i z roku na rok od­se­tek ten wzra­sta.

Ba­da­nie praw­do­po­do­bień­stwa to ba­da­nie szans. Kie­dy rzu­ca­my mo­ne­tą lub gra­my na au­to­ma­cie, nie wie­my, jak upad­nie mo­ne­ta ani gdzie za­trzy­ma­ją się wi­ru­ją­ce bęb­ny. Teo­ria praw­do­po­do­bień­stwa daje nam na­rzę­dzie opi­su szans na to, że mo­ne­ta spad­nie orzeł­kiem do góry lub że zgar­nie­my naj­wyż­szą staw­kę. Dzię­ki ma­te­ma­tycz­ne­mu po­dej­ściu nie­prze­wi­dy­wal­ność sta­je się bar­dzo prze­wi­dy­wal­na. Choć na co dzień trak­tu­je­my to jako coś oczy­wi­ste­go – na przy­kład gdy czy­ta­my pro­gno­zę po­go­dy – zro­zu­mie­nie, że ma­te­ma­ty­ka może po­wie­dzieć nam coś o przy­szło­ści, jest bar­dzo głę­bo­ką i sto­sun­ko­wo nową ideą w hi­sto­rii my­śli ludz­kiej.

Przy­je­cha­łem do Reno, żeby spo­tkać się z ma­te­ma­ty­kiem, któ­ry usta­la szan­se wy­gra­nej dla po­nad po­ło­wy au­to­ma­tów do gier na ca­łym świe­cie. Jego za­wód ma głę­bo­ko za­ko­rze­nio­ne tra­dy­cje – teo­rię praw­do­po­do­bień­stwa za­po­cząt­ko­wał Gi­ro­la­mo Car­da­no, nasz szes­na­sto­wiecz­ny wło­ski zna­jo­my, któ­re­go po­zna­li­śmy przy oka­zji oma­wia­nia rów­nań trze­cie­go stop­nia. Rzad­ko się zda­rza, by prze­łom w ma­te­ma­ty­ce był wy­ni­kiem ta­kiej nie­na­wi­ści do sa­me­go sie­bie: „Nie ma­jąc wąt­pli­wo­ści, że by­łem w spo­sób nie­umiar­ko­wa­ny uza­leż­nio­ny od sza­chow­ni­cy i sto­łu do gry w ko­ści – pi­sał Car­da­no – wiem, że na­le­ży uznać mnie ra­czej za za­słu­gu­ją­ce­go na naj­su­row­sze po­tę­pie­nie”. Jego na­łóg za­owo­co­wał po­wsta­niem krót­kie­go trak­ta­tu na te­mat gier ha­zar­do­wych, któ­ry był pierw­szą na­uko­wą ana­li­zą praw­do­po­do­bień­stwa. Dzie­ło tak bar­dzo jed­nak wy­prze­dza­ło swój czas, że opu­bli­ko­wa­no je do­pie­ro wiek po śmier­ci au­to­ra.

Car­da­no za­uwa­żył, że je­śli zda­rze­nie lo­so­we ma kil­ka jed­na­ko­wo praw­do­po­dob­nych re­zul­ta­tów, szan­se na po­ja­wie­nie się da­ne­go re­zul­ta­tu są rów­ne sto­sun­ko­wi tego re­zul­ta­tu do wszyst­kich moż­li­wych re­zul­ta­tów. Zna­czy to, że je­śli szan­se wy­stą­pie­nia ja­kie­goś zda­rze­nia są jak 1 do 6, to praw­do­po­do­bień­stwo tego zda­rze­nia wy­no­si jed­ną szó­stą. Kie­dy za­tem rzu­ca­my kost­ką, szan­sa uzy­ska­nia szóst­ki jest rów­na . Szan­se na tra­fie­nie licz­by pa­rzy­stej wy­no­szą , co rów­na się . Praw­do­po­do­bień­stwo moż­na zde­fi­nio­wać jako szan­se na wy­stą­pie­nie ja­kie­goś zda­rze­nia wy­ra­żo­ne w po­sta­ci ułam­ka. Nie­moż­li­wość to praw­do­po­do­bień­stwo rów­ne 0, pew­ność to praw­do­po­do­bień­stwo rów­ne 1, a resz­ta znaj­du­je się po­mię­dzy.

Wy­da­je się to pro­ste, ale wca­le tak nie jest. Gre­cy, Rzy­mia­nie i sta­ro­żyt­ni Hin­du­si byli ma­nia­ka­mi ha­zar­du. Nikt z nich jed­nak nie pró­bo­wał zro­zu­mieć praw ma­te­ma­tycz­nych rzą­dzą­cych przy­pad­ko­wo­ścią. W Rzy­mie na przy­kład rzu­ca­no mo­ne­tą w ra­mach roz­strzy­ga­nia spo­rów. Je­śli wy­lą­do­wa­ła gło­wą Ce­za­ra do góry, zna­czy­ło to, że wład­ca zga­dza się z de­cy­zją. W zda­rze­niach lo­so­wych nie wi­dzia­no dzie­ła przy­pad­ku, lecz wy­raz woli bo­skiej. Na prze­strze­ni dzie­jów lu­dzie z nie­zwy­kłą po­my­sło­wo­ścią wy­naj­dy­wa­li spo­so­by in­ter­pre­to­wa­nia ta­kich zda­rzeń. Rap­so­do­man­cja na przy­kład po­le­ga­ła na szu­ka­niu po­rad w lo­so­wo wy­bra­nym frag­men­cie utwo­ru li­te­rac­kie­go. Z ko­lei we­dług Bi­blii wy­cią­gnię­cie krót­kie­go źdźbła było bez­stron­nym spo­so­bem do­ko­na­nia wy­bo­ru, tyle że wa­run­ko­wa­nym przy­zwo­le­niem Boga: „We fał­dy suk­ni wrzu­ca się losy, ale Pan sam roz­strzy­ga”1.

Prze­są­dy sku­tecz­nie po­wstrzy­my­wa­ły roz­wój na­uko­wych ba­dań nad praw­do­po­do­bień­stwem, ale po ty­sią­cach lat rzu­ca­nia kost­ką mi­sty­cyzm zo­stał w koń­cu po­ko­na­ny przez sil­niej­sze ludz­kie pra­gnie­nie – chęć osią­ga­nia zy­sków fi­nan­so­wych. Gi­ro­la­mo Car­da­no był pierw­szym czło­wie­kiem, któ­ry okieł­znał For­tu­nę. Moż­na na­wet po­sta­wić tezę, że wy­na­le­zie­nie praw­do­po­do­bień­stwa było pier­wot­ną przy­czy­ną pod­upa­da­nia prze­są­dów i re­li­gii w ostat­nich stu­le­ciach. Je­śli nie­prze­wi­dy­wal­ne wy­da­rze­nia pod­le­ga­ją pra­wom ma­te­ma­ty­ki, nie trze­ba ucie­kać się do bo­gów, by je wy­ja­śnić. Se­ku­la­ry­za­cję świa­ta zwy­kle wią­że się z ta­ki­mi my­śli­cie­la­mi, jak Ka­rol Dar­win czy Frie­drich Nie­tz­sche, nie­wy­klu­czo­ne jed­nak, że czło­wie­kiem, któ­ry za­ini­cjo­wał ten pro­ces, był Gi­ro­la­mo Car­da­no.

W grach lo­so­wych naj­czę­ściej uży­wa­no ko­ści. W sta­ro­żyt­no­ści po­pu­lar­nym mo­de­lem był astra­ga­lus – kość sko­ko­wa owcy lub kozy – któ­ry miał 4 wy­raź­nie pła­skie boki. Hin­du­si upodo­ba­li so­bie ko­ści w kształ­cie pa­łe­czek i ba­to­ni­ków To­ble­ro­ne, a po­szcze­gól­ne ścian­ki ozna­cza­li oczka­mi, co naj­czę­ściej wy­ja­śnia się tym, że ko­ści są star­sze niż for­mal­ny sys­tem za­pi­su licz­bo­we­go. Tra­dy­cja ta za­cho­wa­ła się do dziś. Naj­bar­dziej uczci­we są ko­ści o iden­tycz­nych bo­kach, a je­śli na­ło­żyć do­dat­ko­wy wa­ru­nek, że każ­da ścia­na musi być wie­lo­ką­tem fo­rem­nym, to speł­ni go tyl­ko pięć kształ­tów – bry­ły pla­toń­skie. Każ­dej z brył pla­toń­skich uży­wa­no jako ko­ści. W grze z Ur, praw­do­po­dob­nie naj­star­szej zna­nej grze na świe­cie, się­ga­ją­cej przy­najm­niej III ty­siąc­le­cia przed na­szą erą, wy­ko­rzy­sta­no czwo­ro­ścian, któ­ry jest jed­nak naj­gor­szym wy­bo­rem z ca­łej piąt­ki, po­nie­waż sła­bo się to­czy i – jak sama na­zwa wska­zu­je – ma tyl­ko 4 ścia­ny. Ośmio­ścia­nów uży­wa­no w sta­ro­żyt­nym Egip­cie, a dwu­na­sto­ścia­ny i dwu­dzie­sto­ścia­ny nadal na­le­żą do ak­ce­so­riów wróż­biar­skich.

Zde­cy­do­wa­nie naj­po­pu­lar­niej­szym kształ­tem ko­ści jest sze­ścian. Naj­ła­twiej go wy­ko­nać, za­kres liczb nie jest ani za duży, ani za mały, to­czy się do­brze, ale nie za lek­ko, i nie ma wąt­pli­wo­ści, na ja­kiej licz­bie wy­pa­da. Sze­ścien­ne kost­ki z oczka­mi to mię­dzy­kul­tu­ro­wy sym­bol szczę­ścia i przy­pad­ku, rów­nie do­brze od­naj­du­ją się w chiń­skich sa­lo­nach ma­dżon­ga, jak i w bre­locz­kach zwi­sa­ją­cych z lu­ster­ka wstecz­ne­go w bry­tyj­skich sa­mo­cho­dach.

Jak wspo­mnia­łem wcze­śniej, kie­dy rzu­ci­my jed­ną kost­ką, szan­se na tra­fie­nie szóst­ki są rów­ne . Kie­dy rzuć­my dru­gą, szan­se na szóst­kę rów­nież są rów­ne . A ja­kie są szan­se, że rzu­ca­jąc 2 kost­ka­mi, otrzy­ma­my parę szó­stek? Naj­bar­dziej pod­sta­wo­wa za­sa­da praw­do­po­do­bień­stwa brzmi, że szan­se zaj­ścia 2 nie­za­leż­nych zda­rzeń są ta­kie same jak szan­se zaj­ścia pierw­sze­go zda­rze­nia po­mno­żo­ne przez szan­se zaj­ścia dru­gie­go zda­rze­nia. Kie­dy rzu­ca­my parą ko­stek, wy­nik pierw­szej kost­ki jest nie­za­leż­ny od wy­ni­ku dru­giej i vice ver­sa. Szan­se na wy­rzu­ce­nie 2 szó­stek rów­ne są za­tem · , czy­li . Moż­na przed­sta­wić to wi­zu­al­nie, li­cząc wszyst­kie moż­li­we kom­bi­na­cje 2 ko­stek: jest 36 jed­na­ko­wo praw­do­po­dob­nych wy­ni­ków i tyl­ko je­den z nich to 6 i 6.

I na od­wrót, z 36 moż­li­wych wy­ni­ków 35 nie jest po­dwój­ną szóst­ką. Praw­do­po­do­bień­stwo nie­wy­rzu­ce­nia 6 i 6 wy­no­si więc . Za­miast li­czyć 35 przy­kła­dów, rów­nie do­brze mo­że­my za­cząć od peł­ne­go ze­sta­wu i od­jąć przy­pad­ki po­dwój­nych szó­stek: . Za­tem praw­do­po­do­bień­stwo, że coś się nie zda­rzy, wy­no­si 1 mi­nus praw­do­po­do­bień­stwo, że dana rzecz się wy­da­rzy.

Stół do ko­ści był daw­nym od­po­wied­ni­kiem au­to­ma­tu do gier, w któ­rym gra­cze ob­sta­wia­li wy­ni­ki rzu­tu ko­ść­mi. Jed­ną z kla­sycz­nych od­mian gry było sta­wia­nie za­kła­dów, że w rzu­cie 4 ko­ść­mi po­ja­wi się przy­najm­niej jed­na szóst­ka. Każ­de­mu, kto był go­tów po­sta­wić na to pie­nią­dze, przy­no­si­ło to nie­złe do­cho­dy, a my mamy już wy­star­cza­ją­cą wie­dzę ma­te­ma­tycz­ną, by zro­zu­mieć dla­cze­go:

Krok 1: Praw­do­po­do­bień­stwo tra­fie­nia szóst­ki w 4 rzu­tach kost­ką jest ta­kie samo jak 1 mi­nus praw­do­po­do­bień­stwo nie­wy­rzu­ce­nia szóst­ki na żad­nej z 4 ko­stek.

Krok 2: Praw­do­po­do­bień­stwo nie­wy­rzu­ce­nia szóst­ki na 1 ko­st­ce wy­no­si , więc je­śli mamy 4 kost­ki, to praw­do­po­do­bień­stwo wy­no­si · · · = , co się rów­na 0,482.

Krok 3: Za­tem praw­do­po­do­bień­stwo wy­rzu­ce­nia szóst­ki wy­no­si 1 – 0,482 = 0,518.

Praw­do­po­do­bień­stwo rów­ne 0,518 ozna­cza, że je­śli rzu­ci­my 4 kost­ka­mi 1000 razy, mo­że­my ocze­ki­wać, że przy­najm­niej 1 szóst­kę otrzy­ma­my oko­ło 518 razy, a żad­nej szóst­ki nie tra­fi­my oko­ło 482 razy. Gdy­by­śmy ob­sta­wia­li wy­rzu­ce­nie przy­najm­niej jed­nej szóst­ki, śred­nio wy­gry­wa­li­by­śmy czę­ściej, niż prze­gry­wa­li, więc osta­tecz­nie wy­szli­by­śmy na plus.

Sie­dem­na­sto­wiecz­ny pi­sarz An­to­ine Gom­baud, zna­ny jako ka­wa­ler de Méré, wy­trwa­le gry­wał w ko­ści w naj­mod­niej­szych sa­lo­nach Pa­ry­ża. Rów­nie moc­no jak wy­gry­wa­niem pie­nię­dzy za­in­te­re­so­wa­ny był ma­te­ma­ty­ką gry w ko­ści. Miał jed­nak kil­ka py­tań na te­mat ha­zar­du, na któ­re nie po­tra­fił sam od­po­wie­dzieć, więc w 1654 roku zwró­cił się do wy­bit­ne­go ma­te­ma­ty­ka Bla­ise’a Pas­ca­la. Jego przy­pad­ko­wa proś­ba oka­za­ła się przy­god­nym zda­rze­niem, któ­re za­po­cząt­ko­wa­ło praw­dzi­we ba­da­nia nad zda­rze­nia­mi lo­so­wy­mi.

Pas­cal w mo­men­cie otrzy­ma­nia py­tań de Méré’a miał za­le­d­wie 31 lat, ale w krę­gach in­te­lek­tu­al­nych zna­ny był już od nie­mal 20. Był tak zdol­nym dziec­kiem, że w wie­ku 13 lat oj­ciec po­zwo­lił mu cho­dzić na spo­tka­nia sa­lo­nu na­uko­we­go – pro­wa­dzo­ne­go przez Ma­ri­na Mer­sen­ne’a, za­kon­ni­ka i mi­ło­śni­ka liczb pierw­szych – któ­ry gro­ma­dził wie­lu słyn­nych ma­te­ma­ty­ków, mię­dzy in­ny­mi Kar­te­zju­sza i Pier­re’a de Fer­ma­ta. Jesz­cze jako na­sto­la­tek Pas­cal udo­wod­nił waż­ne twier­dze­nia w geo­me­trii i wy­na­lazł wcze­sny mo­del me­cha­nicz­nej ma­szy­ny li­czą­cej, na­zwa­nej póź­niej pa­ska­li­ną.

Pierw­sze py­ta­nie, ja­kie de Méré za­dał Pas­ca­lo­wi, do­ty­czy­ło po­dwój­nych szó­stek. Szan­se na otrzy­ma­nie po­dwój­nej szóst­ki w rzu­cie 2 kost­ka­mi wy­no­szą . Ogól­ne praw­do­po­do­bień­stwo uzy­ska­nia po­dwój­nej szóst­ki wzra­sta wraz z licz­bą rzu­tów pary ko­stek. Ka­wa­ler chciał się do­wie­dzieć, ile rzu­tów kost­ka­mi po­trze­ba, by ob­sta­wie­nie po­dwój­nej szóst­ki było do­brym za­kła­dem.

Dru­gie py­ta­nie było bar­dziej zło­żo­ne. Po­wiedz­my, że Jean i Ja­cqu­es gra­ją w grę ko­ścia­ną skła­da­ją­cą się z kil­ku rund, w któ­rych obaj rzu­ca­ją kost­ką, sta­ra­jąc się uzy­skać jak naj­wyż­szą licz­bę. Osta­tecz­nym zwy­cięz­cą jest ten, kto 3 razy wy­rzu­ci naj­wyż­szą licz­bę. Każ­dy wniósł staw­kę w wy­so­ko­ści 32 fran­ków, więc pula wy­no­si 64 fran­ki. Jak na­le­ża­ło­by po­dzie­lić pulę w przy­pad­ku za­koń­cze­nia gry po 3 run­dach, je­śli Jean wy­rzu­cił do­tych­czas naj­wyż­szą licz­bę 2 razy, a Ja­cqu­es raz?

Roz­my­śla­jąc nad od­po­wie­dzia­mi i czu­jąc po­trze­bę omó­wie­nia ich z in­nym ge­niu­szem, Pas­cal na­pi­sał do sta­re­go zna­jo­me­go z sa­lo­nu Mer­sen­ne’a, Pier­re’a de Fer­ma­ta. Fer­mat miesz­kał z dala od Pa­ry­ża, w Tu­lu­zie, mie­ście, któ­re­go na­zwa świet­nie pa­so­wa­ła do ko­goś, kto ana­li­zo­wał pro­blem do­ty­czą­cy ha­zar­du2. Był on o 22 lata star­szy od Pas­ca­la i pra­co­wał na sta­no­wi­sku sę­dzie­go w miej­sco­wym są­dzie kar­nym, a ma­te­ma­ty­ką zaj­mo­wał się wy­łącz­nie hob­by­stycz­nie, trak­tu­jąc ją jako ro­dzaj roz­ryw­ki in­te­lek­tu­al­nej. Jed­nak dzię­ki swo­im ama­tor­skim roz­my­śla­niom stał się jed­nym z naj­bar­dziej sza­no­wa­nych ma­te­ma­ty­ków pierw­szej po­ło­wy XVII wie­ku.

Krót­ka wy­mia­na li­stów mię­dzy Pas­ca­lem a Fer­ma­tem na te­mat praw­do­po­do­bień­stwa – któ­re na­zy­wa­li ha­sard – oka­za­ła się punk­tem zwrot­nym w hi­sto­rii na­uki. Pa­no­wie ko­re­spon­den­cyj­nie roz­wią­za­li oba pro­ble­my li­te­rac­kie­go bon vi­van­ta, a przy oka­zji po­ło­ży­li pod­wa­li­ny pod współ­cze­sną teo­rię praw­do­po­do­bień­stwa.

Wróć­my do od­po­wie­dzi na py­ta­nia ka­wa­le­ra de Méré. Ile razy trze­ba rzu­cić parą ko­stek, żeby szan­se na uzy­ska­nie po­dwój­nej szóst­ki były więk­sze niż szan­se, że para szó­stek wca­le nie wy­pad­nie? W jed­nym rzu­cie dwie­ma kost­ka­mi szan­se na po­dwój­ną szóst­kę są rów­ne , czy­li 0,028. Praw­do­po­do­bień­stwo, że po­dwój­na szóst­ka po­ja­wi się w 2 rzu­tach parą ko­stek, wy­no­si 1 mi­nus praw­do­po­do­bień­stwo nie­wy­stą­pie­nia po­dwój­nej szóst­ki w 2 rzu­tach, czy­li 1 – ( · ). Po prze­li­cze­niu wy­cho­dzi , czy­li 0,055. (Uwa­ga: szan­se na po­dwój­ną szóst­kę w 2 rzu­tach nie wy­no­szą · . To są szan­se na po­dwój­ną szóst­kę w obu rzu­tach. Nas in­te­re­su­je praw­do­po­do­bień­stwo tra­fie­nia przy­najm­niej jed­nej po­dwój­nej szóst­ki, co obej­mu­je ta­kie wy­ni­ki, jak po­dwój­na szóst­ka w pierw­szym rzu­cie lub w dru­gim rzu­cie bądź też w obu rzu­tach. By wy­grać, gracz po­trze­bu­je tyl­ko 1 pary szó­stek, a nie pary szó­stek w obu rzu­tach). Szan­se na parę szó­stek w 3 rzu­tach 2 kost­ka­mi wy­no­szą 1 mi­nus praw­do­po­do­bień­stwo nie­tra­fie­nia ani jed­nej pary, co tym ra­zem rów­na się 1 – ( · · ) = , czy­li 0,081. Jak wi­dać, im wię­cej rzu­tów, tym wyż­sze praw­do­po­do­bień­stwo tra­fie­nia pary szó­stek: 0,028 przy 1 rzu­cie, 0,055 przy 2 rzu­tach i 0,081 przy 3. Po­nie­waż praw­do­po­do­bień­stwo więk­sze niż 0,5 ozna­cza, że zaj­ście ja­kie­goś zda­rze­nia jest bar­dziej praw­do­po­dob­ne niż jego nie­zaj­ście, pier­wot­ne py­ta­nie moż­na prze­for­mu­ło­wać na­stę­pu­ją­co: „Po ilu rzu­tach uła­mek ten prze­kro­czy 0,5?”. Pas­cal ob­li­czył, że wy­star­czy 25 rzu­tów. Gdy­by ka­wa­ler po­sta­wił na wy­stą­pie­nie pary szó­stek w 24 rzu­tach, mógł­by spo­dzie­wać się stra­ty pie­nię­dzy, ale po 25 rzu­tach szan­se zmie­nia­ją się na jego ko­rzyść i mógł­by ocze­ki­wać wy­gra­nej.

Py­ta­nie do­ty­czą­ce po­dzia­łu puli czę­sto na­zy­wa­ne jest pro­ble­mem punk­tów i było sta­wia­ne już wcze­śniej, za­nim Fer­mat i Pas­cal się nim za­ję­li; nig­dy jed­nak nie zo­sta­ło po­praw­nie roz­wią­za­ne. Prze­for­mu­łuj­my je na py­ta­nie do­ty­czą­ce orła i resz­ki. Jean wy­gry­wa run­dę, je­śli wy­pa­da orzeł, Ja­cqu­es wy­gry­wa, je­śli wy­pa­da resz­ka. Ten, kto pierw­szy wy­gra 3 run­dy, zgar­nia pulę w wy­so­ko­ści 64 fran­ków. Przy wy­ni­ku 2 orły dla Je­ana i 1 resz­ka dla Ja­cqu­es’a gra musi zo­stać na­gle prze­rwa­na. Jak w ta­kim wy­pad­ku naj­spra­wie­dli­wiej po­dzie­lić pulę? We­dług jed­nej z od­po­wie­dzi Jean po­wi­nien wziąć całą pulę, po­nie­waż pro­wa­dzi – ale nie uwzględ­nia to fak­tu, że Ja­cqu­es nadal ma szan­se na wy­gra­ną. Inna od­po­wiedź jest taka, że Jean po­wi­nien wziąć 2 razy wię­cej niż Ja­cqu­es, ale to rów­nież nie jest spra­wie­dli­we, po­nie­waż re­zul­tat 2 : 1 od­zwier­cie­dla zda­rze­nia prze­szłe. Nie wy­ni­ka z nie­go, co mo­gło­by zda­rzyć się w przy­szło­ści. Jean nie jest lep­szy od Ja­cqu­es’a w rzu­ca­niu mo­ne­ta­mi. Przy każ­dym rzu­cie mo­ne­tą praw­do­po­do­bień­stwo wy­rzu­ce­nia orła lub resz­ki wy­no­si 50 : 50. Naj­lep­szym i naj­bar­dziej spra­wie­dli­wym roz­wią­za­niem jest roz­wa­że­nie, co mo­gło­by zda­rzyć się w przy­szło­ści. Je­śli mo­ne­tą rzu­ci się jesz­cze 2 razy, moż­li­we są na­stę­pu­ją­ce wy­ni­ki:

orzeł, orzeł

orzeł, resz­ka

resz­ka, orzeł

resz­ka, resz­ka

Po tych 2 rzu­tach gra zo­sta­nie roz­strzy­gnię­ta. W pierw­szych 3 przy­pad­kach wy­gry­wa Jean, a w 4. Ja­cqu­es. Naj­bar­dziej spra­wie­dli­wy po­dział puli to dla Je­ana i dla Ja­cqu­es’a, czy­li roz­dzie­le­nie pie­nię­dzy w sto­sun­ku 48 fran­ków do 16. Dzi­siaj wy­da­je się nam to dość pro­ste, ale w XVII wie­ku po­mysł ma­te­ma­tycz­ne­go uj­mo­wa­nia zda­rzeń lo­so­wych, któ­re jesz­cze nie za­szły, sta­no­wił do­nio­sły prze­łom. Kon­cep­cja ta leży u pod­staw na­uko­we­go ro­zu­mie­nia współ­cze­sne­go świa­ta, od fi­zy­ki i fi­nan­sów do me­dy­cy­ny i ba­dań ryn­ko­wych.

Kil­ka mie­się­cy po pierw­szym li­ście do Fer­ma­ta na te­mat py­tań ha­zar­dzi­sty Pas­cal do­świad­czył tak sil­ne­go prze­ży­cia re­li­gij­ne­go, że re­la­cję ze swo­jej wi­zji spi­sał na kart­ce, któ­rą do koń­ca ży­cia no­sił w spe­cjal­nej kie­szon­ce wszy­tej w pod­szew­kę ma­ry­nar­ki. Być może przy­czy­ną był nie­omal tra­gicz­ny wy­pa­dek, w któ­rym jego po­wóz za­wisł na kra­wę­dzi mo­stu po tym, jak ko­nie prze­sko­czy­ły ba­lu­stra­dę, a może była to re­ak­cja mo­ral­na na de­ka­den­cję sto­li­ków ko­ścia­nych w przed­re­wo­lu­cyj­nej Fran­cji – tak czy owak, Pas­cal zwią­zał się sil­niej z jan­se­ni­zmem, or­to­dok­syj­nym odła­mem ka­to­li­cy­zmu, i po­rzu­cił ma­te­ma­ty­kę na rzecz teo­lo­gii i fi­lo­zo­fii.

Nie po­tra­fił jed­nak prze­stać my­śleć w spo­sób ma­te­ma­tycz­ny. Jego naj­słyn­niej­szy wkład w fi­lo­zo­fię – ar­gu­ment roz­strzy­ga­ją­cy, czy na­le­ży wie­rzyć w Boga – był kon­ty­nu­acją no­we­go po­dej­ścia do ana­li­zy praw­do­po­do­bień­stwa, któ­re oma­wiał wcze­śniej z Fer­ma­tem.

War­tość ocze­ki­wa­na to w upro­sze­niu to, cze­go moż­na ocze­ki­wać w efek­cie za­kła­du. Ja­kiej wy­gra­nej mógł­by spo­dzie­wać się ka­wa­ler de Méré, sta­wia­jąc 10 fun­tów na tra­fie­nie szóst­ki w rzu­cie 4 kost­ka­mi? Wy­obraź­my so­bie, że ka­wa­ler wy­gry­wa 10 fun­tów, je­śli wy­pad­nie szóst­ka, a prze­gry­wa wszyst­ko, je­śli nie wy­pad­nie szóst­ka. Wie­my, że szan­se wy­gra­nia tego za­kła­du wy­no­szą 0,518. Za­tem w nie­co po­nad po­ło­wie razy wy­gry­wa 10 fun­tów, a w nie­co mniej niż po­ło­wie razy prze­gry­wa 10 fun­tów. War­tość ocze­ki­wa­ną ob­li­cza się w ten spo­sób, że mno­ży się praw­do­po­do­bień­stwo każ­de­go wy­ni­ku przez war­tość tego wy­ni­ku, a po­tem su­mu­je ilo­czy­ny. W tym wy­pad­ku moż­na spo­dzie­wać się wy­gra­nej:

(praw­do­po­do­bień­stwo wy­gra­nia 10 fun­tów) · 10 fun­tów + (praw­do­po­do­bień­stwo prze­gra­nia 10 fun­tów) · (–10 fun­tów)

czy­li

0,518 · 10 fun­tów + 0,482 · (–10 fun­tów) = 5,18 fun­tów – 4,82 fun­tów = 36 pen­sów

(W tym rów­na­niu pie­nią­dze wy­gra­ne są licz­bą do­dat­nią, a pie­nią­dze prze­gra­ne licz­bą ujem­ną). W żad­nym po­je­dyn­czym za­kła­dzie de Méré nie wy­gra rzecz ja­sna 36 pen­sów – albo wy­gra 10 fun­tów, albo stra­ci 10 fun­tów. War­tość 36 pen­sów jest teo­re­tycz­na, ale je­śli bę­dzie da­lej ob­sta­wiać, jego wy­gra­ne będą zbli­żać się do prze­cięt­nej war­to­ści 36 pen­sów na za­kład.

Pas­cal był jed­nym z pierw­szych my­śli­cie­li, któ­rzy wy­ko­rzy­sty­wa­li po­ję­cie war­to­ści ocze­ki­wa­nej. Umysł fi­lo­zo­fa zaj­mo­wa­ły jed­nak spra­wy o wie­le wznio­ślej­sze niż zy­ski fi­nan­so­we z gry w ko­ści.

Wy­obraź­my so­bie, pi­sał Pas­cal, że ob­sta­wia­my ist­nie­nie Boga. We­dług Pas­ca­la war­tość ocze­ki­wa­ną ta­kie­go za­kła­du moż­na ob­li­czyć za po­mo­cą na­stę­pu­ją­ce­go rów­na­nia:

(praw­do­po­do­bień­stwo ist­nie­nia Boga) · (co wy­gry­wasz, je­śli ist­nie­je) + (praw­do­po­do­bień­stwo nie­ist­nie­nia Boga) · (co wy­gry­wasz, je­śli nie ist­nie­je)

Po­wiedz­my, że szan­se na ist­nie­nie Boga wy­no­szą 50 : 50, czy­li że praw­do­po­do­bień­stwo ist­nie­nia Boga wy­no­si . Je­śli wie­rzysz w Boga, to cze­go mo­żesz ocze­ki­wać po tym za­kła­dzie? Wzór przy­bie­ra po­stać:

( · szczę­ście wiecz­ne) + ( · nic) = szczę­ście wiecz­ne

In­a­czej mó­wiąc, ob­sta­wie­nie ist­nie­nia Boga jest bar­dzo do­brym za­kła­dem ze wzglę­du na tak fan­ta­stycz­ną na­gro­dę. Z aryt­me­ty­ki wy­ni­ka, że po­ło­wa ni­cze­go to nic, ale po­ło­wa cze­goś nie­skoń­czo­ne­go rów­nież jest nie­skoń­czo­na. Je­śli szan­se na ist­nie­nie Boga są za­le­d­wie jak 1 : 100, wzór wy­glą­da ana­lo­gicz­nie:

( · szczę­ście wiecz­ne) + ( · nic) = szczę­ście wiecz­ne

Ko­rzy­ści z wia­ry w ist­nie­nie Boga są tu rów­nie fe­no­me­nal­ne, po­nie­waż jed­na set­na cze­goś nie­skoń­czo­ne­go da­lej jest czymś nie­skoń­czo­nym. Stąd wnio­sek, że jak­kol­wiek mi­ni­mal­ne by było praw­do­po­do­bień­stwo ist­nie­nia Boga, je­śli tyl­ko nie rów­na się 0, to wie­rzą­ce­mu w Boga taki za­kład za­wsze przy­nie­sie nie­skoń­czo­ny zysk. Prze­szli­śmy za­wi­łą dro­gę, by dojść do na­der oczy­wi­ste­go wnio­sku. Ja­sne, że chrze­ści­ja­nie po­sta­wią na ist­nie­nie Boga.

Pas­ca­la bar­dziej zaj­mo­wa­ła kwe­stia, co zda­rzy się, je­śli ktoś nie wie­rzy w Boga. Czy w ta­kim wy­pad­ku ob­sta­wia­nie ist­nie­nia lub nie­ist­nie­nia Boga jest do­brym za­kła­dem? Je­śli przyj­mie­my, że praw­do­po­do­bień­stwo, iż Boga nie ma, wy­no­si 50 : 50, to rów­na­nie przyj­mu­je po­stać:

( · wiecz­ne po­tę­pie­nie) + ( · nic) = wiecz­ne po­tę­pie­nie

War­to­ścią ocze­ki­wa­ną sta­je się wiecz­ność w pie­kle, co wy­glą­da na fa­tal­ny za­kład. Choć­by praw­do­po­do­bień­stwo ist­nie­nia Boga wy­no­si­ło tyl­ko jed­ną set­ną, to dla nie­wie­rzą­cych rów­na­nie jest da­lej tak samo nie­we­so­łe. Je­śli w ogó­le ist­nie­je ja­kie­kol­wiek praw­do­po­do­bień­stwo ist­nie­nia Boga, to ocze­ki­wa­na war­tość za­kła­du jest nie­skoń­cze­nie mar­na dla nie­wie­rzą­ce­go.

Po­wyż­szy ar­gu­ment na­zy­wa­ny jest za­kła­dem Pas­ca­la. Moż­na go pod­su­mo­wać w na­stę­pu­ją­cy spo­sób: je­śli jest choć­by naj­mniej­sze praw­do­po­do­bień­stwo, że Bóg ist­nie­je, to zde­cy­do­wa­nie war­to w Nie­go wie­rzyć. Je­śli bo­wiem Boga nie ma, nie­wie­rzą­cy nie ma nic do stra­ce­nia, ale je­śli jed­nak Bóg jest, nie­wie­rzą­cy ma wszyst­ko do stra­ce­nia. Spra­wa jest ja­sna. Bądź chrze­ści­ja­ni­nem, mo­żesz tyl­ko zy­skać.

Po do­kład­niej­szej ana­li­zie oka­zu­je się jed­nak, że ar­gu­men­ta­cja Pas­ca­la nie dzia­ła. Pas­cal bie­rze pod uwa­gę je­dy­nie opcję wia­ry w chrze­ści­jań­skie­go Boga. A co z bo­ga­mi in­nych re­li­gii, na­wet tymi zmy­ślo­ny­mi? Wy­obraź­my so­bie, że o tym, czy po śmier­ci pój­dzie­my do nie­ba czy pie­kła, bę­dzie de­cy­do­wać kot z zie­lo­ne­go sera. Nie jest to zbyt praw­do­po­dob­ne, nie­mniej jed­nak jest moż­li­we. Zgod­nie z ar­gu­men­ta­cją Pas­ca­la war­to wie­rzyć, że ów se­ro­wy kot ist­nie­je, co jest rzecz ja­sna ab­sur­dem.

Z za­kła­dem Pas­ca­la wią­żą się też inne pro­ble­my, bar­dziej po­ucza­ją­ce dla ma­te­ma­ty­ki praw­do­po­do­bień­stwa. Moż­na po­wie­dzieć, że szan­se na wy­rzu­ce­nie szóst­ki na ko­st­ce są jak 1 : 6, po­nie­waż wia­do­mo, że na ko­st­ce jest za­zna­czo­na szóst­ka. Aby­śmy mo­gli zro­zu­mieć w uję­ciu ma­te­ma­tycz­nym zda­nie, że szan­se na ist­nie­nie Boga wy­no­szą je­den do iluś tam, musi być moż­li­wy świat, w któ­rym Bóg rze­czy­wi­ście ist­nie­je. In­ny­mi sło­wy, prze­słan­ka ar­gu­men­tu za­kła­da, że gdzieś Bóg ist­nie­je. Ta­kiej prze­słan­ki nie przy­jął­by nie­wie­rzą­cy, a poza tym po­ka­zu­je ona, że ro­zu­mo­wa­nie Pas­ca­la jest z pre­me­dy­ta­cją opar­te na błęd­nym kole.

Mimo po­boż­nych in­ten­cji Pas­ca­la jego dzie­dzic­two na­le­ży bar­dziej do sfe­ry pro­fa­num niż sa­crum. War­tość ocze­ki­wa­na to pod­sta­wo­we po­ję­cie w nie­zwy­kle do­cho­do­wej bran­ży ha­zar­du. Nie­któ­rzy hi­sto­ry­cy przy­pi­su­ją Pas­ca­lo­wi rów­nież wy­na­le­zie­nie ru­let­ki. W każ­dym ra­zie ru­let­ka z pew­no­ścią wy­wo­dzi się z Fran­cji i pod ko­niec XVIII wie­ku była już po­pu­lar­ną atrak­cją w Pa­ry­żu.

Za­sa­dy są na­stę­pu­ją­ce: kul­ka wi­ru­je do­ko­ła ze­wnętrz­nej ob­rę­czy, a kie­dy stra­ci im­pet, wpa­da do we­wnętrz­ne­go koła, któ­re rów­nież się ob­ra­ca. We­wnętrz­ne koło ma 38 prze­gró­dek, po­nu­me­ro­wa­nych od 1 do 36 (na prze­mian czer­wo­ny­mi i czar­ny­mi) plus dwie spe­cjal­ne 0 i 00 (zie­lo­ne). Kul­ka wpa­da do koła i pod­ska­ku­je, by wresz­cie za­trzy­mać się w któ­rejś prze­gród­ce. Gra­cze mogą sta­wiać róż­ne­go ro­dza­ju za­kła­dy. Naj­prost­szy po­le­ga na ob­sta­wie­niu prze­gród­ki, w któ­rej wy­lą­du­je kul­ka. Je­śli tra­fi­my, ka­sy­no wy­pła­ca wy­gra­ną w sto­sun­ku 35 do 1. Za­kład w wy­so­ko­ści 10 fun­tów przy­nie­sie więc wy­gra­ną w wy­so­ko­ści 350 fun­tów (oraz zwrot po­sta­wio­nych 10 fun­tów).

Ru­let­ka to bar­dzo wy­daj­na ma­szyn­ka do za­ra­bia­nia pie­nię­dzy, po­nie­waż każ­dy za­kład w tej grze ma ujem­ną war­tość ocze­ki­wa­ną. In­a­czej mó­wiąc, przy każ­dym ob­sta­wie­niu moż­na spo­dzie­wać się stra­ty pie­nię­dzy. Cza­sa­mi się wy­gry­wa, cza­sa­mi prze­gry­wa, ale na dłuż­szą metę gracz skoń­czy z mniej­szą kwo­tą pie­nię­dzy, niż za­czy­nał. Waż­ne jest za­tem py­ta­nie: jak du­żej stra­ty może ocze­ki­wać? Kie­dy ob­sta­wia się po­je­dyn­czą licz­bę, praw­do­po­do­bień­stwo wy­gra­nej wy­no­si , po­nie­waż jest 38 moż­li­wych wy­ni­ków. Za każ­de 10 fun­tów po­sta­wio­ne na jed­ną licz­bę gracz może spo­dzie­wać się więc na­stę­pu­ją­cej wy­gra­nej:

(praw­do­po­do­bień­stwo tra­fie­nia da­nej licz­by) · (wy­gra­na) + (praw­do­po­do­bień­stwo nie­tra­fie­nia da­nej licz­by) · (wy­gra­na)

czy­li

· 350 fun­tów + · (–10 fun­tów) = –52,6 pen­sa

Zna­czy to, że gracz tra­ci 52,6 pen­sa na każ­de 10 po­sta­wio­nych fun­tów. Praw­do­po­do­bień­stwo po­zo­sta­łych za­kła­dów w ru­let­ce – ob­sta­wia­nia 2 lub wię­cej liczb, ob­sta­wia­nia li­nii, ko­lo­rów bądź ko­lumn – rów­nież daje war­tość ocze­ki­wa­ną w wy­so­ko­ści –52,6 pen­sa, wy­jąw­szy za­kład „pięć nu­me­rów” po­le­ga­ją­cy na ob­sta­wia­niu 0, 00, 1, 2 lub 3, w któ­rym szan­se są jesz­cze mar­niej­sze, a ocze­ki­wa­na stra­ta wy­no­si 78,9 pen­sa.

Mimo kiep­skich szans wy­gra­nej ru­let­ka była – i nadal jest – bar­dzo lu­bia­ną roz­ryw­ką. Dla wie­lu lu­dzi 52,6 pen­sa sta­no­wi go­dzi­wą cenę za dresz­czyk zwią­za­ny z moż­li­wo­ścią wy­gra­nia 350 fun­tów. W XIX wie­ku było już tyle ka­syn, że w wal­ce o klien­ta za­czę­to pro­du­ko­wać koło bez 00, dzię­ki cze­mu szan­se na tra­fie­nie po­je­dyn­czej licz­by wzro­sły do , a ocze­ki­wa­na stra­ta zmniej­szy­ła się do 27 pen­sów przy dzie­się­cio­fun­to­wym za­kła­dzie. W re­zul­ta­cie gracz tra­cił pie­nią­dze mniej wię­cej 2 razy wol­niej. Ka­sy­na eu­ro­pej­skie mają zwy­kle koła z jed­nym 0, na­to­miast w ame­ry­kań­skich, jak nie­gdyś, spo­ty­ka się naj­czę­ściej 0 i 00.

We wszyst­kich grach ka­sy­no­wych za­kła­dy mają ujem­ną war­tość ocze­ki­wa­ną – gra­cze po­win­ni za­tem spo­dzie­wać się, że stra­cą pie­nią­dze. Gdy­by było in­a­czej, ka­sy­na by splaj­to­wa­ły. Zda­rza­ją się jed­nak po­mył­ki. Pew­ne ka­sy­no na stat­ku w Il­li­no­is wpro­wa­dzi­ło kie­dyś pro­mo­cję zmie­nia­ją­cą kwo­tę wy­gra­nej za pe­wien układ kart w blac­kjac­ku, nie zda­jąc so­bie spra­wy, że dzię­ki temu ocze­ki­wa­na war­tość za­kła­du zmie­ni­ła się z ujem­nej na do­dat­nią. Za­miast stra­ty gra­cze mo­gli spo­dzie­wać się wy­gra­nej w wy­so­ko­ści 20 cen­tów za każ­de po­sta­wio­ne 10 do­la­rów. Po­dob­no ka­sy­no stra­ci­ło 200 000 do­la­rów w cią­gu 1 dnia.

Naj­lep­szy in­te­res w ka­sy­nie moż­na zro­bić przy sto­li­ku do crap­sa. Gra na­ro­dzi­ła się z fran­cu­skiej od­mia­ny an­giel­skiej gry w ko­ści. Rzu­ca się 2 kost­ka­mi, a wy­nik za­le­ży od wy­rzu­co­nych liczb oraz ich sumy. W crap­sie szan­se wy­gra­nej wy­no­szą 244 do 495 moż­li­wych wy­ni­ków, czy­li 49,2929 pro­cent, a za­tem ocze­ki­wa­na stra­ta wy­no­si za­le­d­wie 14,1 pen­sa na 10 po­sta­wio­nych fun­tów.

O tej grze war­to wspo­mnieć rów­nież z uwa­gi na moż­li­wość po­sta­wie­nia in­te­re­su­ją­ce­go za­kła­du bocz­ne­go, któ­ry moż­na wnieść ra­zem z ka­sy­nem – to zna­czy prze­ciw­ko gra­czo­wi rzu­ca­ją­ce­mu kost­ka­mi. Ob­sta­wia­ją­cy za­kład bocz­ny wy­gry­wa, kie­dy głów­ny ob­sta­wia­ją­cy prze­gry­wa, i na od­wrót, gracz bocz­ny prze­gry­wa, kie­dy głów­ny gracz wy­gry­wa. Po­nie­waż gracz głów­ny prze­gry­wa śred­nio 14,1 pen­sa na 10 po­sta­wio­nych fun­tów, gracz bocz­ny może za­ro­bić śred­nio 14,1 pen­sa na 10 po­sta­wio­nych fun­tów. Ale ten zgrab­ny wy­nik w za­kła­dach bocz­nych unie­moż­li­wia pew­na do­dat­ko­wa za­sa­da. Otóż je­śli gracz głów­ny wy­rzu­ci parę szó­stek w pierw­szym rzu­cie (co ozna­cza, że prze­gry­wa), gracz bocz­ny nie wy­gry­wa, lecz do­sta­je je­dy­nie zwrot pie­nię­dzy. Wy­glą­da to na bar­dzo nie­znacz­ną zmia­nę. Szan­se na wy­rzu­ce­nie po­dwój­nej szóst­ki wy­no­szą za­le­d­wie 1 : 36. Ale mniej­sze o praw­do­po­do­bień­stwo wy­gra­nej ob­ni­ża war­tość ocze­ki­wa­ną o 27,8 pen­sa na 10 po­sta­wio­nych fun­tów, co prze­no­si war­tość ocze­ki­wa­ną za­kła­du na stro­nę ujem­ną. Za­miast tak jak ka­sy­no wy­grać 14,1 pen­sa na 10 po­sta­wio­nych fun­tów, gracz bocz­ny wy­gra 14,1 pen­sa mi­nus 27,8 pen­sa na za­kład, co wy­no­si –13,7 pen­sa, czy­li jest stra­tą 13,7 pen­sa. Za­kład bocz­ny rze­czy­wi­ście sta­no­wi lep­szy in­te­res, ale róż­ni­ca jest mi­ni­mal­na: 0,4 pen­sa na 10 fun­tów.

Na stra­tę ocze­ki­wa­ną moż­na spoj­rzeć rów­nież w ka­te­go­riach współ­czyn­ni­ka wy­płat. Je­śli po­sta­wi­my 10 fun­tów w crap­sie, mo­że­my spo­dzie­wać się, że otrzy­ma­my oko­ło 9,86 fun­ta z po­wro­tem. In­ny­mi sło­wy, gra craps ma współ­czyn­nik wy­płat w wy­so­ko­ści 98,6 pro­cent. Eu­ro­pej­ska ru­let­ka ma współ­czyn­nik wy­płat 97,3 pro­cent, a ame­ry­kań­ska 94,7 pro­cent. Może wy­da­wać się to nie­ko­rzyst­ne dla gra­czy, ale i tak jest lep­sze niż w au­to­ma­tach do gier.

W 1893 roku ga­ze­ta „San Fran­ci­sco Chro­nic­le” in­for­mo­wa­ła czy­tel­ni­ków, że w mie­ście jest 1500 „ma­szyn na pię­cio­cen­tów­ki, któ­re przy­no­szą ol­brzy­mie zy­ski. […] Przy­by­wa­ją jak grzy­by po desz­czu, po­ja­wi­ły się w cią­gu le­d­wie kil­ku mie­się­cy”. Było wie­le ro­dza­jów ma­szyn, ale do­pie­ro na prze­ło­mie wie­ków, kie­dy nie­miec­ki imi­grant Char­les Fey wpadł na po­mysł 3 ob­ra­ca­ją­cych się ro­lek, na­ro­dził się współ­cze­sny au­to­mat do gier. Na rol­kach jego au­to­ma­tu Li­ber­ty Bell wid­nia­ły ob­raz­ki z pod­ko­wą, gwiaz­dą, ser­cem, karo, pi­kiem oraz pęk­nię­tym Dzwo­nem Wol­no­ści (ang. Li­ber­ty Bell) z Fi­la­del­fii. Róż­nym kom­bi­na­cjom sym­bo­li od­po­wia­da­ły róż­ne wy­pła­ty, naj­wyż­sza staw­ka przy­pi­sa­na była 3 dzwo­nom. Z au­to­ma­tem łą­czył się do­dat­ko­wy ele­ment na­pię­cia, ja­kie­go nie mia­ły ma­szy­ny kon­ku­ren­cji, po­nie­waż ob­ra­ca­ją­ce się koła za­trzy­my­wa­ły się jed­no po dru­gim. Po­mysł zo­stał sko­pio­wa­ny przez inne fir­my, któ­re upo­wszech­ni­ły go poza San Fran­ci­sco, i już w la­tach 30. au­to­ma­ty z 3 rol­ka­mi sta­ły się czę­ścią ame­ry­kań­skie­go kra­jo­bra­zu spo­łecz­ne­go. Jed­na z pierw­szych ma­szyn, aby obejść prze­pi­sy do­ty­czą­ce gier ha­zar­do­wych, wy­pła­ca­ła owo­co­wą gumę do żu­cia. W ten spo­sób po­ja­wi­ły się kla­sycz­ne sym­bo­le ar­bu­za oraz wi­śni, i stąd też w Wiel­kiej Bry­ta­nii au­to­ma­ty do gier na­zy­wa­ne są fru­it ma­chi­nes (owo­ców­ka­mi).

Au­to­mat Li­ber­ty Bell Char­le­sa Feya o wy­mia­rach kasy skle­po­wej od­niósł na­tych­mia­sto­wy suk­ces – pierw­sze eg­zem­pla­rze wy­pro­du­ko­wa­no pod ko­niec XIX wie­ku.

Współ­czyn­nik wy­płat Li­ber­ty Bell wy­no­sił prze­cięt­nie 75 pro­cent, ale dzi­siaj au­to­ma­ty są bar­dziej szczo­dre niż kie­dyś.

– Prak­tycz­na za­sa­da jest taka, że w przy­pad­ku [au­to­ma­tów] do­la­ro­wych [współ­czyn­nik wy­płat] naj­czę­ściej usta­wia się na 95 pro­cent – po­wie­dział An­tho­ny Ba­er­lo­cher, dy­rek­tor do spraw pro­jek­to­wa­nia gier w fir­mie In­ter­na­tio­nal Game Tech­no­lo­gy (IGT), z któ­rej po­cho­dzi 60 pro­cent z mniej wię­cej mi­lio­na ak­tyw­nych au­to­ma­tów do gier na ca­łym świe­cie, ma­jąc na my­śli au­to­ma­ty, w któ­rych sta­wia się kwo­ty li­czo­ne w do­la­rach. – W przy­pad­ku pię­cio­cen­tó­wek jest to oko­ło 90 pro­cent, 92 pro­cent w przy­pad­ku ćwierć­do­la­ró­wek, a je­śli przyj­mu­ją cen­ty, to współ­czyn­nik może spaść do 88 pro­cent.

Tech­ni­ka kom­pu­te­ro­wa umoż­li­wia au­to­ma­tom przyj­mo­wa­nie za­kła­dów w róż­nych no­mi­na­łach, więc ta sama ma­szy­na może mieć róż­ne współ­czyn­ni­ki wy­płat w za­leż­no­ści od kwo­ty za­kła­du. Za­py­ta­łem Ba­er­lo­che­ra, czy ist­nie­je gra­ni­ca, po­ni­żej któ­rej gra­cze prze­sta­ją ko­rzy­stać z au­to­ma­tu z po­wo­du zbyt du­żych prze­gra­nych.

– Je­stem prze­ko­na­ny, że kie­dy za­czy­na­my scho­dzić po­ni­żej oko­ło 85 pro­cent, nie­zwy­kle trud­no za­pro­jek­to­wać grę, w któ­rą się faj­nie gra. Trze­ba mieć na­praw­dę dużo szczę­ścia. Za mało jest po pro­stu pie­nię­dzy do od­da­nia gra­czo­wi, by gra była eks­cy­tu­ją­ca. Cał­kiem nie­źle ra­dzi­my so­bie przy 87,5 pro­cent, 88 pro­cen­tach. A kie­dy wcho­dzi­my na 95, 97 pro­cent, gry po­tra­fią być bar­dzo emo­cjo­nu­ją­ce.

Z Ba­er­lo­che­rem spo­tka­łem się w cen­tra­li IGT w Reno, 20 mi­nut jaz­dy sa­mo­cho­dem od ka­sy­na Pep­per­mill. Opro­wa­dził mnie po li­nii pro­duk­cyj­nej, gdzie każ­de­go roku po­wsta­ją dzie­siąt­ki ty­się­cy au­to­ma­tów do gier, oraz po ma­ga­zy­nach, gdzie sta­ran­nie usta­wio­ne w rzę­dy sta­ły set­ki go­to­wych ma­szyn. Ba­er­lo­cher był gład­ko ogo­lo­ny i ele­ganc­ki, miał krót­kie ciem­ne wło­sy i do­łe­czek na pod­bród­ku. Po­cho­dzi z Car­son City od­da­lo­ne­go o pół go­dzi­ny dro­gi sa­mo­cho­dem, a w IGT za­czął pra­co­wać po stu­diach ma­te­ma­tycz­nych na Uni­ver­si­ty of No­tre Dame w In­dia­nie. Dla ko­goś, kto jako dziec­ko uwiel­biał wy­my­ślać gry, a na uczel­ni od­krył w so­bie ta­lent do praw­do­po­do­bień­stwa, była to wprost wy­ma­rzo­na pra­ca.

Kie­dy pi­sa­łem, że pod­sta­wo­wym po­ję­ciem w ha­zar­dzie jest war­tość ocze­ki­wa­na, nie wspo­mnia­łem o czymś, co ma­te­ma­ty­cy na­zy­wa­ją pra­wem wiel­kich liczb. Je­śli za­grasz w ru­let­kę lub na au­to­ma­tach tyl­ko parę razy, mo­żesz wyjść na swo­je. Im wię­cej jed­nak bę­dziesz grać, tym więk­sze praw­do­po­do­bień­stwo, że stra­cisz. Na dłuż­szą metę współ­czyn­ni­ki wy­płat są, nie­ste­ty, nie­ubła­ga­ne.

Pra­wo wiel­kich liczb mówi, że je­śli rzu­ci się mo­ne­tą 3 razy, może w ogó­le nie wy­paść orzeł, ale je­śli rzu­ci się 3 mi­liar­dy razy, moż­na być cał­kiem pew­nym, że orzeł wy­pad­nie z dużą do­kład­no­ścią w po­ło­wie rzu­tów. Pod­czas dru­giej woj­ny świa­to­wej ma­te­ma­tyk John Ker­rich wy­brał się w od­wie­dzi­ny do Da­nii, gdzie zo­stał aresz­to­wa­ny i in­ter­no­wa­ny przez Niem­ców. Ma­jąc dużo wol­ne­go cza­su, po­sta­no­wił prze­te­sto­wać pra­wo wiel­kich liczb i rzu­cił mo­ne­tą 10 000 razy w wię­zien­nej celi. Wy­nik: 5067 or­łów, czy­li 50,67 pro­cent ogól­nej licz­by rzu­tów. Oko­ło 1900 roku sta­ty­styk Karl Pe­ar­son zro­bił to samo 24 000 razy. Przy znacz­nie więk­szej licz­bie prób na­le­ża­ło­by się spo­dzie­wać się, że ów od­se­tek bę­dzie bliż­szy 50 pro­cen­tom – i był. Pe­ar­son wy­rzu­cił 12 012 or­łów, czy­li 50,05 pro­cent.

Wspo­mnia­ne wy­ni­ki zda­ją się po­twier­dzać to, co uwa­ża­my za rzecz oczy­wi­stą – że w rzu­cie mo­ne­tą uzy­ska­nie orła jest rów­nie praw­do­po­dob­ne jak uzy­ska­nie resz­ki. Ostat­nio jed­nak ze­spół z Uni­wer­sy­te­tu Stan­for­da pod kie­row­nic­twem sta­ty­sty­ka Per­sie­go Dia­co­ni­sa zba­dał, czy wy­rzu­ce­nie orła rze­czy­wi­ście jest rów­nie praw­do­po­dob­ne jak wy­rzu­ce­nie resz­ki. Na­ukow­cy zbu­do­wa­li ma­szy­nę do rzu­ca­nia mo­ne­tą i fo­to­gra­fo­wa­li w zwol­nio­nym tem­pie wi­ru­ją­ce w po­wie­trzu mo­ne­ty. Po żmud­nej ana­li­zie, uwzględ­nia­ją­cej sza­cun­ko­we wy­li­cze­nia, że w jed­nym na mniej wię­cej 6000 rzu­tów pię­cio­cen­tów­ka lą­du­je na kra­wę­dzi, wy­da­wa­ło się, że eks­pe­ry­ment Dia­co­ni­sa przy­niósł fa­scy­nu­ją­cy i za­ska­ku­ją­cy wy­nik, że w oko­ło 51 pro­cent przy­pad­ków mo­ne­ta w rze­czy­wi­sto­ści lą­du­je tą samą stro­ną, jaką zo­sta­ła wy­rzu­co­na. Je­śli więc mo­ne­tę rzu­cać się bę­dzie or­łem do góry, to orzeł bę­dzie wy­pa­dać nie­co czę­ściej niż resz­ka. Dia­co­nis do­szedł jed­nak do wnio­sku, że jego ba­da­nia do­wio­dły w isto­cie, jak trud­no ba­dać zja­wi­ska lo­so­we i że „w rzu­cie mo­ne­tą kla­sycz­ne za­ło­że­nia nie­za­leż­no­ści przy praw­do­po­do­bień­stwie są dość so­lid­ne”.

Ka­sy­na wiel­ki­mi licz­ba­mi sto­ją. Jak wy­ja­śnił Ba­er­lo­cher:

– Za­miast jed­ne­go au­to­ma­tu [ka­sy­na] chcą mieć ich ty­sią­ce, po­nie­waż wie­dzą, że je­śli pój­dą w ilość, to choć­by jed­na ma­szy­na była, jak to mó­wi­my, „do góry no­ga­mi”, czy­li prze­gry­wa­ła, gru­pa jako ca­łość z bar­dzo du­żym praw­do­po­do­bień­stwem za­pew­ni im wy­nik do­dat­ni.

Au­to­ma­ty IGT są tak za­pro­jek­to­wa­ne, by współ­czyn­nik wy­płat był osią­ga­ny z pół­pro­cen­to­wym mar­gi­ne­sem błę­du po 10 mi­lio­nach gier. W Pep­per­mill, gdzie za­trzy­ma­łem się pod­czas wi­zy­ty w Reno, na każ­dym au­to­ma­cie od­by­wa się oko­ło 2000 gier dzien­nie. Przy pra­wie 2000 urzą­dzeń w ka­sy­nie daje to czte­ry mi­lio­ny gier dzien­nie. Po 2,5 dnia ka­sy­no Pep­per­mill może być nie­mal pew­ne, że osią­gnie swój współ­czyn­nik wy­płat z do­kład­no­ścią do 0,5 pro­cent. Je­śli prze­cięt­ny za­kład wy­no­si do­la­ra, a współ­czyn­nik usta­wio­no na 95 pro­cent, daje to 500 000 do­la­rów zy­sku plus mi­nus 50 000 co 60 go­dzin. Nic dziw­ne­go, że au­to­ma­ty cie­szą się co­raz więk­szą przy­chyl­no­ścią ka­syn.

Za­sa­dy ru­let­ki i gry w ko­ści nie zmie­ni­ły się od mo­men­tu wy­na­le­zie­nia tych gier przed kil­ku­set laty. Na­to­miast urok pra­cy Ba­er­lo­che­ra po­le­ga na tym, że wy­my­śla nowe ze­sta­wy praw­do­po­do­bieństw dla każ­de­go no­we­go au­to­ma­tu, jaki IGT wpro­wa­dza na ry­nek. Naj­pierw de­cy­du­je, ja­kie sym­bo­le umie­ścić na rol­kach. Tra­dy­cyj­nie były to wi­śnie, cy­fra sie­dem i sło­wo „bar” na ko­lo­ro­wym pa­sku, ale dzi­siaj rów­nie do­brze mogą to być po­sta­cie z kre­skó­wek, ma­la­rze re­ne­san­su lub zwie­rzę­ta. Po­tem usta­la, jak czę­sto sym­bo­le te mają wy­stę­po­wać na rol­ce, ja­kie kom­bi­na­cje skut­ku­ją wy­gra­ną i ile au­to­mat ma wy­pła­cać za zwy­cię­ską kom­bi­na­cję.

Ba­er­lo­cher roz­ry­so­wał dla mnie pro­stą grę A po­ka­za­ną obok, w któ­rej są 3 rol­ki po 82 po­zy­cje obej­mu­ją­ce wi­śnie, pa­ski z na­pi­sem „bar”, czer­wo­ne sió­dem­ki, pa­ski z na­pi­sem „jack­pot” (głów­na wy­gra­na) i pu­ste pola. Z ta­be­li wy­ni­ka, że szan­se tra­fie­nia wi­śni na pierw­szej rol­ce wy­no­szą , czy­li 10,976 pro­cent, a kie­dy to na­stą­pi, za 1 do­la­ra otrzy­mu­je się 4 do­la­ry wy­pła­ty. Praw­do­po­do­bień­stwo zwy­cię­skiej kom­bi­na­cji po­mno­żo­ne przez wy­pła­tę na­zy­wa się wkła­dem ocze­ki­wa­nym. Wkład ocze­ki­wa­ny kom­bi­na­cji wi­śnia–coś–coś wy­no­si 4 · 10,967 = 43,902 pro­cent. In­ny­mi sło­wy, za każ­de­go do­la­ra wło­żo­ne­go do au­to­ma­tu wy­pła­ca się 43,902 cen­ta przy kom­bi­na­cji wi­śnia–coś–coś. Pod­czas pro­jek­to­wa­nia gier Ba­er­lo­cher musi za­dbać, by suma wkła­dów ocze­ki­wa­nych dla wszyst­kich wy­płat rów­na­ła się po­żą­da­ne­mu współ­czyn­ni­ko­wi wy­płat ca­łej ma­szy­ny.

Ela­stycz­ność w pro­jek­to­wa­niu au­to­ma­tów po­le­ga na tym, że zmie­nia­jąc sym­bo­le, zwy­cię­skie kom­bi­na­cje i wy­pła­ty, moż­na two­rzyć bar­dzo róż­ne gry. Gra A to „wi­sien­ko­wy ska­py­wacz” (ang. cher­ry drib­bler) – au­to­mat, któ­ry wy­pła­ca wy­gra­ne czę­sto, ale w ma­łych kwo­tach. Po­nad po­ło­wa wszyst­kich wy­pła­ca­nych pie­nię­dzy przy­pa­da na wy­gra­ne w wy­so­ko­ści za­le­d­wie 4 do­la­rów. Na­to­miast w grze B tyl­ko jed­na trze­cia wy­gra­nych to kwo­ty czte­ro­do­la­ro­we, dzię­ki cze­mu zo­sta­je o wie­le wię­cej pie­nię­dzy na wy­pła­tę więk­szych głów­nych wy­gra­nych. Gra A to gra o ni­skiej zmien­no­ści, gra B zaś ce­chu­je się wy­so­ką zmien­no­ścią – rza­dziej tra­fia się zwy­cię­ską kom­bi­na­cję, ale ro­sną szan­se na wiel­ką wy­gra­ną. Im więk­sza zmien­ność, tym więk­sze ry­zy­ko krót­ko­ter­mi­no­we po stro­nie ope­ra­to­ra au­to­ma­tu.

Nie­któ­rzy gra­cze wolą au­to­ma­ty o ni­skiej zmien­no­ści, inni z ko­lei pre­fe­ru­ją wy­so­ką. Głów­nym za­da­niem pro­jek­tan­ta gry jest za­dba­nie o to, by au­to­mat wy­pła­cał gra­ją­ce­mu tyl­ko tyle, by chciał on kon­ty­nu­ować grę – po­nie­waż im wię­cej ktoś gra, tym wię­cej prze­cięt­nie prze­gra. Wy­so­ka zmien­ność za­pew­nia wię­cej emo­cji, zwłasz­cza w ka­sy­nie, gdzie roz­bi­ciu ban­ku to­wa­rzy­szy efek­tow­ne i przej­mu­ją­ce wi­do­wi­sko typu świa­tło i dźwięk. Za­pro­jek­to­wa­nie do­brej gry nie jest jed­nak wy­łącz­nie kwe­stią wy­ra­fi­no­wa­nej gra­fi­ki, ży­wych brzmień i wcią­ga­ją­cych opo­wie­ści wi­deo – obej­mu­je rów­nież pre­cy­zyj­ne usta­le­nie ukry­tych praw­do­po­do­bieństw. Za­py­ta­łem Ba­er­lo­che­ra, czy ma­ni­pu­lu­jąc zmien­no­ścią, moż­na za­pro­jek­to­wać urzą­dze­nie o ni­skich wy­pła­tach, któ­re by­ło­by dla gra­czy bar­dziej atrak­cyj­ne od ma­szy­ny o wyż­szych wy­pła­tach.

– Ra­zem z ko­le­gą przez po­nad rok roz­ry­so­wy­wa­li­śmy ele­men­ty i za­pi­sy­wa­li­śmy rów­na­nia i uda­ło się nam opra­co­wać me­to­dę ukry­wa­nia praw­dzi­we­go współ­czyn­ni­ka wy­płat – po­wie­dział. – Te­raz do­sta­je­my od ka­syn in­for­ma­cje, że wpro­wa­dzi­ły au­to­ma­ty o niż­szych wy­pła­tach i że gra­cze rze­czy­wi­ście się nie orien­tu­ją. To było wiel­kie wy­zwa­nie.

Za­py­ta­łem, czy nie jest to tro­chę nie­etycz­ne.

– To jest po pro­stu ko­niecz­ne – od­parł. – Chce­my, żeby gra­cze nadal mie­li fraj­dę, ale mu­si­my dbać o to, by nasi klien­ci za­ra­bia­li.

Ta­be­le wy­płat Ba­er­lo­che­ra po­ma­ga­ją zro­zu­mieć we­wnętrz­ny or­ga­nizm jed­no­rę­kich ban­dy­tów, a przy oka­zji świet­nie ilu­stru­ją me­cha­nizm dzia­ła­nia bran­ży ubez­pie­cze­nio­wej. Ubez­pie­cze­nie ma wie­le wspól­ne­go z grą na au­to­ma­tach. Jed­no i dru­gie jest sys­te­mem opar­tym na teo­rii praw­do­po­do­bień­stwa, w któ­rym prze­gra­ne nie­mal wszyst­kich skła­da­ją się na wy­gra­ne nie­licz­nych. Jed­no i dru­gie może też być nie­sa­mo­wi­cie do­cho­do­wym in­te­re­sem dla tych, któ­rzy kon­tro­lu­ją współ­czyn­ni­ki wy­płat.

Skład­ka ubez­pie­cze­nio­wa nie róż­ni się w isto­cie od za­kła­du. Ob­sta­wiasz praw­do­po­do­bień­stwo, że na­stą­pi wła­ma­nie do two­je­go domu. Je­śli doj­dzie do wła­ma­nia, otrzy­mu­jesz wy­pła­tę, czy­li od­szko­do­wa­nie za skra­dzio­ne rze­czy. Je­śli nie bę­dzie wła­ma­nia, to oczy­wi­ście nic nie do­sta­jesz. Ak­tu­ariusz w fir­mie ubez­pie­cze­nio­wej po­stę­pu­je do­kład­nie tak samo jak An­tho­ny Ba­er­lo­cher w IGT. Wie, ile chce w su­mie od­dać z po­wro­tem klien­tom. Zna praw­do­po­do­bień­stwo każ­de­go zda­rze­nia pod­le­ga­ją­ce­go re­kom­pen­sa­cie (wła­ma­nie, po­żar, po­waż­na cho­ro­ba), więc usta­la, ile po­win­ny wy­no­sić wy­pła­ty za po­szcze­gól­ne zda­rze­nia, by suma wkła­dów ocze­ki­wa­nych rów­na­ła się ogól­nej kwo­cie wy­płat. Spo­rzą­dza­nie ta­bel ubez­pie­cze­nio­wych jest bez po­rów­na­nia bar­dziej skom­pli­ko­wa­ne niż two­rze­nie au­to­ma­tów do gier, ale za­sa­da jest taka sama. Po­nie­waż fir­my ubez­pie­cze­nio­we wy­pła­ca­ją mniej, niż otrzy­mu­ją w skład­kach, ich współ­czyn­nik wy­płat jest niż­szy niż 100 pro­cent. Kup­no po­li­sy ubez­pie­cze­nio­wej to za­kład o ujem­nej war­to­ści ocze­ki­wa­nej, czy­li nie­ko­rzyst­ny dla klien­ta.

Dla­cze­go więc lu­dzie ko­rzy­sta­ją z ubez­pie­czeń, sko­ro to taki kiep­ski in­te­res? Róż­ni­ca mię­dzy ubez­pie­cze­niem a ha­zar­dem po­le­ga na tym, że w ka­sy­nach sta­wiasz pie­nią­dze, na prze­gra­nie któ­rych mo­żesz (miej­my na­dzie­ję) so­bie po­zwo­lić. Na­to­miast w przy­pad­ku ubez­pie­cze­nia chro­nisz to, na stra­tę cze­go nie mo­żesz so­bie po­zwo­lić. Choć nie­uchron­nie stra­cisz nie­wiel­kie sumy pie­nię­dzy (skład­ka), za­bez­pie­cza cię to przed stra­tą ka­ta­stro­fal­nej kwo­ty (na przy­kład war­to­ści wy­po­sa­że­nia domu). Ubez­pie­cze­nie sta­no­wi do­brą cenę za spo­kój du­cha.

Wy­ni­ka z tego jed­nak, że ubez­pie­cze­nie na wy­pa­dek utra­ty kwo­ty nie­ka­ta­stro­fal­nej mija się z ce­lem. Te­le­fo­ny ko­mór­ko­we, daj­my na to, są sto­sun­ko­wo ta­nie (po­wiedz­my 100 fun­tów), ale ubez­pie­cze­nie od ich utra­ty jest dro­gie (po­wiedz­my 7 fun­tów mie­sięcz­nie). Prze­cięt­nie le­piej wyj­dzie­my, je­śli nie sko­rzy­sta­my z moż­li­wo­ści ubez­pie­cze­nia, a w ra­zie cze­go ku­pi­my nowy apa­rat. W ten spo­sób „ubez­pie­cza­my się” sami, za­trzy­mu­jąc dla sie­bie mar­żę zy­sku fir­my ubez­pie­cze­nio­wej.

Jed­ną z przy­czyn roz­wo­ju ryn­ku au­to­ma­tów do gier w ostat­nim cza­sie jest wpro­wa­dze­nie au­to­ma­tów „pro­gre­syw­nych”, któ­re mają nie­wie­le wspól­ne­go z po­stę­po­wą po­li­ty­ką spo­łecz­ną, za to dużo z ma­rze­niem o bły­ska­wicz­nym wzbo­ga­ce­niu się. Au­to­ma­ty pro­gre­syw­ne mają wyż­sze wy­gra­ne głów­ne niż inne urzą­dze­nia, po­nie­waż po­łą­czo­ne są w sieć, w ra­mach któ­rej każ­dy au­to­mat wno­si pe­wien wkład do wspól­nej na­gro­dy głów­nej, któ­rej war­tość pro­gre­syw­nie ro­śnie. W Pep­per­mill zdu­mia­ły mnie rzę­dy po­łą­czo­nych au­to­ma­tów ofe­ru­ją­cych na­gro­dy w wy­so­ko­ści dzie­sią­tek ty­się­cy do­la­rów.

Au­to­ma­ty pro­gre­syw­ne ce­chu­ją się wy­so­ką zmien­no­ścią, co ozna­cza, że na krót­ką metę ka­sy­na mogą stra­cić znacz­ne sumy.

– Je­śli wpro­wa­dza­my grę z pro­gre­syw­ną na­gro­dą głów­ną, mniej wię­cej 1 na 20 [wła­ści­cie­li ka­syn] pi­sze do nas list, że na­sza gra się ze­psu­ła. Bo tra­fi­ły się 2 lub 3 na­gro­dy głów­ne w pierw­szym ty­go­dniu i au­to­ma­ty są do tyłu o 10 000 do­la­rów – wy­ja­śnił Ba­er­lo­cher, uwa­ża­jąc za pa­ra­dok­sal­ne, że lu­dziom, któ­rzy pró­bu­ją za­ra­biać na praw­do­po­do­bień­stwie, trud­no zro­zu­mieć je na ele­men­tar­nym po­zio­mie. – Prze­pro­wa­dza­my ana­li­zy i wi­dzi­my, że praw­do­po­do­bień­stwo ta­kie­go zda­rze­nia wy­no­si, po­wiedz­my, 200 : 1. Zda­rzy­ły się im [wy­ni­ki], któ­re po­win­ny zda­rzyć się w za­le­d­wie 0,5 pro­cent przy­pad­ków, prze­cież ko­muś musi się to przy­tra­fić. Mó­wi­my im, prze­cze­kaj­cie, to nor­mal­ne.

Naj­po­pu­lar­niej­szy au­to­mat pro­gre­syw­ny fir­my IGT – Me­ga­bucks – łą­czy set­ki urzą­dzeń na te­re­nie Ne­va­dy. Kie­dy 10 lat temu fir­ma wpro­wa­dzi­ła go na ry­nek, mi­ni­mal­na na­gro­da głów­na wy­no­si­ła mi­lion do­la­rów. Po­cząt­ko­wo ka­sy­na nie chcia­ły brać na sie­bie ry­zy­ka wy­pła­ca­nia tak du­żej kwo­ty, więc IGT ubez­pie­czy­ła całą sieć, po­bie­ra­jąc pro­cent od wszyst­kich swo­ich au­to­ma­tów, i sama wy­pła­ca­ła na­gro­dy głów­ne. Mimo wy­pła­ce­nia se­tek mi­lio­nów do­la­rów w wy­gra­nych IGT nig­dy nie po­nio­sła stra­ty na Me­ga­bucks. Pra­wo wiel­kich liczb jest nad­zwy­czaj nie­za­wod­ne: im więk­sza ska­la przed­się­wzię­cia, tym więk­sze po­wo­dze­nie.

Dzi­siaj na­gro­da głów­na w Me­ga­bucks za­czy­na się od 10 mi­lio­nów do­la­rów. Je­śli nikt jej nie wy­gra, nim się­gnie 20 mi­lio­nów, w ka­sy­nach za­czy­na­ją się two­rzyć ko­lej­ki przed au­to­ma­ta­mi, a IGT otrzy­mu­je proś­by o do­star­cze­nie więk­szej licz­by urzą­dzeń.

– Lu­dzie my­ślą, że mi­nął mo­ment, w któ­rym nor­mal­nie pada głów­na wy­gra­na, więc musi paść za chwi­lę – wy­ja­śnił Ba­er­lo­cher.

Ta­kie ro­zu­mo­wa­nie jest jed­nak błęd­ne. Każ­da gra roz­gry­wa­na na au­to­ma­cie jest zda­rze­niem lo­so­wym. Praw­do­po­do­bień­stwo wy­gra­nej jest ta­kie samo, nie­za­leż­nie czy na­gro­da głów­na wy­no­si 10, 20 czy na­wet 100 mi­lio­nów do­la­rów, ale in­tu­icja sil­nie pod­po­wia­da, że po dłu­gim cza­sie po­su­chy praw­do­po­do­bień­stwo wy­pła­ce­nia pie­nię­dzy przez au­to­ma­ty jest więk­sze. Prze­ko­na­nie, że na­gro­da głów­na ma wła­śnie paść, to złu­dze­nie gra­cza – nie­zwy­kle sil­ne ludz­kie pra­gnie­nie, w któ­re au­to­ma­ty do gier wpi­su­ją się ze szcze­gól­ną zja­dli­wo­ścią, co spra­wia, że są bo­daj naj­bar­dziej uza­leż­nia­ją­cy­mi ze wszyst­kich gier w ka­sy­nach. Je­śli ktoś gra wie­le gier jed­na po dru­giej, to cał­kiem na­tu­ral­ne, że po dłu­giej se­rii prze­gra­nych po­my­śli: „Na­stęp­nym ra­zem na pew­no wy­gram”. Ha­zar­dzi­ści czę­sto mó­wią o au­to­ma­cie, że jest „go­rą­cy” lub „zim­ny”, co ma zna­czyć, że od­po­wied­nio wy­pła­ca dużo lub mało. To rów­nież jest nie­do­rzecz­ne, po­nie­waż szan­se za­wsze są ta­kie same. Moż­na jed­nak zro­zu­mieć, skąd bie­rze się skłon­ność do per­so­ni­fi­ko­wa­nia urzą­dze­nia ludz­kie­go wzro­stu z pla­sti­ku i me­ta­lu, czę­sto na­zy­wa­ne­go jed­no­rę­kim ban­dy­tą. Gra na au­to­ma­cie to in­ten­syw­ne i in­tym­ne prze­ży­cie – je­steś bar­dzo bli­sko ma­szy­ny, do­ty­kasz jej pal­ca­mi i od­ci­nasz się od resz­ty świa­ta.

Po­nie­waż mózg czło­wie­ka kiep­sko so­bie ra­dzi z ro­zu­mie­niem lo­so­wo­ści, ra­chu­nek praw­do­po­do­bień­stwa to dział ma­te­ma­ty­ki naj­bar­dziej na­je­żo­ny pa­ra­dok­sa­mi i nie­spo­dzian­ka­mi. In­stynk­tow­nie do­pa­tru­je­my się pra­wi­dło­wo­ści w róż­nych sy­tu­acjach na­wet wów­czas, gdy wie­my, że jej tam nie ma. Oso­ba, któ­ra my­śli, że po złej pas­sie jest więk­sze praw­do­po­do­bień­stwo wy­gra­nia na au­to­ma­cie, może bu­dzić w nas po­li­to­wa­nie, ale psy­cho­lo­gicz­ne złu­dze­nie gra­cza wy­stę­pu­je nie tyl­ko wśród mi­ło­śni­ków ha­zar­du.

Oto przy­kład pew­nej sztucz­ki to­wa­rzy­skiej. Po­proś 2 oso­by i wy­ja­śnij, że jed­na ma rzu­cić mo­ne­tą 30 razy i za­pi­sać ko­lej­ność or­łów i re­szek. Dru­ga ma tyl­ko wy­obra­żać so­bie rzu­ca­nie mo­ne­tą 30 razy i za­pi­sać ko­lej­ność or­łów i re­szek, jaką so­bie wy­obra­zi­ła. Uczest­ni­cy usta­la­ją mię­dzy sobą w ta­jem­ni­cy, ja­kie kto wy­ko­na za­da­nie, a na­stęp­nie po­ka­zu­ją ci 2 li­sty. Po­pro­si­łem o to mamę i oj­czy­ma i otrzy­ma­łem na­stę­pu­ją­ce li­sty:

Li­sta 1

O R R O R O R R R O O R O O R O O O O R O R R O R O R R O O

Li­sta 2

R R O O R R R R R O O R R R O R R O R O O O O R O O R O R O

W tej grze cho­dzi o to, że bar­dzo ła­two roz­po­znać, któ­ra li­sta za­wie­ra wy­ni­ki praw­dzi­wych rzu­tów mo­ne­tą, a któ­ra wy­obra­żo­nych. W po­wyż­szym wy­pad­ku było dla mnie ja­sne, że praw­dzi­wa jest dru­ga li­sta, i mia­łem ra­cję. Naj­pierw przyj­rza­łem się naj­dłuż­szym se­riom or­łów i re­szek. Na dru­giej li­ście mak­sy­mal­na se­ria skła­da się z 5 re­szek. Na pierw­szej naj­dłuż­sza se­ria obej­mu­je 4 orły. Praw­do­po­do­bień­stwo se­rii 5 w 30 rzu­tach wy­no­si pra­wie , więc jest o wie­le bar­dziej praw­do­po­dob­ne, że w 30 rzu­tach mo­ne­ta upad­nie tą samą stro­ną 5 razy z rzę­du, niż że nie upad­nie tak 5 razy. Dru­ga li­sta była już do­brym kan­dy­da­tem na rzu­ca­nie praw­dzi­wą mo­ne­tą. Poza tym wie­dzia­łem, że więk­szość lu­dzi nig­dy nie poda se­rii 5 w 30 rzu­tach, po­nie­waż wy­da­je się to zbyt roz­myśl­ne jak na zda­rze­nie lo­so­we. Żeby się jed­nak upew­nić, że dru­ga li­sta przed­sta­wia rzu­ty praw­dzi­wą mo­ne­tą, spoj­rza­łem, jak czę­sto na obu li­stach wy­stę­po­wa­ła na­prze­mien­ność or­łów i re­szek. Po­nie­waż przy każ­dym rzu­cie mo­ne­tą szan­se na orła i resz­kę są jed­na­ko­we, spo­dzie­wa­li­by­śmy się, że po da­nym wy­ni­ku w po­ło­wie przy­pad­ków bę­dzie na­stę­po­wał inny wy­nik, a w po­ło­wie taki sam. Na dru­giej li­ście wy­nik zmie­nia się 15 razy, na pierw­szej – 19 razy. Świad­czy to in­ge­ren­cji czło­wie­ka, po­nie­waż wy­obra­ża­jąc so­bie rzu­ca­nie mo­ne­tą, ge­ne­ru­je­my wy­ni­ki na­prze­mien­ne zwy­kle o wie­le czę­ściej, niż ma to miej­sce w praw­dzi­wie lo­so­wym cią­gu: po­wtó­rze­nie paru or­łów od­ru­cho­wo re­kom­pen­su­je­my wy­ni­kiem w po­sta­ci resz­ki, choć praw­do­po­do­bień­stwo wy­stą­pie­nia orła cią­gle jest ta­kie samo. Tu­taj wła­śnie po­ja­wia się złu­dze­nie gra­cza. Praw­dzi­wa lo­so­wość nie pa­mię­ta tego, co za­szło wcze­śniej.

Sy­mu­lo­wa­nie lo­so­wo­ści jest dla ludz­kie­go mó­zgu nie­sa­mo­wi­cie trud­ne, o ile w ogó­le moż­li­we. Kie­dy mamy do czy­nie­nia z lo­so­wo­ścią, czę­sto in­ter­pre­tu­je­my ją jako nie­lo­so­wą. Na przy­kład funk­cja mik­so­wa­nia w iPo­dzie od­twa­rza mu­zy­kę w po­rząd­ku lo­so­wym. Ale kie­dy fir­ma Ap­ple wpro­wa­dzi­ła tę funk­cję, klien­ci na­rze­ka­li, że fa­wo­ry­zu­je pew­ne ze­spo­ły, po­nie­waż czę­sto od­twa­rza utwo­ry tego sa­me­go ze­spo­łu je­den po dru­gim. Słu­cha­cze pa­dli ofia­rą złu­dze­nia gra­cza. Je­śli iPod shuf­fle jest rze­czy­wi­ście lo­so­wy, to każ­dy wy­bór no­we­go utwo­ru jest nie­za­leż­ny od po­przed­nie­go. Jak po­ka­zu­je eks­pe­ry­ment z rzu­ca­niem mo­ne­tą, dłu­gie se­rie są wbrew in­tu­icji nor­mą. Je­śli utwo­ry są wy­bie­ra­ne lo­so­wo, to bar­dzo moż­li­we, a na­wet cał­kiem praw­do­po­dob­ne, że po­ja­wiać się będą zbit­ki pio­se­nek tego sa­me­go ar­ty­sty. Pre­zes Ap­ple’a Ste­ve Jobs naj­zu­peł­niej po­waż­nie od­po­wie­dział na gło­sy pro­te­stu: „Zmniej­sza­my lo­so­wość [funk­cji mik­so­wa­nia], by spra­wia­ła wra­że­nie bar­dziej lo­so­wej”.

Dla­cze­go złu­dze­nie gra­cza jest tak sil­nym ludz­kim pra­gnie­niem? Cho­dzi o kon­tro­lę. Lu­bi­my mieć po­czu­cie, że pa­nu­je­my nad swo­im oto­cze­niem. Je­śli zda­rze­nia na­stę­pu­ją w spo­sób lo­so­wy, czu­je­my, że nie mamy nad nimi kon­tro­li. I na od­wrót, je­śli rze­czy­wi­ście pa­nu­je­my nad zda­rze­nia­mi, nie są one przy­pad­ko­we. Dla­te­go wła­śnie wo­li­my do­strze­gać pra­wi­dło­wo­ści tam, gdzie ich nie ma. Pró­bu­je­my oca­lić po­czu­cie kon­tro­li. Ludz­ka po­trze­ba po­sia­da­nia kon­tro­li jest głę­bo­ko za­ko­rze­nio­nym in­stynk­tem prze­trwa­nia. W la­tach 70. XX wie­ku w pew­nym fa­scy­nu­ją­cym (choć okrut­nym) eks­pe­ry­men­cie zba­da­no, jak waż­ne dla pen­sjo­na­riu­szy domu spo­koj­nej sta­ro­ści jest po­czu­cie kon­tro­li. Nie­któ­rym pen­sjo­na­riu­szom po­zwo­lo­no zde­cy­do­wać, jak mają być urzą­dzo­ne ich po­ko­je, i wy­brać ro­śli­nę, któ­rą będą się opie­ko­wać. In­nym za­po­wie­dzia­no, ja­kie będą mie­li po­ko­je, i za nich wy­bra­no i pie­lę­gno­wa­no ro­śli­nę. Wy­ni­ki po 18 mie­sią­cach były ude­rza­ją­ce. Śmier­tel­ność w gru­pie pen­sjo­na­riu­szy, któ­rzy mie­li kon­tro­lę nad swo­imi po­ko­ja­mi, wy­nio­sła 15 pro­cent, na­to­miast wśród tych, któ­rzy nie mie­li kon­tro­li, wy­nio­sła 30 pro­cent. Po­czu­cie kon­tro­li może utrzy­my­wać nas przy ży­ciu.

Lo­so­wość nie jest re­gu­lar­na. Two­rzy ob­sza­ry pu­ste i ob­sza­ry na­kła­da­nia się.

Krop­ki lo­so­we. Krop­ki nie­lo­so­we.

Lo­so­wość może tłu­ma­czyć, dla­cze­go pew­ne małe miej­sco­wo­ści mają wyż­szy niż nor­mal­nie od­se­tek wad wro­dzo­nych, dla­cze­go na pew­nych dro­gach wy­stę­pu­je wię­cej wy­pad­ków i dla­cze­go w pew­nych me­czach ko­szy­ków­ki za­wod­ni­cy zda­ją się zdo­by­wać punk­ty za każ­dym rzu­tem oso­bi­stym. Wy­ja­śnia rów­nież, dla­cze­go w 7 z ostat­nich 10 fi­na­łów mi­strzostw świa­ta przy­najm­niej 2 gra­czy mia­ło uro­dzi­ny w tym sa­mym dniu.

2006 Pa­trick Vie­ira, Zi­ne­di­ne Zi­da­ne (Fran­cja) 23 czerw­ca

2002 brak

1998 Em­ma­nu­el Pe­tit (Fran­cja), Ro­nal­do (Bra­zy­lia) 22 wrze­śnia

1994 Fran­co Ba­re­si (Wło­chy), Clau­dio Taf­fa­rel (Bra­zy­lia) 8 maja

1990 brak

1986 Ser­gio Ba­ti­sta (Ar­gen­ty­na), An­dre­as Breh­me (RFN) 9 li­sto­pa­da

1982 brak

1978 Rene i Wil­ly van de Ker­khof (Ho­lan­dia) 16 wrze­śnia

John­ny Rep, Jan Jong­blo­ed (Ho­lan­dia) 25 li­sto­pa­da

1974 John­ny Rep, Jan Jong­blo­ed (Ho­lan­dia) 25 li­sto­pa­da

1970 Piaz­za (Bra­zy­lia), Pier­lu­igi Cera (Wło­chy) 25 lu­te­go

Choć na pierw­szy rzut oka wy­glą­da to na nie­zwy­kłą se­rię zbie­gów oko­licz­no­ści, w rze­czy­wi­sto­ści li­sta ta nie jest za­ska­ku­ją­ca dla ma­te­ma­ty­ka, po­nie­waż tam, gdzie mamy lo­so­wo wy­bra­ną gru­pę 23 osób (a tyle li­czą dwie dru­ży­ny pił­kar­skie plus sę­dzia), praw­do­po­do­bień­stwo, że dwie oso­by będą ob­cho­dzi­ły uro­dzi­ny w tym sa­mym dniu, jest więk­sze niż praw­do­po­do­bień­stwo zda­rze­nia prze­ciw­ne­go. Zja­wi­sko to na­zy­wa się „pa­ra­dok­sem dnia uro­dzin”. Nie za­wie­ra ono żad­nej we­wnętrz­nej sprzecz­no­ści, ale jest sprzecz­ne ze zdro­wym roz­sąd­kiem – 23 wy­da­je się ab­sur­dal­nie małą licz­bą.

Do­wód w pa­ra­dok­sie dnia uro­dzin po­dob­ny jest do do­wo­dów z po­cząt­ku roz­dzia­łu do­ty­czą­cych wy­rzu­ce­nia pew­nych kom­bi­na­cji ko­stek. Mo­że­my na­wet ująć ten pa­ra­doks jako twier­dze­nie, że w 23 rzu­tach kost­ką o 365 bo­kach z prze­wa­ża­ją­cym praw­do­po­do­bień­stwem kost­ka dwu­krot­nie spad­nie na tę samą stro­nę.

Krok 1: Praw­do­po­do­bień­stwo, że 2 oso­by w da­nej gru­pie mają uro­dzi­ny tego sa­me­go dnia, wy­no­si 1 mi­nus praw­do­po­do­bień­stwo, że nie ma osób, któ­re by mia­ły uro­dzi­ny w tym sa­mym dniu.

Krok 2: Praw­do­po­do­bień­stwo, że 2 oso­by nie mają uro­dzin w tym sa­mym dniu, wy­no­si . A to dla­te­go, że pierw­sza oso­ba może być uro­dzo­na w do­wol­nym dniu (365 moż­li­wo­ści z 365), a dru­ga może być uro­dzo­na w do­wol­nym dniu, z wy­jąt­kiem dnia, w któ­rym uro­dzi­ła się pierw­sza (364 moż­li­wo­ści z 365). Dla wy­go­dy po­mi­nie­my do­dat­ko­wy dzień w roku prze­stęp­nym.

Krok 3: Praw­do­po­do­bień­stwo, że w gru­pie trzy­oso­bo­wej nikt nie ma uro­dzin w tym sa­mym dniu wy­no­si . Przy 4 oso­bach otrzy­mu­je­my , i tak da­lej. W mia­rę mno­że­nia wy­nik sta­je się co­raz mniej­szy. Kie­dy gru­pa skła­da się z 23 osób, w koń­cu ma­le­je po­ni­żej 0,5 (do­kład­na licz­ba wy­no­si 0,493).

Krok 4: Je­śli praw­do­po­do­bień­stwo, że w da­nej gru­pie nikt nie ma uro­dzin w tym sa­mym dniu, jest mniej­sze niż 0,5, to praw­do­po­do­bień­stwo, że 2 oso­by mają uro­dzi­ny tego sa­me­go dnia jest więk­sze niż 0,5 (co wy­ni­ka z kro­ku 1). Za­tem z prze­wa­ża­ją­cym praw­do­po­do­bień­stwem w gru­pie 23 osób 2 oso­by będą mia­ły uro­dzi­ny w tym sa­mym dniu.

Me­cze pił­ki noż­nej sta­no­wią ide­al­ną pró­bę lo­so­wą do spraw­dze­nia, czy fak­ty od­po­wia­da­ją teo­rii, po­nie­waż na bo­isku za­wsze są 23 oso­by. Jed­nak w ana­li­zie fi­na­łów mi­strzostw świa­ta pa­ra­doks dnia uro­dzin wy­pa­da nie­co za do­brze. Praw­do­po­do­bień­stwo, że w dwu­dzie­sto­trzy­oso­bo­wej gru­pie 2 oso­by będą mia­ły uro­dzi­ny w tym sa­mym dniu, wy­no­si 0,507, czy­li mi­ni­mal­nie po­wy­żej 50 pro­cent. A tu­taj przy 7 fi­na­łach na 10 (na­wet wy­łą­cza­jąc bliź­nia­ków van de Ker­khof) otrzy­ma­li­śmy wskaź­nik traf­no­ści 70 pro­cent.

Czę­ścio­wo wy­ni­ka to z pra­wa wiel­kich liczb. Gdy­bym prze­ana­li­zo­wał wszyst­kie me­cze we wszyst­kich mi­strzo­stwach świa­ta, mógł­bym z dużą pew­no­ścią ocze­ki­wać, że wy­nik bę­dzie bliż­szy 50,7 pro­cent. Ale jest jesz­cze inna zmien­na. Czy uro­dzi­ny pił­ka­rzy są roz­ło­żo­ne rów­no­mier­nie w ca­łym roku? Za­pew­ne nie. Ba­da­nia po­ka­zu­ją, że pił­ka­rze czę­ściej przy­cho­dzą na świat w pew­nych okre­sach roku – fory mają uro­dze­ni tuż po da­cie gra­nicz­nej dla rocz­ni­ka szkol­ne­go, po­nie­waż są naj­star­si i naj­więk­si wśród swo­ich ko­le­gów z kla­sy i dla­te­go mają prze­wa­gę w spo­rcie. Je­śli w roz­kła­dzie dat uro­dzin wy­stę­pu­je pew­ne ob­cią­że­nie, mo­że­my spo­dzie­wać się więk­sze­go praw­do­po­do­bień­stwa wspól­nych uro­dzin. A czę­sto wy­stę­pu­je ja­kieś ob­cią­że­nie. Na przy­kład spo­ra część dzie­ci ro­dzi się obec­nie przez ce­sar­skie cię­cie lub po­ród wy­wo­ły­wa­ny. Zwy­kle zda­rza się to w dni po­wsze­dnie (po­nie­waż per­so­nel po­łoż­ni­czy woli nie pra­co­wać w week­en­dy), dla­te­go po­ro­dy nie są roz­ło­żo­ne tak lo­so­wo w cią­gu ca­łe­go roku. Je­śli weź­mie­my pró­bę 23 osób uro­dzo­nych w okre­sie 12 mie­się­cy – po­wiedz­my dzie­ci z jed­nej kla­sy szko­ły pod­sta­wo­wej – szan­se, że dwo­je uczniów bę­dzie mia­ło uro­dzi­ny w tym sa­mym dniu, będą znacz­nie więk­sze niż 50,7 pro­cent.

Je­śli nie masz pod ręką gru­py 23 osób, by to spraw­dzić, wy­star­czy przyj­rzeć się naj­bliż­szej ro­dzi­nie. Przy 4 oso­bach praw­do­po­do­bień­stwo, że 2 będą mia­ły uro­dzi­ny w tym sa­mym mie­sią­cu, wy­no­si 70 pro­cent. Wy­star­czy 7 osób, by praw­do­po­dob­nie 2 z nich uro­dzi­ły się w tym sa­mym ty­go­dniu, a wśród 14 osób z praw­do­po­do­bień­stwem 50 pro­cent znaj­dą się 2 oso­by uro­dzo­ne w od­stę­pie 1 dnia. Wraz z wiel­ko­ścią gru­py praw­do­po­do­bień­stwo ro­śnie w za­ska­ku­ją­cym tem­pie. W gru­pie 35 osób szan­se na wspól­ne uro­dzi­ny wy­no­szą 85 pro­cent, a w gru­pie 60 prze­kra­cza­ją już 99 pro­cent.

Oto inne py­ta­nie do­ty­czą­ce dni uro­dzin z od­po­wie­dzią tak samo sprzecz­ną z in­tu­icją jak pa­ra­doks dnia uro­dzin: ile osób musi li­czyć gru­pa, by za­cho­dzi­ło po­nad­pięć­dzie­się­cio­pro­cen­to­we praw­do­po­do­bień­stwo, że ktoś ob­cho­dzi uro­dzi­ny w tym sa­mym dniu co ty. Róż­ni­ca po­le­ga na tym, że te­raz okre­śla­my kon­kret­ną datę. W pa­ra­dok­sie dnia uro­dzin nie ob­cho­dzi­ło nas, kto z kim dzie­li uro­dzi­ny, by­le­by były w jed­nym dniu. Na­sze nowe py­ta­nie moż­na ująć na­stę­pu­ją­co: je­śli mamy usta­lo­ną datę, to ile razy mu­si­my rzu­cić kost­ką o 365 bo­kach, aż wy­lą­du­je na tej da­cie? Od­po­wiedź wy­no­si 253 razy! In­ny­mi sło­wy, mu­sisz zgro­ma­dzić gru­pę 253 osób, by mieć wię­cej niż 50 pro­cent szans, że jed­na z nich ma uro­dzi­ny w tym sa­mym dniu co ty. Licz­ba ta wy­da­je się ab­sur­dal­nie wy­so­ka – leży dużo da­lej niż w po­ło­wie dro­gi mię­dzy 1 a 365. Ale lo­so­wość zno­wu wpro­wa­dza tu swo­je zbit­ki – gru­pa musi mieć taką wiel­kość, po­nie­waż uro­dzi­ny jej człon­ków nie wy­pa­da­ją w re­gu­lar­ny spo­sób. Wie­le spo­śród tych 253 osób bę­dzie ob­cho­dzić uro­dzi­ny ra­zem, ale nie z tobą, i trze­ba je uwzględ­nić.

Z pa­ra­dok­su dnia uro­dzin wy­pły­wa na­uka, że zbie­gi oko­licz­no­ści są częst­sze, niż nam się wy­da­je. W nie­miec­kim Lot­to, tak jak w an­giel­skiej Na­tio­nal Lot­te­ry, każ­da kom­bi­na­cja liczb ma szan­se wy­lo­so­wa­nia jak 1 : 14 000 000. Mimo to w 1995 i 1986 roku pa­dły iden­tycz­ne kom­bi­na­cje: 15-25-27-30-42-48. Czy był to nie­zwy­kły zbieg oko­licz­no­ści? Nie­szcze­gól­nie, po­nie­waż tak się zda­rza. Mię­dzy tymi 2 po­wtó­rze­nia­mi kom­bi­na­cji od­by­ło się 3016 lo­so­wań. Ob­li­cze­nie, ile razy w lo­te­rii po­win­na paść ta sama kom­bi­na­cja, jest rów­no­waż­ne z ob­li­cze­niem praw­do­po­do­bień­stwa, że 2 spo­śród 3016 osób będą mia­ły uro­dzi­ny w tym sa­mym dniu, je­śli moż­li­wych jest 14 000 000 dat uro­dzin. Praw­do­po­do­bień­stwo wy­no­si 0,28. In­ny­mi sło­wy, było po­nad 25 pro­cent szans, że w tym okre­sie po­wtó­rzą się dwie iden­tycz­ne zwy­cię­skie kom­bi­na­cje – więc ten „zbieg oko­licz­no­ści” wca­le nie był wy­jąt­ko­wo dziw­nym przy­pad­kiem.

Nie­zro­zu­mie­nie isto­ty zbie­gów oko­licz­no­ści do­pro­wa­dzi­ło do kil­ku po­my­łek są­do­wych. W pew­nej spra­wie z 1964 roku w Ka­li­for­nii świad­ko­wie roz­bo­ju ze­zna­li, że wi­dzie­li blon­dyn­kę z koń­skim ogo­nem, czar­ne­go męż­czy­znę z bro­dą i żół­ty sa­mo­chód. Aresz­to­wa­no i oskar­żo­no pew­ną parę pa­su­ją­cą do tego opi­su. Pro­ku­ra­tor ob­li­czył praw­do­po­do­bień­stwo ist­nie­nia ta­kiej pary, mno­żąc praw­do­po­do­bień­stwo wy­stą­pie­nia każ­de­go ze szcze­gó­łów: dla żół­te­go sa­mo­cho­du, dla blon­dyn­ki i tak da­lej. Pro­ku­ra­tor ob­li­czył, że praw­do­po­do­bień­stwo ist­nie­nia ta­kiej pary wy­no­si 1 : 12 000 000. Czy­li na każ­de 12 mi­lio­nów osób śred­nio tyl­ko jed­na para bę­dzie do­kład­nie pa­so­wać do opi­su. Praw­do­po­do­bień­stwo, że aresz­to­wa­na para jest win­na, prze­ko­ny­wał oskar­ży­ciel, było przy­tła­cza­ją­ce. Para zo­sta­ła ska­za­na.

Pro­ku­ra­tor wy­ko­nał jed­nak nie­wła­ści­we ob­li­cze­nie. Osza­co­wał szan­se lo­so­we­go wy­bra­nia pary od­po­wia­da­ją­cej pro­fi­lom po­da­nym przez świad­ków. Tym­cza­sem na­le­ża­ło po­sta­wić py­ta­nie o to, ja­kie są szan­se, że aresz­to­wa­na para pa­su­ją­ca do opi­su jest win­na? Praw­do­po­do­bień­stwo wy­no­si­ło za­le­d­wie oko­ło 40 pro­cent. A za­tem fakt, że aresz­to­wa­na para od­po­wia­da­ła opi­so­wi, z więk­szym praw­do­po­do­bień­stwem był zbie­giem oko­licz­no­ści. W 1968 roku Sąd Naj­wyż­szy sta­nu Ka­li­for­nia uchy­lił wy­rok.

Wróć­my do świa­ta ha­zar­du. Pew­na ko­bie­ta z New Jer­sey wy­gra­ła w lo­te­rii sta­no­wej 2 razy w cią­gu 4 mie­się­cy w la­tach 1985–1986. Sze­ro­ko in­for­mo­wa­no, że szan­se ta­kie­go zda­rze­nia są jak 1:17 000 000 000 000. Ale choć tyle rze­czy­wi­ście wy­no­si­ły szan­se na zgar­nię­cie na­gro­dy głów­nej w obu lo­te­riach przy za­ku­pie po 1 ku­po­nie w obu lo­so­wa­niach, nie zna­czy­ło to wca­le, że szan­se na to, że ktoś gdzieś wy­gra w 2 lo­te­riach, są rów­nie mało praw­do­po­dob­ne. W isto­cie jest to dość praw­do­po­dob­ne. Ste­phen Sa­mu­els i Geo­r­ge McCa­be z Pur­due Uni­ver­si­ty ob­li­czy­li, że w okre­sie 7 lat szan­se na dwu­krot­ne wy­gra­nie na lo­te­rii w Sta­nach Zjed­no­czo­nych są więk­sze niż 1 : 1. Na­wet w okre­sie 4 mie­się­cy szan­se na to, że gdzieś w kra­ju tra­fi się dwu­krot­ny zwy­cięz­ca, są więk­sze niż 1 : 30. Per­si Dia­co­nis i Fre­de­rick Mo­stel­ler na­zy­wa­ją to pra­wem bar­dzo wiel­kich liczb: „Przy do­sta­tecz­nie du­żej prób­ce może się zda­rzyć każ­da szo­ku­ją­ca rzecz”.

Pa­trząc od stro­ny ma­te­ma­tycz­nej, lo­te­rie są zde­cy­do­wa­nie naj­gor­szym ty­pem le­gal­nych za­kła­dów. Na­wet naj­bar­dziej ską­pe au­to­ma­ty do gier mają współ­czyn­nik wy­płat oko­ło 85 pro­cent. Dla po­rów­na­nia, w an­giel­skiej Na­tio­nal Lot­te­ry współ­czyn­nik wy­płat wy­no­si ja­kieś 50 pro­cent. Lo­te­rie nie sta­no­wią żad­ne­go ry­zy­ka dla or­ga­ni­za­to­rów, po­nie­waż pula na­gród bie­rze się po pro­stu z wpły­wów. Czy ra­czej – jak w przy­pad­ku Na­tio­nal Lot­te­ry – z po­ło­wy wpły­wów.

W rzad­kich jed­nak przy­pad­kach lo­te­rie mogą być naj­lep­szym za­kła­dem. Zda­rza się tak, gdy w wy­ni­ku ku­mu­la­cji puli war­tość głów­nej wy­gra­nej prze­wyż­szy koszt za­ku­pu lo­sów ze wszyst­ki­mi moż­li­wy­mi kom­bi­na­cja­mi liczb. Ob­sta­wia­jąc wów­czas wszyst­kie wy­ni­ki, moż­na być pew­nym tra­fie­nia zwy­cię­skiej kom­bi­na­cji. Je­dy­ne ry­zy­ko jest tu­taj ta­kie, że zwy­cię­ską kom­bi­na­cję wy­ty­pu­ją rów­nież inni – trze­ba bę­dzie po­dzie­lić się z nimi pierw­szą na­gro­dą. Szko­puł w tym, że me­to­da za­ku­pu wszyst­kich kom­bi­na­cji sta­no­wi ogrom­ne wy­zwa­nie za­rów­no pod wzglę­dem teo­re­tycz­nym, jak i lo­gi­stycz­nym.

An­giel­ski to­to­lo­tek to lo­te­ria 6/49 – to zna­czy, że na każ­dym ku­po­nie gracz musi za­zna­czyć 6 z 49 liczb. Moż­li­wych kom­bi­na­cji jest oko­ło 14 mi­lio­nów. Jak spo­rzą­dzić ich li­stę, by każ­dą kom­bi­na­cję wy­mie­nić do­kład­nie je­den raz, uni­ka­jąc po­wtó­rzeń? Na po­cząt­ku lat 60. XX wie­ku ru­muń­ski eko­no­mi­sta Ste­fan Man­del za­dał so­bie to samo py­ta­nie od­no­śnie do mniej­szej ru­muń­skiej lo­te­rii. Od­po­wiedź nie jest pro­sta. Po kil­ku la­tach gło­wie­nia się Man­del roz­gryzł pro­blem i w 1964 roku wy­grał lo­te­rię. (W rze­czy­wi­sto­ści nie ku­pił wszyst­kich kom­bi­na­cji, po­nie­waż kosz­to­wa­ło­by go to zbyt dużo. Za­sto­so­wał me­to­dę po­moc­ni­czą zwa­ną „kon­den­so­wa­niem”, któ­ra gwa­ran­tu­je, że przy­najm­niej 5 z 6 liczb bę­dzie pra­wi­dło­wych. Zwy­kle za tra­fie­nie piąt­ki do­sta­je się dru­gą na­gro­dę, ale Man­del miał szczę­ście i wy­grał pierw­szą na­gro­dę za pierw­szym ra­zem). Al­go­rytm, któ­ry na­pi­sał Man­del, by usta­lić, ja­kie kom­bi­na­cje ku­pić, zaj­mo­wał 8000 kar­tek pa­pie­ru kan­ce­la­ryj­ne­go. Wkrót­ce po­tem Man­del wy­emi­gro­wał do Izra­ela, a stam­tąd do Au­stra­lii.

Pod­czas po­by­tu w Mel­bo­ur­ne Man­del za­ło­żył mię­dzy­na­ro­do­wą spół­kę gra­czy i zgro­ma­dził dość pie­nię­dzy od człon­ków, by mieć moż­li­wość za­ku­pu wszyst­kich kom­bi­na­cji liczb na lo­te­rii. Śle­dził lo­te­rie na ca­łym świe­cie w po­szu­ki­wa­niu sku­mu­lo­wa­nych na­gród, któ­re po­nad­trzy­krot­nie prze­kra­cza­ły koszt za­ku­pu każ­dej kom­bi­na­cji. W 1992 roku na­mie­rzył lo­te­rię sta­no­wą w Wir­gi­nii – z 7 mi­lio­na­mi kom­bi­na­cji i lo­sa­mi za do­la­ra – w któ­rej na­gro­da głów­na się­ga­ła nie­mal 28 mi­lio­nów. Man­del za­brał się do dzie­ła. Wy­dru­ko­wał losy w Au­stra­lii, wy­peł­nił je za po­mo­cą kom­pu­te­ra, żeby ob­sta­wić 7 mi­lio­nów kom­bi­na­cji, a na­stęp­nie wy­słał ku­po­ny do USA. Wy­grał na­gro­dę głów­ną oraz 135 000 na­gród do­dat­ko­wych.

Lo­te­ria w Wir­gi­nii była naj­więk­szą na­gro­dą głów­ną Man­de­la i trzy­na­stą wy­gra­ną lo­te­rią od cza­su jego wy­jaz­du z Ru­mu­nii. Ame­ry­kań­ski urząd skar­bo­wy, FBI i CIA wzię­ły pod lupę wy­gra­ną spół­ki na wir­gi­nij­skiej lo­te­rii, ale nie do­pa­trzy­ły się żad­ne­go wy­kro­cze­nia. Nie ma nic nie­le­gal­ne­go w za­ku­pie wszyst­kich kom­bi­na­cji, choć wy­glą­da to na prze­kręt. Man­del w koń­cu wy­co­fał się z gra­nia na lo­te­rii i obec­nie miesz­ka na tro­pi­kal­nej wy­spie po­łu­dnio­we­go Pa­cy­fi­ku.

Nie­zwy­kle przy­dat­ne gra­ficz­ne przed­sta­wie­nie lo­so­wo­ści wy­my­ślił John Venn w 1888 roku. Venn jest bo­daj naj­mniej spek­ta­ku­lar­nym ma­te­ma­ty­kiem w dzie­jach, któ­ry stał się po­wszech­nie zna­ny. Ten pro­fe­sor z Cam­brid­ge i an­gli­kań­ski du­chow­ny dru­gą po­ło­wę swo­je­go ży­cia spę­dził głów­nie na opra­co­wy­wa­niu bio­gra­ficz­nej księ­gi 136 000 ab­sol­wen­tów uni­wer­sy­te­tu sprzed 1900 roku. W swo­jej dzie­dzi­nie nie do­ko­nał wiel­kich od­kryć, nie­mniej jed­nak przed­sta­wił zgrab­ny spo­sób wy­ja­śnia­nia ar­gu­men­tów lo­gicz­nych za po­mo­cą prze­ci­na­ją­cych się kół. Choć już wcze­śniej bar­dzo po­dob­ne­go roz­wią­za­nia uży­wa­li Le­ib­niz i Eu­ler, dia­gra­my zo­sta­ły na­zwa­ne na­zwi­skiem Ven­na. O wie­le mniej zna­ny jest fakt, że Venn wy­my­ślił rów­nie efek­tow­ny spo­sób na zi­lu­stro­wa­nie lo­so­wo­ści.

Wy­obraź so­bie krop­kę na środ­ku pu­stej kart­ki. Od krop­ki moż­na pójść w 8 kie­run­kach: na pół­noc, pół­noc­ny wschód, wschód, po­łu­dnio­wy wschód, po­łu­dnie, po­łu­dnio­wy za­chód, za­chód i pół­noc­ny za­chód. Przy­pisz każ­de­mu z kie­run­ków cy­frę od 0 do 7. Wy­bierz lo­so­wo cy­frę od 0 do 7. Na­ry­suj kre­skę w kie­run­ku ozna­czo­nym przez tę cy­frę. Po­wta­rzaj lo­so­wa­nie i ry­so­wa­nie, aż utwo­rzysz dłuż­szą ścież­kę. Venn wy­ko­rzy­stał w tym celu naj­bar­dziej nie­prze­wi­dy­wal­ną se­kwen­cję cyfr, jaką zna­my: roz­wi­nię­cie dzie­sięt­ne licz­by pi (z po­mi­nię­ciem óse­mek i dzie­wią­tek i za­czy­na­jąc od 1415). Re­zul­tat, jak na­pi­sał, jest „bar­dzo traf­nym gra­ficz­nym prze­ja­wem lo­so­wo­ści”.

Pierw­sze w dzie­jach błą­dze­nie lo­so­we po­ja­wi­ło się w trze­cim wy­da­niu Lo­gic of Chan­ce Joh­na Ven­na (1888). Kie­ru­nek błą­dze­nia (mój przy­pis) okre­śla­ją ko­lej­ne cy­fry od 0 do 7 wy­stę­pu­ją­ce w licz­bie pi po prze­cin­ku.

Ry­su­nek Ven­na uwa­ża się za pierw­szy w dzie­jach sche­mat „błą­dze­nia lo­so­we­go”. Czę­sto na­zy­wa się go „spa­ce­rem pi­ja­ka”, po­nie­waż barw­niej wy­obra­zić so­bie, że pierw­sza krop­ka jest słu­pem la­tar­ni, a wy­ty­czo­na ścież­ka to przy­pad­ko­we za­ta­cza­nie się pi­ja­ne­go. Jed­no z naj­bar­dziej oczy­wi­stych py­tań, ja­kie się na­su­wa­ją, to: jak da­le­ko od punk­tu wyj­ścia za­błą­ka się pi­jak, nim pad­nie? Im dłu­żej bę­dzie szedł, tym da­lej prze­cięt­nie zaj­dzie. Oka­zu­je się, że od­le­głość wzra­sta z pier­wiast­kiem kwa­dra­to­wym cza­su spa­ce­ru. Je­śli więc w cią­gu go­dzi­ny pi­jak od­da­li się śred­nio o 1 prze­czni­cę od la­tar­ni, to po­ko­na­nie 2 prze­cznic zaj­mie mu śred­nio 4 go­dzi­ny, a 3 prze­cznic – 9 go­dzin.

Kie­dy pi­jak błą­dzi w spo­sób przy­pad­ko­wy, cza­sa­mi bę­dzie cho­dził w kół­ko i po­wta­rzał dro­gę. Ja­kie są szan­se, że pi­jak w koń­cu doj­dzie z po­wro­tem do la­tar­ni? O dzi­wo, od­po­wiedź wy­no­si 100 pro­cent. Może la­ta­mi błą­kać się w naj­bar­dziej od­le­głych miej­scach, ale na pew­no – przy wy­star­cza­ją­cej ilo­ści cza­su – w koń­cu wró­ci do bazy.

Wy­obraź­my so­bie spa­cer pi­ja­ka w 3 wy­mia­rach. Na­zwij­my to lo­tem odu­rzo­nej psz­czo­ły. Psz­czo­ła za­czy­na w pew­nym punk­cie za­wie­szo­nym w prze­strze­ni i leci po pro­stej w przy­pad­ko­wym kie­run­ku na okre­ślo­ną od­le­głość. Psz­czo­ła za­trzy­mu­je się, przy­sy­pia, a po­tem pru­je w ko­lej­nym przy­pad­ko­wym kie­run­ku na taką samą od­le­głość. I tak da­lej. Ja­kie są szan­se, że psz­czo­ła w koń­cu do­le­ci do miej­sca, od któ­re­go za­czę­ła? Od­po­wiedź wy­no­si je­dy­nie 0,34, czy­li oko­ło . To, że w 2 wy­mia­rach pi­jak miał stu­pro­cen­to­wą pew­ność, iż do­trze z po­wro­tem do la­tar­ni, było dziw­ne, ale jesz­cze dziw­niej­sze wy­da­je się, że la­ta­ją­ca bez koń­ca psz­czo­ła ma bar­dzo mar­ne szan­se na po­wrót do domu.

W be­st­sel­le­ro­wej po­wie­ści Luke’a Rhi­ne­har­ta Ko­ściarz ty­tu­ło­wy bo­ha­ter po­dej­mu­je de­cy­zje ży­cio­we na pod­sta­wie rzu­tów kost­ką. Wy­obraź­my so­bie mo­ne­cia­rza, któ­ry po­dej­mu­je de­cy­zje na pod­sta­wie rzu­tu mo­ne­tą. Po­wiedz­my, że je­śli wy­pad­nie orzeł, prze­su­wa się o krok w górę stro­ny, a je­śli wy­pad­nie resz­ka, prze­su­wa się o krok w dół stro­ny. Ścież­ka mo­ne­cia­rza to spa­cer pi­ja­ka w jed­nym wy­mia­rze – mo­ne­ciarz może po­ru­szać się wy­łącz­nie w górę i w dół 1 li­nii. Je­śli na­ry­su­je­my spa­cer we­dług dru­giej li­sty 30 rzu­tów mo­ne­tą ze stro­ny 400, otrzy­ma­my wy­kres po­ka­za­ny na na­stęp­nej stro­nie.

Spa­cer przy­po­mi­na po­szar­pa­ną li­nię szczy­tów i do­lin. Je­śli rzu­tów mo­ne­tą jest co­raz wię­cej, po­ja­wia się pe­wien trend. Li­nia ska­cze w górę i w dół z co­raz więk­szy­mi wah­nię­cia­mi. Mo­ne­ciarz od­cho­dzi co­raz da­lej w obu kie­run­kach od punk­tu wyj­ścia. Po­ni­żej wy­kre­śli­łem tra­sy 6 mo­ne­cia­rzy, każ­dą na pod­sta­wie 100 rzu­tów mo­ne­tą.

Je­śli wy­obra­zi­my so­bie, że w pew­nej od­le­gło­ści w jed­nym kie­run­ku od punk­tu wyj­ścia znaj­du­je się prze­szko­da, ist­nie­je stu­pro­cen­to­we praw­do­po­do­bień­stwo, że mo­ne­ciarz w koń­cu na nią tra­fi. Nie­uchron­ność tej ko­li­zji jest bar­dzo po­ucza­ją­ca, kie­dy ana­li­zu­je­my wzor­ce ha­zar­du.

Przyj­mij­my, że lo­so­we błą­dze­nie mo­ne­cia­rza nie opi­su­je fi­zycz­nej po­dró­ży, lecz war­tość jego kon­ta ban­ko­we­go. I niech rzut mo­ne­tą bę­dzie grą ha­zar­do­wą. Orzeł – mo­ne­ciarz wy­gry­wa 100 fun­tów, resz­ka – tra­ci 100 fun­tów. Kwo­ta na jego kon­cie ban­ko­wym bę­dzie wzno­si­ła się i opa­da­ła co­raz więk­szy­mi fa­la­mi. Po­wiedz­my, że je­dy­ną prze­szko­dą, któ­ra po­wstrzy­ma mo­ne­cia­rza od gry, jest brak środ­ków na kon­cie. Wie­my, że z pew­no­ścią to na­stą­pi. In­ny­mi sło­wy, nasz bo­ha­ter za­wsze zban­kru­tu­je. Zja­wi­sko to nosi su­ge­styw­ną na­zwę ru­iny gra­cza.

Ża­den ro­dzaj za­kła­du w ka­sy­nie nie jest oczy­wi­ście tak hoj­ny jak rzut mo­ne­tą (w któ­rym współ­czyn­nik wy­płat wy­no­si 100). Je­śli szan­se prze­gra­nia są więk­sze niż szan­se wy­gra­nia, mapa lo­so­we­go błą­dze­nia po­dą­ża w dół, a nie wzdłuż po­zio­mej osi. In­ny­mi sło­wy, szyb­ciej po­ja­wi się wid­mo ban­kruc­twa.

Błą­dze­nie lo­so­we wy­ja­śnia, dla­cze­go ha­zard fa­wo­ry­zu­je bar­dzo bo­ga­tych. Doj­ście do ban­kruc­twa zaj­mu­je im wię­cej cza­su, a poza tym mają więk­sze szan­se, że lo­so­we błą­dze­nie od cza­su do cza­su za­błą­ka się w górę. Ale se­kret wy­gra­nej – za­rów­no dla bo­ga­tych, jak i dla bied­nych – to wie­dzieć, kie­dy prze­stać.

Ma­te­ma­ty­ka błą­dze­nia lo­so­we­go nie jest wol­na od za­ska­ku­ją­cych pa­ra­dok­sów. Wróć­my do wy­kre­sów obok ilu­stru­ją­cych po­ru­sza­nie się mo­ne­cia­rza w górę lub dół w za­leż­no­ści od wy­ni­ków rzu­tu mo­ne­tą. Moż­na by się spo­dzie­wać, że wy­kres lo­so­we­go błą­dze­nia bę­dzie re­gu­lar­nie prze­ci­nał po­zio­mą oś. Mo­ne­ta daje 50 : 50 szans na orła lub resz­kę, więc ocze­ki­wa­li­by­śmy za­pew­ne, że mo­ne­ciarz spę­dzi jed­na­ko­wą ilość cza­su po obu stro­nach punk­tu wyj­ścia. W rze­czy­wi­sto­ści jest na od­wrót. Je­śli rzu­ci mo­ne­tą nie­skoń­czo­ną ilość razy, naj­bar­dziej praw­do­po­dob­ną licz­bą zmian stro­ny jest 0. Dru­gą w ko­lej­no­ści praw­do­po­do­bień­stwa licz­bą jest 1, po­tem 2, po­tem 3 i tak da­lej.

Na­wet przy skoń­czo­nej licz­bie rzu­tów wy­stę­pu­ją dość oso­bli­we efek­ty. Wil­liam Fel­ler ob­li­czył, że mo­ne­ciarz, rzu­ca­jąc mo­ne­tę co se­kun­dę przez rok, bę­dzie miał szan­se jak 1 : 20, że spę­dzi po jed­nej stro­nie wy­kre­su po­nad 364 dni i 10 go­dzin. „Nie­wie­lu lu­dzi uwie­rzy, że uczci­wa mo­ne­ta może dać nie­do­rzecz­ny ciąg, w któ­rym zmia­na [stro­ny] nie na­stą­pi w cią­gu mi­lio­nów ko­lej­nych do­świad­czeń, nie­mniej jest to zja­wi­sko, któ­re jest ra­czej po­wszech­ne dla do­brych mo­net”3 na­pi­sał we Wstę­pie do ra­chun­ku praw­do­po­do­bień­stwa. „Tak więc, je­że­li współ­cze­sny psy­cho­log miał­by opi­nio­wać hi­sto­rię dłu­gich se­rii gier rzu­tów mo­ne­tą, za­kla­sy­fi­ko­wał­by on więk­szość mo­net jako fał­szy­we”4.

Cu­dow­nie sprzecz­ne z in­tu­icją ce­chy lo­so­wo­ści fa­scy­nu­ją uczci­wych ma­te­ma­ty­ków, a jed­no­cze­śnie wo­dzą na po­ku­sze­nie nie­go­dzi­wych. Ko­goś, kto nie zna pod­staw praw­do­po­do­bień­stwa, ła­two okan­to­wać. Je­śli na przy­kład ja­kaś fir­ma bę­dzie na­ma­wiać cię do sko­rzy­sta­nia z usłu­gi prze­wi­dy­wa­nia płci two­je­go dziec­ka, wiedz, że wła­śnie pa­dasz ofia­rą prze­krę­tu. Za­łóż­my, że za­kła­dam fir­mę o na­zwie Ba­by­Pre­dic­tor, któ­ra ogła­sza na­uko­wy wzór na prze­wi­dy­wa­nie, czy dziec­ko bę­dzie chłop­cem, czy dziew­czyn­ką. Ba­by­Pre­dic­tor po­bie­ra od ma­tek okre­ślo­ną opła­tę za pro­gno­zę. Ma­jąc ogrom­ne za­ufa­nie do swe­go wzo­ru, a tak­że dzię­ki fi­lan­tro­pij­nej hoj­no­ści swo­je­go pre­ze­sa, czy­li mnie, fir­ma ofe­ru­je cał­ko­wi­ty zwrot pie­nię­dzy, je­śli prze­wi­dy­wa­nie oka­że się nie­traf­ne. Za­kup pro­gno­zy wy­glą­da na do­bry in­te­res – albo Ba­by­Pre­dic­tor bę­dzie mieć ra­cję, albo się po­my­li, a wte­dy moż­na do­stać pie­nią­dze z po­wro­tem. Ale se­kret­ny wzór Ba­by­Pre­dic­tor to tak na­praw­dę rzu­ca­nie mo­ne­tą. Je­śli wy­pad­nie orzeł, mó­wię, że dziec­ko bę­dzie chłop­cem, resz­ka – bę­dzie dziew­czyn­ka. Praw­do­po­do­bień­stwo mówi mi, że będę miał ra­cję w oko­ło po­ło­wie przy­pad­ków, po­nie­waż pro­por­cja chłop­ców do dziew­czy­nek wy­no­si oko­ło 50 : 50. Rzecz ja­sna w po­ło­wie przy­pad­ków od­dam pie­nią­dze, ale nic nie szko­dzi – po­nie­waż w dru­giej po­ło­wie przy­pad­ków za­trzy­mam je.

Prze­kręt dzia­ła, po­nie­waż mat­ka nie pa­trzy z szer­szej per­spek­ty­wy. Po­strze­ga sie­bie jako jed­no­oso­bo­wą pró­bę lo­so­wą, a nie część więk­szej ca­ło­ści. Fir­my prze­wi­du­ją­ce płeć cią­gle mają się do­brze. Co mi­nu­ta ro­dzą się nowe dzie­ci, a i fra­je­rów nie uby­wa.

W bar­dziej roz­bu­do­wa­nej wer­sji prze­krę­tu, skie­ro­wa­nej nie do cię­żar­nych ko­biet, a do chci­wych męż­czyzn, fir­ma, któ­rą na­zwie­my Stock­Pre­dic­tor, za­kła­da stro­nę in­ter­ne­to­wą. Wy­sy­ła 32 000 e-ma­ili do in­we­sto­rów z li­sty ma­ilin­go­wej z in­for­ma­cją o no­wej usłu­dze, któ­ra na pod­sta­wie nie­zwy­kle skom­pli­ko­wa­ne­go mo­de­lu kom­pu­te­ro­we­go po­tra­fi prze­wi­dzieć, czy dany in­deks gieł­do­wy wzro­śnie czy spad­nie. Po­ło­wa e-ma­ili prze­wi­du­je wzrost w na­stęp­nym ty­go­dniu, a dru­ga po­ło­wa spa­dek. Nie­za­leż­nie od tego, co fak­tycz­nie sta­nie się z in­dek­sem, 16 000 in­we­sto­rów otrzy­ma e-mail z traf­ną pro­gno­zą. Stock­Pre­dic­tor wy­sy­ła więc na te 16 000 ad­re­sów ko­lej­ny e-mail z pro­gno­zą na na­stęp­ny ty­dzień. Pro­gno­za po­now­nie spraw­dzi się w 8000 przy­pad­ków. Je­śli Stock­Pre­dic­tor bę­dzie kon­ty­nu­ować prze­wi­dy­wa­nie przez ko­lej­ne 4 ty­go­dnie, na ko­niec zo­sta­nie 1000 ad­re­sa­tów e-ma­ili, któ­rzy otrzy­ma­li 6 traf­nych pro­gnoz z rzę­du. Wte­dy Stock­Pre­dic­tor in­for­mu­je ich, że je­śli chcą otrzy­my­wać dal­sze pro­gno­zy, mu­szą za­pła­cić pew­ną kwo­tę – dla­cze­go mie­li­by tego nie zro­bić, sko­ro do tej pory prze­wi­dy­wa­nia były bar­dzo do­bre?

Prze­kręt z pro­gno­za­mi gieł­do­wy­mi moż­na do­sto­so­wać do prze­wi­dy­wa­nia wy­ni­ków wy­ści­gów kon­nych, me­czów pił­kar­skich, a na­wet po­go­dy. Przy uwzględ­nie­niu wszyst­kich wy­ni­ków za­wsze znaj­dzie się przy­najm­niej 1 oso­ba, któ­ra otrzy­ma traf­ną pro­gno­zę wszyst­kich me­czów, wy­ści­gów czy sło­necz­nych dni. Oso­ba ta może po­my­śleć: „No! no! Szan­se, że taka kom­bi­na­cja się spraw­dzi, są jak je­den do mi­lio­na”, ale je­śli wy­śle się mi­lion e-ma­ili uwzględ­nia­ją­cych wszyst­kie moż­li­wo­ści, wów­czas ktoś gdzieś musi otrzy­mać traf­ny.

Kan­to­wa­nie jest nie­mo­ral­ne i czę­sto nie­le­gal­ne. Ale pró­by uzy­ska­nia prze­wa­gi nad ka­sy­nem czę­sto uwa­ża się za słusz­ną spra­wę. Oka­zja po­ko­na­nia praw­do­po­do­bień­stwa dzia­ła na ma­te­ma­ty­ków jak płach­ta na byka – jest cała za­szczyt­na ga­le­ria po­sta­ci, któ­rym się to uda­ło.

Pierw­sza me­to­da ata­ku po­le­ga na uświa­do­mie­niu so­bie, że świat nie jest do­sko­na­ły. Jo­seph Jag­ger był me­cha­ni­kiem z fa­bry­ki ba­weł­niar­skiej w Lan­ca­shi­re, któ­ry wie­dział wy­star­cza­ją­co dużo o wik­to­riań­skim prze­my­śle ma­szy­no­wym, by zda­wać so­bie spra­wę, że ru­let­ki mogą nie ob­ra­cać się ide­al­nie rów­no. Miał prze­czu­cie, że je­śli koło nie jest per­fek­cyj­nie wy­osio­wa­ne, to może fa­wo­ry­zo­wać pew­ne licz­by kosz­tem in­nych. W 1873 roku w wie­ku 43 lat wy­brał się do Mon­te Car­lo, żeby spraw­dzić swo­ją teo­rię. Jag­ger za­trud­nił 6 po­moc­ni­ków, każ­de­mu przy­dzie­lił 1 z 6 sto­li­ków w ka­sy­nie i po­in­stru­ował, by za­pi­sy­wa­li wszyst­kie licz­by, ja­kie po­ja­wią się w cią­gu ty­go­dnia. Po ana­li­zie da­nych za­uwa­żył, że jed­na z ru­le­tek fak­tycz­nie była ten­den­cyj­na – 9 liczb po­ja­wia­ło się czę­ściej niż inne. Róż­ni­ca była na tyle nie­wiel­ka, że prze­wa­ga tych liczb wi­docz­na była do­pie­ro po ana­li­zie se­tek par­tii.

Jag­ger za­czął grać i w cią­gu 1 dnia wy­grał rów­no­war­tość 70 000 do­la­rów. Sze­fo­wie ka­sy­na za­uwa­ży­li jed­nak, że grał tyl­ko przy jed­nym sto­le. Aby ode­przeć atak Jag­ge­ra, po­prze­sta­wia­li ru­let­ki. Jag­ger za­czął prze­gry­wać, aż w koń­cu zo­rien­to­wał się, co zro­bi­ło kie­row­nic­two. Prze­niósł się do ten­den­cyj­ne­go sto­łu, któ­ry roz­po­znał po cha­rak­te­ry­stycz­nej ry­sie. Zno­wu za­czął wy­gry­wać i pod­dał się do­pie­ro wte­dy, gdy ka­sy­no za­re­ago­wa­ło po raz dru­gi, prze­krę­ca­jąc prze­gród­ki wo­kół koła po ca­ło­dzien­nej se­sji, by fa­wo­ry­zo­wa­ne były nowe licz­by. Do tego cza­su Jag­ger zdą­żył zgro­ma­dzić 325 000 do­la­rów – w prze­li­cze­niu na dzi­siej­sze pie­nią­dze zo­stał mul­ti­mi­lio­ne­rem. Wró­cił do domu, rzu­cił pra­cę w fa­bry­ce i za­in­we­sto­wał w nie­ru­cho­mo­ści. W 1949 i 1950 roku me­to­dę Jag­ge­ra po­wtó­rzy­li w Ne­va­dzie dwaj stu­den­ci nauk ści­słych Al Hibbs i Roy Wal­ford. Za­czę­li od po­ży­czo­nych 200 do­la­rów i za­ro­bi­li 42 000 do­la­rów, za któ­re ku­pi­li dwu­na­sto­me­tro­wy jacht i wy­bra­li się w pół­to­ra­rocz­ny rejs po Ka­ra­ibach, by w koń­cu wró­cić na stu­dia. Dzi­siaj ka­sy­na zmie­nia­ją ru­let­ki o wie­le bar­dziej re­gu­lar­nie niż kie­dyś.

Dru­gi spo­sób prze­wa­że­nia sza­li praw­do­po­do­bień­stwa na swo­ją ko­rzyść wy­ma­ga za­sta­no­wie­nia się nad tym, czym w ogó­le jest lo­so­wość. Zda­rze­nia lo­so­we w kon­tek­ście jed­ne­go ze­sta­wu in­for­ma­cji mogą rów­nie do­brze stać się nie­lo­so­we przy więk­szym ze­sta­wie in­for­ma­cji. Pro­blem ma­te­ma­tycz­ny zmie­nia się w ten spo­sób w pro­blem fi­zycz­ny. Rzut mo­ne­tą jest lo­so­wy, po­nie­waż nie wie­my, na któ­rą stro­nę upad­nie, ale rzu­ca­ne mo­ne­ty sto­su­ją się do new­to­now­skich praw ru­chu. Gdy­by­śmy zna­li do­kład­nie pręd­kość i kąt rzu­tu, gę­stość po­wie­trza i wszel­kie inne istot­ne dane fi­zycz­ne, by­li­by­śmy w sta­nie ob­li­czyć do­kład­nie, na któ­rej stro­nie wy­lą­du­je. W po­ło­wie lat 50. XX wie­ku mło­dy ma­te­ma­tyk Ed Thorp za­czął za­sta­na­wiać się, jaki ze­staw in­for­ma­cji był­by po­trzeb­ny, by prze­wi­dzieć, gdzie wy­lą­du­je kul­ka w ru­let­ce.

Thor­po­wi w tym przed­się­wzię­ciu po­ma­gał Clau­de Shan­non, ko­le­ga z In­sty­tu­tu Tech­no­lo­gicz­ne­go Mas­sa­chu­setts (MIT). Nie mógł­by wy­ma­rzyć so­bie lep­sze­go współ­kon­spi­ra­to­ra. Shan­non był po­my­sło­wym wy­na­laz­cą z ga­ra­żem peł­nym elek­tro­nicz­nych i me­cha­nicz­nych ga­dże­tów. Był rów­nież jed­nym z naj­waż­niej­szych ma­te­ma­ty­ków na świe­cie, twór­cą prze­ło­mo­wej teo­rii in­for­ma­cji, któ­ra do­pro­wa­dzi­ła do po­wsta­nia kom­pu­te­ra. Pa­no­wie na­by­li ru­let­kę i pro­wa­dzi­li eks­pe­ry­men­ty w piw­ni­cy Shan­no­na. Od­kry­li, że na pod­sta­wie pręd­ko­ści kul­ki pod­czas krą­że­nia po nie­ru­cho­mej ob­rę­czy ze­wnętrz­nej oraz pręd­ko­ści we­wnętrz­ne­go koła (ob­ra­ca­ją­ce­go się w kie­run­ku prze­ciw­nym do ru­chu kul­ki) mogą cał­kiem do­brze osza­co­wać, w któ­rym seg­men­cie koła wy­lą­du­je kul­ka. Po­nie­waż ka­sy­na po­zwa­la­ły gra­czom na sta­wia­nie za­kła­dów po rzu­ce­niu kul­ki, Thorp mu­siał je­dy­nie wy­my­ślić spo­sób po­mia­ru owych pręd­ko­ści i prze­li­cze­nia ich w cią­gu kil­ku se­kund, nim kru­pier za­koń­czy ob­sta­wia­nie.

I tym ra­zem ha­zard przy­czy­nił się do roz­wo­ju na­uki. Aby prze­wi­dzieć par­tie ru­let­ki, ma­te­ma­ty­cy skon­stru­owa­li pierw­szy na świe­cie kom­pu­ter na­da­ją­cy się do no­sze­nia przy so­bie. Urzą­dze­nie mie­ści­ło się w kie­sze­ni, mia­ło prze­wód pro­wa­dzą­cy do buta, w któ­rym znaj­do­wał się prze­łącz­nik, oraz dru­gi prze­wód pro­wa­dzą­cy do słu­chaw­ki wiel­ko­ści ziarn­ka gro­chu. Prze­łącz­nik na­le­ża­ło do­tknąć w 4 mo­men­tach – kie­dy punkt na kole mi­nął punkt od­nie­sie­nia, kie­dy wy­ko­nał peł­ny ob­rót, kie­dy kul­ka mi­nę­ła ten sam punkt oraz kie­dy kul­ka po­now­nie wy­ko­na­ła peł­ny ob­rót. In­for­ma­cje te wy­star­cza­ły do osza­co­wa­nia pręd­ko­ści koła oraz kul­ki.

Thorp i Shan­non po­dzie­li­li koło na 8 seg­men­tów po 5 nu­me­rów (nie­któ­re na­cho­dzi­ły na sie­bie, po­nie­waż prze­gró­dek jest 38). Kie­szon­ko­wy kom­pu­ter od­twa­rzał ska­lę 8 nut – okta­wę – przez słu­chaw­ki i nuta, na któ­rej się za­trzy­my­wał, wska­zy­wa­ła seg­ment prze­wi­dy­wa­ne­go lą­do­wa­nia kul­ki. Kom­pu­ter nie mógł okre­ślić z cał­ko­wi­tą pew­no­ścią, w któ­rym seg­men­cie wy­lą­du­je kul­ka, ale nie mu­siał tego ro­bić. Thor­po­wi i Shan­no­no­wi za­le­ża­ło je­dy­nie na tym, by prze­wi­dy­wa­nie było lep­sze od przy­pad­ko­we­go zga­dy­wa­nia. Po usły­sze­niu nut oso­ba no­szą­ca kom­pu­ter kła­dła że­to­ny na wszyst­kich 5 licz­bach z da­ne­go seg­men­tu (któ­re, choć po­ło­żo­ne obok sie­bie na kole, nie są­sia­do­wa­ły ze sobą na suk­nie). Me­to­da oka­za­ła się za­ska­ku­ją­co traf­na – pa­no­wie osza­co­wa­li, że przy za­kła­dach na po­je­dyn­cze licz­by mogą ocze­ki­wać wy­gra­nia 4,40 do­la­ra za każ­de po­sta­wio­ne 10 do­la­rów.

Kie­dy Thorp i Shan­non po­je­cha­li do Las Ve­gas na grę prób­ną, kom­pu­ter dzia­łał, choć nie­pew­nie. Męż­czyź­ni nie chcie­li zwra­cać na sie­bie uwa­gi, lecz słu­chaw­ka czę­sto wy­pa­da­ła z ucha, a prze­wo­dy były tak de­li­kat­ne, że cią­gle się rwa­ły. Sys­tem jed­nak dzia­łał i uda­ło im się zmie­nić garść drob­nia­ków na kil­ka gar­ści. Thorp za­do­wo­lił się po­ko­na­niem ru­let­ki w teo­rii, je­śli nie w prak­ty­ce, zwłasz­cza że jego atak na inną grę ha­zar­do­wą za­koń­czył się o wie­le bar­dziej spek­ta­ku­lar­nym suk­ce­sem.

Blac­kjack, czy­li dwa­dzie­ścia je­den, to gra kar­cia­na, w któ­rej ce­lem jest uzy­ska­nie sumy jak naj­bliż­szej gór­nej gra­ni­cy 21 punk­tów. Kru­pier roz­da­je rów­nież kar­ty dla sie­bie. Aby wy­grać, trze­ba mieć wię­cej punk­tów niż on, nie prze­kra­cza­jąc jed­no­cze­śnie 21.

Jak wszyst­kie kla­sycz­ne gry ha­zar­do­we, blac­kjack daje nie­wiel­ką prze­wa­gę ka­sy­nu. Gra­jąc w blac­kjac­ka, na dłuż­szą metę stra­ci się pie­nią­dze. W 1956 roku w mało zna­nym cza­so­pi­śmie sta­ty­stycz­nym uka­zał się ar­ty­kuł, któ­re­go au­tor twier­dził, że opra­co­wał stra­te­gię gry da­ją­cą ka­sy­nu je­dy­nie 0,62 pro­cent prze­wa­gi. Po lek­tu­rze ar­ty­ku­łu Thorp opa­no­wał stra­te­gię i prze­te­sto­wał ją pod­czas wa­ka­cyj­nej wy­ciecz­ki do Ve­gas. Od­krył, że tra­cił pie­nią­dze dużo wol­niej niż inni gra­cze. Po­sta­no­wił więc, że prze­my­śli grun­tow­nie spra­wę blac­kjac­ka – de­cy­zja ta mia­ła zmie­nić jego ży­cie.

Ed Thorp dzi­siaj ma 75 lat, ale po­dej­rze­wam, że nie róż­ni się tak bar­dzo od tego, jak wy­glą­dał pół wie­ku temu. Szczu­pły, z dłu­gą szy­ją i wy­ra­zi­sty­mi ry­sa­mi, ma schlud­ną fry­zu­rę chło­pa­ka z col­le­ge’u, bez­pre­ten­sjo­nal­ne oku­la­ry i spo­koj­ną, wy­pro­sto­wa­ną po­stu­rę. Po po­wro­cie z Ve­gas Thorp po­now­nie prze­czy­tał ar­ty­kuł z cza­so­pi­sma.

– Zro­zu­mia­łem od razu, w cią­gu kil­ku mi­nut, w jaki spo­sób nie­mal na pew­no moż­na po­ko­nać tę grę, śle­dząc roz­da­wa­ne kar­ty – wspo­mi­nał.

Blac­kjack róż­ni się na przy­kład od ru­let­ki, po­nie­waż szan­se zmie­nia­ją się po roz­da­niu kar­ty. W ru­let­ce za każ­dym ra­zem, kie­dy za­krę­ci się ko­łem, szan­se uzy­ska­nia sió­dem­ki są jak 1 : 38. W blac­kjac­ku praw­do­po­do­bień­stwo, że pierw­szą roz­da­ną kar­tą bę­dzie as, wy­no­si . Je­śli jed­nak pierw­sza roz­da­na kar­ta jest asem, to praw­do­po­do­bień­stwo, że dru­ga kar­ta bę­dzie asem, nie wy­no­si już , lecz , po­nie­waż w ta­lii znaj­du­je się obec­nie 51 kart, wśród któ­rych zo­sta­ły tyl­ko 3 asy. Thorp po­my­ślał, że musi ist­nieć sys­tem, któ­ry od­wra­ca szan­se na ko­rzyść gra­cza. Trze­ba było tyl­ko go zna­leźć.

W ta­lii 52 kart jest 52 · 51 · 50 · 49 · … · 3 · 2 · 1 spo­so­bów uło­że­nia ko­lej­no­ści kart. Licz­ba ta wy­no­si oko­ło 8 · 1067, czy­li 8 z 67 ze­ra­mi. Jest ona tak duża, że jest nie­zwy­kle mało praw­do­po­dob­ne, by na prze­strze­ni dzie­jów ja­kieś 2 lo­so­wo po­ta­so­wa­ne ta­lie mia­ły taką samą ko­lej­ność – na­wet gdy­by ludz­kość ca­łe­go świa­ta za­czę­ła grać w kar­ty już w chwi­li Wiel­kie­go Wy­bu­chu. Thorp uznał, że moż­li­wych per­mu­ta­cji jest zbyt wie­le, by mózg czło­wie­ka był w sta­nie w ja­ki­kol­wiek spo­sób na­uczyć się ich na pa­mięć. Po­sta­no­wił więc zba­dać, jak zmie­nia się prze­wa­ga ka­sy­na w za­leż­no­ści od tego, ja­kie kar­ty zo­sta­ły już roz­da­ne. Za po­mo­cą wcze­sne­go mo­de­lu kom­pu­te­ra od­krył, że śle­dząc piąt­ki każ­de­go ko­lo­ru – piąt­kę kier, pik, karo i trefl – gracz może oce­nić, czy kar­ty są ko­rzyst­ne. W sys­te­mie Thor­pa blac­kjack stał się grą do po­ko­na­nia, z ocze­ki­wa­nym zy­skiem się­ga­ją­cym na­wet pię­ciu pro­cent w za­leż­no­ści od kart po­zo­sta­łych w ta­lii. Thorp wy­na­lazł „li­cze­nie kart”.

Opi­sał swo­ją teo­rię i wy­słał ją do Ame­ri­can Ma­the­ma­ti­cal So­cie­ty (AMS).

– Kie­dy przy­szło stresz­cze­nie, wszy­scy uzna­li to za ab­sur­dal­ne – wspo­mi­na. – W śro­do­wi­sku na­uko­wym świę­cie wie­rzo­no, że nie da się po­ko­nać żad­nej z głów­nych gier ha­zar­do­wych, i było to dość moc­no po­par­te pa­ro­ma set­ka­mi lat ba­dań i ana­liz.

Do­wo­dy wy­ka­zu­ją­ce, że w grach ka­sy­no­wych moż­na od­wró­cić szan­sę na swo­ją ko­rzyść, są ni­czym do­wo­dy na roz­wią­za­nie kwa­dra­tu­ry koła – nie­zbi­cie świad­czą o bra­ku pią­tej klep­ki. Na szczę­ście wśród człon­ków ko­mi­te­tu na­uko­we­go AMS był daw­ny ko­le­ga szkol­ny Thor­pa i stresz­cze­nie zo­sta­ło przy­ję­te.

W stycz­niu 1961 roku Thorp za­pre­zen­to­wał swój re­fe­rat na zi­mo­wej kon­fe­ren­cji AMS w Wa­szyng­to­nie. Pi­sa­ły o nim me­dia w ca­łym kra­ju, tra­fił na­wet na pierw­szą stro­nę lo­kal­nej ga­ze­ty „Bo­ston Glo­be”. Thorp otrzy­mał set­ki li­stów i te­le­fo­nów z pro­po­zy­cja­mi sfi­nan­so­wa­nia wy­dat­ków na ha­zard i po­dzie­le­nia się zy­ska­mi. Spół­ka gra­czy z No­we­go Jor­ku za­pro­po­no­wa­ła 100 000 do­la­rów. Za­dzwo­nił pod nu­mer po­da­ny w li­ście i mie­siąc póź­niej pod jego dom pod­je­chał ca­dil­lac. Wy­siadł z nie­go nie­po­kaź­ny star­szy pan w to­wa­rzy­stwie dwóch atrak­cyj­nych blon­dy­nek odzia­nych w fu­tra z no­rek.

Czło­wie­kiem tym był Man­ny Kim­mel, no­wo­jor­ski gang­ster ze smy­kał­ką do ma­te­ma­ty­ki i na­ło­go­wy ha­zar­dzi­sta gra­ją­cy o wy­so­kie staw­ki w jed­nej oso­bie. Kim­mel opa­no­wał sa­mo­dziel­nie ra­chu­nek praw­do­po­do­bień­stwa na tyle, by znać pa­ra­doks dnia uro­dzin – uwiel­biał się za­kła­dać, czy 2 oso­by w ja­kieś gru­pie ob­cho­dzą uro­dzi­ny w tym sa­mym dniu. Kim­mel przed­sta­wił się jako wła­ści­ciel 64 par­kin­gów w No­wym Jor­ku, co było praw­dą. Dziew­czę­ta przed­sta­wił zaś jako bra­ta­ni­ce, co ra­czej nie było zgod­ne z praw­dą. Za­py­ta­łem Thor­pa, czy po­dej­rze­wał Kim­me­la o po­wią­za­nia z ma­fią.

– Wów­czas nie by­łem zbyt do­brze zo­rien­to­wa­ny w świe­cie ha­zar­du. Praw­dę mó­wiąc, nie mia­łem żad­nej wie­dzy na ten te­mat, poza teo­re­tycz­ną, zresz­tą nie ba­da­łem świa­ta prze­stęp­cze­go. Przed­sta­wił się jako bo­ga­ty biz­nes­men i jak naj­bar­dziej na ta­kie­go wy­glą­dał.

Kim­mel za­pro­sił Thor­pa do swo­je­go luk­su­so­we­go apar­ta­men­tu na Man­hat­ta­nie, by po­grać w blac­kjac­ka w na­stęp­nym ty­go­dniu. Po kil­ku se­sjach Kim­mel prze­ko­nał się, że li­cze­nie kart dzia­ła. Obaj pa­no­wie po­le­cie­li do Reno spró­bo­wać szczę­ścia. Za­czę­li z 10 000 do­la­rów, a na ko­niec wy­ciecz­ki po­więk­szy­li pulę do 21 000.

W grach ka­sy­no­wych 2 czyn­ni­ki de­ter­mi­nu­ją, ile pie­nię­dzy wy­gra się lub prze­gra. Stra­te­gia gra­nia do­ty­czy tego, jak wy­grać grę. Stra­te­gia ob­sta­wia­nia do­ty­czy za­rzą­dza­nia pie­niędz­mi – ile i kie­dy sta­wiać. Czy war­to po­sta­wić wszyst­ko na 1 za­kład? A może le­piej po­dzie­lić pie­nią­dze na jak naj­mniej­sze staw­ki? Stra­te­gie mogą mieć za­ska­ku­ją­co duży wpływ na ocze­ki­wa­ną wiel­kość za­rob­ku.

Naj­bar­dziej zna­ną stra­te­gią ob­sta­wia­nia jest mar­tyn­gał, czy­li po­dwa­ja­nie, któ­ry cie­szył się po­pu­lar­no­ścią wśród fran­cu­skich ha­zar­dzi­stów w XVIII wie­ku. Za­sa­dą jest po­dwa­ja­nie staw­ki w przy­pad­ku prze­gra­nej. Po­wiedz­my, że ob­sta­wiasz rzut mo­ne­tą. Je­śli wy­pad­nie orzeł, wy­gry­wasz 1 do­la­ra, je­śli resz­ka, prze­gry­wasz do­la­ra. Za pierw­szym ra­zem wy­pa­da resz­ka. Prze­gry­wasz do­la­ra. W na­stęp­nym za­kła­dzie mu­sisz po­sta­wić 2 do­la­ry. Wy­gra­na w dru­gim rzu­cie to 2 do­la­ry, co re­kom­pen­su­je stra­tę do­la­ra w pierw­szym za­kła­dzie i daje do­la­ra zy­sku. Za­łóż­my, że prze­gry­wasz w pierw­szych pię­ciu rzu­tach.

Tra­cisz po­sta­wio­ny 1 do­lar, więc na­stęp­nym ra­zem sta­wiasz 2 do­la­ry

Tra­cisz po­sta­wio­ne 2 do­la­ry, więc na­stęp­nym ra­zem sta­wiasz 4 do­la­ry

Tra­cisz po­sta­wio­ne 4 do­la­ry, więc na­stęp­nym ra­zem sta­wiasz 8 do­la­rów

Tra­cisz po­sta­wio­ne 8 do­la­rów, więc na­stęp­nym ra­zem sta­wiasz 16 do­la­rów

Tra­cisz po­sta­wio­ne 16 do­la­rów

Je­steś 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 do­la­rów do tyłu, więc za szó­stym ra­zem mu­sisz po­sta­wić 32 do­la­ry. Je­śli wy­grasz, zre­kom­pen­su­jesz do­tych­cza­so­we stra­ty i wyj­dziesz na plus. Ale mimo za­ry­zy­ko­wa­nia tylu pie­nię­dzy je­steś do przo­du tyl­ko o 1 do­la­ra, czy­li tyle, ile wy­no­si­ła pierw­sza staw­ka.

Mar­tyn­gał nie­wąt­pli­wie jest atrak­cyj­ny. W grze, w któ­rej szan­se wy­no­szą pra­wie 50 : 50 – na przy­kład przy ob­sta­wia­niu czer­wo­ne­go ko­lo­ru w ru­let­ce praw­do­po­do­bień­stwo wy­no­si 47 pro­cent – z du­żym praw­do­po­do­bień­stwem wy­grasz spo­ry od­se­tek par­tii, a za­tem masz do­bre wi­do­ki wyj­ścia na plus. Sys­tem ten nie jest jed­nak nie­za­wod­ny. Po pierw­sze, wy­gry­wa się je­dy­nie w ma­łych przy­ro­stach. Poza tym wie­my, że w se­rii 30 rzu­tów mo­ne­tą z prze­wa­ża­ją­cym praw­do­po­do­bień­stwem wy­stą­pi ciąg 5 or­łów lub 5 re­szek z rzę­du. Je­śli za­cznie­my od staw­ki w wy­so­ko­ści 40 do­la­rów i tra­fi się nam ciąg 5 prze­gra­nych par­tii z rzę­du, to bę­dzie­my mu­sie­li po­sta­wić 1280 do­la­rów. Ale na przy­kład w ka­sy­nie Pep­per­mill nie jest to moż­li­we – mak­sy­mal­ny za­kład to 1000 do­la­rów. Ka­sy­na usta­la­ją mak­sy­mal­ne za­kła­dy mię­dzy in­ny­mi wła­śnie po to, by po­wstrzy­mać ta­kie sys­te­my, jak mar­tyn­gał. Wy­kład­ni­czy wzrost sta­wek w mar­tyn­ga­le przy se­rii prze­gra­nych czę­sto przy­śpie­sza ban­kruc­two, za­miast przed nim chro­nić. Prze­ko­nał się o tym na wła­snej skó­rze naj­słyn­niej­szy zwo­len­nik tego sys­te­mu, osiem­na­sto­wiecz­ny we­nec­ki play­boy Gia­co­mo Ca­sa­no­va. „Da­lej gra­łem me­to­dą mar­tyn­ga­łu – po­wie­dział kie­dyś – ale mia­łem ta­kie­go pe­cha, że szyb­ko zo­sta­łem bez jed­ne­go ce­ki­na przy du­szy”.

Nie­mniej jed­nak gdy­by­śmy przy sto­le do ru­let­ki w Pep­per­mill gra­li na ko­lor czer­wo­ny me­to­dą mar­tyn­ga­łu z po­cząt­ko­wym za­kła­dem 10 do­la­rów, mu­sie­li­by­śmy mieć wy­jąt­ko­we­go pe­cha, by nie wy­grać w koń­cu tych 10 do­la­rów. Sys­tem za­ła­mie się tyl­ko wte­dy, gdy prze­gra­my 6 razy z rzę­du, a praw­do­po­do­bień­stwo ta­kie­go zda­rze­nia wy­no­si za­le­d­wie 1 : 47. Po wy­gra­nej na­le­ża­ło­by jed­nak wy­mie­nić że­to­ny na pie­nią­dze i wyjść. Dal­sza gra co­raz bar­dziej zwięk­sza praw­do­po­do­bień­stwo po­ja­wie­nia się pe­cho­wej se­rii.

Za­sta­nów­my się nad in­nym sys­te­mem za­kła­dów. Wy­obraź so­bie, że wrę­czo­no ci w ka­sy­nie 20 000 do­la­rów z prze­zna­cze­niem na ob­sta­wia­nie czer­wo­ne­go ko­lo­ru w ru­let­ce. Jaka jest naj­lep­sza stra­te­gia po­dwo­je­nia tych pie­nię­dzy? Po­sta­wić od­waż­nie wszyst­ko za jed­nym ra­zem czy ostroż­nie ob­sta­wiać naj­mniej­sze do­pusz­czal­ne za­kła­dy w wy­so­ko­ści do­la­ra? Choć na pierw­szy rzut oka może wy­da­wać się to lek­ko­myśl­ne, szan­se po­wo­dze­nia są o wie­le więk­sze, je­śli po­sta­wi się całą kwo­tę na raz. Z punk­tu wi­dze­nia ma­te­ma­ty­ki od­waż­na gra jest opty­mal­na. Je­śli się nad tym za­sta­no­wić, ma to sens: pra­wo wiel­kich liczb mówi, że na dłuż­szą metę prze­grasz. Aby mieć naj­więk­sze szan­se, mu­sisz skró­cić se­rię do mi­ni­mum.

Tak wła­śnie zro­bił w 2004 roku trzy­dzie­sto­dwu­let­ni Ash­ley Re­vell z Ken­tu. Sprze­dał cały swój ma­ją­tek, łącz­nie z ubra­nia­mi, i całą kwo­tę – 135 300 do­la­rów – do­la­rów po­sta­wił w Las Ve­gas na czer­wo­ne. Gdy­by prze­grał, zo­stał­by przy­najm­niej pod­rzęd­nym ce­le­bry­tą te­le­wi­zyj­nym, po­nie­waż za­kład fil­mo­wa­no na po­trze­by te­le­wi­zyj­ne­go re­ali­ty show. Kul­ka wy­lą­do­wa­ła jed­nak na czer­wo­nej sió­dem­ce i śmia­łek wró­cił do domu z 270 600 do­la­ra­mi.

Przy blac­kjac­ku Ed Thorp sta­nął wo­bec in­ne­go pro­ble­mu. Dzię­ki swe­mu sys­te­mo­wi mógł w okre­ślo­nych mo­men­tach w trak­cie gry stwier­dzić, czy ma prze­wa­gę nad kru­pie­rem. Thorp za­dał so­bie py­ta­nie: jaka jest naj­lep­sza stra­te­gia ob­sta­wia­nia, kie­dy szan­se są po na­szej stro­nie?

Wy­obraź so­bie za­kład, w któ­rym szan­se wy­gra­nej wy­no­szą 55 pro­cent, a szan­se prze­gra­nej 45 pro­cent. Dla uprosz­cze­nia przyj­mij­my, że kurs wy­gra­nej wy­no­si 1 : 1 i gra­my w grę 500 razy. Prze­wa­ga wy­no­si 10 pro­cent. Na dłuż­szą metę na­sze wy­gra­ne będą przy­no­sić prze­cięt­nie 10 do­la­rów zy­sku z każ­dych po­sta­wio­nych 100 do­la­rów. Aby zmak­sy­ma­li­zo­wać zysk cał­ko­wi­ty, mu­si­my oczy­wi­ście zmak­sy­ma­li­zo­wać łącz­ną kwo­tę za­kła­dów. Nie jest ta­kie oczy­wi­ste, jak to zro­bić, bo mak­sy­ma­li­za­cja bo­gac­twa wy­ma­ga mi­ni­ma­li­za­cji ry­zy­ka prze­gra­nia wszyst­kie­go. Oto jak wy­pa­da­ją 4 stra­te­gie ob­sta­wia­nia:

Stra­te­gia 1: Po­staw wszyst­ko. Tak jak Ash­ley Re­vell po­staw wszyst­kie fun­du­sze na pierw­szy za­kład. Je­śli wy­grasz, po­dwo­isz pie­nią­dze. Je­śli prze­grasz, je­steś ban­kru­tem. Je­śli wy­grasz, w na­stęp­nym za­kła­dzie po­now­nie po­staw wszyst­ko. Je­dy­nym spo­so­bem unik­nię­cia stra­ty wszyst­kie­go jest wy­gra­nie wszyst­kich 500 par­tii. Szan­se, że tak się sta­nie, je­śli praw­do­po­do­bień­stwo wy­gra­nia jed­nej par­tii wy­no­si 0,55, są jak 1 : 10130. In­ny­mi sło­wy, jest nie­mal pew­ne, że w trak­cie 500 par­tii zban­kru­tu­jesz. Nie jest to oczy­wi­ście do­bra stra­te­gia dłu­go­fa­lo­wa.

Stra­te­gia 2: Sta­ła staw­ka. Sta­wiaj sta­łą kwo­tę w każ­dym za­kła­dzie. Je­śli wy­grasz, two­je kon­to po­więk­szy się o tę kwo­tę. Je­śli prze­grasz, kon­to skur­czy się o tę kwo­tę. Po­nie­waż czę­ściej wy­gry­wasz niż prze­gry­wasz, w su­mie kon­to bę­dzie ro­snąć, ale tyl­ko ma­ły­mi krocz­ka­mi o tę samą sta­łą kwo­tę.

Stra­te­gia 3: Mar­tyn­gał. Za­pew­nia szyb­sze tem­po niż sta­ła staw­ka, po­nie­waż stra­ty re­kom­pen­so­wa­ne są przez po­dwa­ja­nie po prze­gra­nych, ale po­cią­ga za sobą o wie­le więk­sze ry­zy­ko. Już po kil­ku prze­gra­nych za­kła­dach mo­żesz zo­stać ban­kru­tem. To rów­nież nie jest do­bra stra­te­gia dłu­go­fa­lo­wa.

Stra­te­gia 4: Ob­sta­wia­nie pro­por­cjo­nal­ne. W tym wy­pad­ku sta­wia się nie­wiel­ką część fun­du­szy w za­leż­no­ści od po­sia­da­nej prze­wa­gi. Ist­nie­je kil­ka od­mian za­kła­dów pro­por­cjo­nal­nych – ale sys­te­mem, w któ­rym pie­nią­dze przy­ra­sta­ją naj­szyb­ciej, jest stra­te­gia Kel­ly’ego. Zgod­nie z tą stra­te­gią na­le­ży po­sta­wić uła­mek fun­du­szy okre­ślo­ny wzo­rem . W tym wy­pad­ku prze­wa­ga wy­no­si 10 pro­cent, a kurs wy­gra­nej 1 : 1, czy­li = 10 pro­cent. W każ­dym za­kła­dzie sta­wiaj więc 10 pro­cent fun­du­szy. Je­śli wy­grasz, fun­du­sze wzro­sną o 10 pro­cent, więc na­stęp­na staw­ka bę­dzie wyż­sza o 10 pro­cent od pierw­szej. Je­śli prze­grasz, fun­du­sze zmniej­szą się o 10 pro­cent, więc za dru­gim ra­zem staw­ka bę­dzie niż­sza o 10 pro­cent od pierw­szej.

Jest to bar­dzo bez­piecz­na stra­te­gia, po­nie­waż w ra­zie złej pas­sy bez­względ­na war­tość staw­ki ma­le­je – co ozna­cza ogra­ni­cze­nie strat. Po­ten­cjal­nie za­pew­nia rów­nież szan­se wy­gra­nia wiel­kich pie­nię­dzy, po­nie­waż – na za­sa­dzie pro­cen­tu skła­da­ne­go – przy do­brej pas­sie kwo­ta na kon­cie gra­cza ro­śnie wy­kład­ni­czo. Moż­na w ten spo­sób upiec dwie pie­cze­nie przy jed­nym ogniu: po­łą­czyć ni­skie ry­zy­ko z wy­so­kim zy­skiem. Spójrz tyl­ko, jak się spi­su­je: star­tu­je po­wo­li, by po oko­ło 400 za­kła­dach w koń­cu po­zo­sta­wić inne w tyle.

Sy­mu­la­cja 500 za­kła­dów, w któ­rych szan­se wy­gra­nej wy­no­szą za­wsze 55 pro­cent, z po­cząt­ko­wą staw­ką 1 do­la­ra. Pierw­szy za­kład w stra­te­giach „sta­ła staw­ka”, „mar­tyn­gał” i „ob­sta­wia­nie pro­por­cjo­nal­ne” w wer­sji Kel­ly’ego wy­no­si 10 cen­tów. W stra­te­gii „po­staw wszyst­ko” za każ­dym ra­zem sta­wia­na jest cała kwo­ta.

John Kel­ly ju­nior był tek­sa­skim ma­te­ma­ty­kiem, któ­ry przed­sta­wił swój słyn­ny wzór stra­te­gii ha­zar­du w ar­ty­ku­le w 1956 roku i kie­dy Ed Thorp za­sto­so­wał ów wzór w prak­ty­ce przy sto­li­ku do blac­kjac­ka, wy­ni­ki ro­bi­ły wra­że­nie.

– Jak po­wie­dział pe­wien ge­ne­rał, trze­ba być pierw­szym i mieć naj­więk­sze środ­ki.

Przy ma­łej prze­wa­dze i roz­trop­nym go­spo­da­ro­wa­niu pie­niędz­mi moż­na osią­gnąć ol­brzy­mie zy­ski. Za­py­ta­łem Thor­pa, któ­ra me­to­da mia­ła więk­sze zna­cze­nie dla za­ra­bia­nia na blac­kjac­ku: li­cze­nie kart czy sto­so­wa­nie wzo­ru Kel­ly’ego.

– My­ślę, że po kil­ku­dzie­się­ciu la­tach zgłę­bia­nia tej kwe­stii pa­nu­je zgod­ne prze­ko­na­nie – od­po­wie­dział – że stra­te­gie ob­sta­wia­nia mogą w dwóch trze­cich lub trzech czwar­tych de­cy­do­wać o tym, ile za­ro­bisz, a stra­te­gia gra­nia to gdzieś jed­na trze­cia, jed­na czwar­ta. Czy­li me­to­da ob­sta­wia­nia jest o wie­le waż­niej­sza.

Stra­te­gia Kel­ly’ego mia­ła póź­niej po­móc Thor­po­wi w za­ro­bie­niu po­nad 80 mi­liar­dów do­la­rów na ryn­kach fi­nan­so­wych.

Ed Thorp przed­sta­wił swój sys­tem li­cze­nia kart w 1962 roku w książ­ce Beat the De­aler. W dru­gim wy­da­niu z 1966 roku udo­sko­na­lił me­to­dę, wpro­wa­dza­jąc do­dat­ko­wo li­cze­nie kart o war­to­ści 10 (wa­let, dama, król i dzie­siąt­ka). Choć kar­ty te w mniej­szym stop­niu wpły­wa­ły na szan­se niż piąt­ki, było ich wię­cej, ła­twiej więc było roz­po­znać prze­wa­gę. Książ­ka Beat the De­aler sprze­da­ła się w po­nad mi­lio­nie eg­zem­pla­rzy i do dziś sta­no­wi in­spi­ra­cję dla rzesz ha­zar­dzi­stów.

Ka­sy­na pró­bo­wa­ły róż­ny­mi me­to­da­mi bro­nić się przed li­cze­niem kart. Naj­czę­ściej wpro­wa­dza­no wie­le ta­lii, po­nie­waż przy więk­szej licz­bie kart li­cze­nie jest nie tyl­ko trud­niej­sze, lecz rów­nież mniej opła­cal­ne. „Blo­ka­da pro­fe­so­ra” (ang. pro­fes­sor stop­per), czy­li po­daj­nik do kart, któ­ry roz­da­je wie­le ta­lii na­raz, w grun­cie rze­czy zo­sta­ła na­zwa­na tak na cześć Thor­pa. Poza tym ka­sy­na prze­for­so­wa­ły uzna­nie sto­so­wa­nia kom­pu­te­ra do pro­gnoz w ru­let­ce za prze­stęp­stwo.

Thorp ostat­ni raz grał w blac­kjac­ka w 1974 roku.

– Ro­dzi­na wy­bra­ła się na wy­ciecz­kę na Wy­sta­wę Świa­to­wą do Spo­ka­ne, w dro­dze po­wrot­nej za­trzy­ma­li­śmy się w [ka­sy­nie] Har­rah i po­wie­dzia­łem dzie­ciom, żeby dały mi parę go­dzin, bo chcę za­pła­cić za wy­ciecz­kę, i za­pła­ci­łem.

Beat the De­aler to nie tyl­ko kla­sycz­na książ­ka na te­mat ha­zar­du. Od­bi­ła się sze­ro­kim echem rów­nież w świe­cie eko­no­mii i fi­nan­sów. Ge­ne­ra­cja ma­te­ma­ty­ków za­in­spi­ro­wa­na książ­ką Thor­pa za­czę­ła two­rzyć mo­de­le ryn­ków fi­nan­so­wych i sto­so­wać w nich stra­te­gie ob­sta­wia­nia. Fi­scher Black i My­ron Scho­les opra­co­wa­li wzór Blac­ka-Scho­le­sa okre­śla­ją­cy, jak wy­ce­niać fi­nan­so­we in­stru­men­ty po­chod­ne – naj­słyn­niej­sze (i nie­sław­ne) rów­na­nie na Wall Stre­et. Thorp za­po­cząt­ko­wał epo­kę, w któ­rej ana­li­tyk ilo­ścio­wy, kwant (od ang. qu­an­ti­ta­ti­ve ana­lyst) – jak na­zwa­no ma­te­ma­ty­ków za­trud­nia­nych przez ban­ki do wy­naj­do­wa­nia spryt­nych spo­so­bów in­we­sto­wa­nia – był kró­lem.

– Książ­ka Beat the De­aler była czymś w ro­dza­ju pierw­sze­go pod­ręcz­ni­ka dla kwan­tów i w za­sa­dzie do­pro­wa­dzi­ła wprost do praw­dzi­wej re­wo­lu­cji – mówi Thorp, któ­ry może uwa­żać sie­bie, nie­bez­pod­staw­nie, za pierw­sze­go kwan­ta w hi­sto­rii.

Jego na­stęp­na książ­ka Beat the Mar­ket przy­czy­ni­ła się do trans­for­ma­cji ryn­ków pa­pie­rów war­to­ścio­wych. Na po­cząt­ku lat 70. ra­zem ze wspól­ni­kiem uru­cho­mi­li pierw­szy neu­tral­ny ryn­ko­wo fun­dusz hed­gin­go­wy in­stru­men­tów po­chod­nych, czy­li fun­dusz uni­ka­ją­cy wszel­kie­go ry­zy­ka ryn­ko­we­go. Od tam­te­go cza­su two­rzy co­raz bar­dziej wy­ra­fi­no­wa­ne pod wzglę­dem ma­te­ma­tycz­nym pro­duk­ty fi­nan­so­we, dzię­ki któ­rym stał się nie­zwy­kle bo­ga­ty (przy­najm­niej jak na pro­fe­so­ra ma­te­ma­ty­ki). Choć kie­dyś pro­wa­dził słyn­ny fun­dusz hed­gin­go­wy, obec­nie pro­wa­dzi ro­dzin­ne biu­ro, w któ­rym in­we­stu­je wy­łącz­nie swo­je wła­sne pie­nią­dze.

Spo­tka­łem się z Thor­pem we wrze­śniu 2008 roku. Sie­dzie­li­śmy w jego biu­rze w wie­żow­cu w New­port Be­ach, któ­ry wy­cho­dzi na Oce­an Spo­koj­ny. Była wspa­nia­ła ka­li­for­nij­ska po­go­da z nie­ska­zi­tel­nie czy­stym błę­kit­nym nie­bem. Thorp wy­glą­da na in­te­lek­tu­ali­stę po­zba­wio­ne­go prze­sad­nej po­wa­gi, jest ostroż­ny i wy­wa­żo­ny, a przy tym bły­sko­tli­wy i we­so­ły. Za­le­d­wie ty­dzień wcze­śniej bank Leh­man Bro­thers wy­stą­pił z wnio­skiem o upa­dłość. Za­py­ta­łem go, czy ma po­czu­cie winy, że po­mógł stwo­rzyć me­cha­ni­zmy, któ­re przy­czy­ni­ły się do naj­więk­sze­go kry­zy­su fi­nan­so­we­go ostat­nich dzie­się­cio­le­ci.

– Pro­ble­mem nie były same in­stru­men­ty po­chod­ne, ale brak re­gu­la­cji praw­nych dla in­stru­men­tów po­chod­nych – od­po­wie­dział w spo­sób, któ­ry za­pew­ne był do prze­wi­dze­nia.

Na­su­nę­ło mi się w związ­ku z tym py­ta­nie: sko­ro ma­te­ma­ty­ka sto­ją­ca za fi­nan­sa­mi świa­to­wy­mi jest dzi­siaj tak skom­pli­ko­wa­na, to czy rząd zwra­cał się do nie­go kie­dy­kol­wiek po radę?

– Nic mi o tym nie wia­do­mo, nie! – po­wie­dział z uśmie­chem. – Gdy­by się kie­dyś po­ja­wi­li, mam rad pod do­stat­kiem! Ale mnó­stwo tych spraw ma cha­rak­ter moc­no upo­li­tycz­nio­ny, a przy tym bar­dzo śro­do­wi­sko­wy.

Po­wie­dział, że je­śli chce się zo­stać usły­sza­nym, trze­ba by­wać na Wschod­nim Wy­brze­żu, grać w gol­fa i jeść lun­che z ban­kie­ra­mi i po­li­ty­ka­mi.

– A ja je­stem w Ka­li­for­nii i mam pięk­ny wi­dok… po pro­stu ba­wię się ma­te­ma­tycz­ny­mi gra­mi. Nie mam oka­zji wpa­dać na tych lu­dzi, może raz na ja­kiś czas.

Thorp cie­szy się jed­nak ze sta­tu­su out­si­de­ra. Nie uwa­ża sie­bie na­wet za człon­ka świa­ta fi­nan­so­we­go, choć jest nim od 40 lat.

– Uwa­żam się za na­ukow­ca, któ­ry wy­ko­rzy­stu­je swo­ją wie­dzę do ana­li­zo­wa­nia ryn­ków fi­nan­so­wych.

Kwe­stio­no­wa­nie kon­wen­cjo­nal­nej mą­dro­ści jest wio­dą­cym mo­ty­wem jego ży­cia, czymś, co z po­wo­dze­niem robi cią­gle od nowa. Jego zda­niem zdol­ni ma­te­ma­ty­cy za­wsze będą w sta­nie od­wró­cić szan­se na swo­ją ko­rzyść.

Cie­ka­wi­ło mnie rów­nież, czy tak wy­ra­fi­no­wa­ne ro­zu­mie­nie praw­do­po­do­bień­stwa po­mo­gło mu unik­nąć licz­nych pa­ra­dok­sów tej dzie­dzi­ny. Czy zda­rzy­ło mu się kie­dyś paść ofia­rą złu­dze­nia gra­cza?

– My­ślę, że po pro­stu bar­dzo do­brze idzie mi mó­wie­nie „nie”, ale tro­chę to za­ję­ło. Prze­sze­dłem przez kosz­tow­ną edu­ka­cję, kie­dy za­czą­łem uczyć się o ak­cjach. Po­dej­mo­wa­łem de­cy­zje opar­te na nie­zbyt ra­cjo­nal­nych de­cy­zjach.

Za­py­ta­łem go, czy za­grał kie­dyś na lo­te­rii.

– Cho­dzi panu o ob­sta­wia­nie złych za­kła­dów?

Po­wie­dzia­łem, że chy­ba tego nie ro­bił.

– Nic na to nie po­ra­dzę. Wie pan, raz na ja­kiś czas trze­ba. Za­łóż­my, że cała pań­ska war­tość net­to to dom. Ubez­pie­cza­nie domu jest złym za­kła­dem w sen­sie war­to­ści ocze­ki­wa­nej, ale pew­nie roz­trop­ne w sen­sie dłu­go­fa­lo­we­go prze­trwa­nia.

Za­py­ta­łem go więc, czy ubez­pie­czył swój dom.

Od­po­wie­dział do­pie­ro po chwi­li.

– Tak.

Za­milkł wcze­śniej, po­nie­waż za­sta­na­wiał się, jak do­kład­nie jest bo­ga­ty.

– Je­śli ktoś jest do­sta­tecz­nie ma­jęt­ny, nie musi ubez­pie­czać drob­nych przed­mio­tów – wy­ja­śnił. – W przy­pad­ku mi­liar­de­ra z do­mem o war­to­ści mi­lio­na do­la­rów nie ma zna­cze­nia, czy ubez­pie­czy go, czy nie, przy­najm­niej z punk­tu wi­dze­nia kry­te­rium Kel­ly’ego. Nie musi pła­cić, by za­bez­pie­czyć się przed taką sto­sun­ko­wo nie­wiel­ką stra­tą. Le­piej wyj­dzie, je­śli za­in­we­stu­je te pie­nią­dze w coś ko­rzyst­niej­sze­go. – Czy fak­tycz­nie ubez­pie­czy­łem swo­je domy, czy nie? Tak, chy­ba ubez­pie­czy­łem.

Prze­czy­ta­łem wcze­śniej ar­ty­kuł, w któ­rym była wzmian­ka, że Thorp chce, by za­mro­żo­no jego cia­ło po śmier­ci. Po­wie­dzia­łem mu, że wy­glą­da to na ha­zard – i to bar­dzo ka­li­for­nij­ski.

– No cóż, jak to po­wie­dział je­den z mo­ich przy­ja­ciół z bran­ży fan­ta­stycz­no­nau­ko­wej: „Sko­ro nie ma in­nych gier do wy­bo­ru”.

* * *

1 Bi­blia Ty­siąc­le­cia On­li­ne, Prz 16,33, Wy­daw­nic­two Pal­lot­ti­num, Po­znań 2008 (przyp. red.).

2 Na­zwę tę wy­ma­wia się po an­giel­sku /tü-,lüz/ jak cza­sow­nik to lose, któ­ry zna­czy „prze­grać, stra­cić” (przyp. red.).

3 Wil­liam Fel­ler, Wstęp do ra­chun­ku praw­do­po­do­bień­stwa, przekł. Ro­bert Bar­to­szyń­ski i Bro­ni­sław Bie­lec­ki, Wy­daw­nic­two Na­uko­we PWN, War­sza­wa 2007, s. 87 (przyp. red.).

4 Tam­że, s. 76 (przyp. red.).

ROZ­DZIAŁ DZIE­SIĄ­TY

Sy­tu­acja w nor­mie

Ku­pi­łem nie­daw­no elek­tro­nicz­ną wagę ku­chen­ną. Ma szkla­ną pod­sta­wę i „ła­twy w od­czy­cie nie­bie­ski wy­świe­tlacz”. Za­kup ten nie był po­dyk­to­wa­ny chę­cią pie­cze­nia wy­szu­ka­nych de­se­rów. Nie pla­no­wa­łem rów­nież urzą­dzić w swo­im miesz­ka­niu dziu­pli dla lo­kal­nych gan­gów nar­ko­ty­ko­wych. In­te­re­so­wa­ło mnie po pro­stu wa­że­nie rze­czy. Gdy tyl­ko wy­cią­gną­łem wagę z pu­deł­ka, wy­bra­łem się do miej­sco­wej pie­kar­ni Greggs i ku­pi­łem ba­giet­kę. Wa­ży­ła 391 gra­mów. Na­za­jutrz wró­ci­łem do Greggs i ku­pi­łem dru­gą ba­giet­kę. Była nie­co więk­sza, wa­ży­ła 398 gra­mów. Greggs to sieć po­nad 1000 skle­pów w Wiel­kiej Bry­ta­nii. Ich spe­cjal­ność to her­ba­ta, kro­kie­ty z mię­sem i gru­bo lu­kro­wa­ne bu­łecz­ki. Ja jed­nak świa­ta poza ba­giet­ka­mi nie wi­dzia­łem. Trze­cie­go dnia ba­giet­ka wa­ży­ła 399 gra­mów. Zdą­ży­ło mi się już znu­dzić zja­da­nie ca­łej ba­giet­ki co dnia, ale kon­ty­nu­owa­łem wa­że­nie. Czwar­ta ba­giet­ka to był ist­ny gi­gant – wa­ży­ła 403 gra­my. Po­my­śla­łem so­bie, że może po­wi­nie­nem za­wie­sić ją na ścia­nie, jak ja­kieś tro­feum węd­kar­skie. Prze­cież waga nie może ro­snąć w nie­skoń­czo­ność, po­my­śla­łem, i mia­łem ra­cję. Pią­ta ba­giet­ka była płot­ką, je­dy­ne 384 gra­my.

W XVI i XVII wie­ku za­chod­nia Eu­ro­pa za­ko­cha­ła się w zbie­ra­niu da­nych. Wła­śnie w tym okre­sie wy­na­le­zio­no przy­rzą­dy po­mia­ro­we, ta­kie jak ter­mo­metr, ba­ro­metr czy ho­do­metr (koło do mie­rze­nia od­le­gło­ści na dro­dze); uży­wa­nie ich sta­no­wi­ło eks­cy­tu­ją­cą no­wość. Nie bez zna­cze­nia było upo­wszech­nie­nie się wśród warstw wy­kształ­co­nych cyfr arab­skich, któ­re uspraw­ni­ły za­pis wy­ni­ków. Ko­lek­cjo­no­wa­nie liczb uwa­ża­no za szczyt no­wo­cze­sno­ści i nie była to chwi­lo­wa moda – ów szał ozna­czał po­czą­tek no­wo­żyt­nej na­uki. Zdol­ność do opi­sy­wa­nia świa­ta w ka­te­go­riach ilo­ścio­wych za­miast ja­ko­ścio­wych cał­ko­wi­cie zmie­ni­ła na­szą re­la­cję z oto­cze­niem. Licz­by dały nam ję­zyk do ba­dań na­uko­wych, a my zy­ska­li­śmy nowe prze­świad­cze­nie, że mo­że­my zdo­być głęb­szą wie­dzę o świe­cie rze­czy­wi­stym.

Po­ran­ne ku­po­wa­nie i wa­że­nie pie­czy­wa oka­za­ło się za­ska­ku­ją­co przy­jem­nym za­ję­ciem. W pod­sko­kach wra­ca­łem z pie­kar­ni, by jak naj­szyb­ciej spraw­dzić, ile gra­mów bę­dzie mia­ła ba­giet­ka. Dreszcz emo­cji był taki sam jak pod­czas spraw­dza­nia wy­ni­ków me­czu czy ryn­ków fi­nan­so­wych – do­wia­dy­wa­nie się, jak wy­padł ulu­bio­ny ze­spół lub jak sto­ją ak­cje, jest au­ten­tycz­nie eks­cy­tu­ją­ce. Po­dob­nie było z mo­imi ba­giet­ka­mi.

W co­dzien­nych wy­pra­wach do pie­kar­ni przy­świe­cał mi za­miar spo­rzą­dze­nia wy­kre­su roz­kła­du wagi i po 10 ba­giet­kach za­uwa­ży­łem, że naj­lżej­sza mia­ła 380 gra­mów, naj­cięż­sza 410 gra­mów, a jed­na z war­to­ści, 403 gra­my, się po­wtó­rzy­ła. Roz­pię­tość była dość duża, po­my­śla­łem. Wszyst­kie ba­giet­ki po­cho­dzi­ły z tego sa­me­go skle­pu, kosz­to­wa­ły tyle samo, a mimo to naj­cięż­sza była o pra­wie 8 pro­cent cięż­sza od naj­lżej­szej.

Kon­ty­nu­owa­łem swój eks­pe­ry­ment. Nie­zje­dzo­ne pie­czy­wo zbie­ra­ło się w kuch­ni. Po ja­kimś mie­sią­cu za­przy­jaź­ni­łem się z Ah­me­dem, so­ma­lij­skim kie­row­ni­kiem z Greggs. Po­dzię­ko­wał mi za zwięk­sze­nie dzien­nej sprze­da­ży ba­gie­tek i po­czę­sto­wał cze­ko­la­do­wym cro­is­san­tem.

Z fa­scy­na­cją ob­ser­wo­wa­łem, jak wagi roz­kła­da­ją się w ta­be­li. Choć nie mo­głem prze­wi­dzieć, ile bę­dzie wa­żyć 1 ba­giet­ka, z ca­łe­go zbio­ru wy­raź­nie wy­ła­nia­ła się pew­na pra­wi­dło­wość. Eks­pe­ry­ment prze­rwa­łem po 100 ba­giet­kach, kie­dy każ­da licz­ba mię­dzy 379 gra­ma­mi a 422 gra­ma­mi zdą­ży­ła, z 4 wy­jąt­ka­mi, wy­stą­pić przy­najm­niej 1 raz.

Do pro­jek­tu z pie­czy­wem za­bra­łem się z po­wo­dów ma­te­ma­tycz­nych, za­uwa­ży­łem jed­nak in­te­re­su­ją­ce psy­cho­lo­gicz­ne skut­ki ubocz­ne. Tuż przed wa­że­niem ba­gie­tek, przy­glą­da­łem się im i kon­tem­plo­wa­łem ko­lor, dłu­gość, ziar­ni­stość i fak­tu­rę – któ­re dość znacz­nie róż­ni­ły się w ko­lej­nych dniach. Za­czą­łem uwa­żać się za ko­ne­se­ra ba­gie­tek i mó­wi­łem do sie­bie ze znaw­stwem mi­strza pie­kar­skie­go: „Ta to jest cięż­ka” lub „Bez dwóch zdań prze­cięt­na sztu­ka”. My­li­łem się rów­nie czę­sto, jak mia­łem ra­cję. Kiep­skie wy­ni­ki w pro­gno­zo­wa­niu nie osła­bi­ły jed­nak we mnie prze­ko­na­nia, że rze­czy­wi­ście je­stem eks­per­tem w dzie­dzi­nie oce­ny ba­gie­tek. Było to, stwier­dzi­łem, ta­kie samo złu­dze­nie, ja­kie­mu ule­ga­ją spe­ce od spor­tu i fi­nan­sów, któ­rzy rów­nież nie po­tra­fią prze­wi­dy­wać przy­pad­ko­wych zda­rzeń, a mimo to ro­bią na tym ka­rie­rę.

Chy­ba naj­bar­dziej nie­po­ko­ją­cą z re­ak­cji, ja­kie bu­dzi­ły we mnie ba­giet­ki z pie­kar­ni Greggs, ob­ser­wo­wa­łem, gdy waga oka­zy­wa­ła się skraj­nie duża bądź skraj­nie mała. Kie­dy wa­ży­łem re­kor­do­wo cięż­ką lub lek­ką sztu­kę, czu­łem dreszcz emo­cji. Je­śli waga była nad­zwy­czaj­na, dzień też zda­wał się nad­zwy­czaj­ny, jak­by wy­jąt­ko­wość ba­giet­ki w ja­kiś spo­sób roz­cią­ga­ła się na po­zo­sta­łe aspek­ty mo­je­go ży­cia. Ro­zu­mo­wo wie­dzia­łem, że siłą rze­czy nie­któ­re ba­giet­ki będą ogrom­ne, a nie­któ­re nie­zbyt po­kaź­ne. Mimo to przy­pad­ki skraj­nych wag wpro­wa­dza­ły mnie w stan eu­fo­rii. Nie­po­ko­ją­ce, jak ła­two na mój na­strój mógł wpły­wać ka­wa­łek pie­czy­wa. Uwa­żam się za oso­bę nie­prze­sąd­ną, ale do­szu­ki­wa­nie się zna­cze­nia w przy­pad­ko­wych ukła­dach było sil­niej­sze ode mnie. To zna­mien­ny przy­kład tego, jak bar­dzo ule­ga­my bez­pod­staw­nym prze­ko­na­niom.

Mimo na­dziei pew­no­ści, jaką licz­by da­wa­ły na­ukow­com wie­ku oświe­ce­nia, czę­sto nie były one wca­le ta­kie pew­ne. Cza­sa­mi po­miar tego sa­me­go zja­wi­ska da­wał róż­ne wy­ni­ki. Był to kło­po­tli­wy pro­blem dla uczo­nych, któ­rzy po­szu­ki­wa­li ja­snych i bez­po­śred­nich wy­ja­śnień dla zja­wisk na­tu­ral­nych. Na przy­kład Ga­li­le­usz za­uwa­żył, że w ob­li­cze­niach od­le­gło­ści gwiazd za po­mo­cą te­le­sko­pu wy­ni­ki czę­sto pod­le­ga­ły wa­ha­niom i zmien­ność ta nie była re­zul­ta­tem błę­du ra­chun­ko­we­go. Wy­ni­ka­ła ra­czej z tego, że po­miar był ze swej isto­ty roz­my­ty. Licz­by oka­za­ły się nie tak pre­cy­zyj­ne, jak na to li­czo­no.

Tego sa­me­go do­świad­cza­łem z ba­giet­ka­mi. Na wa­ha­nia wagi wpły­wa­ło za­pew­ne wie­le czyn­ni­ków – ilość i kon­sy­sten­cja uży­tej mąki, czas pie­cze­nia, trans­port ba­gie­tek z cen­tral­nej pie­kar­ni do skle­pi­ku, wil­got­ność po­wie­trza i tak da­lej. Po­dob­nie na wy­ni­ki z te­le­sko­pu Ga­li­le­usza mia­ło wpływ wie­le zmien­nych – wa­run­ki at­mos­fe­rycz­ne, tem­pe­ra­tu­ra sprzę­tu oraz czyn­ni­ki oso­bi­ste, jak choć­by sto­pień zmę­cze­nia astro­no­ma pod­czas za­pi­sy­wa­nia od­czy­tów.

Ga­li­le­usz zdo­łał jed­nak do­strzec, że zmien­ność jego wy­ni­ków pod­le­ga pew­nym re­gu­łom. Mimo wa­hań dane każ­de­go po­mia­ru sku­pia­ły się zwy­kle wo­kół pew­nej war­to­ści środ­ko­wej, a małe od­chy­le­nia od tej war­to­ści wy­stę­po­wa­ły czę­ściej niż duże. Za­uwa­żył też, że roz­rzut wy­ni­ków był sy­me­trycz­ny – po­mia­ry niż­sze od war­to­ści środ­ko­wej były rów­nie czę­ste, jak po­mia­ry wyż­sze.

Po­dob­nie z mo­ich da­nych wy­ni­ka­ło, że waga ba­gie­tek sku­pia się wo­kół war­to­ści 400 gra­mów ± 20 gra­mów. Żad­na ze 100 ba­gie­tek nie wa­ży­ła do­kład­nie 400 gra­mów, ale ba­gie­tek wa­żą­cych mniej wię­cej 400 gra­mów było dużo wię­cej niż ba­gie­tek o wa­dze oko­ło 380 gra­mów czy 420 gra­mów. Rów­nież roz­rzut wy­ni­ków wy­da­wał się dość sy­me­trycz­ny.

Pierw­szym uczo­nym, któ­ry do­strzegł wzór two­rzo­ny przez tego ro­dza­ju błąd po­mia­ru, był nie­miec­ki ma­te­ma­tyk Carl Frie­drich Gauss. Wzór ten jest opi­sy­wa­ny krzy­wą dzwo­no­wą.

Wy­kres Gaus­sa wy­ma­ga pew­ne­go ob­ja­śnie­nia. Oś po­zio­ma przed­sta­wia ze­staw wy­ni­ków, na przy­kład wagę ba­gie­tek lub od­le­głość gwiazd. Oś pio­no­wa to praw­do­po­do­bień­stwo tych wy­ni­ków. Krzy­wa wy­kre­ślo­na na wy­kre­sie z tymi pa­ra­me­tra­mi na­zy­wa­na jest roz­kła­dem. Po­ka­zu­je nam roz­rzut wy­ni­ków i praw­do­po­do­bień­stwo każ­de­go z nich.

Ist­nie­je mnó­stwo ty­pów roz­kła­dów – naj­bar­dziej ele­men­tar­ny z nich opi­su­je za­pre­zen­to­wa­na po­wy­żej krzy­wa dzwo­no­wa, na­zy­wa­na rów­nież roz­kła­dem nor­mal­nym lub roz­kła­dem Gaus­sa. (Po­cząt­ko­wo na­zy­wa­no ją krzy­wą błę­du, ale ze wzglę­du na cha­rak­te­ry­stycz­ny kształt przy­ję­ło się okre­śle­nie krzy­wa dzwo­no­wa). Ma ona pew­ną prze­cięt­ną war­tość – śred­nią – któ­rą ozna­czy­łem li­te­rą X. Śred­nia to naj­bar­dziej praw­do­po­dob­ny wy­nik. Im bar­dziej wy­nik od­da­lo­ny jest od śred­niej, tym mniej­sze jest jego praw­do­po­do­bień­stwo.

Kie­dy 2 razy mie­rzy­my to samo i pro­ces ten jest obar­czo­ny błę­dem lo­so­wym (przy­pad­ko­wym), zwy­kle nie uzy­sku­je­my ta­kie­go sa­me­go wy­ni­ku. Im wię­cej jed­nak do­ko­na­my po­mia­rów, tym bar­dziej roz­kład wy­ni­ków za­czy­na przy­po­mi­nać krzy­wą dzwo­no­wą. Wy­ni­ki sku­pia­ją się sy­me­trycz­nie wo­kół war­to­ści śred­niej. Rzecz ja­sna wy­kres po­mia­rów nie bę­dzie krzy­wą cią­głą – bę­dzie to (jak wi­dzie­li­śmy na przy­kła­dzie ba­gie­tek) po­strzę­pio­ny kra­jo­braz sta­łych wiel­ko­ści. Krzy­wa dzwo­no­wa to teo­re­tycz­ny ide­ał wzo­ru two­rzo­ne­go przez błąd lo­so­wy. Im wię­cej da­nych, tym wy­raź­niej ów po­strzę­pio­ny kra­jo­braz wy­ni­ków po­kry­je się z krzy­wą.

Pod ko­niec XIX wie­ku fran­cu­ski ma­te­ma­tyk Hen­ri Po­in­ca­ré wie­dział, że roz­kład wy­ni­ków obar­czo­nych przy­pad­ko­wym błę­dem po­mia­ru bę­dzie zbli­żał się do krzy­wej dzwo­no­wej. W rze­czy sa­mej Po­in­ca­ré prze­pro­wa­dził taki sam eks­pe­ry­ment co ja, choć z in­nych po­wo­dów. Po­dej­rze­wał, że miej­sco­wa pie­kar­nia na­cią­ga go, sprze­da­jąc chleb o za­ni­żo­nej wa­dze, po­sta­no­wił więc za­prząc ma­te­ma­ty­kę w służ­bę spra­wie­dli­wo­ści. Przez rok co­dzien­nie wa­żył swój ki­lo­gra­mo­wy chleb po­wsze­dni. Zda­wał so­bie spra­wę z tego, że je­śli waga parę razy oka­że się niż­sza niż ki­lo­gram, nie bę­dzie to jesz­cze sta­no­wi­ło do­wo­du nie­uczci­wo­ści, po­nie­waż na­le­ży się spo­dzie­wać wa­hań wagi po­wy­żej i po­ni­żej de­kla­ro­wa­ne­go ki­lo­gra­ma. Przy­pusz­czał, że wy­kres wagi bo­chen­ków bę­dzie przy­po­mi­nać roz­kład nor­mal­ny – po­nie­waż błę­dy w pro­duk­cji chle­ba, ta­kie jak ilość zu­ży­tej mąki i czas wy­pie­ku bo­chen­ka, mają cha­rak­ter lo­so­wy.

Po roku wy­bit­ny na­uko­wiec prze­ana­li­zo­wał ze­bra­ne dane. Roz­kład wagi fak­tycz­nie był zbli­żo­ny do krzy­wej dzwo­no­wej. Jed­nak­że wierz­cho­łek krzy­wej przy­pa­dał na 950 gra­mów. In­ny­mi sło­wy, prze­cięt­na waga wy­no­si­ła 0,95 ki­lo­gra­ma, a nie 1 ki­lo­gram, jak de­kla­ro­wa­no. Po­dej­rze­nia Po­in­ca­régo się po­twier­dzi­ły. Kan­to­wa­no go śred­nio o 50 gra­mów na każ­dym bo­chen­ku. Jak gło­si le­gen­da, ma­te­ma­tyk po­wia­do­mił pa­ry­skie wła­dze i pie­karz otrzy­mał su­ro­we upo­mnie­nie.

Po tym ma­łym zwy­cię­stwie na rzecz praw kon­su­men­tów Po­in­ca­ré nie stra­cił jed­nak za­in­te­re­so­wa­nia całą spra­wą. Da­lej wa­żył swój chleb i po dru­gim roku zo­ba­czył, że kształt wy­kre­su nie jest praw­dzi­wą krzy­wą dzwo­no­wą – był prze­krzy­wio­ny w pra­wo. Uczo­ny wie­dział, że lo­so­wość błę­du daje w su­mie krzy­wą dzwo­no­wą, uznał więc, że na sprze­da­wa­ne mu bo­chen­ki musi wpły­wać ja­kieś zda­rze­nie nie­lo­so­we. Do­szedł do wnio­sku, że chci­wy pie­karz nie prze­stał za­ni­żać wagi, za to da­wał mu naj­więk­szy bo­che­nek, jaki miał pod ręką, wpro­wa­dza­jąc w ten spo­sób od­chy­le­nie w roz­kła­dzie. Bo­ulan­ger miał tego pe­cha, że jego klient był naj­by­strzej­szym czło­wie­kiem we Fran­cji. Po­in­ca­ré po­now­nie po­in­for­mo­wał po­li­cję.

Me­to­da, za po­mo­cą któ­rej Po­in­ca­ré przy­ła­pał nie­uczci­we­go pie­ka­rza, oka­za­ła się pro­ro­cza; obec­nie sta­no­wi ona teo­re­tycz­ną pod­sta­wę ochro­ny kon­su­men­tów. Kie­dy skle­py sprze­da­ją to­wa­ry o okre­ślo­nej wa­dze, owe to­wa­ry zgod­nie z pra­wem nie mu­szą mieć do­kład­nie ta­kiej wagi – jest to nie­moż­li­we, po­nie­waż w pro­ce­sie pro­duk­cji nie­uchron­nie po­wsta­ją eg­zem­pla­rze nie­co cięż­sze lub nie­co lżej­sze. Jed­nym z za­dań pra­cow­ni­ków in­spek­cji han­dlo­wej jest po­bie­ra­nie lo­so­wych pró­bek sprze­da­wa­nych to­wa­rów i spo­rzą­dza­nie wy­kre­sów ich wagi. Roz­kład wagi każ­de­go kon­tro­lo­wa­ne­go to­wa­ru musi mie­ścić się w krzy­wej dzwo­no­wej sku­pio­nej wo­kół de­kla­ro­wa­nej śred­niej.

Pół wie­ku przed Po­in­ca­rém, któ­ry do­strzegł krzy­wą dzwo­no­wą w chle­bie, inny ma­te­ma­tyk wi­dział ją wszę­dzie, gdzie­kol­wiek spoj­rzał. Adol­phe Qu­éte­let miał pod­sta­wy, by uwa­żać się za naj­bar­dziej wpły­wo­we­go Bel­ga na świe­cie. (Fakt, że nie ma wiel­kiej kon­ku­ren­cji w tej dzie­dzi­nie, w ni­czym nie umniej­sza jego za­sług). Z wy­kształ­ce­nia był geo­me­trą i astro­no­mem, ale szyb­ko uległ fa­scy­na­cji da­ny­mi – a do­kład­niej szu­ka­niu pra­wi­dło­wo­ści w licz­bach. W ra­mach jed­ne­go ze swo­ich pierw­szych przed­się­wzięć Qu­éte­let zba­dał fran­cu­skie sta­ty­sty­ki prze­stęp­czo­ści, któ­re rząd za­czął pu­bli­ko­wać w 1825 roku. Qu­éte­let za­uwa­żył, że licz­ba mor­derstw wła­ści­wie nie zmie­nia­ła się z roku na rok. Na­wet pro­por­cja róż­nych ro­dza­jów na­rzę­dzi zbrod­ni – czy po­peł­nio­no ją za po­mo­cą pi­sto­le­tu, mie­cza, noża, pię­ści i tak da­lej – po­zo­sta­wa­ła mniej wię­cej taka sama. Dzi­siaj ta­kie spo­strze­że­nie nie jest ni­czym od­kryw­czym – co wię­cej, dzia­ła­nie współ­cze­snych in­sty­tu­cji pu­blicz­nych opie­ra się w du­żej mie­rze na wskaź­ni­kach prze­stęp­czo­ści, wskaź­ni­kach zda­wal­no­ści eg­za­mi­nów i wskaź­ni­kach wy­pad­ków, któ­re zgod­nie z ocze­ki­wa­nia­mi po­win­ny być z roku na rok po­rów­ny­wal­ne. Ale to Qu­éte­let pierw­szy za­uwa­żył dość zdu­mie­wa­ją­cą re­gu­lar­ność zja­wisk spo­łecz­nych w ska­li ca­łej po­pu­la­cji. Nie spo­sób wska­zać, kto w da­nym roku może zo­stać mor­der­cą. Ale moż­na było dość do­kład­nie prze­wi­dzieć, ile w da­nym roku zo­sta­nie po­peł­nio­nych mor­derstw. W związ­ku z tą pra­wi­dło­wo­ścią Qu­éte­le­ta tra­pi­ło py­ta­nie o od­po­wie­dzial­ność oso­bi­stą jed­nost­ki, a co za tym idzie – o ety­kę kary. Je­śli spo­łe­czeń­stwo jest jak ma­szy­na, któ­ra wy­twa­rza sta­łą licz­bę mor­der­ców, czy nie wy­ni­ka stąd, że mor­der­stwo jest winą spo­łe­czeń­stwa, a nie jed­nost­ki?

Kon­cep­cje Qu­éte­le­ta zmie­ni­ły zna­cze­nie sło­wa sta­ty­sty­ka, któ­re pier­wot­nie nie mia­ło wie­le wspól­ne­go z licz­ba­mi. Sło­wa tego uży­wa­no na okre­śle­nie ogól­nych fak­tów do­ty­czą­cych pań­stwa, in­for­ma­cji, któ­re były po­trzeb­ne mę­żom sta­nu. Qu­éte­let uczy­nił ze sta­ty­sty­ki dużo szer­szą dys­cy­pli­nę, z na­rzę­dzia rzą­dze­nia kra­jem stwo­rzył ma­te­ma­ty­kę za­cho­wań zbio­ro­wych. Nie zdo­łał­by tego do­ko­nać bez roz­wo­ju teo­rii praw­do­po­do­bień­stwa, któ­ra do­star­czy­ła me­tod ana­li­zy lo­so­wo­ści da­nych. W 1853 roku Qu­éte­let zor­ga­ni­zo­wał w Bruk­se­li pierw­szą mię­dzy­na­ro­do­wą kon­fe­ren­cję sta­ty­stycz­ną.

Spo­strze­że­nia Qu­éte­le­ta na te­mat za­cho­wań zbio­ro­wych od­bi­ły się sze­ro­kim echem w in­nych dzie­dzi­nach na­uki. Je­śli ana­li­zu­jąc dane z po­pu­la­cji ludz­kich, moż­na wy­kryć wia­ry­god­ne pra­wi­dło­wo­ści, to stąd już tyl­ko mały krok do uświa­do­mie­nia so­bie, że po­pu­la­cje, daj­my na to, ato­mów rów­nież za­cho­wu­ją się z prze­wi­dy­wal­ną re­gu­lar­no­ścią. Ja­mes Clerk Ma­xwell i Lu­dwig Bolt­zmann wła­śnie dzię­ki sta­ty­stycz­ne­mu po­dej­ściu Qu­éte­le­ta sfor­mu­ło­wa­li ki­ne­tycz­ną teo­rię ga­zów, któ­ra wy­ja­śnia, że ci­śnie­nie gazu jest re­zul­ta­tem zde­rzeń czą­ste­czek po­ru­sza­ją­cych się cha­otycz­nie z róż­ny­mi pręd­ko­ścia­mi. Choć nie moż­na okre­ślić pręd­ko­ści po­szcze­gól­nych czą­ste­czek, czą­stecz­ki ogól­nie za­cho­wu­ją się w prze­wi­dy­wal­ny spo­sób. Ge­ne­za ki­ne­tycz­nej teo­rii ga­zów jest cie­ka­wym wy­jąt­kiem od re­gu­ły, że roz­wój w na­ukach spo­łecz­nych jest efek­tem po­stę­pów w na­ukach przy­rod­ni­czych. W tym wy­pad­ku prze­pływ wie­dzy miał kie­ru­nek prze­ciw­ny.

Pra­wi­dło­wość, z jaką Qu­éte­let naj­czę­ściej spo­ty­kał się w swo­ich ba­da­niach, opi­sy­wa­ła krzy­wa dzwo­no­wa. Była wszech­obec­na w da­nych do­ty­czą­cych po­pu­la­cji ludz­kich. W tam­tych cza­sach trud­niej niż obec­nie było zdo­być zbio­ry da­nych, więc Belg prze­cze­sy­wał świat w ich po­szu­ki­wa­niu z wy­trwa­ło­ścią god­ną pro­fe­sjo­nal­ne­go ko­lek­cjo­ne­ra. Na­tra­fił na przy­kład na ba­da­nie opu­bli­ko­wa­ne w 1814 roku w „Edin­burgh Me­di­cal Jo­ur­nal” za­wie­ra­ją­ce po­mia­ry klat­ki pier­sio­wej 5738 szkoc­kich żoł­nie­rzy. Qu­éte­let na­ry­so­wał wy­kres liczb i po­ka­zał, że roz­kład sze­ro­ko­ści klat­ki pier­sio­wej jest krzy­wą dzwo­no­wą ze śred­nią wy­no­szą­cą oko­ło 40 cali. Na pod­sta­wie in­nych zbio­rów da­nych wy­ka­zał, że rów­nież wzrost męż­czyzn i ko­biet ma ce­chy krzy­wej dzwo­no­wej. Han­del de­ta­licz­ny do dziś opie­ra się na od­kry­ciach Qu­éte­le­ta. Skle­py odzie­żo­we ro­bią więk­sze za­pa­sy śred­nich roz­mia­rów niż ma­łych czy du­żych wła­śnie dla­te­go, że roz­kład wy­mia­rów lu­dzi od­po­wia­da z grub­sza krzy­wej dzwo­no­wej. W zna­jo­my kształt ukła­da­ją się na przy­kład naj­now­sze dane do­ty­czą­ce roz­mia­ru bu­tów do­ro­słych Bry­tyj­czy­ków.

Roz­miar stóp Bry­tyj­czy­ków.

Qu­éte­let zmarł w 1874 roku. De­ka­dę póź­niej po dru­giej stro­nie ka­na­łu La Man­che na uli­cach Wiel­kiej Bry­ta­nii czę­sto moż­na było spo­tkać pew­ne­go sześć­dzie­się­cio­lat­ka z ły­si­ną i wy­twor­ny­mi wik­to­riań­ski­mi bo­ko­bro­da­mi, któ­ry ga­pił się na ko­bie­ty i grze­bał w kie­sze­ni. Był to Fran­cis Gal­ton, wy­bit­ny na­uko­wiec, pro­wa­dzą­cy ba­da­nia te­re­no­we. Mie­rzył atrak­cyj­ność ko­biet. Aby dys­kret­nie za­pi­sać opi­nię na te­mat prze­cho­dzą­cych pań, w kie­sze­ni na­kłu­wał igłą kart­kę w kształ­cie krzy­ża, za­zna­cza­jąc, czy dana dama jest „atrak­cyj­na”, „prze­cięt­na” czy „od­py­cha­ją­ca”. Po za­koń­cze­niu ba­da­nia spo­rzą­dził uro­do­wą mapę kra­ju. Naj­wy­żej no­to­wa­nym mia­stem był Lon­dyn, naj­ni­żej upla­so­wa­ło się Aber­de­en.

Gal­ton był praw­do­po­dob­nie je­dy­nym czło­wie­kiem w dzie­więt­na­sto­wiecz­nej Eu­ro­pie, któ­ry miał jesz­cze więk­szą ob­se­sję na punk­cie zbie­ra­nia da­nych niż Qu­éte­let. Bę­dąc mło­dym na­ukow­cem, co­dzien­nie mie­rzył tem­pe­ra­tu­rę dzban­ka z her­ba­tą i za­pi­sy­wał ta­kie in­for­ma­cje, jak ob­ję­tość uży­te­go wrząt­ku i wy­bor­ność sma­ku. Chciał usta­lić spo­sób pa­rze­nia ide­al­nej her­bat­ki. (Nie do­szedł do żad­nych wnio­sków). Ma­te­ma­ty­ka pod­wie­czor­ku po­zo­sta­ła zresz­tą jego pa­sją przez całe ży­cie. W po­de­szłym wie­ku prze­słał do cza­so­pi­sma „Na­tu­re” za­miesz­czo­ny obok sche­mat przed­sta­wia­ją­cy naj­lep­szy, jego zda­niem, spo­sób kro­je­nia cia­sta, by jak naj­dłu­żej za­cho­wa­ło świe­żość1.

A wła­śnie! Sko­ro ta książ­ka ma licz­by w ty­tu­le, jak­że­bym mógł nie wspo­mnieć w tym mo­men­cie o for­mach licz­bo­wych Gal­to­na – choć nie mają one wie­le wspól­ne­go z te­ma­tem roz­dzia­łu. Gal­to­na fa­scy­no­wa­ło, że znacz­na licz­ba lu­dzi – któ­rą sza­co­wał na 5 pro­cent – au­to­ma­tycz­nie wy­obra­ża so­bie licz­by w po­sta­ci swo­istych map, któ­re na­zwał for­ma­mi licz­bo­wy­mi (ang. num­ber forms). Twier­dził, że licz­by w umy­słach ta­kich osób przyj­mu­ją „pre­cy­zyj­nie zde­fi­nio­wa­ną i sta­łą po­zy­cję” oraz że lu­dzie ci nie są w sta­nie po­my­śleć o ja­kiejś licz­bie, „nie od­no­sząc się do jej szcze­gól­ne­go sie­dli­ska w polu wi­dze­nia swo­jej wy­obraź­ni”. Szcze­gól­nie in­te­re­su­ją­ce w for­mach licz­bo­wych jest to, że na ogół mają bar­dzo oso­bli­wy układ. Za­miast – jak moż­na by się spo­dzie­wać – li­nii pro­stej, czę­sto two­rzą dość dziw­ne za­krę­ty i zwro­ty.

W „Kro­je­niu okrą­głe­go cia­sta we­dług za­sad na­uko­wych” Gal­ton za­zna­czył pla­no­wa­ne cię­cia li­nią prze­ry­wa­ną, a brze­gi li­nią cią­głą. Me­to­da ta chro­ni śro­dek tor­tu przed wy­sy­cha­niem, do któ­re­go do­cho­dzi przy wy­kra­wa­niu ka­wał­ków w tra­dy­cyj­ny (i, jak uwa­ża au­tor, „bar­dzo błęd­ny”) spo­sób. Na dru­gim i trze­cim eta­pie tort po­wi­nien być spię­ty gum­ką.

For­my licz­bo­we mają po­smak wik­to­riań­skiej dzi­wacz­no­ści, być może były świa­dec­twem stłu­mio­nych emo­cji lub nad­uży­wa­nia opia­tów. Ale dzi­siaj są przed­mio­tem ba­dań na­uko­wych jako ro­dzaj sy­ne­ste­zji – zja­wi­ska neu­ro­lo­gicz­ne­go, któ­re za­cho­dzi wte­dy, gdy po­bu­dze­nie jed­ne­go szla­ku po­znaw­cze­go pro­wa­dzi do mi­mo­wol­ne­go po­bu­dze­nia dru­gie­go. W tym wy­pad­ku licz­bom przy­pi­su­je się po­ło­że­nie w prze­strze­ni. In­nym przy­kła­dem sy­ne­ste­zji może być prze­ko­na­nie, że li­te­ry mają ko­lo­ry lub że dni ty­go­dnia mają oso­bo­wość. Gal­ton tak na­praw­dę nie do­sza­co­wał wy­stę­po­wa­nia form licz­bo­wych wśród lu­dzi. Obec­nie uwa­ża się, że w ja­kiś spo­sób do­świad­cza ich oko­ło 12 pro­cent po­pu­la­cji.

Czte­ry przy­kła­dy form licz­bo­wych Gal­to­na: oso­bli­we re­pre­zen­ta­cje prze­strzen­ne liczb.

Głów­ną na­mięt­no­ścią Gal­to­na było jed­nak mie­rze­nie. Zbu­do­wał „la­bo­ra­to­rium an­tro­po­me­trycz­ne” – otwar­ty ośro­dek w Lon­dy­nie, w któ­rym mie­rzył wzrost, wagę, siłę chwy­tu, szyb­kość cio­su, wzrok i inne ce­chy fi­zycz­ne lud­no­ści. La­bo­ra­to­rium opra­co­wa­ło szcze­gó­ło­we dane po­nad 10 000 osób, a Gal­ton zy­skał taką sła­wę, że na­wet pre­mier Wil­liam Glad­sto­ne wpadł zmie­rzyć gło­wę. („Była to pięk­nie ukształ­to­wa­na gło­wa, choć nie­wiel­ka”, po­wie­dział Gal­ton). Mie­rze­nie było w isto­cie na­ło­giem Gal­to­na – kie­dy nie miał ni­cze­go oczy­wi­ste­go do mie­rze­nia, wy­naj­do­wał so­bie coś, co mo­gło za­spo­ko­ić jego głód po­mia­rów. W ar­ty­ku­le opu­bli­ko­wa­nym w „Na­tu­re” w 1885 roku na­pi­sał, że pod­czas nu­żą­ce­go ze­bra­nia za­czął mie­rzyć czę­stość wier­ce­nia się ko­le­gów. Su­ge­ro­wał, że na­ukow­cy po­win­ni za­cząć wy­ko­rzy­sty­wać nu­żą­ce ze­bra­nia, by „opa­no­wać nową sztu­kę licz­bo­we­go uj­mo­wa­nia ilo­ści nudy prze­ja­wia­nej przez pu­blicz­ność”.

Stu­dia Gal­to­na po­twier­dzi­ły ba­da­nia Qu­éte­le­ta, po­ka­zu­jąc, że zmien­ność w po­pu­la­cjach ludz­kich jest ści­śle zde­ter­mi­no­wa­na. Rów­nież on wszę­dzie wi­dział krzy­we dzwo­no­we. Czę­stość wy­stę­po­wa­nia tej krzy­wej skło­ni­ła na­wet Gal­to­na do wpro­wa­dze­nia sło­wa „nor­mal­ny” jako wła­ści­we­go okre­śle­nia dla tego roz­kła­du. Wy­kres ten ilu­stro­wał tak­że ob­wód gło­wy czło­wie­ka i wiel­kość mó­zgu, ale Gal­to­na szcze­gól­nie in­te­re­so­wa­ły ce­chy nie­fi­zycz­ne, ta­kie jak in­te­li­gen­cja. W tam­tych cza­sach nie było jesz­cze te­stów na IQ, więc Gal­ton szu­kał in­nych miar in­te­li­gen­cji. Zna­lazł je w wy­ni­kach eg­za­mi­nów wstęp­nych do aka­de­mii woj­sko­wej w San­dhurst. Jak się oka­za­ło, rów­nież oce­ny z eg­za­mi­nów po­kry­wa­ły się z krzy­wą dzwo­no­wą. Na­peł­ni­ło to Gal­to­na po­czu­ciem po­dzi­wu. „Nie znam chy­ba ni­cze­go, co po­tra­fi wy­wie­rać ta­kie wra­że­nie na wy­obraź­ni, jak cu­dow­na for­ma ko­smicz­ne­go po­rząd­ku wy­ra­żo­na w po­sta­ci [krzy­wej dzwo­no­wej] – na­pi­sał. – Gdy­by Gre­cy zna­li to pra­wo, zo­sta­ło­by ono sper­so­ni­fi­ko­wa­ne i ubó­stwio­ne. Pa­nu­je ze spo­ko­jem, usu­nię­te zu­peł­nie w cień, po­śród naj­gwał­tow­niej­sze­go za­mę­tu. Im po­tęż­niej­szy mo­tłoch, im więk­sza po­zor­na anar­chia, tym do­sko­nal­sza jest jego wła­dza. Jest to naj­wyż­sze pra­wo cha­osu”.

Gal­ton wy­na­lazł cu­dow­nie pro­ste urzą­dze­nie, któ­re wy­ja­śnia ma­te­ma­ty­kę sto­ją­cą za jego uko­cha­ną krzy­wą. Na­zwał je qu­in­cu­nxem. Pier­wot­ne zna­cze­nie tego sło­wa to , układ 5 kro­pek na ko­st­ce, a samo urzą­dze­nie jest ro­dza­jem ma­szy­ny do gry w pin­ball, w któ­rej po­zio­me rzę­dy koł­ków są prze­su­nię­te wzglę­dem sie­bie o po­ło­wę od­le­gło­ści mię­dzy koł­ka­mi. Z góry qu­in­cu­nxa wrzu­ca się kul­kę, któ­ra od­bi­ja się mię­dzy koł­ka­mi i w koń­cu wpa­da do jed­nej z ko­lumn na dole. Kształt, jaki na­tu­ral­nie two­rzy się w ko­lum­nach po wrzu­ce­niu więk­szej licz­by ku­lek, przy­po­mi­na krzy­wą dzwo­no­wą.

Qu­in­cunx zwa­ny też de­ską Gal­to­na.

Ra­chu­nek praw­do­po­do­bień­stwa po­zwa­la nam zro­zu­mieć, co się dzie­je. Wy­obraź­my so­bie naj­pierw qu­in­cu­nxa tyl­ko z jed­nym koł­kiem i po­wiedz­my, że wy­nik ude­rze­nia kul­ki w ko­łek jest lo­so­wy: szan­se, że kul­ka od­bi­je w lewo, wy­no­szą 50 pro­cent, a szan­se, że od­bi­je w pra­wo, rów­nież 50 pro­cent. In­ny­mi sło­wy, kul­ka z praw­do­po­do­bień­stwem wy­lą­du­je o 1 miej­sce w lewo i z praw­do­po­do­bień­stwem wy­lą­du­je o 1 miej­sce w pra­wo.

Do­daj­my te­raz dru­gi rząd koł­ków. Kul­ka spad­nie albo w lewo, a po­tem w lewo, co na­zwę LL, albo LP, albo PL, albo PP. Po­nie­waż prze­su­nię­cie w lewo, a po­tem w pra­wo jest rów­no­waż­ne po­zo­sta­niu w tym sa­mym miej­scu, L i P ra­zem zno­szą się na­wza­jem (tak samo jak P i L ra­zem), więc te­raz praw­do­po­do­bień­stwo, że kul­ka wy­lą­du­je o 1 miej­sce w lewo, wy­no­si , że wy­lą­du­je na środ­ku , a że wy­lą­du­je po pra­wej .

Przy trze­cim rzę­dzie koł­ków mamy 8 rów­nie praw­do­po­dob­nych moż­li­wo­ści tra­fie­nia kul­ki: LLL, LLP, LPL, LPP, PPP, PPL, PLP, PLL. A za­tem praw­do­po­do­bień­stwo wy­lą­do­wa­nia da­lej na lewo wy­no­si , praw­do­po­do­bień­stwo wy­lą­do­wa­nia bli­żej na lewo , wy­lą­do­wa­nia bli­żej na pra­wo , a wy­lą­do­wa­nia da­lej na pra­wo .

In­a­czej mó­wiąc, je­śli w qu­in­cu­nxie są 2 rzę­dy koł­ków i wrzu­ci­my do urzą­dze­nia bar­dzo dużo ku­lek, to zgod­nie z pra­wem wiel­kich liczb kul­ki będą spa­dać na dno w taki spo­sób, że ich pro­por­cje będą zbli­żo­ne do 1 : 2 : 1.

Je­śli będą 3 rzę­dy, kul­ki będą spa­dać w pro­por­cji 1 : 3 : 3 : 1.

Je­śli będą 4 rzę­dy, kul­ki będą spa­dać w pro­por­cji 1 : 4 : 6 : 4 : 1.

Gdy­bym da­lej ob­li­czał praw­do­po­do­bień­stwa, w dzie­się­cio­rzę­do­wym qu­in­cu­nxie kul­ki po­spa­da­ją w pro­por­cji 1 : 10 : 45 : 120 : 210 : 252 : 210 : 120 : 45 : 10 : 1.

Po na­nie­sie­niu na wy­kres tych liczb uzy­ska­my pierw­szy z kształ­tów po­ka­za­nych na wy­kre­sach obok. Kształt ów sta­je się jesz­cze bar­dziej zna­jo­my wraz z do­da­wa­niem ko­lej­nych rzę­dów. Obok wid­nie­ją rów­nież re­zul­ta­ty dla 100 i 1000 rzę­dów w po­sta­ci wy­kre­sów słup­ko­wych. (Za­uważ, że po­ka­za­no tyl­ko środ­ko­wą część tych dwóch wy­kre­sów, po­nie­waż war­to­ści po le­wej i po pra­wej są nie­do­strze­gal­ne).

Jaki jest więc zwią­zek tego pin­bal­la z tym, co dzie­je się w rze­czy­wi­stym świe­cie? Wy­obraź so­bie, że każ­dy rząd w qu­in­cu­nxie jest zmien­ną lo­so­wą, któ­ra spo­wo­du­je błąd w po­mia­rze. Albo nie­znacz­nie zwięk­szy po­praw­ny po­miar, albo nie­znacz­nie go zmniej­szy. W przy­pad­ku Ga­li­le­usza i jego te­le­sko­pu 1 rząd koł­ków mógł­by sym­bo­li­zo­wać tem­pe­ra­tu­rę sprzę­tu, inny ewen­tu­al­ne prze­cho­dze­nie fron­tu ter­micz­ne­go, a jesz­cze inny za­nie­czysz­cze­nie po­wie­trza. Każ­da zmien­na przy­czy­nia się do błę­du na 1 z 2 spo­so­bów, tak jak kul­ka w qu­in­cu­nxie od­bi­ja się na lewo lub pra­wo. W każ­dym po­mia­rze mogą być mi­lio­ny nie­zau­wa­żal­nych błę­dów lo­so­wych – jed­nak­że łącz­nie błę­dy te dają po­mia­ry, któ­rych roz­kład przy­po­mi­na krzy­wą dzwo­no­wą.

Je­śli ce­chy ja­kiejś po­pu­la­cji mają roz­kład nor­mal­ny, czy­li są sku­pio­ne wo­kół śred­niej w kształ­cie krzy­wej dzwo­no­wej, i je­śli krzy­wą dzwo­no­wą two­rzy błąd lo­so­wy, to – jak ar­gu­men­to­wał Qu­éte­let – na zmien­ność ludz­kich cech moż­na spoj­rzeć jak na błę­dy w pew­nym pa­ra­dyg­ma­cie. Na­zwał ów pa­ra­dyg­mat l’hom­me moy­en, czy­li „prze­cięt­ny czło­wiek”. Po­pu­la­cje, jak mó­wił, skła­da­ją się z od­chy­leń od tego pro­to­ty­pu. Zda­niem Qu­éte­le­ta, prze­cięt­ność to coś, do cze­go na­le­ży dą­żyć, po­nie­waż utrzy­mu­je spo­łe­czeń­stwo w ry­zach – od­chy­le­nia od prze­cięt­no­ści pro­wa­dzą do „brzy­do­ty cia­ła oraz wy­stęp­nych oby­cza­jów”. Choć po­ję­cie l’hom­me moy­en nig­dy nie spo­tka­ło się z apro­ba­tą w na­uce, prze­nik­nę­ło do po­tocz­ne­go ję­zy­ka. Czę­sto mó­wiąc o mo­ral­no­ści czy gu­ście, od­wo­łu­je­my się do tego, co prze­cięt­ny przed­sta­wi­ciel da­nej po­pu­la­cji mógł­by my­śleć lub czuć na dany te­mat: co na przy­kład ucho­dzi za do­pusz­czal­ne „w oczach prze­cięt­ne­go czło­wie­ka”.

Pod­czas gdy Qu­éte­let wy­chwa­lał prze­cięt­ność, Gal­ton nią gar­dził. Jak wcze­śniej wspo­mnia­łem, Bry­tyj­czyk za­uwa­żył, że wy­ni­ki eg­za­mi­nów mia­ły roz­kład nor­mal­ny. Więk­szość osób uzy­ska­ła oce­ny w oko­li­cach śred­niej, na­to­miast kil­ka otrzy­ma­ło oce­ny bar­dzo wy­so­kie, a kil­ka bar­dzo ni­skie.

Gal­ton, na­wia­sem mó­wiąc, sam po­cho­dził z wy­bit­nie po­nad­prze­cięt­nej ro­dzi­ny. Jego naj­bliż­szym ku­zy­nem był Char­les Dar­win, pa­no­wie pro­wa­dzi­li re­gu­lar­ną ko­re­spon­den­cję na te­mat swo­ich kon­cep­cji na­uko­wych. Oko­ło de­ka­dy po opu­bli­ko­wa­niu przez Dar­wi­na dzie­ła O po­wsta­wa­niu ga­tun­ków, któ­re przed­sta­wia­ło teo­rię do­bo­ru na­tu­ral­ne­go, Gal­ton za­czął wy­su­wać teo­rie, jak moż­na by po­kie­ro­wać ewo­lu­cją czło­wie­ka. In­te­re­so­wa­ła go dzie­dzicz­ność in­te­li­gen­cji i za­sta­na­wiał się nad moż­li­wo­ścia­mi po­pra­wy ogól­nej in­te­li­gen­cji w po­pu­la­cji. Chciał prze­su­nąć krzy­wą dzwo­no­wą na pra­wo. W tym celu za­ini­cjo­wał nową dzie­dzi­nę ba­dań nad „do­sko­na­le­niem rasy”, czy­li po­pra­wia­niem li­nii umy­sło­wej po­pu­la­cji na dro­dze ho­dow­li. Naj­pierw my­ślał, by nową na­ukę na­zwać vi­ti­cul­tu­re, od ła­ciń­skie­go vita, „ży­cie”, ale osta­tecz­nie zde­cy­do­wał się na eu­ge­ni­kę, od grec­kie­go éu, „do­bry”, i ge­nos, „uro­dze­nie”. (Zwy­kłe zna­cze­nie sło­wa vi­ti­cul­tu­re, czy­li upra­wa wi­no­ro­śli, po­cho­dzi od ła­ciń­skie­go vi­tis, „wino”, i na­ro­dzi­ło się mniej wię­cej w tym sa­mym cza­sie). Choć wie­lu li­be­ral­nych in­te­lek­tu­ali­stów z koń­ca XIX i po­cząt­ku XX wie­ku po­pie­ra­ło eu­ge­ni­kę jako spo­sób udo­sko­na­le­nia spo­łe­czeń­stwa, po­mysł „ho­do­wa­nia” in­te­li­gent­niej­szych lu­dzi wkrót­ce zo­stał wy­pa­czo­ny i skom­pro­mi­to­wa­ny. W la­tach 30. eu­ge­ni­ka sta­ła się sy­no­ni­mem zbrod­ni­czej na­zi­stow­skiej po­li­ty­ki stwo­rze­nia wyż­szej rasy aryj­skiej.

Z per­spek­ty­wy cza­su ła­two do­strzec, jak oce­nia­nie cech – na przy­kład in­te­li­gen­cji czy czy­sto­ści ra­so­wej – może pro­wa­dzić do dys­kry­mi­na­cji i do­gma­tycz­no­ści. Po­nie­waż krzy­wa dzwo­no­wa po­ja­wia się w po­mia­rach ludz­kich cech, sta­ła się ona sy­no­ni­mem prób kla­sy­fi­ko­wa­nia pew­nych lu­dzi jako lep­szych ze swej isto­ty od in­nych. Naj­gło­śniej­szym przy­kła­dem była wy­da­na w 1994 roku książ­ka The Bell Cu­rve Ri­char­da J. Her­rn­ste­ina i Char­le­sa Mur­raya, jed­na z naj­go­rę­cej dys­ku­to­wa­nych pu­bli­ka­cji ostat­nich lat. Ty­tu­ło­wa krzy­wa dzwo­no­wa od­no­si się do roz­kła­du wy­ni­ków IQ, a au­to­rzy stwier­dza­ją, że róż­ni­ce IQ mię­dzy gru­pa­mi ra­so­wy­mi są do­wo­dem róż­nic bio­lo­gicz­nych. Gal­ton na­pi­sał, że krzy­wa dzwo­no­wa pa­nu­je ze „spo­ko­jem, usu­nię­ta zu­peł­nie w cień”. Z jej spu­ści­zną jest jed­nak wprost prze­ciw­nie.

Rzę­dy liczb po­wsta­ją­ce w de­sce Gal­to­na moż­na przed­sta­wić w kształ­cie pi­ra­mi­dy. Taki układ wy­ni­ków zna­ny jest pod na­zwą trój­ką­ta Pas­ca­la.

Trój­kąt Pas­ca­la moż­na skon­stru­ować o wie­le pro­ściej – nie trze­ba ob­li­czać roz­kła­du przy­pad­ko­we­go spa­da­nia ku­lek. Za­cznij­my od je­dyn­ki w pierw­szym rzę­dzie, a po­ni­żej umie­ść­my 2 je­dyn­ki w taki spo­sób, by po­wstał trój­kąt. W ko­lej­nych rzę­dach na­le­ży do­da­wać je­dyn­kę na po­cząt­ku i na koń­cu rzę­du. War­tość każ­dej po­zo­sta­łej po­zy­cji rów­na się su­mie 2 liczb znaj­du­ją­cych się nad nią.

Trój­kąt na­zwa­no tak na cześć Bla­ise’a Pas­ca­la, choć Fran­cuz nie był pierw­szym wiel­bi­cie­lem jego uro­ków. Już wie­le stu­le­ci przed nim układ ten zna­li ma­te­ma­ty­cy z In­dii, Chin i Per­sji. Do­pie­ro jed­nak Pas­cal na­pi­sał książ­kę o – jak to na­zwał – le trian­gle ari­th­méti­que. Był za­fa­scy­no­wa­ny ma­te­ma­tycz­nym bo­gac­twem pra­wi­dło­wo­ści, ja­kie od­krył. „Do­praw­dy oso­bli­we, jak ob­fi­tu­je we wła­sno­ści” – za­chwy­cał się, do­da­jąc, że w swym dzie­le wię­cej po­mi­nął, niż zdo­łał po­mie­ścić.

Trój­kąt Pas­ca­la wy­łącz­nie z bia­ły­mi kwa­dra­ta­mi po­dziel­ny­mi przez 2.

Oto moja ulu­bio­na ce­cha trój­ką­ta Pas­ca­la: niech każ­da licz­ba ma swój kwa­drat, po­ko­lo­ruj wszyst­kie kwa­dra­ty z licz­ba­mi nie­pa­rzy­sty­mi na czar­no, a kwa­dra­ty z licz­ba­mi pa­rzy­sty­mi po­zo­staw bia­łe – w re­zul­ta­cie po­wsta­nie cu­dow­na mo­zai­ka, któ­rą wi­dać u góry.

Za­raz, za­raz. Ten wzór wy­glą­da zna­jo­mo. Zga­dza się. Przy­po­mi­na dy­wan Sier­piń­skie­go, ma­te­ma­tycz­ny ko­bie­rzec, w któ­rym kwa­drat dzie­li się na 9 mniej­szych kwa­dra­tów i wyj­mu­je środ­ko­wy, po czym w nie­skoń­czo­ność po­wta­rza się to samo z co­raz mniej­szy­mi kwa­dra­ta­mi. Trój­kąt­na wer­sja dy­wa­nu Sier­piń­skie­go to trój­kąt Sier­piń­skie­go, w któ­rym rów­no­bocz­ny trój­kąt dzie­li się na 4 iden­tycz­ne trój­ką­ty rów­no­bocz­ne, a na­stęp­nie usu­wa się środ­ko­wy. Po­zo­sta­łe trój­ką­ty pod­da­je się tej sa­mej ope­ra­cji – dzie­li na 4 i usu­wa środ­ko­wy. Oto pierw­sze 3 ite­ra­cje:

Gdy­by­śmy kon­ty­nu­owa­li ko­lo­ro­wa­nie trój­ką­ta Pas­ca­la, wzór co­raz bar­dziej przy­po­mi­nał­by trój­kąt Sier­piń­skie­go. I rze­czy­wi­ście, przy gra­ni­cy dą­żą­cej do nie­skoń­czo­no­ści trój­kąt Pas­ca­la sta­je się trój­ką­tem Sier­piń­skie­go.

Trój­kąt Sier­piń­skie­go nie jest je­dy­nym sta­rym zna­jo­mym, ja­kie­go od­naj­du­je­my w tych czar­no-bia­łych ka­fel­kach. Zwróć­my uwa­gę na wiel­kość bia­łych trój­ką­tów od góry wzdłuż środ­ka trój­ką­ta Pas­ca­la. Pierw­szy skła­da się z 1 kwa­dra­tu, dru­gi skła­da się z 6 kwa­dra­tów, trze­ci z 28, a na­stęp­ne mają po 120 i 496 kwa­dra­tów. Czy te licz­by coś przy­po­mi­na­ją? 6, 28 oraz 496 to licz­by do­sko­na­łe. Jest to nie­zwy­kły wi­zu­al­ny prze­jaw na po­zór nie­po­wią­za­nej abs­trak­cyj­nej idei.

Wróć­my do ma­lo­wa­nia trój­ką­ta Pas­ca­la we­dług liczb. Zo­staw­my jako bia­łe wszyst­kie licz­by po­dziel­ne przez 3 i za­ma­luj­my resz­tę na czar­no. Zrób­my to samo z licz­ba­mi po­dziel­ny­mi przez 4. Po­wtórz­my to jesz­cze raz z licz­ba­mi po­dziel­ny­mi przez 5. W re­zul­ta­cie po­wsta­ną, jak wi­dać obok, sy­me­trycz­ne ukła­dy trój­ką­tów skie­ro­wa­nych w prze­ciw­nym kie­run­ku do ca­ło­ści.

Trój­kąt Pas­ca­la wy­łącz­nie z kwa­dra­ta­mi po­dziel­ny­mi przez 3.

Trój­kąt Pas­ca­la wy­łącz­nie z kwa­dra­ta­mi po­dziel­ny­mi przez 4.

Trój­kąt Pas­ca­la wy­łącz­nie z kwa­dra­ta­mi po­dziel­ny­mi przez 5.

W XIX wie­ku w trój­ką­cie Pas­ca­la od­kry­to ko­lej­ną zna­jo­mą twarz: ciąg Fi­bo­nac­cie­go. Było to chy­ba do prze­wi­dze­nia, jako że me­to­da kon­stru­owa­nia trój­ką­ta jest re­ku­ren­cyj­na – wie­lo­krot­nie po­stę­po­wa­li­śmy we­dług tej sa­mej re­gu­ły, do­da­jąc 2 licz­by w 1 rzę­dzie, by otrzy­mać licz­bę w na­stęp­nym rzę­dzie. Ciąg Fi­bo­nac­cie­go po­wsta­je wła­śnie przez re­ku­ren­cyj­ne su­mo­wa­nie 2 liczb. Suma 2 ko­lej­nych liczb Fi­bo­nac­cie­go rów­na się na­stęp­nej licz­bie w cią­gu.

Licz­by Fi­bo­nac­cie­go ukry­wa­ją się w trój­ką­cie jako sumy tak zwa­nych ła­god­nych prze­kąt­nych. Ła­god­na prze­kąt­na to taka, któ­ra prze­cho­dzi przez licz­bę do licz­by ni­żej na lewo, a po­tem o jed­no miej­sce w lewo, bądź też wy­żej na pra­wo, a po­tem o jed­no miej­sce w pra­wo. Dwie pierw­sze prze­kąt­ne za­wie­ra­ją tyl­ko 1. W trze­ciej jest 1 i 1, co rów­na się 2. Czwar­ta ma 1 i 2, co su­mu­je się do 3. Pią­ta ła­god­na prze­kąt­na daje nam 1 + 3 + 1 = 5. Szó­sta to 1 + 4 + 3 = 8. W ten spo­sób otrzy­ma­li­śmy już 1, 1, 2, 3, 5, 8. Na­stęp­ne licz­by będą ko­lej­ny­mi licz­ba­mi Fi­bo­nac­cie­go.

Ła­god­ne prze­kąt­ne w trój­ką­cie Pas­ca­la uka­zu­ją ciąg Fi­bo­nac­cie­go.

Za­in­te­re­so­wa­nie sta­ro­żyt­nych Hin­du­sów trój­ką­tem Pas­ca­la do­ty­czy­ło kom­bi­na­cji przed­mio­tów. Wy­obraź so­bie, że masz 3 owo­ce: man­go, li­czi i ba­nan. Jest tyl­ko jed­na kom­bi­na­cja 3 ele­men­tów: man­go, li­czi, ba­nan. Wy­brać tyl­ko 2 owo­ce mo­żesz na 3 spo­so­by: man­go i li­czi, man­go i ba­nan, li­czi i ba­nan. Są rów­nież tyl­ko 3 spo­so­by wy­bra­nia po­je­dyn­cze­go owo­cu. Ostat­nia moż­li­wość to wy­brać 0 owo­ców, i to może zajść tyl­ko w 1 spo­sób. In­ny­mi sło­wy, licz­ba kom­bi­na­cji 3 owo­ców two­rzy ciąg 1, 3, 3, 1 – trze­ci rząd w trój­ką­cie Pas­ca­la.

Przy czte­rech przed­mio­tach licz­ba kom­bi­na­cji, że wy­bie­ra­my ża­den, po 1, 2 na­raz, 3 na­raz i 4 na­raz, to 1, 4, 6, 4, 1 – czwar­ty rząd w trój­ką­cie Pas­ca­la. Kon­ty­nu­ując to z co­raz więk­szą licz­bą przed­mio­tów, zo­ba­czy­my, że trój­kąt Pas­ca­la rze­czy­wi­ście sta­no­wi ta­be­lę re­fe­ren­cyj­ną dla gru­po­wa­nia rze­czy.

Gdy­by­śmy mie­li n ele­men­tów i chcie­li­by­śmy wie­dzieć, ile kom­bi­na­cji mo­że­my zro­bić z m z nich, od­po­wiedź za­wie­ra do­kład­nie m-te miej­sce w n-tym rzę­dzie trój­ką­ta Pas­ca­la. (Uwa­ga: zwy­cza­jo­wo pierw­szą je­dyn­kę z le­wej w każ­dym rzę­dzie trak­tu­je się jako ze­ro­wą po­zy­cję w rzę­dzie). Na przy­kład, ile jest spo­so­bów po­gru­po­wa­nia 3 owo­ców ze zbio­ru 7 owo­ców? Jest 35 spo­so­bów, po­nie­waż na trze­cim miej­scu w siód­mym rzę­dzie znaj­du­je się 35.

Przejdź­my te­raz do kom­bi­no­wa­nia obiek­tów ma­te­ma­tycz­nych. Weź­my wy­ra­że­nie x + y. Ile wy­no­si (x + y)2? Tyle samo, co (x + y) · (x + y). Żeby to roz­wi­nąć, mu­si­my po­mno­żyć każ­dy wy­raz w pierw­szym na­wia­sie przez każ­dy wy­raz w dru­gim. Otrzy­ma­my za­tem xx + xy + yx + yy, czy­li x2+ 2xy + y2. Za­uwa­żasz coś tu­taj? Je­śli po­cią­gnie­my to da­lej, wy­raź­niej zo­ba­czy­my pew­ną pra­wi­dło­wość. Współ­czyn­ni­ki po­szcze­gól­nych wy­ra­zów to rzę­dy z trój­ką­ta Pas­ca­la:

(x + y)2= x2+ 2xy + y2

(x + y)3= x3+ 3x2y + 3xy2+ y3

(x + y)4= x4+ 4x3y + 6x2y2+ 4xy3+ y4

Ma­te­ma­tyk Abra­ham de Mo­ivre, hu­ge­noc­ki uchodź­ca osia­dły w Lon­dy­nie, na po­cząt­ku XVIII wie­ku pierw­szy zro­zu­miał, że współ­czyn­ni­ki tych rów­nań będą zbli­żać się do pew­nej krzy­wej, im wię­cej razy po­mno­ży­my przez sie­bie (x + y). Nie na­zwał jej krzy­wą dzwo­no­wą ani krzy­wą błę­du, ani roz­kła­dem nor­mal­nym, ani roz­kła­dem Gaus­sa, jak póź­niej mia­no ją na­zy­wać. Krzy­wa za­de­biu­to­wa­ła w li­te­ra­tu­rze ma­te­ma­tycz­nej w książ­ce Mo­ivre’a z 1718 roku na te­mat ha­zar­du za­ty­tu­ło­wa­nej The Do­ctri­ne of Chan­ces. Był to pierw­szy pod­ręcz­nik z teo­rii praw­do­po­do­bień­stwa, a za­ra­zem ko­lej­ny przy­kład tego, jak za spra­wą ha­zar­du roz­kwi­ta­ła wie­dza na­uko­wa.

Trak­to­wa­łem do­tąd krzy­wą dzwo­no­wą, jak­by była jed­ną krzy­wą, tym­cza­sem w rze­czy­wi­sto­ści jest to cała ro­dzi­na krzy­wych. Wszyst­kie wy­glą­da­ją jak dzwon, ale nie­któ­re – jak wi­dać na ry­sun­kach po­ni­żej – są szer­sze od in­nych.

Krzy­we dzwo­no­we z róż­ny­mi od­chy­le­nia­mi.

Oto wy­ja­śnie­nie, dla­cze­go uzy­sku­je­my róż­ne sze­ro­ko­ści. Gdy­by Ga­li­le­usz mie­rzył or­bi­ty pla­ne­tar­ne za po­mo­cą dwu­dzie­sto­pierw­szo­wiecz­ne­go te­le­sko­pu, mar­gi­nes błę­du był­by mniej­szy, niż gdy­by uży­wał szes­na­sto­wiecz­ne­go. Współ­cze­sny przy­rząd dał­by o wie­le węż­szą krzy­wą dzwo­no­wą niż sta­ro­świec­ki. Błę­dy by­ły­by dużo mniej­sze, ale nadal roz­kła­da­ły­by się w spo­sób nor­mal­ny.

Prze­cięt­ną war­tość krzy­wej dzwo­no­wej na­zy­wa się śred­nią. Sze­ro­kość na­zy­wa się od­chy­le­niem. Je­śli zna­my śred­nią i od­chy­le­nie, to zna­my kształt krzy­wej. To nie­zwy­kle wy­god­ne, że nor­mal­ną krzy­wą da się opi­sać za po­mo­cą tyl­ko 2 pa­ra­me­trów. Być może jed­nak jest to za­nad­to wy­god­ne. Sta­ty­sty­cy czę­sto zbyt gor­li­wie sta­ra­ją się od­na­leźć krzy­wą dzwo­no­wą w swo­ich da­nych. Bill Ro­bin­son, eko­no­mi­sta sto­ją­cy na cze­le dzia­łu księ­go­wo­ści są­do­wej KPMG, przy­zna­je, że tak bywa.

– Uwiel­bia­my pra­co­wać na roz­kła­dach nor­mal­nych, po­nie­waż wła­sno­ści ma­te­ma­tycz­ne [roz­kła­du nor­mal­ne­go] zo­sta­ły bar­dzo do­brze zba­da­ne. Kie­dy je­ste­śmy pew­ni, że mamy do czy­nie­nia z roz­kła­dem nor­mal­nym, mo­że­my za­cząć wy­su­wać naj­róż­niej­sze cie­ka­we stwier­dze­nia.

Pra­ca Ro­bin­so­na, naj­pro­ściej mó­wiąc, po­le­ga na wy­szu­ki­wa­niu pra­wi­dło­wo­ści w ogrom­nych zbio­rach da­nych i wnio­sko­wa­niu na ich pod­sta­wie, czy ktoś nie fał­szu­je ksiąg. Po­stę­pu­je we­dług tej sa­mej stra­te­gii, jaką sto­so­wał Po­in­ca­ré, któ­ry co­dzien­nie wa­żył chleb, z tą róż­ni­cą, że Ro­bin­son prze­glą­da i ana­li­zu­je gi­ga­baj­ty da­nych fi­nan­so­wych i ma do dys­po­zy­cji o wie­le bar­dziej wy­ra­fi­no­wa­ne na­rzę­dzia sta­ty­stycz­ne.

Ro­bin­son po­wie­dział, że jego dział na ogół wy­cho­dzi z za­ło­że­nia, iż dla do­wol­ne­go zbio­ru da­nych do­myśl­nym roz­kła­dem jest roz­kład nor­mal­ny.

– Lu­bi­my za­kła­dać, że obo­wią­zu­je krzy­wa nor­mal­na, bo wte­dy je­ste­śmy w domu. Ale w rze­czy­wi­sto­ści cza­sa­mi nie obo­wią­zu­je i cza­sa­mi pew­nie po­win­ni­śmy szu­kać po omac­ku. Je­śli cho­dzi o ryn­ki fi­nan­so­we, to my­ślę, że fak­tycz­nie za­kła­da­li­śmy roz­kład nor­mal­ny, tam gdzie być może nie obo­wią­zu­je.

W ostat­nich la­tach za­rów­no w śro­do­wi­sku na­uko­wym, jaki i fi­nan­so­wym istot­nie ob­ser­wu­je się ostry sprze­ciw wo­bec nie­gdy­siej­sze­go za­ufa­nia do roz­kła­du nor­mal­ne­go.

Roz­kład, któ­ry jest w mniej­szym stop­niu sku­pio­ny wo­kół śred­niej niż krzy­wa dzwo­no­wa, na­zy­wa się pla­ty­kur­tycz­nym, od grec­kich słów plat­fus, czy­li „pła­ski”, i kur­tos, „wy­brzu­szo­ny”. Na­to­miast roz­kład bar­dziej sku­pio­ny wo­kół śred­niej na­zy­wa się lep­to­kur­tycz­nym, od grec­kie­go lep­tos, „cien­ki”. Wil­liam Se­aly Gos­set, sta­ty­styk pra­cu­ją­cy w bro­wa­rze Gu­in­nes­sa w Du­bli­nie, w 1908 roku wy­my­ślił na­stę­pu­ją­cą for­muł­kę, by za­pa­mię­tać, któ­ry jest któ­ry: dzio­bak (ang. pla­ty­pus) jest pla­ty­kur­tycz­ny, a ca­łu­ją­ce się kan­gu­ry są lep­to­kur­tycz­ne. Gos­set wy­brał kan­gu­ry, po­nie­waż „słyn­ną ze skocz­no­ści (ang. lep­ping), choć pew­nie rów­nie do­brze mo­gły­by to być za­ją­ce!”. Od ry­sun­ków Gos­se­ta wy­wo­dzi się ter­min ogon na okre­śle­nie pra­we­go i le­we­go koń­ca krzy­wej roz­kła­du.

Roz­kład pla­ty­kur­tycz­ny i lep­to­kur­tycz­ny.

Kie­dy eko­no­mi­ści mó­wią o roz­kła­dach z gru­bym ogo­nem lub cięż­kim ogo­nem, mają na my­śli krzy­we, któ­rych koń­ce znaj­du­ją się wy­żej nad osią niż nor­mal­nie, jak­by zwie­rzę­ta Gos­se­ta mia­ły ogo­ny więk­sze od prze­cięt­nych. Krzy­we te opi­su­ją roz­kła­dy, w któ­rych skraj­ne zda­rze­nia są bar­dziej praw­do­po­dob­ne niż w roz­kła­dzie nor­mal­nym. Gdy­by na przy­kład gru­by ogon mia­ły wa­ha­nia cen ak­cji, zna­czy­ło­by to, że szan­se ra­dy­kal­ne­go spad­ku lub wzro­stu cen są więk­sze, niż gdy­by wa­ha­nia mia­ły roz­kład nor­mal­ny. Dla­te­go za­kła­da­nie krzy­wej dzwo­no­wej za­miast krzy­wej o gru­bym ogo­nie może być nie­bez­piecz­ne. Eko­no­mi­sta Na­ssim Ni­cho­las Ta­leb w be­st­sel­le­ro­wej książ­ce The Black Swan stwier­dza, że na ogół nie do­ce­nia­my wiel­ko­ści i zna­cze­nia ogo­nów w krzy­wych roz­kła­du. Jego zda­niem, krzy­wa dzwo­no­wa jest mo­de­lem wa­dli­wym hi­sto­rycz­nie, po­nie­waż nie po­tra­fi prze­wi­dy­wać wy­stą­pie­nia ani wpły­wu bar­dzo rzad­kich, skraj­nych zda­rzeń – ta­kich jak waż­ne od­kry­cie na­uko­we, jak choć­by wy­na­le­zie­nie in­ter­ne­tu, czy atak ter­ro­ry­stycz­ny, jak ten z 11 wrze­śnia. „Wszech­obec­ność [roz­kła­du nor­mal­ne­go] nie jest wła­sno­ścią świa­ta – pi­sze – lecz pro­ble­mem w na­szych umy­słach, wy­ni­ka­ją­cym ze spo­so­bu, w jaki nań pa­trzy­my”.

Skłon­ność do do­pa­try­wa­nia się krzy­wej dzwo­no­wej w da­nych jest bo­daj naj­bar­dziej wi­docz­na w edu­ka­cji. W Wiel­kiej Bry­ta­nii oce­ny od A do E na eg­za­mi­nach na ko­niec roku przy­zna­je się w za­leż­no­ści od tego, gdzie wy­ni­ki ucznia pla­su­ją się na krzy­wej dzwo­no­wej, do któ­rej – zgod­nie z ocze­ki­wa­nia­mi – zbli­żo­ny ma być roz­kład ocen. Krzy­wa po­dzie­lo­na jest na czę­ści, przy czym A ozna­cza naj­wyż­szą część, B dru­gą w ko­lej­no­ści i tak da­lej. Dla spraw­ne­go dzia­ła­nia sys­te­mu edu­ka­cji waż­ne jest, by od­se­tek uczniów otrzy­mu­ją­cych oce­ny od A do E był z roku na rok po­rów­ny­wal­ny. Je­śli w da­nym roku by­ło­by zbyt wie­le ocen A lub E, to skut­ki – za mało lub za dużo osób na pew­nych przed­mio­tach – spo­wo­do­wa­ły­by ob­cią­że­nie za­so­bów. Eg­za­mi­ny opra­co­wu­je się w na­dziei, że roz­kład wy­ni­ków mak­sy­mal­nie po­kry­wa się z krzy­wą dzwo­no­wą – bez wzglę­du na to, czy jest to wier­ne od­zwier­cie­dle­nie rze­czy­wi­stej in­te­li­gen­cji. (Może tak być z per­spek­ty­wy ca­ło­ści, ale praw­do­po­dob­nie nie we wszyst­kich przy­pad­kach).

Twier­dzi się na­wet, że na­boż­ny sza­cu­nek, ja­kim nie­któ­rzy na­ukow­cy da­rzą krzy­wą dzwo­no­wą, za­chę­ca wręcz do by­le­ja­ko­ści. Wi­dzie­li­śmy na przy­kła­dzie de­ski Gal­to­na, że błę­dy lo­so­we mają roz­kład nor­mal­ny. Im wię­cej za­tem błę­dów lo­so­wych mo­że­my wpro­wa­dzić do po­mia­ru, tym więk­sze praw­do­po­do­bień­stwo, że dane utwo­rzą krzy­wą dzwo­no­wą – choć samo mie­rzo­ne zja­wi­sko wca­le nie musi mieć roz­kła­du nor­mal­ne­go. Od­kry­cie roz­kła­du nor­mal­ne­go w zbio­rze da­nych może po pro­stu być efek­tem zbyt cha­otycz­ne­go prze­pro­wa­dza­nia po­mia­rów.

Przy­po­mnia­ło mi to o ba­giet­kach. Czy ich waga rze­czy­wi­ście mia­ła roz­kład nor­mal­ny? Czy ogon był cien­ki czy gru­by? Naj­pierw krót­ka re­ka­pi­tu­la­cja. Zwa­ży­łem 100 ba­gie­tek. Roz­kład ich wagi znaj­du­je się na ko­lej­nych stro­nach. Wy­kres wy­ka­zy­wał pew­ne obie­cu­ją­ce ten­den­cje – była śred­nia w oko­li­cach 400 gra­mów i mniej wię­cej sy­me­trycz­ne roz­ło­że­nie mię­dzy 380 a 420 gra­mów. Gdy­bym był nie­zmor­do­wa­ny jak Hen­ri Po­in­ca­ré, kon­ty­nu­ował­bym eks­pe­ry­ment przez rok i miał oko­ło 365 (mi­nus dni, kie­dy pie­kar­nia była nie­czyn­na) po­mia­rów wagi do po­rów­na­nia. Przy więk­szej ilo­ści da­nych roz­kład był­by wy­raź­niej­szy. Moja skrom­niej­sza pró­ba sta­ty­stycz­na wy­star­czy­ła jed­nak, by dać wy­obra­że­nie o po­wsta­wa­niu pra­wi­dło­wo­ści. Ucie­kłem się do pew­nej sztucz­ki, kon­den­su­jąc wy­ni­ki przez po­gru­po­wa­nie wag ba­gie­tek w prze­dzia­łach ośmio­gra­mo­wych. W ten spo­sób po­wstał na­stę­pu­ją­cy wy­kres:

Kie­dy pierw­szy raz to na­ry­so­wa­łem, po­czu­łem ulgę, po­nie­waż rze­czy­wi­ście wy­glą­da­ło na to, że mój eks­pe­ry­ment z ba­giet­ka­mi za­owo­co­wał krzy­wą dzwo­no­wą. Fak­ty zda­wa­ły się pa­so­wać do teo­rii. Triumf na­uki sto­so­wa­nej! Ale kie­dy przyj­rza­łem się le­piej, oka­za­ło się, że wy­kres tak na­praw­dę w ogó­le nie jest po­dob­ny do krzy­wej dzwo­no­wej. Owszem, war­to­ści były sku­pio­ne wo­kół śred­niej, ale krzy­wa była wy­raź­nie nie­sy­me­trycz­na. Lewa stro­na nie była tak stro­ma jak pra­wa. Jak­by ja­kiś nie­wi­dzial­ny ma­gnes roz­cią­gał krzy­wą nie­co na lewo.

Dla­te­go mo­głem wy­wnio­sko­wać jed­no z dwoj­ga. Albo waga ba­gie­tek nie mia­ła roz­kła­du nor­mal­ne­go, albo mia­ła roz­kład nor­mal­ny, ale do mo­jej pro­ce­du­ry eks­pe­ry­men­tal­nej wkra­dło się ja­kieś ob­cią­że­nie. Do­my­śla­łem, co mo­gło być tym czyn­ni­kiem. Trzy­ma­łem nie­zje­dzo­ne ba­giet­ki w kuch­ni i po­sta­no­wi­łem zwa­żyć jed­ną z nich, któ­ra mia­ła kil­ka dni. Ku mo­je­mu zdzi­wie­niu oka­za­ło się, że wa­ży­ła tyl­ko 321 gra­mów – zna­czą­co mniej, niż wy­no­si­ła naj­niż­sza zmie­rzo­na prze­ze mnie waga. Za­świ­ta­ło mi wte­dy, że waga ba­gie­tek nie była sta­ła, po­nie­waż pie­czy­wo robi się lżej­sze w mia­rę wy­sy­cha­nia. Ku­pi­łem ko­lej­ną i od­kry­łem, że ba­giet­ka od ósmej rano do po­łu­dnia tra­ci na wa­dze oko­ło 15 gra­mów.

Te­raz było ja­sne, że mój eks­pe­ry­ment za­wie­rał błąd. Nie wzią­łem pod uwa­gę go­dzi­ny prze­pro­wa­dza­nia po­mia­rów. Było nie­mal pew­ne, że wa­ha­nia te wpro­wa­dza­ły ob­cią­że­nie do roz­kła­du wagi. Naj­czę­ściej by­łem pierw­szym klien­tem w skle­pie i wa­ży­łem pie­czy­wo oko­ło ósmej dzie­sięć rano, ale cza­sa­mi wsta­wa­łem póź­no. Ta zmien­na lo­so­wa nie mia­ła roz­kła­du nor­mal­ne­go, po­nie­waż śred­nia mie­ści­ła­by się mię­dzy ósmą a dzie­wią­tą rano, ale nie było żad­ne­go ogo­na przed ósmą, po­nie­waż sklep był za­mknię­ty. Ogon po dru­giej stro­nie roz­cią­gał się aż do pory lun­chu.

Przy­szło mi wów­czas jesz­cze coś in­ne­go do gło­wy. A co z tem­pe­ra­tu­rą oto­cze­nia? Za­czą­łem eks­pe­ry­ment na po­cząt­ku wio­sny. Za­koń­czył się na po­cząt­ku lata, kie­dy jest dużo go­rę­cej. Spoj­rza­łem na licz­by i zo­ba­czy­łem, że waga ba­gie­tek była, ogól­nie rzecz bio­rąc, niż­sza pod ko­niec przed­się­wzię­cia. Uzna­łem, że pod­czas let­nich upa­łów pie­czy­wo szyb­ciej wy­sy­cha­ło. I to wa­ha­nie mo­gło mieć wpływ na roz­cią­gnię­cie krzy­wej w lewo.

Mój eks­pe­ry­ment być może po­ka­zał, że waga ba­gie­tek jest zbli­żo­na do nie­co znie­kształ­co­nej krzy­wej dzwo­no­wej, ale tak na­praw­dę na­uczył mnie, że po­miar nig­dy nie jest pro­sty. Roz­kład nor­mal­ny to teo­re­tycz­ny ide­ał i nie moż­na za­kła­dać, że wszyst­kie wy­ni­ki będą mu od­po­wia­dać. Za­sta­no­wi­łem się nad Hen­rim Po­in­ca­rém. Czy mie­rząc chleb, wy­eli­mi­no­wał ob­cią­że­nie wy­ni­ka­ją­ce z pa­ry­skiej po­go­dy lub pory dnia, w któ­rej prze­pro­wa­dzał po­miar? Być może udo­wod­nił nie to, że sprze­da­wa­no mu bo­che­nek dzie­więć­set­pięć­dzie­się­cio­gra­mo­wy za­miast ki­lo­gra­mo­we­go, a to, że od wy­pie­ku do po­mia­ru ki­lo­gra­mo­wy bo­che­nek tra­ci na ma­sie 50 gra­mów.

Hi­sto­ria krzy­wej dzwo­no­wej świet­nie ilu­stru­je cie­ka­wy zwią­zek mię­dzy na­ukow­ca­mi teo­re­tycz­ny­mi i do­świad­czal­ny­mi. Po­in­ca­ré do­stał kie­dyś list od fran­cu­skie­go fi­zy­ka Ga­brie­la Lip­p­man­na z bły­sko­tli­wym pod­su­mo­wa­niem, dla­cze­go roz­kład nor­mal­ny zro­bił tak wiel­ką ka­rie­rę: „Wszy­scy wie­rzą w [krzy­wą dzwo­no­wą]: eks­pe­ry­men­ta­to­rzy, po­nie­waż my­ślą, że moż­na udo­wod­nić ją ma­te­ma­tycz­nie; a ma­te­ma­ty­cy, po­nie­waż wie­rzą, że zo­sta­ła wy­wie­dzio­na z ob­ser­wa­cji”. W na­uce, tak jak w tylu in­nych dzie­dzi­nach, czę­sto wo­li­my wi­dzieć to, co słu­ży na­szym in­te­re­som.

Fran­cis Gal­ton po­świę­cił się na­uce i po­dró­żom tak, jak może so­bie na to po­zwo­lić wy­łącz­nie po­sia­dacz wiel­kiej for­tu­ny. U pro­gu do­ro­sło­ści kie­ro­wał eks­pe­dy­cja­mi do sła­bo zna­nych re­jo­nów Afry­ki, co przy­nio­sło mu spo­rą sła­wę. Tak bie­gle po­słu­gi­wał się przy­rzą­da­mi na­uko­wy­mi, że pew­ne­go razu zdo­łał za po­mo­cą sek­stan­su zmie­rzyć na od­le­głość fi­gu­rę szcze­gól­nie do­rod­nej Ho­ten­tot­ki. Ten epi­zod świad­czył, jak się zda­je, o chę­ci trzy­ma­nia ko­biet na dy­stans. Kie­dy wódz ple­mie­nia po­da­ro­wał mu mło­dą ko­bie­tę wy­sma­ro­wa­ną ma­słem i czer­wo­ną ochrą, go­to­wą na seks, Gal­ton nie sko­rzy­stał z pro­po­zy­cji w oba­wie, że mo­gła­by po­pla­mić jego gar­ni­tur z bia­łe­go lnu.

Eu­ge­ni­ka była naj­bar­dziej nie­sław­ną spu­ści­zną na­uko­wą Gal­to­na, nie była jed­nak jego naj­trwal­szą in­no­wa­cją. Gal­ton wpro­wa­dził kwe­stio­na­riu­sze jako me­to­dę ba­dań psy­cho­lo­gicz­nych. Opra­co­wał uży­wa­ny do dziś sys­tem kla­sy­fi­ka­cji od­ci­sków pal­ców, dzię­ki któ­re­mu dak­ty­lo­sko­pia we­szła do re­per­tu­aru tech­nik śled­czych po­li­cji. Wy­my­ślił rów­nież spo­sób gra­ficz­ne­go przed­sta­wia­nia pro­gno­zy po­go­dy – w 1875 roku opu­bli­ko­wał w „Ti­me­sie” pierw­szą mapę po­go­dy.

W tym sa­mym roku Gal­ton po­sta­no­wił za­trud­nić swo­ich przy­ja­ciół do eks­pe­ry­men­tu z grosz­kiem pach­ną­cym. Roz­dał na­sio­na 7 oso­bom, pro­sząc o za­sia­nie i zwrot po­tom­stwa. Gal­ton mie­rzył ziar­na po­tom­ne i po­rów­ny­wał ich śred­ni­ce ze śred­ni­ca­mi zia­ren ro­dzi­ciel­skich. Za­uwa­żył zja­wi­sko, któ­re po­cząt­ko­wo zda­wa­ło się prze­czyć in­tu­icji: duże na­sio­na da­wa­ły na ogół mniej­sze po­tom­stwo, a małe na­sio­na da­wa­ły na ogół więk­sze po­tom­stwo. De­ka­dę póź­niej prze­ana­li­zo­wał dane ze swe­go la­bo­ra­to­rium an­tro­po­me­trycz­ne­go i do­strzegł taką samą pra­wi­dło­wość we wzro­ście lu­dzi. Po zmie­rze­niu 205 par ro­dzi­ców i 928 ich do­ro­słych dzie­ci, prze­ko­nał się, że wy­jąt­ko­wo wy­so­cy ro­dzi­ce mają zwy­kle dzie­ci niż­sze od sie­bie, pod­czas gdy wy­jąt­ko­wo ni­scy ro­dzi­ce mają zwy­kle dzie­ci wyż­sze od sie­bie.

Po za­sta­no­wie­niu mo­że­my zro­zu­mieć, dla­cze­go tak się dzie­je. Gdy­by bar­dzo wy­so­cy ro­dzi­ce za­wsze pło­dzi­li jesz­cze wyż­sze dzie­ci i gdy­by bar­dzo ni­scy ro­dzi­ce za­wsze pło­dzi­li jesz­cze niż­sze, daw­no zmie­ni­li­by­śmy się w rasę ol­brzy­mów i kar­łów. Tak się jed­nak nie sta­ło. Po­pu­la­cje ludz­kie być może sta­ją się wyż­sze jako ca­łość – dzię­ki lep­sze­mu od­ży­wia­niu i opie­ce zdro­wot­nej – ale roz­kład wzro­stu w ob­rę­bie po­pu­la­cji nadal się utrzy­mu­je.

Gal­ton na­zwał to zja­wi­sko „re­gre­sją w kie­run­ku mier­no­ści w dzie­dzi­cze­niu po­stu­ry”. Dzi­siaj naj­czę­ściej uży­wa­my okre­śle­nia re­gre­sja do śred­niej. W kon­tek­ście ma­te­ma­tycz­nym re­gre­sja do śred­niej ozna­cza, że po skraj­nym zda­rze­niu praw­do­po­dob­nie na­stą­pi zda­rze­nie mniej skraj­ne. Kie­dy wa­żąc ba­giet­ki, otrzy­ma­łem 380 gra­mów, czy­li bar­dzo ni­ską wagę, ist­nia­ło duże praw­do­po­do­bień­stwo, że na­stęp­na ba­giet­ka bę­dzie wa­ży­ła wię­cej niż 380 gra­mów. Ana­lo­gicz­nie po tra­fie­niu ba­giet­ki wa­żą­cej 420 gra­mów było bar­dzo praw­do­po­dob­ne, że ko­lej­na ba­giet­ka bę­dzie wa­ży­ła mniej niż 420 gra­mów. Wi­zu­al­ną ilu­stra­cję me­cha­ni­zmu re­gre­sji sta­no­wi de­ska Gal­to­na. Je­śli kul­ka rzu­co­na z góry spad­nie na skraj­ne miej­sce po le­wej, to na­stęp­na upusz­czo­na kul­ka za­pew­ne wy­lą­du­je bli­żej środ­ka – po­nie­waż więk­szość ku­lek lą­du­je w po­ło­że­niach środ­ko­wych.

Wa­ha­nia wzro­stu lu­dzi na prze­strze­ni po­ko­leń na­stę­pu­ją jed­nak we­dług in­ne­go wzor­ca niż wa­ha­nia wagi ba­gie­tek w cią­gu ty­go­dnia czy wa­ha­nia po­ło­że­nia ku­lek w de­sce Gal­to­na. Z do­świad­cze­nia wie­my, że ro­dzi­ce o po­nad­prze­cięt­nym wzro­ście zwy­kle mają po­nad­prze­cięt­nie wy­so­kie dzie­ci. Wie­my rów­nież, że naj­niż­szy uczeń w kla­sie praw­do­po­dob­nie po­cho­dzi z ro­dzi­ny, w któ­rej do­ro­śli są rów­nie ma­łej po­stu­ry. In­a­czej mó­wiąc, wzrost dziec­ka nie jest cał­ko­wi­cie przy­pad­ko­wy w sto­sun­ku do wzro­stu ro­dzi­ców. Z dru­giej stro­ny waga ba­giet­ki we wto­rek praw­do­po­dob­nie jest przy­pad­ko­wa w sto­sun­ku do wagi ba­giet­ki w po­nie­dzia­łek. Po­ło­że­nie jed­nej kul­ki w de­sce Gal­to­na jest (prak­tycz­nie rzecz bio­rąc) przy­pad­ko­we w sto­sun­ku do in­nych wrzu­co­nych ku­lek.

Aby uchwy­cić siłę związ­ku mię­dzy wzro­stem ro­dzi­ców a wzro­stem dziec­ka, Gal­ton wy­my­ślił ko­lej­ną kon­cep­cję. Na­ry­so­wał wy­kres, w któ­rym wzrost ro­dzi­ców za­zna­czył na jed­nej osi, a wzrost dziec­ka na dru­giej, a na­stęp­nie po­pro­wa­dził li­nię pro­stą przez punk­ty naj­bar­dziej pa­su­ją­ce do ich roz­ło­że­nia. (Każ­dą parę ro­dzi­ców re­pre­zen­to­wał wzrost po­śred­ni mię­dzy mat­ką a oj­cem – co Gal­ton na­zwał „śred­nią ro­dzi­ciel­ską”.) Li­nia mia­ła gra­dient . In­ny­mi sło­wy, na każ­dy cal śred­niej ro­dzi­ciel­skiej po­wy­żej prze­cięt­nej dziec­ko bę­dzie wyż­sze od prze­cięt­nej je­dy­nie o cala. Na każ­dy cal śred­niej ro­dzi­ciel­skiej po­ni­żej prze­cięt­nej dziec­ko bę­dzie niż­sze od prze­cięt­nej je­dy­nie o cala. Gal­ton na­zwał gra­dient tej li­nii współ­czyn­ni­kiem ko­re­la­cji. Współ­czyn­nik ten jest licz­bą okre­śla­ją­cą, w ja­kim stop­niu 2 zbio­ry zmien­nych są ze sobą po­wią­za­ne. Kon­cep­cję ko­re­la­cji peł­niej roz­wi­nął pro­te­go­wa­ny Gal­to­na, Karl Pe­ar­son, któ­ry w 1911 roku utwo­rzył pierw­szy na świe­cie uni­wer­sy­tec­ki wy­dział sta­ty­sty­ki na Uni­ver­si­ty Col­le­ge Lon­don.

Re­gre­sja i ko­re­la­cja były waż­ny­mi punk­ta­mi zwrot­ny­mi w my­śli na­uko­wej. Dla Isa­aca New­to­na i jemu współ­cze­snych wszech­świat pod­le­gał de­ter­mi­ni­stycz­nym pra­wom przy­czy­ny i skut­ku. Wszyst­ko, co się wy­da­rza­ło, mia­ło swo­ją przy­czy­nę. Ale nie w każ­dej na­uce da się tak uprasz­czać. W bio­lo­gii pew­ne re­zul­ta­ty – choć­by wy­stą­pie­nie raka płuc – mogą mieć wie­le przy­czyn, któ­re spla­ta­ją się ze sobą w skom­pli­ko­wa­ny spo­sób. Ko­re­la­cja umoż­li­wi­ła ana­li­zo­wa­nie nie­wy­raź­nych związ­ków po­mię­dzy po­wią­za­ny­mi zbio­ra­mi da­nych. Na przy­kład nie każ­dy, kto pali, za­cho­ru­je na raka płuc, ale przy­glą­da­jąc się czę­sto­ści wy­stę­po­wa­nia pa­le­nia i czę­sto­ści wy­stę­po­wa­nia raka płuc, ma­te­ma­ty­cy mogą ob­li­czyć, ja­kie szan­se na raka ma pa­lacz. Po­dob­nie nie każ­de dziec­ko z du­żej kla­sy w szko­le bę­dzie mia­ło gor­sze wy­ni­ki niż dziec­ko z ma­łej kla­sy, ale wiel­kość klas fak­tycz­nie wpły­wa na wy­ni­ki eg­za­mi­nów. Ana­li­za sta­ty­stycz­na za­po­cząt­ko­wa­ła zu­peł­nie nowy ob­szar ba­dań – w tak róż­nych dzie­dzi­nach, jak me­dy­cy­na i so­cjo­lo­gia czy psy­cho­lo­gia i eko­no­mia. Umoż­li­wi­ła nam wy­ko­rzy­sty­wa­nie in­for­ma­cji bez zna­jo­mo­ści do­kład­nych przy­czyn. Ory­gi­nal­ne spo­strze­że­nia Gal­to­na po­mo­gły uczy­nić ze sta­ty­sty­ki po­wa­ża­ną dys­cy­pli­nę: „Nie­któ­rzy lu­dzie nie­na­wi­dzą już sa­mej na­zwy sta­ty­sty­ki, dla mnie jed­nak jest pięk­na i zaj­mu­ją­ca – pi­sał. – Je­śli tyl­ko się jej nie zwul­ga­ry­zu­je, lecz ostroż­nie prze­two­rzy za po­mo­cą wyż­szych me­tod i z roz­wa­gą zin­ter­pre­tu­je, jej moc ra­dze­nia so­bie ze skom­pli­ko­wa­ny­mi zja­wi­ska­mi jest nad­zwy­czaj­na”.

W 2002 roku Na­gro­dy No­bla z eko­no­mii nie przy­zna­no eko­no­mi­ście. Otrzy­mał ją psy­cho­log Da­niel Kah­ne­man, któ­ry w swo­jej pra­cy na­uko­wej (w du­żej czę­ści wspól­nie z Amo­sem Tver­skim) ba­dał czyn­ni­ki po­znaw­cze sto­ją­ce za po­dej­mo­wa­niem de­cy­zji. Kah­ne­man po­wie­dział, że zro­zu­mie­niu re­gre­sji do śred­niej za­wdzię­cza swój naj­wspa­nial­szy mo­ment olśnie­nia. Było to w po­ło­wie lat 60., Kah­ne­man pro­wa­dził wy­kład dla in­struk­to­rów la­ta­nia z izra­el­skich sił po­wietrz­nych. Mó­wił im, że w do­pin­go­wa­niu ka­de­tów do na­uki po­chwa­ła jest sku­tecz­niej­sza od kary. Po za­koń­cze­niu wy­kła­du je­den z naj­bar­dziej do­świad­czo­nych in­struk­to­rów wstał i po­wie­dział Kah­ne­ma­no­wi, że nie ma ra­cji. Czło­wiek ów wy­ja­śnił: „Czę­sto chwa­lę ka­de­tów lot­nic­twa za czy­ste wy­ko­na­nie ja­kie­goś ma­new­ru akro­ba­tycz­ne­go i kie­dy pró­bu­ją to po­wtó­rzyć, na ogół idzie im go­rzej. Z dru­giej stro­ny nie­raz wrzesz­czę na ka­de­tów za złe wy­ko­na­nie i na ogół na­stęp­nym ra­zem wy­cho­dzi im le­piej. Pro­szę więc nie mó­wić nam, że wzmac­nia­nie dzia­ła, a ka­ra­nie nie, po­nie­waż jest wła­śnie na od­wrót”. W tam­tej chwi­li Kah­ne­ma­na oświe­ci­ło. Opi­nia in­struk­to­ra la­ta­nia, że kara jest sku­tecz­niej­sza niż na­gro­da, opar­ta była na nie­zro­zu­mie­niu re­gre­sji do śred­niej. Je­śli ka­det wy­ko­na wy­jąt­ko­wo kiep­ski ma­newr, to oczy­wi­ście na­stęp­nym ra­zem pój­dzie mu le­piej – nie­za­leż­nie od tego, czy in­struk­tor upo­mni go, czy po­chwa­li. I ana­lo­gicz­nie, je­śli po­ra­dzi so­bie wy­jąt­ko­wo do­brze, to w ko­lej­nej pró­bie praw­do­po­dob­nie wy­pad­nie nie­co go­rzej. „Po­nie­waż na ogół na­gra­dza­my in­nych, kie­dy do­brze im idzie, a ka­rze­my, kie­dy idzie im źle, i po­nie­waż za­cho­dzi re­gre­sja do śred­niej, do kon­dy­cji ludz­kiej na­le­ży, że je­ste­śmy sta­ty­stycz­nie ka­ra­ni za na­gra­dza­nie in­nych i na­gra­dza­ni za ka­ra­nie” – po­wie­dział Kah­ne­man.

Re­gre­sja do śred­niej nie jest po­ję­ciem skom­pli­ko­wa­nym. Mówi ono tyle, że je­śli wy­nik ja­kie­goś zda­rze­nia przy­najm­niej czę­ścio­wo de­ter­mi­nu­ją czyn­ni­ki lo­so­we, to po skraj­nym zda­rze­niu praw­do­po­dob­nie na­stą­pi zda­rze­nie mniej skraj­ne. Mimo tej pro­sto­ty więk­szość lu­dzi nie ro­zu­mie jed­nak re­gre­sji. Po­wie­dział­bym na­wet, że re­gre­sja jest jed­nym z naj­sła­biej ro­zu­mia­nych, choć naj­bar­dziej przy­dat­nych po­jęć ma­te­ma­tycz­nych, ja­kie są nie­zbęd­ne do ra­cjo­nal­ne­go poj­mo­wa­nia świa­ta. Za­ska­ku­ją­co dużo pro­stych nie­po­ro­zu­mień do­ty­czą­cych na­uki i sta­ty­sty­ki wy­ni­ka z nie­uwzględ­nia­nia re­gre­sji do śred­niej.

Weź­my przy­kład fo­to­ra­da­rów. Je­śli na tym sa­mym od­cin­ku dro­gi zda­rzy się kil­ka wy­pad­ków, może stać za tym ja­kaś kon­kret­na przy­czy­na – ban­da dow­cip­nych na­sto­lat­ków prze­cią­gnę­ła drut w po­przek dro­gi. Wy­star­czy aresz­to­wać żar­tow­ni­siów i wy­pad­ki się skoń­czą. A może zło­ży­ło się na to wie­le czyn­ni­ków lo­so­wych – splot nie­ko­rzyst­nych wa­run­ków po­go­do­wych, kształt dro­gi, zwy­cię­stwo miej­sco­we­go klu­bu pił­kar­skie­go lub de­cy­zja oko­licz­ne­go miesz­kań­ca, by wyjść z psem na spa­cer. Wy­pad­ki dro­go­we są od­po­wied­ni­kiem skraj­ne­go zda­rze­nia. A po zda­rze­niu skraj­nym praw­do­po­dob­nie na­stą­pią zda­rze­nia mniej skraj­ne: czyn­ni­ki lo­so­we zło­żą się w taki spo­sób, że w efek­cie bę­dzie mniej wy­pad­ków. Fo­to­ra­da­ry czę­sto in­sta­lu­je się w miej­scach, gdzie wy­da­rzył się co naj­mniej 1 po­waż­ny wy­pa­dek. Mają one zmu­sić kie­row­ców do wol­niej­szej jaz­dy i tym sa­mym zmniej­szyć licz­bę kraks. Licz­ba wy­pad­ków, owszem, na ogół zmniej­szy się po za­ło­że­niu fo­to­ra­da­rów, ale nie­ko­niecz­nie musi to mieć zwią­zek z sa­my­mi urzą­dze­nia­mi. W świe­tle pra­wa re­gre­sji do śred­niej nie ma zna­cze­nia, czy za­in­sta­lo­wa­no fo­to­ra­dar, bo po se­rii wy­pad­ków samo z sie­bie jest już praw­do­po­dob­ne, że w tym miej­scu bę­dzie mniej ko­li­zji. (Nie jest to ar­gu­ment prze­ciw­ko fo­to­ra­da­rom, po­nie­waż mogą być one fak­tycz­nie sku­tecz­ne. Jest to ra­czej po­le­mi­ka z ar­gu­men­ta­cją za fo­to­ra­da­ra­mi, w któ­rej sto­sun­ko­wo czę­sto czy­ni się nie­wła­ści­wy uży­tek ze sta­ty­sty­ki).

Moim ulu­bio­nym przy­kła­dem re­gre­sji do śred­niej jest tak zwa­na klą­twa „Sports Il­lu­stra­ted”, ku­rio­zal­ne zja­wi­sko po­le­ga­ją­ce na tym, że spor­tow­cy do­świad­cza­ją wy­raź­ne­go spad­ku for­my bez­po­śred­nio po wy­stą­pie­niu na okład­ce czo­ło­we­go ame­ry­kań­skie­go cza­so­pi­sma o te­ma­ty­ce spor­to­wej. Klą­twa jest tak sta­ra, jak sam ma­ga­zyn. W pierw­szym nu­me­rze z sierp­nia 1954 roku na okład­ce po­ja­wił się Ed­die Ma­thews, któ­ry wła­śnie prze­pro­wa­dził swo­ją dru­ży­nę Mil­wau­kee Bra­ves przez se­rię 9 zwy­cięstw. Ale kie­dy tyl­ko nu­mer tra­fił do kio­sków z ga­ze­ta­mi, dru­ży­na prze­gra­ła. Ty­dzień póź­niej Ma­thews od­niósł kon­tu­zję i mu­siał opu­ścić kil­ka me­czów. Naj­słyn­niej­szy przy­pa­dek klą­twy zda­rzył się w 1957 roku, gdy na pierw­szej stro­nie za­miesz­czo­no na­głó­wek „Dla­cze­go Okla­ho­ma jest nie do po­ko­na­nia” na­wią­zu­ją­cy do tego, że pił­kar­ski ze­spół z Okla­ho­my nie prze­grał w 47 me­czach. W so­bo­tę po pu­bli­ka­cji Okla­ho­ma prze­gra­ła 0 : 7 z No­tre Dame.

Jed­nym z wy­ja­śnień klą­twy „Sports Il­lu­stra­ted” jest psy­cho­lo­gicz­na pre­sja zwią­za­na z po­ja­wie­niem się na okład­ce. Spor­to­wiec lub ze­spół na­gle znaj­du­ją się w cen­trum za­in­te­re­so­wa­nia opi­nii pu­blicz­nej, z per­spek­ty­wą upad­ku z wy­so­kie­go ko­nia. Cza­sa­mi sta­tus fa­wo­ry­ta rze­czy­wi­ście może ne­ga­tyw­nie wpły­wać na wy­ni­ki spor­to­we. Naj­czę­ściej jed­nak klą­twa „Sports Il­lu­stra­ted” sta­no­wi po pro­stu ilu­stra­cję re­gre­sji do śred­niej. Je­śli ktoś za­słu­żył so­bie na miej­sce na okład­ce, za­zwy­czaj ozna­cza to, że jest w szczy­to­wej for­mie. Być może miał wy­jąt­ko­wy se­zon lub wła­śnie zdo­był ty­tuł mi­strzow­ski albo po­bił re­kord. Wy­ni­ki spor­to­we są po­chod­ną ta­len­tu, ale za­le­żą rów­nież od wie­lu czyn­ni­ków lo­so­wych, ta­kich jak to, czy ry­wa­le nie mają gry­py, czy zła­pie się gumę albo czy gra się pod słoń­ce. Re­kor­do­wy wy­nik po­rów­ny­wal­ny jest do skraj­ne­go zda­rze­nia, a zgod­nie pra­wem re­gre­sji do śred­niej po zda­rze­niu skraj­nym praw­do­po­dob­ne jest zda­rze­nie mniej skraj­ne.

Rzecz ja­sna, zda­rza­ją się wy­jąt­ki. Nie­któ­rzy spor­tow­cy mają tak wiel­ką prze­wa­gę nad ry­wa­la­mi, że czyn­ni­ki lo­so­we w nie­wiel­kim stop­niu wpły­wa­ją na ich wy­ni­ki. Mogą nie mieć szczę­ścia, a i tak wy­gra­ją. Na ogół jed­nak nie do­ce­nia­my udzia­łu przy­pad­ku w suk­ce­sie spor­to­wym. W la­tach 80. sta­ty­sty­cy za­czę­li ana­li­zo­wać pra­wi­dło­wo­ści w wy­ni­kach ko­szy­ka­rzy. Za­szo­ko­wa­ło ich od­kry­cie, że to, czy dany za­wod­nik tra­fi do ko­sza, jest cał­ko­wi­cie przy­pad­ko­we. Oczy­wi­ście nie­któ­rzy za­wod­ni­cy byli lep­si od in­nych. Wy­obraź­my so­bie ko­szy­ka­rza A, któ­ry tra­fia prze­cięt­nie w 50 pro­cen­tach rzu­tów; in­ny­mi sło­wy, ma ta­kie same szan­se na zdo­by­cie punk­tów, jak na spu­dło­wa­nie. Ba­da­cze od­kry­li, że ciąg cel­nych i nie­cel­nych rzu­tów ko­szy­ka­rza A naj­wy­raź­niej był zu­peł­nie przy­pad­ko­wy. Za­miast rzu­cać pił­ką rów­nie do­brze mógł­by rzu­cać mo­ne­tą.

Te­raz wy­obraź­my so­bie ko­szy­ka­rza B, któ­ry ma 60 pro­cent szans na tra­fie­nie i 40 pro­cent szans na spu­dło­wa­nie. I tu­taj ciąg ko­szy był lo­so­wy, jak­by gracz rzu­cał ten­den­cyj­ną mo­ne­tą 60 : 40, za­miast na­praw­dę rzu­cać pił­ką. Kie­dy za­wod­nik bę­dzie miał se­rię tra­fień, eks­per­ci będą wy­chwa­lać go pod nie­bio­sa za świet­ną grę, a kie­dy tra­fi mu się pa­smo pu­deł, bę­dzie kry­ty­ko­wa­ny, że ma zły dzień. Ale tra­fie­nie do ko­sza lub spu­dło­wa­nie w jed­nym rzu­cie nie ma wpły­wu na to, czy tra­fi czy spu­dłu­je w na­stęp­nym rzu­cie. Każ­dy rzut jest rów­nie przy­pad­ko­wy, jak rzut mo­ne­tą. Za­wod­ni­ka B moż­na rze­czy­wi­ście chwa­lić za śred­ni wskaź­nik tra­fień 60 : 40 na prze­strze­ni wie­lu me­czów, ale chwa­le­nie go za ja­kąś se­rię 5 ko­szy z rzę­dy nie róż­ni się od chwa­le­nia ta­len­tu ko­goś, kto w rzu­cie mo­ne­tą uzy­skał 5 or­łów z rzę­du. Obaj mie­li do­brą pas­sę. Moż­li­we też – albo i cał­kiem praw­do­po­dob­ne – że za­wod­nik A, któ­ry ogól­nie nie jest tak do­bry w rzu­ca­niu ko­szy jak za­wod­nik B, bę­dzie miał dłuż­szą se­rię uda­nych rzu­tów w jed­nym me­czu. Nie ozna­cza to, że jest lep­szym gra­czem. To lo­so­wość spra­wia, że A ma do­brą pas­sę, a B złą.

Si­mon Ku­per i Ste­fan Szy­man­ski prze­ana­li­zo­wa­li nie­daw­no 400 me­czów ro­ze­gra­nych przez re­pre­zen­ta­cję An­glii w pił­ce noż­nej od 1980 roku. W książ­ce Why En­gland Lose na­pi­sa­li: „Ciąg an­giel­skich zwy­cięstw [...] jest nie do od­róż­nie­nia od lo­so­wej se­rii rzu­tów mo­ne­tą. Wy­nik ostat­nie­go me­czu An­glii nie ma war­to­ści pro­gno­stycz­nej, co wię­cej – nie ma jej żad­na kom­bi­na­cja me­czów an­giel­skiej re­pre­zen­ta­cji. To, co zda­rzy­ło się na jed­nym spo­tka­niu, naj­wy­raź­niej nie ma związ­ku z tym, co zda­rzy się w na­stęp­nym. Je­dy­ne, co moż­na prze­wi­dzieć, to to, że w śred­niej lub dłu­giej per­spek­ty­wie cza­so­wej An­glia zde­cy­do­wa­nie wy­gra oko­ło po­ło­wy spo­tkań”.

Wzlo­ty i upad­ki w spo­rcie czę­sto tłu­ma­czy się udzia­łem przy­pad­ku. Po spek­ta­ku­lar­nym wzlo­cie mo­żesz ode­brać te­le­fon ze „Sports Il­lu­stra­ted”. A wte­dy masz pra­wie jak w ban­ku, że cze­ka cię gwał­tow­ny spa­dek wy­ni­ków.

* * *

1 Fil­mik po­ka­zu­ją­cy, jak po­kro­ić cia­sto we­dług za­sad na­uko­wych, moż­na obej­rzeć na ka­na­le YouTu­be au­to­ra: http://www.youtu­be.com/user/Ale­xIn­Num­ber­land (przyp.red.).

ROZ­DZIAŁ JE­DE­NA­STY

Na ko­niec nie­skoń­czo­ność

Kil­ka lat temu Da­ina Ta­imi­na sie­dzia­ła wy­god­nie na ka­na­pie w domu w Itha­ce w sta­nie Nowy Jork, gdzie wy­kła­da na Uni­wer­sy­te­cie Cor­nel­la. Ktoś z do­mow­ni­ków za­py­tał ją, co robi.

– Szy­deł­ku­ję płasz­czy­znę hi­per­bo­licz­ną – od­rze­kła, na­wią­zu­jąc do kon­cep­cji, któ­ra od nie­mal 200 lat za­dzi­wia i fa­scy­nu­je gro­no ma­te­ma­ty­ków.

W od­po­wie­dzi usły­sza­ła lek­ce­wa­żą­ce py­ta­nie:

– A wi­dzia­łaś kie­dyś, żeby ja­kiś ma­te­ma­tyk szy­deł­ko­wał ?

Ten afront spra­wił tyl­ko, że Da­ina z jesz­cze więk­szą de­ter­mi­na­cją za­przę­gła szy­deł­ko­wa­nie w służ­bę na­uki. Wy­my­śli­ła tak zwa­ne szy­deł­ko­wa­nie hi­per­bo­licz­ne – tech­ni­kę dzier­ga­nia, dzię­ki któ­rej po­wsta­ją przed­mio­ty tak pięk­ne i mi­ster­ne, jak dzie­ła two­rzo­ne przez Wo­men’s In­sti­tu­te, i któ­ra przy­czy­ni­ła się do zro­zu­mie­nia geo­me­trii w spo­sób, jaki nig­dy na­wet nie przy­szedł ma­te­ma­ty­kom do gło­wy.

Wkrót­ce wy­ja­śnię szcze­gó­ło­wo, co zna­czy sło­wo hi­per­bo­licz­ny i cze­go do­wie­dzie­li­śmy się dzię­ki szy­deł­ko­wym mo­de­lom Da­iny, ale na ra­zie wy­star­czy wie­dzieć, że geo­me­tria hi­per­bo­licz­na to zu­peł­nie sprzecz­ny z in­tu­icją ro­dzaj geo­me­trii, któ­ry na­ro­dził się na po­cząt­ku XIX wie­ku i w któ­rym zbiór re­guł tak sta­ran­nie wy­łusz­czo­nych w Ele­men­tach przez Eu­kli­de­sa uzna­je się za fał­szy­wy. Geo­me­tria nie­eu­kli­de­so­wa była prze­ło­mem w ma­te­ma­ty­ce, opi­sy­wa­ła bo­wiem teo­rię prze­strze­ni fi­zycz­nej, któ­ra prze­czy­ła na­sze­mu do­świad­cze­niu świa­ta, a za­tem była trud­na do wy­obra­że­nia, choć nie za­wie­ra­ła żad­nych sprzecz­no­ści ma­te­ma­tycz­nych, więc z punk­tu wi­dze­nia ma­te­ma­ty­ki była rów­nie sen­sow­na, jak sys­tem eu­kli­de­so­wy.

Hi­per­bo­licz­na ro­bót­ka szy­deł­ko­wa.

W tym sa­mym wie­ku in­ne­go prze­ło­mu in­te­lek­tu­al­ne­go po­dob­nej wagi do­ko­nał Georg Can­tor, któ­ry po­sta­wił na gło­wie na­sze in­tu­icyj­ne ro­zu­mie­nie nie­skoń­czo­no­ści, do­wo­dząc, że nie­skoń­czo­ność ma róż­ne wiel­ko­ści. Geo­me­tria nie­eu­kli­de­so­wa i teo­ria zbio­rów Can­to­ra otwo­rzy­ły przed nami 2 wspa­nia­łe świa­ty, do któ­rych wy­pra­wię się na na­stęp­nych stro­nach. Ra­zem wy­zna­czy­ły po­czą­tek no­wo­cze­snej ma­te­ma­ty­ki.

Ele­men­ty, re­ka­pi­tu­lu­jąc to, co mó­wi­li­śmy dużo wcze­śniej, to nie­wąt­pli­wie naj­istot­niej­szy pod­ręcz­nik do ma­te­ma­ty­ki wszech cza­sów, któ­ry okre­ślił pod­sta­wy grec­kiej geo­me­trii. Dzie­ło wpro­wa­dzi­ło rów­nież me­to­dę ak­sjo­ma­tycz­ną, któ­rą po­słu­gi­wał się Eu­kli­des: za­czy­nał od ja­snych de­fi­ni­cji po­jęć, ja­kich miał uży­wać, oraz za­sad, ja­kich miał prze­strze­gać, a na­stęp­nie wy­wo­dził z nich swój zbiór twier­dzeń. Za­sa­dy, czy­li ak­sjo­ma­ty, sys­te­mu to zda­nia przyj­mo­wa­ne bez do­wo­du, więc ma­te­ma­ty­cy za­wsze sta­ra­ją się, by były jak naj­prost­sze i naj­bar­dziej oczy­wi­ste.

Eu­kli­des udo­wod­nił wszyst­kie 465 twier­dzeń Ele­men­tów, wy­cho­dząc od za­le­d­wie 5 ak­sjo­ma­tów na­zy­wa­nych po­stu­la­ta­mi:

Od do­wol­ne­go punk­tu do do­wol­ne­go in­ne­go punk­tu moż­na po­pro­wa­dzić od­ci­nek.

Od­ci­nek moż­na do­wol­nie prze­dłu­żać po pro­stej.

Z do­wol­ne­go środ­ka do­wol­nym pro­mie­niem moż­na opi­sać okrąg.

Wszyst­kie kąty pro­ste są przy­sta­ją­ce.

Je­śli pro­sta pa­da­ją­ca na 2 pro­ste two­rzy po jed­nej stro­nie kąty we­wnętrz­ne, któ­re w su­mie są mniej­sze od 2 pro­stych ką­tów, to pro­ste prze­dłu­żo­ne nie­ogra­ni­cze­nie scho­dzą się po tej stro­nie, po któ­rej kąty te są w su­mie mniej­sze od 2 ką­tów pro­stych.

Kie­dy do­cho­dzi­my do punk­tu 5., czu­je­my, że coś tu nie gra. Po­stu­la­ty za­czy­na­ją się dość dziar­sko. Pierw­sze 4 ła­two przed­sta­wić, ła­two zro­zu­mieć i ła­two przy­jąć. Ale skąd wziął się ten 5.? Jest roz­wle­kły, skom­pli­ko­wa­ny i nie­zbyt, je­śli w ogó­le, oczy­wi­sty. A do tego nie jest na­wet tak wy­raź­nie po­trzeb­ny: po raz pierw­szy przy­da­je się w Ele­men­tach do­pie­ro w twier­dze­niu 29.

Mimo mi­ło­ści do de­duk­cyj­nej me­to­dy Eu­kli­de­sa ma­te­ma­ty­cy nie­na­wi­dzi­li po­stu­la­tu 5. – kłó­cił się on z ich zmy­słem es­te­tycz­nym, a poza tym mie­li po­czu­cie, że za­kła­da za dużo jak na ak­sjo­mat. W rze­czy sa­mej, przez 2000 lat wie­le wspa­nia­łych umy­słów pró­bo­wa­ło zmie­nić jego sta­tus, usi­łu­jąc wy­de­du­ko­wać go z po­zo­sta­łych po­stu­la­tów. W ten spo­sób moż­na by prze­kla­sy­fi­ko­wać go na twier­dze­nie, za­miast po­zo­sta­wiać w cha­rak­te­rze po­stu­la­tu czy ak­sjo­ma­tu. Żad­ne­mu się to jed­nak nie uda­ło. Być może naj­więk­szym świa­dec­twem ge­niu­szu Eu­kli­de­sa było to, że ro­zu­miał, iż po­stu­lat 5. trze­ba przy­jąć bez do­wo­du.

Z lep­szym skut­kiem ma­te­ma­ty­cy prze­for­mu­ło­wy­wa­li po­stu­lat na róż­ne spo­so­by. Na przy­kład John Wal­lis w XVII wie­ku za­uwa­żył, że da się wy­wieść Ele­men­ty, za­cho­wu­jąc pierw­sze 4 po­stu­la­ty w nie­zmie­nio­nej po­sta­ci, za­stę­pu­jąc jed­no­cze­śnie po­stu­lat 5. taką al­ter­na­ty­wą:

Do­wol­ny trój­kąt moż­na po­więk­szyć lub po­mniej­szyć do do­wol­ne­go roz­mia­ru w taki spo­sób, że pro­por­cja dłu­go­ści bo­ków po­zo­sta­nie taka sama, a kąty mię­dzy bo­ka­mi po­zo­sta­ną nie­zmie­nio­ne.

Choć spo­strze­że­nie, że po­stu­lat 5., moż­na prze­for­mu­ło­wać na zda­nie o trój­ką­tach za­miast zda­nia o pro­stych, było nie lada osią­gnię­ciem, nie roz­wią­za­ło jed­nak kło­po­tu ma­te­ma­ty­ków: al­ter­na­tyw­ny po­stu­lat Wal­li­sa był być może odro­bi­nę bar­dziej in­tu­icyj­ny od po­stu­la­tu 5. Eu­kli­de­sa, ale nadal da­le­ko mu było do pro­sto­ty i oczy­wi­sto­ści pierw­szych 4. Od­kry­to rów­nież inne ekwi­wa­len­ty po­stu­la­tu 5. – twier­dze­nia Eu­kli­de­sa po­zo­sta­wa­ły praw­dzi­we, kie­dy po­stu­lat 5. za­stę­po­wa­no zda­niem, że suma ką­tów w trój­ką­cie wy­no­si 180 stop­ni, że twier­dze­nie Pi­ta­go­ra­sa jest praw­dzi­we albo że we wszyst­kich okrę­gach sto­su­nek ob­wo­du do śred­ni­cy wy­no­si pi. Choć może to wy­da­wać się zdu­mie­wa­ją­ce, wszyst­kie te zda­nia są pod wzglę­dem ma­te­ma­tycz­nym wy­mien­ne. Ale isto­tę kło­po­tli­we­go po­stu­la­tu w naj­do­god­niej­szy spo­sób wy­ra­żał od­po­wied­nik do­ty­czą­cy za­cho­wa­nia pro­stych. W XVIII wie­ku ma­te­ma­ty­cy stu­diu­ją­cy Eu­kli­de­sa za­czę­li pre­fe­ro­wać tę wła­śnie wer­sję, na­zy­wa­ną po­stu­la­tem rów­no­le­gło­ści:

Przez do­wol­ny punkt nie­le­żą­cy na da­nej pro­stej moż­na po­pro­wa­dzić co naj­wy­żej jed­ną pro­stą rów­no­le­głą do tej pro­stej.

Moż­na wy­ka­zać, że po­stu­lat rów­no­le­gło­ści od­no­si się do geo­me­trii 2 ro­dza­jów po­wierzch­ni, od­wo­łu­jąc się do wy­ra­że­nia naj­wy­żej jed­na pro­sta, któ­re w ję­zy­ku ma­te­ma­ty­ki zna­czy 1 pro­sta albo żad­na pro­sta. W pierw­szym przy­pad­ku, zi­lu­stro­wa­nym na po­niż­szym ry­sun­ku, dla do­wol­nej li­nii pro­stej l i punk­tu P ist­nie­je tyl­ko jed­na pro­sta rów­no­le­gła do l (ozna­czo­na jako l'), któ­ra prze­cho­dzi przez P. Ta wer­sja po­stu­la­tu od­no­si się do naj­bar­dziej oczy­wi­ste­go ro­dza­ju po­wierzch­ni, czy­li po­wierzch­ni pła­skiej, ta­kiej jak kart­ka pa­pie­ru na biur­ku.

Po­stu­lat rów­no­le­gło­ści.

Roz­waż­my te­raz dru­gą wer­sję po­stu­la­tu, w któ­rej dla do­wol­nej pro­stej l i punk­tu P nie­le­żą­ce­go na tej pro­stej nie ist­nie­je żad­na li­nia prze­cho­dzą­ca przez P i rów­no­le­gła do l. Z po­cząt­ku trud­no po­my­śleć, na ja­kie­go typu po­wierzch­ni może tak być. Niech to kule biją!… Wła­śnie, na kuli, na przy­kład ziem­skiej! Wy­obraź­my so­bie, że pro­sta l jest rów­ni­kiem, a punkt P jest bie­gu­nem pół­noc­nym. Je­dy­ne pro­ste prze­cho­dzą­ce przez bie­gun pół­noc­ny to po­łu­dni­ki, ta­kie jak po­łu­dnik ze­ro­wy Gre­en­wich, a wszyst­kie po­łu­dni­ki prze­ci­na­ją rów­nik. Nie ma więc pro­stych prze­cho­dzą­cych przez bie­gun pół­noc­ny, któ­re by­ły­by rów­no­le­głe do rów­ni­ka.

Po­stu­lat o rów­no­le­głych daje nam geo­me­trię dla po­wierzch­ni pła­skich i sfe­rycz­nych. Ele­men­ty zaj­mo­wa­ły się po­wierzch­nia­mi pła­ski­mi, więc to one przez 2000 lat sta­no­wi­ły głów­ny przed­miot do­cie­kań ma­te­ma­tycz­nych. Po­wierzch­nie sfe­rycz­ne, ta­kie jak Zie­mia, nie in­te­re­so­wa­ły teo­re­ty­ków tak bar­dzo jak na­wi­ga­to­rów czy astro­no­mów. Do­pie­ro na po­cząt­ku XIX wie­ku ma­te­ma­ty­cy stwo­rzy­li szer­szą teo­rię, któ­ra obej­mo­wa­ła po­wierzch­nie pła­skie i sfe­rycz­ne – i na­stą­pi­ło to do­pie­ro po tym, jak na­tra­fi­li na trze­ci ro­dzaj po­wierzch­ni, czy­li po­wierzch­nię hi­per­bo­licz­ną.

Wśród tych, któ­rzy sta­ra­li się udo­wod­nić po­stu­lat o rów­no­le­głych na pod­sta­wie pierw­szych 4 po­stu­la­tów i tym sa­mym wy­ka­zać, że to wca­le nie jest po­stu­lat, lecz twier­dze­nie, szcze­gól­ną de­ter­mi­na­cją wy­róż­niał się stu­dent in­ży­nie­rii z Sied­mio­gro­du Ja­nós Bo­ly­ai. Jego oj­ciec Far­kas, ma­te­ma­tyk, znał ska­lę wy­zwa­nia z wła­snych nie­uda­nych prób i bła­gał syna, by prze­stał: „Na mi­łość bo­ską, bła­gam Cię, daj so­bie spo­kój. Strzeż się tego nie mniej niż na­mięt­no­ści zmy­sło­wych, bo­wiem to tak­że może po­chło­nąć cały Twój czas i po­zba­wić Cię zdro­wia, spo­ko­ju umy­słu i szczę­ścia w ży­ciu”. Ja­nós jed­nak upar­cie igno­ro­wał radę ojca i nie był to je­dy­ny prze­jaw jego bun­tu. Ja­nós ośmie­lił się bo­wiem wziąć pod uwa­gę moż­li­wość, że po­stu­lat jest nie­praw­dzi­wy. Ele­men­ty były dla ma­te­ma­ty­ki tym, czym Bi­blia jest dla chrze­ści­jań­stwa – księ­gą nie­pod­wa­żal­nych, świę­tych prawd. Choć spie­ra­no się, czy po­stu­lat rów­no­le­gło­ści jest ak­sjo­ma­tem czy twier­dze­niem, nikt nie miał czel­no­ści za­su­ge­ro­wać, że w ogó­le jest nie­praw­dzi­wy. Jak się oka­za­ło, taki czyn był klu­czem do no­we­go świa­ta.

Po­stu­lat o rów­no­le­głych mówi, że dla do­wol­nej pro­stej i punk­tu nie­le­żą­ce­go na tej pro­stej ist­nie­je naj­wy­żej jed­na pro­sta rów­no­le­gła prze­cho­dzą­ca przez ten punkt. Zu­chwa­łość Ja­nó­sa po­le­ga­ła na przy­ję­ciu, że dla da­nej pro­stej i punk­tu nie­le­żą­ce­go na niej ist­nie­je wię­cej niż jed­na pro­sta rów­no­le­gła prze­cho­dzą­ca przez ten punkt. Choć w ogó­le nie było ja­sne, jak wy­obra­zić so­bie po­wierzch­nię speł­nia­ją­cą ta­kie za­ło­że­nie, Ja­nós zda­wał so­bie spra­wę, że geo­me­tria stwo­rzo­na przez to zda­nie wraz z pierw­szy­mi 4 po­stu­la­ta­mi za­cho­wu­je ma­te­ma­tycz­ną spój­ność. Było to od­kry­cie re­wo­lu­cyj­ne i Ja­nós był świa­dom jego do­nio­sło­ści. W 1823 roku oznaj­mił ojcu w li­ście: „Z ni­cze­go stwo­rzy­łem nowy wszech­świat”.

Ja­nó­so­wi praw­do­po­dob­nie po­mógł fakt, że pra­co­wał w od­osob­nie­niu, z dala od du­żych pla­có­wek ma­te­ma­tycz­nych, więc w mniej­szym stop­niu był zin­dok­try­no­wa­ny tra­dy­cyj­ny­mi po­glą­da­mi. Na­wet po swo­im od­kry­ciu nie zde­cy­do­wał się zo­stać ma­te­ma­ty­kiem. Ukoń­czyw­szy stu­dia, za­cią­gnął się do woj­ska au­stro-wę­gier­skie­go, gdzie po­dob­no był naj­lep­szym fech­mi­strzem i tan­ce­rzem wśród ko­le­gów. Był rów­nież zna­ko­mi­tym mu­zy­kiem – po­noć pew­ne­go razu wy­zwał 13 ofi­ce­rów na po­je­dy­nek, sta­wia­jąc wa­ru­nek, że je­śli zwy­cię­ży, bę­dzie mógł za­grać po­ko­na­ne­mu utwór na skrzyp­cach.

Ja­nós nie wie­dział, że nie­za­leż­nie od nie­go inny ma­te­ma­tyk – z za­kąt­ka od­da­lo­ne­go od cen­trum eu­ro­pej­skiej my­śli na­uko­wej jesz­cze bar­dziej niż Sied­mio­gród – czy­nił po­dob­ne po­stę­py, ale jego pra­ca zo­sta­ła od­rzu­co­na przez ma­te­ma­tycz­ny es­ta­bli­sh­ment. W 1826 roku Mi­ko­łaj Iwa­no­wicz Ło­ba­czew­ski, pro­fe­sor uni­wer­sy­te­tu ka­zań­skie­go w Ro­sji, prze­słał do ce­nio­nej na świe­cie Pe­ters­bur­skiej Aka­de­mii Nauk ar­ty­kuł, w któ­rym kwe­stio­no­wał praw­dzi­wość po­stu­la­tu 5. Ar­ty­ku­łu nie przy­ję­to, więc Ło­ba­czew­ski po­sta­no­wił opu­bli­ko­wać go w lo­kal­nej ga­ze­cie „Go­niec Ka­zań­ski” i w re­zul­ta­cie nikt nie zwró­cił na nie­go uwa­gi.

Naj­więk­szą iro­nią losu w hi­sto­rii oba­la­nia po­stu­la­tu Eu­kli­de­sa z pie­de­sta­łu nie­na­ru­szal­nej praw­dy było jed­nak to, że już kil­ka de­kad wcze­śniej ktoś z sa­me­go ser­ca es­ta­bli­sh­men­tu ma­te­ma­tycz­ne­go do­ko­nał tego sa­me­go od­kry­cia co Ja­nós Bo­ly­ai i Mi­ko­łaj Ło­ba­czew­ski, lecz nie ujaw­nił swo­ich wy­ni­ków przed ko­le­ga­mi. Nie wia­do­mo do­kład­nie, dla­cze­go Carl Frie­drich Gauss, naj­więk­szy ma­te­ma­tyk swo­jej epo­ki, utrzy­my­wał ba­da­nia nad po­stu­la­tem o rów­no­le­głych w ta­jem­ni­cy, choć prze­wa­ża opi­nia, że chciał unik­nąć wplą­ta­nia się w spór o pry­mat Eu­kli­de­sa z człon­ka­mi wy­dzia­łu.

Do­pie­ro czy­ta­jąc o wy­ni­kach Ja­nó­sa, któ­re zo­sta­ły opu­bli­ko­wa­ne w 1831 roku jako aneks w książ­ce jego ojca Far­ka­sa, Gauss wy­ja­wił, że rów­nież roz­wa­żał fał­szy­wość po­stu­la­tu o rów­no­le­głych. Gauss na­pi­sał list do Far­ka­sa, daw­ne­go ko­le­gi ze stu­diów, w któ­rym na­zwał Ja­nó­sa „ge­niu­szem pierw­szej kla­sy”, do­da­jąc jed­nak, że nie po­tra­fi wy­chwa­lać jego prze­ło­mo­we­go od­kry­cia: „Je­śli bo­wiem miał­bym to chwa­lić, chwa­lił­bym sa­me­go sie­bie. Cała treść szki­cu [...] jest zbież­na z mo­imi wła­sny­mi od­kry­cia­mi, z któ­rych część się­ga 30 czy 35 lat wstecz […] Mia­łem za­miar spi­sać to wszyst­ko póź­niej, żeby choć nie zgi­nę­ło wraz ze mną. Dla­te­go miłą nie­spo­dzian­ką jest dla mnie, że oszczę­dzo­no mi tego kło­po­tu, i cie­szę się szcze­gól­nie, że to wła­śnie syn mego sta­re­go przy­ja­cie­la ma przede mną pierw­szeń­stwo w tej spra­wie”. Ja­nó­sa przy­gnę­bi­ła wia­do­mość, że Gauss był pierw­szy. A kie­dy po la­tach Ja­nós do­wie­dział się, że wy­prze­dził go tak­że Ło­ba­czew­ski, za­czę­ła go prze­śla­do­wać ab­sur­dal­na myśl, że Ło­ba­czew­ski był fik­cyj­ną po­sta­cią wy­my­ślo­ną przez Gaus­sa, któ­ry w ten prze­bie­gły spo­sób chciał po­zba­wić go za­sług.

Gauss swój ostat­ni wkład w ba­da­nia nad po­stu­la­tem rów­no­le­gło­ści wniósł tuż przed śmier­cią, kie­dy już po­waż­nie cho­ry usta­lił ty­tuł prób­ne­go wy­kła­du jed­ne­go ze swo­ich naj­zdol­niej­szych stu­den­tów, dwu­dzie­sto­sied­mio­let­nie­go Bern­har­da Rie­man­na: O hi­po­te­zie le­żą­cej u pod­staw geo­me­trii. Rie­mann, cho­ro­bli­wie nie­śmia­ły syn lu­te­rań­skie­go pa­sto­ra, na po­cząt­ku prze­szedł coś na kształt za­ła­ma­nia ner­wo­we­go, mo­cu­jąc się z tre­ścią wy­stą­pie­nia, ale jego roz­wią­za­nie pro­ble­mu mia­ło zre­wo­lu­cjo­ni­zo­wać ma­te­ma­ty­kę. Póź­niej zre­wo­lu­cjo­ni­zo­wa­ło tak­że fi­zy­kę, gdyż in­no­wa­cje Rie­man­na po­trzeb­ne były Ein­ste­ino­wi do sfor­mu­ło­wa­nia ogól­nej teo­rii względ­no­ści.

Wy­kład Rie­man­na z 1854 roku utrwa­lił zmia­nę pa­ra­dyg­ma­tu poj­mo­wa­nia geo­me­trii zwią­za­ną z oba­le­niem po­stu­la­tu o rów­no­le­głych, wpro­wa­dza­jąc uni­wer­sal­ną teo­rię, któ­ra obej­mo­wa­ła geo­me­trię eu­kli­de­so­wą i nie­eu­kli­de­so­wą. Klu­czo­wą kon­cep­cją w teo­rii Rie­man­na była krzy­wi­zna prze­strze­ni. Je­śli po­wierzch­nia ma krzy­wi­znę ze­ro­wą, to jest pła­ska, czy­li eu­kli­de­so­wa, i wszyst­kie twier­dze­nia Ele­men­tów po­zo­sta­ją waż­ne. Kie­dy po­wierzch­nia ma krzy­wi­znę do­dat­nią lub ujem­ną, jest za­krzy­wio­na, czy­li nie­eu­kli­de­so­wa, i Ele­men­ty na niej nie obo­wią­zu­ją.

Krzy­wi­znę, kon­ty­nu­ował Rie­mann, naj­ła­twiej zro­zu­mieć na przy­kła­dzie za­cho­wa­nia trój­ką­tów. Na po­wierzch­ni o ze­ro­wej krzy­wiź­nie kąty trój­ką­ta su­mu­ją się do 180 stop­ni. Na po­wierzch­ni o krzy­wiź­nie do­dat­niej suma ką­tów trój­ką­ta jest więk­sza niż 180 stop­ni. Na po­wierzch­ni o krzy­wiź­nie ujem­nej suma ką­tów trój­ką­ta jest mniej­sza niż 180 stop­ni.

Sfe­ra ma krzy­wi­znę do­dat­nią. Mo­że­my się o tym prze­ko­nać, je­śli roz­wa­ży­my sumę ką­tów trój­ką­ta na po­niż­szym ry­sun­ku, utwo­rzo­ne­go przez rów­nik, po­łu­dnik ze­ro­wy Gre­en­wich oraz po­łu­dnik znaj­du­ją­cy się 73 stop­nie na za­chód od Gre­en­wich (prze­cho­dzą­cy przez Nowy Jork). Oba kąty u pod­sta­wy, gdzie po­łu­dni­ki prze­ci­na­ją rów­nik, mają po 90 stop­ni, więc suma wszyst­kich trzech ką­tów musi być więk­sza od 180 stop­ni.

Trój­kąt na sfe­rze: suma ką­tów jest więk­sza niż 180 stop­ni.

Ja­kie­go ro­dza­ju po­wierzch­nia ma krzy­wi­znę ujem­ną? Gdzie, in­ny­mi sło­wy, moż­na zna­leźć trój­ką­ty, w któ­rych suma ką­tów jest mniej­sza niż 180 stop­ni? Od­po­wiedź znaj­dziesz w pacz­ce Prin­gles. Na­ry­suj trój­kąt we wklę­słej czę­ści chip­sa ziem­nia­cza­ne­go (naj­le­piej do­brą musz­tar­dą fran­cu­ską) – tak jak na na­stęp­nej stro­nie. Trój­kąt wy­glą­da na „za­ssa­ny” w po­rów­na­niu z „wy­dę­tym” trój­ką­tem na po­wierzch­ni kuli. Jego kąty mają wy­raź­nie mniej niż 180 stop­ni.

Trój­kąt na chip­sie: suma ką­tów jest mniej­sza niż 180 stop­ni.

Po­wierzch­nia o krzy­wiź­nie ujem­nej na­zy­wa­na jest hi­per­bo­licz­ną. Po­wierzch­nia prin­gle’a jest więc hi­per­bo­licz­na. Prin­gles to jed­nak tyl­ko przy­staw­ka do zro­zu­mie­nia geo­me­trii hi­per­bo­licz­nej, po­nie­waż chips ma brzeg. Po­każ brzeg ma­te­ma­ty­ko­wi, a od razu bę­dzie chciał go prze­kro­czyć.

Spójrz­my na to w ten spo­sób. Ła­two wy­obra­zić so­bie po­wierzch­nię o krzy­wiź­nie ze­ro­wej i po­zba­wio­ną brze­gu: na przy­kład ta stro­na, roz­pro­sto­wa­na na biur­ku i prze­dłu­żo­na w nie­skoń­czo­ność we wszyst­kich kie­run­kach. Gdy­by­śmy miesz­ka­li na ta­kiej po­wierzch­ni i za­czę­li iść po pro­stej w do­wol­nym kie­run­ku, nig­dy nie do­tar­li­by­śmy do skra­ju. Mamy też oczy­wi­sty przy­kład po­wierzch­ni o krzy­wiź­nie do­dat­niej i po­zba­wio­nej brze­gu: sfe­rę. Gdy­by­śmy miesz­ka­li na po­wierzch­ni kuli, mo­gli­by­śmy bez koń­ca wę­dro­wać w jed­nym kie­run­ku i nig­dy nie do­tar­li­by­śmy do brze­gu. (I oczy­wi­ście miesz­ka­my na czymś, co w przy­bli­że­niu jest kulą. Gdy­by Zie­mia była zu­peł­nie gład­ka, bez gór i oce­anów blo­ku­ją­cych nam dro­gę, to wę­dru­jąc, wró­ci­li­by­śmy do punk­tu wyj­ścia i da­lej cho­dzi­li w kół­ko).

Do­brze, a jak wy­glą­da po­wierzch­nia o ujem­nej krzy­wiź­nie po­zba­wio­na brze­gu? Nie może wy­glą­dać jak prin­gle, po­nie­waż gdy­by­śmy miesz­ka­li na chip­sie wiel­ko­ści Zie­mi i za­czę­li iść w jed­nym kie­run­ku, w koń­cu za­wsze by­śmy z nie­go spa­dli. Ma­te­ma­ty­cy dłu­go za­sta­na­wia­li się, jak może wy­glą­dać „bez­brzeż­na” po­wierzch­nia hi­per­bo­licz­na – taka, po któ­rej mo­gli­by­śmy iść do woli, nie do­cho­dząc jed­nak nig­dy do jej krań­ca, i któ­ra nig­dy nie stra­ci­ła­by swych hi­per­bo­licz­nych wła­ści­wo­ści. Sko­ro musi wy­gi­nać się jak prin­gle, to może trze­ba po­sklejć ze sobą mnó­stwo chip­sów? Nie­ste­ty, tak się nie da, po­nie­waż nie pa­su­ją one do sie­bie do­kład­nie, a gdy­by­śmy wy­peł­ni­li luki inną po­wierzch­nią, to te nowe ob­sza­ry nie by­ły­by już hi­per­bo­licz­ne. In­ny­mi sło­wy, prin­gle po­zwa­la nam je­dy­nie wy­obra­zić so­bie pew­ną lo­kal­ną po­wierzch­nię o wła­ści­wo­ściach hi­per­bo­licz­nych. Nie­sa­mo­wi­cie trud­no na­to­miast – na­wet naj­bar­dziej bły­sko­tli­wym umy­słom – wy­obra­zić so­bie po­wierzch­nię hi­per­bo­licz­ną, któ­ra cią­gnie się bez koń­ca.

Po­wierzch­nie sfe­rycz­ne i hi­per­bo­licz­ne są ma­te­ma­tycz­ny­mi prze­ci­wień­stwa­mi – oto prak­tycz­ny przy­kład, któ­ry to ilu­stru­je. Wy­tnij­my frag­ment po­wierzch­ni sfe­rycz­nej z pił­ki do ko­szy­ków­ki. Kie­dy przy­ci­śnie­my ten frag­ment do zie­mi, żeby go spłasz­czyć, to albo się roz­cią­gnie, albo ro­ze­rwie, po­nie­waż jest za mało ma­te­ria­łu do roz­ło­że­nia na pła­sko. Wy­obraź­my so­bie te­raz, że mamy gu­mo­we­go prin­gle’a. Kie­dy spró­bu­je­my go roz­płasz­czyć, bę­dzie miał za dużo ma­te­ria­łu i część bę­dzie się fał­do­wać. Sfe­ra za­my­ka się w so­bie, na­to­miast po­wierzch­nia hi­per­bo­licz­na się roz­sze­rza.

Wróć­my do po­stu­la­tu o rów­no­le­głych, za po­mo­cą któ­re­go moż­na zwięź­le skla­sy­fi­ko­wać po­wierzch­nie pła­skie, sfe­rycz­ne oraz hi­per­bo­licz­ne.

Dla do­wol­nej pro­stej i punk­tu nie­le­żą­ce­go na tej pro­stej:

Na pła­skiej po­wierzch­ni ist­nie­je jed­na i tyl­ko jed­na pro­sta rów­no­le­gła prze­cho­dzą­ca przez ten punkt.

Na po­wierzch­ni sfe­rycz­nej ist­nie­je zero pro­stych rów­no­le­głych prze­cho­dzą­cych przez ten punkt1.

Na po­wierzch­ni hi­per­bo­licz­nej ist­nie­je nie­skoń­czo­na licz­ba pro­stych rów­no­le­głych prze­cho­dzą­cych przez ten punkt.

Mo­że­my in­tu­icyj­nie zro­zu­mieć za­cho­wa­nie pro­stych rów­no­le­głych na po­wierzch­ni pła­skiej lub sfe­rycz­nej, po­nie­waż bez tru­du po­tra­fi­my wy­obra­zić so­bie pła­ską po­wierzch­nię, któ­ra roz­cią­ga się bez koń­ca, i wszy­scy wie­my, czym jest sfe­ra. O wie­le trud­niej­sze jest zro­zu­mie­nie za­cho­wa­nia pro­stych rów­no­le­głych na po­wierzch­ni hi­per­bo­licz­nej, po­nie­waż nie jest wca­le ja­sne, jak taka po­wierzch­nia cią­gną­ca się w nie­skoń­czo­ność może wy­glą­dać. Pro­ste rów­no­le­głe w prze­strze­ni hi­per­bo­licz­nej co­raz bar­dziej się od sie­bie od­da­la­ją. Nie od­krzy­wia­ją się od sie­bie – bo je­śli 2 li­nie są rów­no­le­głe, mu­szą też być pro­ste – ale roz­cho­dzą się, po­nie­waż prze­strzeń hi­per­bo­licz­na sta­le od­gi­na się od sa­mej sie­bie i mię­dzy 2 pro­sty­mi rów­no­le­gły­mi przy­ra­sta co­raz wię­cej prze­strze­ni. Nie mie­ści się to w gło­wie, więc nic dziw­ne­go, że mimo swe­go ge­niu­szu Rie­mann nie wy­na­lazł po­wierzch­ni o opi­sy­wa­nych przez sie­bie wła­sno­ściach.

Wy­zwa­nie zo­bra­zo­wa­nia hi­per­bo­licz­nej płasz­czy­zny elek­try­zo­wa­ło wie­lu ma­te­ma­ty­ków w ostat­nich dzie­się­cio­le­ciach XIX wie­ku. Hen­ri Po­in­ca­ré za­pro­po­no­wał mo­del po­wierzch­ni hi­per­bo­licz­nej w po­sta­ci wnę­trza koła (dys­ku), któ­ry za­in­spi­ro­wał M.C. Esche­ra do stwo­rze­nia słyn­ne­go cy­klu drze­wo­ry­tów Gra­ni­ca koła. W Gra­ni­cy koła IV dwu­wy­mia­ro­wy wszech­świat za­wie­ra się w okrą­głym dys­ku, w któ­rym anio­ły i dia­bły sta­ją się co­raz mniej­sze, im bar­dziej zbli­ża­ją się do ob­wo­du. Anio­ły i dia­bły nie są jed­nak świa­do­me, że są co­raz mniej­sze, po­nie­waż w mia­rę ich kur­cze­nia się ma­le­ją rów­nież przy­rzą­dy po­mia­ro­we. Z per­spek­ty­wy miesz­kań­ców wnę­trza koła wszy­scy mają taką samą wiel­kość, a ich wszech­świat roz­cią­ga się w nie­skoń­czo­ność.

Drze­wo­ryt Gra­ni­ca koła IV.

Po­my­sło­wość mo­de­lu wnę­trza koła Po­in­ca­régo po­le­ga na tym, że świet­nie ilu­stru­je za­cho­wa­nie pro­stych rów­no­le­głych w prze­strze­ni hi­per­bo­licz­nej. Naj­pierw mu­si­my so­bie wy­ja­śnić, czym są pro­ste we wnę­trzu koła. Jak pro­ste na sfe­rze wy­glą­da­ją na za­krzy­wio­ne, kie­dy przed­sta­wia się je na pła­skiej ma­pie (na przy­kład szla­ki lot­ni­cze są pro­ste, ale na ma­pie mają kształt łu­ko­wa­ty), tak li­nie, któ­re są pro­ste w świe­cie dys­ku, dla nas wy­glą­da­ją, jak­by były za­krzy­wio­ne. Po­in­ca­ré zde­fi­nio­wał pro­stą na dys­ku jako łuk okrę­gu, któ­ry prze­ci­na dysk pod ką­ta­mi pro­sty­mi. Ry­su­nek 1 przed­sta­wia pro­stą mię­dzy punk­ta­mi A i B, któ­rą wy­kre­śla się, znaj­du­jąc okrąg prze­cho­dzą­cy przez A i B i prze­ci­na­ją­cy dysk pod ką­ta­mi pro­sty­mi. Hi­per­bo­licz­na wer­sja po­stu­la­tu rów­no­le­gło­ści mówi, że dla każ­dej pro­stej l i nie­le­żą­ce­go na niej punk­tu P ist­nie­je nie­skoń­czo­na licz­ba pro­stych rów­no­le­głych do l, któ­re prze­cho­dzą przez P. Wi­dać to na ry­sun­ku 2, na któ­rym za­zna­czy­łem pro­ste l', l'' oraz l''' – prze­cho­dzą przez P, ale wszyst­kie są rów­no­le­głe do l (2 li­nie są rów­no­le­głe, je­śli obie są pro­ste i nig­dy się nie spo­ty­ka­ją). Każ­da z li­nii l', l'' oraz l''' sta­no­wi część in­ne­go okrę­gu prze­ci­na­ją­ce­go dysk pod ką­tem pro­stym. Pa­trząc na dysk, wi­dzi­my te­raz, że musi ist­nieć nie­skoń­czo­na licz­ba pro­stych rów­no­le­głych do l, któ­re prze­cho­dzą przez punkt P, po­nie­waż mo­że­my na­ry­so­wać nie­skoń­cze­nie wie­le okrę­gów prze­ci­na­ją­cych dysk pod ką­ta­mi pro­sty­mi i prze­cho­dzą­cych przez P. Mo­del Po­in­ca­régo po­ma­ga nam rów­nież zro­zu­mieć, co to zna­czy, że 2 pro­ste rów­no­le­głe roz­cho­dzą się: l i l’ są rów­no­le­głe, ale będą się co­raz bar­dziej od­da­lać od sie­bie, im bar­dziej będą się zbli­żać do ob­wo­du koła.

Świat dys­ku Po­in­ca­régo jest po­ucza­ją­cy, ale tyl­ko do pew­ne­go stop­nia. Choć daje nam kon­cep­tu­al­ny mo­del prze­strze­ni hi­per­bo­licz­nej, znie­kształ­co­nej w dość dziw­nym obiek­ty­wie, nie uka­zu­je jed­nak, jak prze­strzeń hi­per­bo­licz­na wy­glą­da w na­szym świe­cie. Po­szu­ki­wa­niom bar­dziej re­ali­stycz­nych mo­de­li hi­per­bo­licz­nych, któ­re wy­glą­da­ły obie­cu­ją­co w ostat­nich dzie­się­cio­le­ciach XIX wie­ku, za­dał cios nie­miec­ki ma­te­ma­tyk Da­vid Hil­bert, któ­ry w 1901 roku udo­wod­nił, że nie da się opi­sać po­wierzch­ni hi­per­bo­licz­nej za po­mo­cą rów­na­nia. Do­wód Hil­ber­ta zo­stał przy­ję­ty przez śro­do­wi­sko ma­te­ma­ty­ków z re­zy­gna­cją, po­nie­waż uzna­no, że sko­ro nie spo­sób opi­sać ta­kiej po­wierzch­ni wzo­rem, to taka po­wierzch­nia nie może tak na­praw­dę ist­nieć. Za­in­te­re­so­wa­nie wy­naj­dy­wa­niem mo­de­li dla prze­strze­ni hi­per­bo­licz­nych przy­ga­sło.

W tym miej­scu wra­ca­my do Da­iny Ta­imi­ny, z któ­rą spo­tka­łem się w So­uth Bank na nad­rzecz­nej pro­me­na­dzie z te­atra­mi, ga­le­ria­mi sztu­ki i ki­na­mi w Lon­dy­nie. Da­ina opo­wie­dzia­ła mi w skró­cie hi­sto­rię prze­strze­ni hi­per­bo­licz­nej, któ­rą wy­kła­da jako ad­iunkt na Uni­wer­sy­te­cie Cor­nel­la. Kon­se­kwen­cją do­wo­du Hil­ber­ta, że prze­strze­ni hi­per­bo­licz­nej nie da się wy­ge­ne­ro­wać na po­sta­wie ja­kie­goś wzo­ru, jak wy­ja­śni­ła Da­ina, jest to, że kom­pu­te­ry nie są w sta­nie utwo­rzyć ob­ra­zów po­wierzch­ni hi­per­bo­licz­nych, po­nie­waż po­tra­fią two­rzyć ob­ra­zy je­dy­nie na pod­sta­wie wzo­rów. Ale w la­tach 70. geo­me­tra Wil­liam Thur­ston od­krył, że o wie­le bar­dziej obie­cu­ją­ce może być cał­kiem sta­ro­świec­kie roz­wią­za­nie. Stwier­dził, że do stwo­rze­nia mo­de­lu hi­per­bo­licz­ne­go nie po­trze­ba wzo­ru – wy­star­czą pa­pier i no­życz­ki. Thur­ston, któ­ry w 1981 roku otrzy­mał Fields Me­dal (naj­wyż­szą na­gro­dę w ma­te­ma­ty­ce), a dzi­siaj pra­cu­je ra­zem z Da­iną, opra­co­wał mo­del po­skle­ja­ny ze skraw­ków pa­pie­ru w kształ­cie pod­ko­wy.

Da­ina uży­wa­ła mo­de­lu Thur­sto­na na za­ję­ciach ze stu­den­ta­mi, ale był tak de­li­kat­ny, że cią­gle się roz­pa­dał i za każ­dym ra­zem mu­sia­ła ro­bić nowy.

– Nie cier­pię kle­je­nia pa­pie­ru. Do­pro­wa­dza mnie to do sza­łu – po­wie­dzia­ła.

W koń­cu do­zna­ła olśnie­nia. A może mo­del płasz­czy­zny hi­per­bo­licz­nej da­ło­by się wy­dzier­gać?

Po­mysł był pro­sty: za­cząć od rzę­du oczek, a po­tem w każ­dym ko­lej­nym rzę­dzie do­da­wać pew­ną licz­bę oczek pro­por­cjo­nal­ną do licz­by oczek w po­przed­nim rzę­dzie. Na przy­kład do­da­wać 1 oczko na każ­de 2 oczka we wcze­śniej­szym rzę­dzie. Czy­li gdy­by w pierw­szym rzę­dzie było 20 oczek, w na­stęp­nym by­ło­by 30 oczek (do­dat­ko­we 10), w trze­cim 45 oczek (do­dat­ko­we 15) i tak da­lej. (W czwar­tym rzę­dzie po­win­no być do­dat­ko­we 22,5 oczka, ale po­nie­waż nie da się zro­bić pół oczka, trze­ba za­okrą­glić tę licz­bę w górę lub w dół). Da­ina mia­ła na­dzie­ję, że w ten spo­sób po­wsta­nie dzia­ni­na, któ­ra sta­je się co­raz szer­sza – jak­by roz­ra­sta­ła się hi­per­bo­licz­nie. Ro­bie­nie na dru­tach oka­za­ło się jed­nak zbyt nie­po­ręcz­ne, po­nie­waż po każ­dym błę­dzie mu­sia­ła pruć cały rząd. Zmie­ni­ła więc dru­ty na szy­deł­ko. W szy­deł­ko­wa­niu nie ma ry­zy­ka pru­cia, po­nie­waż robi się po 1 oczku. Dość szyb­ko na­bra­ła wpra­wy. Da­inie przy­da­ły się umie­jęt­no­ści rę­ko­dziel­ni­cze na­by­te w dzie­ciń­stwie, któ­re spę­dzi­ła w la­tach 60. na so­wiec­kiej Ło­twie.

W pierw­szym mo­de­lu szy­deł­ko­wym do­da­wa­ła 1 oczko na każ­de 2 oczka w po­przed­nim rzę­dzie. Po­wstał jed­nak ma­te­riał z wie­lo­ma gę­sty­mi fał­da­mi.

– Był za bar­dzo po­skrę­ca­ny – po­wie­dzia­ła. – Nie było wi­dać, co jest w środ­ku.

Zmie­ni­ła więc pro­por­cje i do­da­wa­ła tyl­ko 1 oczko na 5. Wy­szło nad­spo­dzie­wa­nie do­brze. Te­raz ro­bót­ka fał­do­wa­ła się jak na­le­ży. Prze­śle­dzi­ła li­nie pro­ste roz­sze­rza­ją­cych się fałd i szyb­ko uświa­do­mi­ła so­bie, że wi­dzi pro­ste rów­no­le­głe, któ­re się roz­cho­dzą.

– To był ob­raz, któ­ry za­wsze chcia­łam zo­ba­czyć. – Uśmiech­nę­ła się pro­mien­nie. – Bar­dzo się ucie­szy­łam. Mia­łam też ogrom­ną sa­tys­fak­cję, że wła­sny­mi rę­ka­mi zro­bi­łam coś, cze­go nie da się zro­bić na kom­pu­te­rze.

Da­ina po­ka­za­ła hi­per­bo­licz­ny mo­del szy­deł­ko­wy mę­żo­wi – był rów­nie pod­eks­cy­to­wa­ny jak ona. Da­vid Hen­der­son jest pro­fe­so­rem geo­me­trii na Uni­wer­sy­te­cie Cor­nel­la. Spe­cja­li­zu­je się w to­po­lo­gii, o któ­rej Dia­na, jak sama mówi, nie ma zie­lo­ne­go po­ję­cia. Wy­ja­śnił jej, że to­po­lo­go­wie od daw­na wie­dzą, iż ośmio­kąt na­ry­so­wa­ny na płasz­czyź­nie hi­per­bo­licz­nej moż­na zło­żyć w taki spo­sób, by przy­po­mi­nał spodnie. „Mu­si­my skon­stru­ować taki ośmio­kąt!” – po­wie­dział jej i tak wła­śnie zro­bi­li.

– Nikt wcze­śniej nie wi­dział hi­per­bo­licz­nych spodni! – wy­krzyk­nę­ła Da­ina i otwo­rzy­ła spor­to­wą tor­bę, któ­rą przy­nio­sła ze sobą. Wy­ję­ła szy­deł­ko­wy ośmio­kąt hi­per­bo­licz­ny i zło­ży­ła go, by po­ka­zać mi mo­del. Wy­glą­dał jak ślicz­ne weł­nia­ne spoden­ki dla nie­mow­la­ka.

Wśród pra­cow­ni­ków wy­dzia­łu ma­te­ma­tycz­ne­go Cor­nel­la ro­ze­szła się wia­do­mość o dzier­ga­nych two­rach Da­iny. Po­wie­dzia­ła mi, że po­ka­za­ła je ko­le­dze pi­szą­ce­mu na te­mat płasz­czyzn hi­per­bo­licz­nych.

– Spoj­rzał na mo­del i za­czął się z nim ba­wić. Na­gle twarz mu po­ja­śnia­ła. „Tak wła­śnie wy­glą­da ho­ro­cykl!”, po­wie­dział, roz­po­znaw­szy bar­dzo skom­pli­ko­wa­ny typ krzy­wej, któ­rej nig­dy wcze­śniej nie po­tra­fił so­bie wy­obra­zić. Pi­sał o nich od po­cząt­ku pra­cy na­uko­wej – do­da­ła Da­ina – ale ist­nia­ły tyl­ko w jego wy­obraź­ni.

Bez prze­sa­dy moż­na po­wie­dzieć, że hi­per­bo­licz­ne mo­de­le Da­iny dały waż­ny wgląd w mor­der­czy kon­cep­tu­al­nie ob­szar ma­te­ma­ty­ki. Po­zwo­li­ły na in­tu­icyj­ne do­świad­cze­nie płasz­czy­zny hi­per­bo­licz­nej, dzię­ki nim stu­den­ci mogą do­tknąć i po­czuć po­wierzch­nię, któ­rą wcze­śnie poj­mo­wa­no wy­łącz­nie w abs­trak­cyj­ny spo­sób. Mo­de­le Da­iny nie są jed­nak ide­al­ne. Pro­ble­mem jest na przy­kład gru­bość oczek, któ­ra spra­wia, że szy­deł­ko­we mo­de­le są je­dy­nie przy­bli­że­niem tego, co w teo­rii po­win­no być gład­ką po­wierzch­nią. Ale i tak są da­le­ce bar­dziej uni­wer­sal­ne i traf­ne niż prin­gle. Gdy­by hi­per­bo­licz­na ro­bót­ka szy­deł­ko­wa mia­ła nie­skoń­czo­ną licz­bę rzę­dów, teo­re­tycz­nie by­ło­by moż­li­we miesz­kać na tej po­wierzch­ni i wę­dro­wać bez koń­ca w jed­nym kie­run­ku, nie do­cho­dząc nig­dy do brze­gu.

Jed­nym z uro­ków mo­de­li Da­iny jest ich za­ska­ku­ją­co or­ga­nicz­ny wy­gląd jak na coś, co zo­sta­ło po­czę­te w tak for­mal­ny spo­sób. Kie­dy względ­ny przy­rost oczek w ko­lej­nych rzę­dach jest nie­wiel­ki, mo­de­le wy­glą­da­ją jak li­ście jar­mu­żu. Kie­dy przy­rost jest więk­szy, ma­te­riał na­tu­ral­nie fał­du­je się w spo­sób przy­po­mi­na­ją­cy ko­ra­low­ce. Da­ina przy­je­cha­ła do Lon­dy­nu na otwar­cie za­in­spi­ro­wa­nej jej mo­de­la­mi wy­sta­wy Hy­per­bo­lic Cro­chet Co­ral Reef, któ­ra ma zwró­cić uwa­gę na pro­blem de­gra­da­cji mórz. Dzię­ki swej ma­te­ma­tycz­nej in­no­wa­cji Da­ina przy­czy­ni­ła się nie­chcą­cy do roz­kwi­tu glo­bal­ne­go ru­chu szy­deł­ko­wa­nia.

W cią­gu ostat­niej de­ka­dy Da­ina wy­szy­deł­ko­wa­ła po­nad set­kę mo­de­li hi­per­bo­licz­nych. Naj­więk­szy przy­wio­zła ze sobą do Lon­dy­nu. Jest cały ró­żo­wy, skła­da się z 5,5 ki­lo­me­tra włócz­ki, waży 4,5 ki­lo­gra­ma, a jego wy­ko­na­nie za­ję­ło 6 mie­się­cy. Do­koń­cze­nie tego mo­de­lu było męką.

– Ro­bił się co­raz więk­szy i trud­no było go od­wra­cać.

Nie­zwy­kłą ce­chą mo­de­lu jest to, że ma nie­sa­mo­wi­cie dużą po­wierzch­nię – 3,2 me­tra kwa­dra­to­we­go, czy­li dwa razy wię­cej niż wy­no­si po­wierzch­nia sa­mej Da­iny. Po­wierzch­nie hi­per­bo­licz­ne cha­rak­te­ry­zu­ją się mak­sy­mal­ną po­wierzch­nią przy mi­ni­mal­nej ob­ję­to­ści i wła­śnie dla­te­go wy­stę­pu­ją w nie­któ­rych ro­śli­nach i or­ga­ni­zmach mor­skich. Kie­dy ja­kiś or­ga­nizm po­trze­bu­je du­żej po­wierzch­ni – do po­chła­nia­nia po­ży­wie­nia, jak w przy­pad­ku ko­ra­low­ców – ro­śnie w spo­sób hi­per­bo­licz­ny.

Gdy­by Da­ina uro­dzi­ła się męż­czy­zną, praw­do­po­dob­nie nig­dy by nie wpa­dła na po­mysł hi­per­bo­licz­ne­go szy­deł­ko­wa­nia, dla­te­go jej wy­na­laz­ki są god­nym uwa­gi ar­te­fak­tem w kul­tu­ro­wej hi­sto­rii ma­te­ma­ty­ki, w któ­rej ko­bie­ty dłu­go były nie­do­sta­tecz­nie re­pre­zen­to­wa­ne. Szy­deł­ko­wa­nie to tyl­ko je­den z przy­kła­dów, jak tra­dy­cyj­nie ko­bie­ce rze­mio­sło in­spi­ru­je w ostat­nich la­tach ma­te­ma­ty­ków do eks­plo­ro­wa­nia no­wych tech­nik. Obok ma­te­ma­tycz­ne­go ro­bie­nia na dru­tach, szy­cia pat­chwor­ków, ha­fto­wa­nia i tka­nia zło­ży­ło się na dys­cy­pli­nę aka­de­mic­ką o na­zwie ma­te­ma­ty­ka i sztu­ka rę­ko­dzie­ła (ang. math and the fi­ber arts).

Kie­dy wy­my­ślo­no prze­strzeń hi­per­bo­licz­ną, wy­da­wa­ła się ona sprzecz­na z po­czu­ciem rze­czy­wi­sto­ści, lecz w koń­cu zo­sta­ła za­ak­cep­to­wa­na jako rów­nie „re­al­na” jak po­wierzch­nia pła­ska czy sfe­rycz­na. Każ­da po­wierzch­nia ma wła­sną geo­me­trię, a do nas na­le­ży de­cy­zja, któ­rą le­piej za­sto­so­wać; jak po­wie­dział kie­dyś Hen­ri Po­in­ca­ré: „Jed­na geo­me­tria nie może być praw­dziw­sza od dru­giej; może być je­dy­nie wy­god­niej­sza”. Na przy­kład dla dzie­ci w szko­le wy­po­sa­żo­nych w li­nij­ki, cyr­kle i pła­skie kart­ki pa­pie­ru naj­bar­dziej od­po­wied­nia jest geo­me­tria eu­kli­de­so­wa, na­to­miast dla pi­lo­tów, któ­rzy na­wi­gu­ją sa­mo­lo­ta­mi, naj­le­piej na­da­je się geo­me­tria sfe­rycz­na.

Rów­nież fi­zy­ków in­te­re­su­je, któ­ra geo­me­tria naj­bar­dziej pa­su­je do ich ce­lów. Kon­cep­cje Rie­man­na do­ty­czą­ce krzy­wi­zny po­wierzch­ni dały Ein­ste­ino­wi na­rzę­dzie do do­ko­na­nia jed­ne­go z jego naj­więk­szych, prze­ło­mo­wych od­kryć. Fi­zy­ka new­to­now­ska za­kła­da­ła, że prze­strzeń jest eu­kli­de­so­wa (nie­za­krzy­wio­na). Na­to­miast w ogól­nej teo­rii względ­no­ści Ein­ste­ina geo­me­tria cza­so­prze­strze­ni (prze­strzeń trój­wy­mia­ro­wa plus czas trak­to­wa­ny jako czwar­ty wy­miar) jest za­krzy­wio­na. W 1919 roku pew­na bry­tyj­ska eks­pe­dy­cja na­uko­wa w So­bral na pół­noc­nym wscho­dzie Bra­zy­lii zro­bi­ła zdję­cia gwiazd za Słoń­cem w trak­cie za­ćmie­nia i od­kry­ła, że prze­su­nę­ły się nie­co w sto­sun­ku do swo­ich praw­dzi­wych po­zy­cji. Teo­ria Ein­ste­ina wy­ja­śni­ła, że świa­tło z gwiazd, nim do­trze do Zie­mi, za­krzy­wia się w po­bli­żu Słoń­ca. Choć świa­tło zda­je się ugi­nać przy Słoń­cu, kie­dy pa­trzy się na nie w trój­wy­mia­ro­wej prze­strze­ni – a tyl­ko w taki spo­sób mo­że­my oglą­dać rze­czy – w rze­czy­wi­sto­ści po­dą­ża ono po li­nii pro­stej zgod­nie z za­krzy­wio­ną geo­me­trią cza­so­prze­strze­ni. Fakt, że teo­ria Ein­ste­ina po­praw­nie prze­wi­dzia­ła po­ło­że­nie gwiazd, po­twier­dził słusz­ność jego ogól­nej teo­rii względ­no­ści i roz­sła­wił go na cały świat. Na­głó­wek w lon­dyń­skim „Ti­me­sie” ob­wiesz­czał: „Re­wo­lu­cja w na­uce, nowa teo­ria wszech­świa­ta, oba­le­nie kon­cep­cji New­to­na”.

Ein­ste­in zaj­mo­wał się cza­so­prze­strze­nią, któ­ra – jak wy­ka­zał – jest za­krzy­wio­na. A co z krzy­wi­zną na­sze­go wszech­świa­ta bez uwzględ­nia­nia cza­su jako wy­mia­ru? Aby prze­ko­nać się, któ­ra geo­me­tria naj­le­piej pa­su­je do za­cho­wa­nia na­szych 3 wy­mia­rów prze­strzen­nych w du­żej ska­li, mu­si­my zo­ba­czyć, jak li­nie i kształ­ty za­cho­wu­ją się na wy­jąt­ko­wo du­żych od­le­gło­ściach. Na­ukow­cy mają na­dzie­ję od­kryć to na pod­sta­wie da­nych zbie­ra­nych przez sa­te­li­tę Planck, wy­strze­lo­ne­go w maju 2009 roku, któ­ry mie­rzy ko­smicz­ne pro­mie­nio­wa­nie tła – „echo” Wiel­kie­go Wy­bu­chu – z roz­dziel­czo­ścią i czu­ło­ścią wyż­szą niż kie­dy­kol­wiek do­tąd. Obec­nie są­dzi się, że wszech­świat jest nie­za­krzy­wio­ny albo sfe­rycz­ny, choć nie moż­na wy­klu­czyć, że jest jed­nak hi­per­bo­licz­ny. By­ło­by cu­dow­nie iro­nicz­ne, gdy­by oka­za­ło się, że geo­me­tria uwa­ża­na z po­cząt­ku za nie­do­rzecz­ną od­zwier­cie­dla praw­dzi­wy stan rze­czy.

Mniej wię­cej w tym sa­mym cza­sie, kie­dy ma­te­ma­ty­cy ba­da­li sprzecz­ną z in­tu­icją prze­strzeń nie­eu­kli­de­so­wą, pe­wien czło­wiek wy­wra­cał do góry no­ga­mi na­sze poj­mo­wa­nie nie­skoń­czo­no­ści. Georg Can­tor był wy­kła­dow­cą na Mar­tin-Lu­ther-Uni­ver­si­tät Hal­le-Wit­ten­berg w Niem­czech, gdzie stwo­rzył pio­nier­ską teo­rię liczb, w któ­rej nie­skoń­czo­ność może mieć róż­ne wiel­ko­ści. Po­my­sły Can­to­ra były tak nie­kon­wen­cjo­nal­ne, że po­cząt­ko­wo wy­wo­ły­wa­ły je­dy­nie drwi­ny ze stro­ny wie­lu ko­le­gów. Hen­ri Po­in­ca­ré na przy­kład okre­ślił jego pra­cę jako „za­bu­rze­nie, per­wer­syj­ną cho­ro­bę, z któ­rej pew­ne­go dnia ma­te­ma­ty­ka się wy­le­czy”, Le­opold Kro­nec­ker zaś, daw­ny na­uczy­ciel Can­to­ra i pro­fe­sor ma­te­ma­ty­ki na ber­liń­skim uni­wer­sy­te­cie, zlek­ce­wa­żył go jako „szar­la­ta­na” i „de­pra­wa­to­ra mło­dzie­ży”.

Ta woj­na na sło­wa praw­do­po­dob­nie przy­czy­ni­ła się do za­ła­ma­nia ner­wo­we­go trzy­dzie­sto­dzie­wię­cio­let­nie­go Can­to­ra w 1884 roku, pierw­sze­go z wie­lu epi­zo­dów za­bu­rzeń psy­chicz­nych i ho­spi­ta­li­za­cji. W książ­ce na te­mat Can­to­ra Eve­ry­thing and More Da­vid Fo­ster Wal­la­ce pi­sze: „Cho­ry Umy­sło­wo Ma­te­ma­tyk zda­je się dzi­siaj pod pew­ny­mi wzglę­da­mi być tym, czym Błęd­ny Ry­cerz, Umar­twio­ny Świę­ty, Udrę­czo­ny Ar­ty­sta i Sza­lo­ny Na­uko­wiec byli dla po­przed­nich epok: kimś na kształt na­sze­go Pro­me­te­usza, kimś, kto wy­pra­wia się do za­ka­za­nych miejsc i po­wra­ca z da­ra­mi, z któ­rych wszy­scy mo­że­my ko­rzy­stać, ale tyl­ko on je­den za nie pła­ci”. Winę za ide­ali­zo­wa­nie związ­ku mię­dzy ma­te­ma­ty­ką a obłę­dem po­no­szą li­te­ra­tu­ra i film. Taki ste­reo­typ pa­su­je do wy­mo­gów nar­ra­cyj­nych hol­ly­wo­odz­kie­go sce­na­riu­sza (do­wód rze­czo­wy A: Pięk­ny umysł), ale rzecz ja­sna jest krzyw­dzą­cą ge­ne­ra­li­za­cją. Nie­wy­klu­czo­ne jed­nak, że wiel­kim ma­te­ma­ty­kiem, któ­ry dał asumpt do po­wsta­nia tego ar­che­ty­pu, był wła­śnie Can­tor. Ste­reo­typ świet­nie do nie­go pa­su­je, zwłasz­cza że zma­gał się z nie­skoń­czo­no­ścią – po­ję­ciem z po­gra­ni­cza ma­te­ma­ty­ki, fi­lo­zo­fii i re­li­gii. Nie dość, że za­kwe­stio­no­wał dok­try­nę ma­te­ma­tycz­ną, to jesz­cze przed­sta­wił zu­peł­nie nową teo­rię wie­dzy i – w swo­im mnie­ma­niu – ludz­kie­go poj­mo­wa­nia Boga. Nic dziw­ne­go, że przy oka­zji zde­ner­wo­wał kil­ka osób.

Nie­skoń­czo­ność to jed­no z naj­bar­dziej obez­wład­nia­ją­cych po­jęć w ma­te­ma­ty­ce. Wi­dzie­li­śmy wcze­śniej przy oka­zji pa­ra­dok­sów Ze­no­na, że wy­obra­ża­nie so­bie nie­skoń­czo­nej licz­by co­raz mniej­szych od­le­gło­ści na­je­żo­ne jest ma­te­ma­tycz­ny­mi i fi­lo­zo­ficz­ny­mi pu­łap­ka­mi. Gre­cy uni­ka­li nie­skoń­czo­no­ści, jak tyl­ko mo­gli. Eu­kli­des wy­ra­żał idee nie­skoń­czo­no­ści za po­mo­cą twier­dzeń prze­czą­cych. Na przy­kład jego do­wód, że ist­nie­je nie­skoń­czo­na licz­ba liczb pierw­szych, w isto­cie jest do­wo­dem, że nie ist­nie­je naj­więk­sza licz­ba pierw­sza. Sta­ro­żyt­ni wzdra­ga­li się przed uzna­niem nie­skoń­czo­no­ści za nie­za­leż­ne po­ję­cie i dla­te­go nie­skoń­czo­ne cią­gi w pa­ra­dok­sach Ze­no­na sta­no­wi­ły dla nich tak wiel­ki pro­blem.

W XVII wie­ku ma­te­ma­ty­cy byli już skłon­ni za­ak­cep­to­wać dzia­ła­nia obej­mu­ją­ce nie­skoń­czo­ną licz­bę kro­ków. Pra­ca Joh­na Wal­li­sa, któ­ry w 1655 roku wpro­wa­dził sym­bol ∞ na ozna­cze­nie nie­skoń­czo­no­ści w swo­ich ba­da­niach nad wiel­ko­ścia­mi nie­skoń­cze­nie ma­ły­mi, uto­ro­wa­ła dro­gę dla ra­chun­ku róż­nicz­ko­we­go Isa­aca New­to­na. Od­kry­cie przy­dat­nych rów­nań o nie­skoń­czo­nej licz­bie skład­ni­ków, ta­kich jak = 1 – + – + …, po­ka­za­ło, że nie­skoń­czo­ność nie jest wro­giem, ale mimo to nadal trak­to­wa­no ją z ostroż­no­ścią i po­dejrz­li­wo­ścią. W 1831 roku Gauss wy­ra­ził po­wszech­ną opi­nię, stwier­dza­jąc, że nie­skoń­czo­ność jest „je­dy­nie spo­so­bem mó­wie­nia” o gra­ni­cy, do któ­rej nikt nig­dy nie do­tarł, ideą, któ­ra po pro­stu wy­ra­ża po­ten­cjał kon­ty­nu­owa­nia bez koń­ca. He­re­zja Can­to­ra po­le­ga­ła na tym, że po­trak­to­wał nie­skoń­czo­ność jako coś sa­mo­ist­ne­go.

Ma­te­ma­ty­cy przed­can­to­row­scy oba­wia­li się trak­to­wa­nia nie­skoń­czo­no­ści jak każ­dej in­nej licz­by, po­nie­waż za­wie­ra­ła wie­le za­ga­dek – naj­słyn­niej­szą z nich opi­sał Ga­li­le­usz w Roz­mo­wach i do­wo­dze­niach ma­te­ma­tycz­nych w za­kre­sie dwóch no­wych umie­jęt­no­ści, stąd na­zy­wa­na jest pa­ra­dok­sem Ga­li­le­usza:

1. Nie­któ­re licz­by są kwa­dra­ta­mi, jak 1, 4, 9 i 16, a nie­któ­re nie są kwa­dra­ta­mi, jak 2, 3, 5, 6, 7.

2. Ca­łość wszyst­kich liczb musi być więk­sza niż ca­łość kwa­dra­tów, po­nie­waż ca­łość wszyst­kich liczb za­wie­ra kwa­dra­ty i nie­kwa­dra­ty.

3. Mimo to dla każ­dej licz­by mo­że­my na­ry­so­wać wza­jem­nie jed­no­znacz­ną od­po­wied­niość mię­dzy licz­bą a jej kwa­dra­tem, na przy­kład:

4. A za­tem w rze­czy­wi­sto­ści jest tyle samo kwa­dra­tów, ile liczb. Co sta­no­wi sprzecz­ność, po­nie­waż w punk­cie dru­gim po­wie­dzie­li­śmy, że jest wię­cej liczb niż kwa­dra­tów.

Wnio­sek Ga­li­le­usza był taki, że w od­nie­sie­niu do nie­skoń­czo­no­ści po­ję­cia licz­bo­we „więk­sze”, „rów­ne” i „mniej­sze” nie mają sen­su. Po­ję­cia te mogą być zro­zu­mia­łe i spój­ne, kie­dy mowa o wiel­ko­ściach skoń­czo­nych, ale nie przy nie­skoń­czo­nych. Stwier­dze­nie, że jest wię­cej liczb niż kwa­dra­tów lub że jest tyle samo liczb i kwa­dra­tów, nie ma sen­su, po­nie­waż ca­łość za­rów­no liczb, jak i kwa­dra­tów jest nie­skoń­czo­na.

Georg Can­tor stwo­rzył nowy spo­sób my­śle­nia o nie­skoń­czo­no­ści, w któ­rym prze­zwy­cię­żo­ny zo­stał pa­ra­doks Ga­li­le­usza. Za­miast my­śleć o po­je­dyn­czych licz­bach, Can­tor roz­wa­żał ko­lek­cje liczb, któ­re na­zwał „zbio­ra­mi”. Moc zbio­ru jest to licz­ba ele­men­tów da­nej ko­lek­cji. Tak więc {1, 2, 3} to zbiór o mocy 3, a {17, 29, 5, 14} to zbiór o mocy 4. Teo­ria zbio­rów Can­to­ra spra­wia, że ser­ce za­czy­na bić szyb­ciej, kie­dy roz­wa­ża się zbio­ry o nie­skoń­czo­nej licz­bie ele­men­tów. Can­tor wpro­wa­dził nowy sym­bol na ozna­cze­nie nie­skoń­czo­no­ści (alef zero), wy­ko­rzy­stu­jąc pierw­szą li­te­rę al­fa­be­tu he­braj­skie­go z in­dek­sem 0, i po­wie­dział, że taka jest moc zbio­ru liczb na­tu­ral­nych, czy­li {1, 2, 3, 4, 5, ...}. Każ­dy zbiór, któ­re­go ele­men­ty moż­na przy­po­rząd­ko­wać w spo­sób wza­jem­nie jed­no­znacz­ny licz­bom na­tu­ral­nym, rów­nież ma moc . Sko­ro za­tem ist­nie­je wza­jem­nie jed­no­znacz­na od­po­wied­niość mię­dzy licz­ba­mi na­tu­ral­ny­mi a ich kwa­dra­ta­mi, to zbiór kwa­dra­tów {1, 4, 9, 16, 25, ...} ma moc . Tak samo zbiór liczb nie­pa­rzy­stych {1, 3, 5, 7, 9, ...}, zbiór liczb pierw­szych {2, 3, 5, 7, 11, ...} oraz zbiór liczb za­wie­ra­ją­cych w so­bie 666 {666, 1666, 2666, 3666, ...} mają moc . Je­śli mamy zbiór o nie­skoń­czo­nej licz­bie ele­men­tów i moż­li­we jest prze­li­cze­nie jego ele­men­tów je­den po dru­gim, tak by osta­tecz­nie do­trzeć do każ­de­go ele­men­tu, to moc tego zbio­ru wy­no­si 0. Stąd też na­zy­wa­ny jest rów­nież „nie­skoń­czo­no­ścią prze­li­czal­ną”. Eks­cy­tu­ją­ce jest to, że – jak po­ka­zał Can­tor – mo­że­my iść da­lej. Choć wiel­ki, jest za­le­d­wie be­nia­min­kiem w can­to­row­skiej ro­dzi­nie nie­skoń­czo­no­ści.

Przed­sta­wię nie­skoń­czo­ność więk­szą od na przy­kła­dzie hi­sto­ryj­ki, jaką po­noć opo­wia­dał Da­vid Hil­bert na swo­ich wy­kła­dach, o ho­te­lu z prze­li­czal­nie nie­skoń­czo­ną, czy­li , licz­bą po­ko­jów. Ten słyn­ny przy­by­tek, uwiel­bia­ny przez ma­te­ma­ty­ków, na­zy­wa­ny bywa cza­sem ho­te­lem Hil­ber­ta.

W ho­te­lu Hil­ber­ta znaj­du­je się nie­skoń­czo­na licz­ba po­ko­jów i są one po­nu­me­ro­wa­ne 1, 2, 3, 4, … Pew­ne­go dnia do re­cep­cji przy­cho­dzi po­dróż­ny, ale do­wia­du­je się, że ho­tel jest peł­ny. Pyta, czy da­ło­by się ja­koś zna­leźć dla nie­go po­kój. Re­cep­cjo­ni­sta od­po­wia­da, że oczy­wi­ście! Wy­star­czy, że kie­row­nic­two prze­kwa­te­ru­je go­ści do in­nych po­ko­jów w na­stę­pu­ją­cy spo­sób: gość z po­ko­ju 1 zo­sta­nie prze­nie­sio­ny do po­ko­ju 2, gość z po­ko­ju 2 do po­ko­ju 3 i tak da­lej – każ­dy zo­sta­nie prze­nie­sio­ny ze swe­go po­ko­ju n do po­ko­ju n + 1. Je­śli tak się zro­bi, to każ­dy gość da­lej bę­dzie miał po­kój, a po­kój 1 zo­sta­nie zwol­nio­ny dla nowo przy­by­łe­go. Do­sko­na­le!

Na­stęp­ne­go dnia po­ja­wia się bar­dziej skom­pli­ko­wa­na sy­tu­acja. Przy­jeż­dża au­to­kar, z któ­re­go wszy­scy pa­sa­że­ro­wie po­trze­bu­ją po­ko­jów. Au­to­kar ma nie­skoń­czo­ną licz­bę miejsc, po­nu­me­ro­wa­nych 1, 2, 3 i tak da­lej, i wszyst­kie są za­ję­te. Czy da­ło­by się ja­koś zna­leźć po­ko­je dla wszyst­kich bez wy­jąt­ku pa­sa­że­rów? In­ny­mi sło­wy, czy mimo że ho­tel jest peł­ny, re­cep­cjo­ni­sta może prze­mel­do­wać go­ści do in­nych po­ko­jów w taki spo­sób, by uzy­skać nie­skoń­czo­ną licz­bę wol­nych po­ko­jów dla pa­sa­że­rów au­to­ka­ru? Ła­twi­zna, pada od­po­wiedź. Wy­star­czy, że kie­row­nic­two prze­nie­sie tym ra­zem każ­de­go go­ścia do po­ko­ju o nu­me­rze dwa razy więk­szym niż jego do­tych­cza­so­wy po­kój, dzię­ki cze­mu za­ję­te zo­sta­ną po­ko­je 2, 4, 6, 8, … Zwol­nią się wszyst­kie po­ko­je o nu­me­rach nie­pa­rzy­stych i klu­cze do nich moż­na wrę­czyć pa­sa­że­rom au­to­bu­su. Pa­sa­żer z pierw­sze­go miej­sca do­sta­je po­kój 1, czy­li pierw­szy nu­mer nie­pa­rzy­sty, pa­sa­żer z dru­gie­go miej­sca do­sta­je po­kój 3, dru­gi nu­mer nie­pa­rzy­sty i tak da­lej.

Trze­cie­go dnia pod ho­tel Hil­ber­ta pod­jeż­dża jesz­cze wię­cej au­to­ka­rów. A wła­ści­wie nie­skoń­cze­nie wie­le. Au­to­ka­ry usta­wi­ły się w rzę­dzie, au­to­kar pierw­szy obok au­to­ka­ru dru­gie­go, któ­ry jest obok au­to­ka­ru trze­cie­go i tak da­lej. Każ­dy au­to­kar ma nie­skoń­czo­ną licz­bę pa­sa­że­rów, tak jak au­to­kar, któ­ry przy­je­chał dzień wcze­śniej. Każ­dy pa­sa­żer po­trze­bu­je oczy­wi­ście po­ko­ju. Czy da się ja­koś zna­leźć po­kój dla każ­de­go pa­sa­że­ra z każ­de­go au­to­ka­ru w (peł­nym już) ho­te­lu Hil­ber­ta?

Nie ma spra­wy, mówi re­cep­cjo­ni­sta. Naj­pierw musi opróż­nić nie­skoń­czo­ną licz­bę po­ko­jów. Robi to za po­mo­cą wczo­raj­szej sztucz­ki – prze­no­si każ­de­go do po­ko­ju o dwu­krot­nie więk­szym nu­me­rze. W ten spo­sób zwol­nio­ne zo­sta­ją wszyst­kie po­ko­je o nie­pa­rzy­stych nu­me­rach. Aby po­mie­ścić nie­skoń­czo­ne tłu­my z au­to­ka­rów, musi je­dy­nie zna­leźć spo­sób prze­li­cze­nia wszyst­kich pa­sa­że­rów, po­nie­waż wte­dy bę­dzie mógł przy­dzie­lić pierw­sze­go pa­sa­że­ra do po­ko­ju 1, dru­gie­go do po­ko­ju 3, trze­cie­go do po­ko­ju 5 i tak da­lej.

Robi to w spo­sób po­ka­za­ny w ta­be­li na na­stęp­nej stro­nie: spo­rzą­dza li­stę pa­sa­że­rów we­dług miejsc w każ­dym au­to­ka­rze. Każ­dy pa­sa­żer otrzy­mu­je ozna­cze­nie w po­sta­ci m/n, gdzie m jest nu­me­rem au­to­ka­ru, któ­rym przy­je­chał, a n to jego nu­mer miej­sca. Je­śli za­cznie­my od pa­sa­że­ra z pierw­sze­go miej­sca w pierw­szym au­to­ka­rze (oso­ba 1/1), a da­lej bę­dzie­my po­stę­po­wać zgod­nie z po­niż­szą me­to­dą prze­kąt­nio­wą, by dru­gą oso­bą był pa­sa­żer, któ­ry zaj­mu­je dru­gie miej­sce w pierw­szym au­to­ka­rze (1/2), a trze­cią pierw­szy pa­sa­żer z dru­gie­go (2/1), w koń­cu prze­li­czy­my wszyst­kich pa­sa­że­rów bez wy­jąt­ku.

Prze­łóż­my to na sym­bo­le ma­te­ma­tycz­ne:

Kie­dy zna­le­zio­no po­kój dla jed­nej oso­by, po­ka­za­ło to, że 1 + =

Kie­dy uda­ło się zna­leźć po­ko­je dla prze­li­czal­nie nie­skoń­czo­nej licz­by osób, zo­ba­czy­li­śmy, że + =

Kie­dy uda­ło się zna­leźć po­ko­je dla prze­li­czal­nie nie­skoń­czo­nej licz­by au­to­ka­rów, z któ­rych każ­dy miał prze­li­czal­nie nie­skoń­czo­ną licz­bę pa­sa­że­rów, oka­za­ło się, że · =

Tego wła­śnie spo­dzie­wa­my się po nie­skoń­czo­no­ści: do­da­jąc nie­skoń­czo­ność do nie­skoń­czo­no­ści, otrzy­ma­my nie­skoń­czo­ność, mno­żąc nie­skoń­czo­ność przez nie­skoń­czo­ność, rów­nież otrzy­ma­my nie­skoń­czo­ność.

Za­trzy­maj­my się na chwi­lę w tym miej­scu. Do­szli­śmy już do zdu­mie­wa­ją­ce­go wy­ni­ku. Przyj­rzyj się jesz­cze raz ta­be­li miejsc i au­to­ka­rów. Po­trak­tuj każ­dą oso­bę ozna­czo­ną m/n jako uła­mek . Ta­be­la po roz­wi­nię­ciu w nie­skoń­czo­ność obej­mie wszyst­kie bez wy­jąt­ku ułam­ki do­dat­nie, po­nie­waż ułam­ki do­dat­nie moż­na zde­fi­nio­wać jako dla wszyst­kich liczb na­tu­ral­nych m i n. Na przy­kład uła­mek zo­sta­nie uję­ty w 5628. rzę­dzie i 785. ko­lum­nie. Prze­kąt­nio­wą me­to­dę prze­li­cza­nia, za po­mo­cą któ­rej prze­li­czo­no wszyst­kich pa­sa­że­rów ze wszyst­kich au­to­ka­rów, moż­na za­tem za­sto­so­wać rów­nież do prze­li­cze­nia wszyst­kich ułam­ków do­dat­nich. In­ny­mi sło­wy, zbiór wszyst­kich ułam­ków do­dat­nich i zbiór liczb na­tu­ral­nych mają taką samą moc wy­no­szą­cą . In­tu­icyj­nie wy­da­wa­ło­by się, że po­win­no być wię­cej ułam­ków niż liczb na­tu­ral­nych, po­nie­waż mię­dzy do­wol­ny­mi 2 licz­ba­mi na­tu­ral­ny­mi znaj­du­je się nie­skoń­czo­na licz­ba ułam­ków, ale Can­tor po­ka­zał, że na­sza in­tu­icja jest w błę­dzie. Ułam­ków do­dat­nich jest tyle samo co liczb na­tu­ral­nych. (Co wię­cej, jest tyle samo ułam­ków do­dat­nich i ujem­nych, co liczb na­tu­ral­nych, po­nie­waż ułam­ków do­dat­nich jest , a ułam­ków ujem­nych , a jak wi­dzie­li­śmy wy­żej, + = ).

Oso­bli­wość tego wy­ni­ku mo­że­my so­bie uzmy­sło­wić na przy­kła­dzie osi licz­bo­wej, w któ­rej licz­by poj­mu­je się jak punk­ty na li­nii. Oto oś licz­bo­wa za­czy­na­ją­ca się od 0 i zmie­rza­ją­ca w kie­run­ku nie­skoń­czo­no­ści.

Każ­dy uła­mek do­dat­ni moż­na po­trak­to­wać jak punkt na osi. Z po­przed­nie­go roz­dzia­łu wie­my, że ist­nie­je nie­skoń­czo­na licz­ba ułam­ków mię­dzy 0 a 1, tak samo jak mię­dzy 1 a 2 czy mię­dzy in­ny­mi do­wol­ny­mi 2 licz­ba­mi. Wy­obraź­my so­bie te­raz, że przy­kła­da­my do osi mi­kro­skop, by zaj­rzeć mię­dzy punk­ty ozna­cza­ją­ce ułam­ki i . Jak do­wie­dzie­li­śmy się wcze­śniej, ist­nie­je nie­skoń­czo­na licz­ba punk­tów ozna­cza­ją­cych ułam­ki mię­dzy tymi 2 punk­ta­mi. Gdzie­kol­wiek by­śmy umie­ści­li mi­kro­skop na osi i jak­kol­wiek ma­leń­ki był­by od­stęp mię­dzy 2 punk­ta­mi oglą­da­ny­mi pod mi­kro­sko­pem, za­wsze bę­dzie nie­skoń­cze­nie wie­le punk­tów re­pre­zen­tu­ją­cych ułam­ki w tym prze­dzia­le. Po­nie­waż gdzie nie spoj­rzy­my, wszę­dzie są nie­skoń­czo­ne licz­by punk­tów ozna­cza­ją­cych ułam­ki, nie­zwy­kle za­ska­ku­ją­ce jest, że w rze­czy­wi­sto­ści da się je prze­li­czyć w po­sta­ci upo­rząd­ko­wa­nej li­sty, któ­ra obej­mie wszyst­kie bez wy­jąt­ku.

A te­raz głów­na atrak­cja: do­wód, że ist­nie­je moc zbio­ru więk­sza niż . Wróć­my do ho­te­lu Hil­ber­ta. Tym ra­zem ho­tel jest pu­sty, kie­dy zja­wia się nie­skoń­czo­na licz­ba osób po­trze­bu­ją­cych po­ko­ju. Po­dróż­ni nie przy­jeż­dża­ją au­to­ka­ra­mi; są nie­prze­bra­nym tłu­mem. Każ­dy ma T-shirt przed­sta­wia­ją­cy roz­wi­nię­cie dzie­sięt­ne ja­kiejś licz­by mię­dzy 0 a 1. Nie ma 2 osób z ta­kim sa­mym roz­wi­nię­ciem dzie­sięt­nym na pier­si i wy­stę­pu­ją wszyst­kie bez wy­jąt­ku roz­wi­nię­cia dzie­sięt­ne mię­dzy 0 a 1.

(Rzecz ja­sna, roz­wi­nię­cia dzie­sięt­ne są nie­skoń­cze­nie dłu­gie, więc T-shir­ty mu­sia­ły­by być nie­skoń­cze­nie sze­ro­kie, by je po­mie­ścić, ale sko­ro już za­wie­si­li­śmy nie­do­wie­rza­nie, aby wy­obra­zić so­bie ho­tel z nie­skoń­czo­ną licz­bą po­ko­jów, to my­ślę, że proś­ba o wy­obra­że­nie so­bie tych T-shir­tów jest do przy­ję­cia).

Kil­ku przy­by­łych wpa­da do re­cep­cji i pyta, czy w ja­kiś spo­sób ho­tel może ich przy­jąć. Aby to zro­bić, re­cep­cjo­ni­sta musi je­dy­nie zna­leźć spo­sób prze­li­cze­nia wszyst­kich bez wy­jąt­ku roz­wi­nięć dzie­sięt­nych mię­dzy 0 a 1, po­nie­waż wte­dy bę­dzie mógł przy­dzie­lić im po­ko­je. Wy­da­je się, że po­ra­dzi so­bie z tym za­da­niem, sko­ro wcze­śniej po­tra­fił zna­leźć spo­sób po­nu­me­ro­wa­nia nie­skoń­czo­nej licz­by pa­sa­że­rów z nie­skoń­czo­nej licz­by au­to­ka­rów. Tym ra­zem jest to jed­nak nie­moż­li­we. Nie da się prze­li­czyć wszyst­kich bez wy­jąt­ku roz­wi­nięć dzie­sięt­nych mię­dzy 0 a 1 w taki spo­sób, by­śmy mo­gli za­pi­sać je wszyst­kie w po­sta­ci upo­rząd­ko­wa­nej li­sty. Aby to udo­wod­nić, po­ka­żę, że dla każ­dej nie­skoń­czo­nej li­sty liczb mię­dzy 0 a 1 za­wsze znaj­dzie się ja­kaś licz­ba mię­dzy 0 a 1, któ­rej nie ma na tej li­ście.

Robi to się tak. Wy­obraź so­bie, że pierw­szy przy­by­ły ma ko­szul­kę z roz­wi­nię­ciem 0,6429657…, dru­gi ma 0,0196012… i re­cep­cjo­ni­sta przy­dzie­la im po­ko­je 1 i 2. Po­wiedz­my, że kon­ty­nu­uje przy­dzie­la­nie po­ko­jów in­nym przy­by­łym, two­rząc w ten spo­sób nie­skoń­czo­ną li­stę, któ­ra roz­po­czy­na się tak (pa­mię­taj, że każ­de z tych roz­wi­nięć cią­gnie się bez koń­ca):

Po­kój 1

0,6429657…

Po­kój 2

0,0196012…

Po­kój 3

0,9981562…

Po­kój 4

0,7642178…

Po­kój 5

0,6097856…

Po­kój 6

0,5273611…

Po­kój 7

0,3002981…

Po­kój …

0,…

Ce­lem jest, jak usta­li­li­śmy wcze­śniej, zna­leźć roz­wi­nię­cie dzie­sięt­ne mię­dzy 0 a 1, któ­re nie znaj­du­je się na tej li­ście. Ro­bi­my to za po­mo­cą na­stę­pu­ją­cej me­to­dy. Po pierw­sze two­rzy­my licz­bę, któ­ra na pierw­szym miej­scu po prze­cin­ku ma cy­frę taką jak pierw­sza cy­fra po prze­cin­ku licz­by z po­ko­ju 1, na dru­gim miej­scu po prze­cin­ku dru­gą cy­frę z po­ko­ju 2, na trze­cim miej­scu po prze­cin­ku trze­cią cy­frę z po­ko­ju 3 i tak da­lej. In­ny­mi sło­wy, wy­bie­ra­my pod­kre­ślo­ne cy­fry prze­kąt­ne:

0,6429657…

0,0196012…

0,9981562…

0,7642178…

0,6097856…

0,5273611…

0,3002981…

Ta licz­ba to:

0,6182811…

Je­ste­śmy pra­wie na miej­scu. Te­raz mu­si­my zro­bić ostat­nią rzecz, by skon­stru­ować na­szą licz­bę, któ­rej nie ma na li­ście re­cep­cjo­ni­sty: zmie­nia­my każ­dą cy­frę w tej licz­bie. Do­daj­my na przy­kład 1 do każ­dej cy­fry, więc 6 sta­nie się 7, 1 sta­nie się 2, 8 sta­nie się 9 i tak da­lej, aż otrzy­ma­my licz­bę: 0,7293922…

Te­raz ją mamy. To roz­wi­nię­cie dzie­sięt­ne jest wy­jąt­kiem, któ­re­go szu­ka­li­śmy. Nie może być na li­ście re­cep­cjo­ni­sty, po­nie­waż stwo­rzy­li­śmy ją sztucz­nie. Licz­by tej nie ma w po­ko­ju 1, po­nie­waż jej pierw­sza cy­fra jest róż­na od pierw­szej cy­fry z po­ko­ju 1. Licz­by tej nie ma w po­ko­ju 2, po­nie­waż jej dru­ga cy­fra jest róż­na od dru­giej cy­fry z po­ko­ju 2 – kon­ty­nu­ując, prze­ko­na­my się, że licz­ba ta nie może być w żad­nym po­ko­ju n, po­nie­waż jej n-ta cy­fra za­wsze bę­dzie róż­na od n-tej cy­fry roz­wi­nię­cia po­ko­ju n. Na­sze spe­cjal­nie skro­jo­ne roz­wi­nię­cie 0,7293922… nie może być za­tem rów­ne żad­ne­mu roz­wi­nię­ciu przy­pi­sa­ne­mu do ja­kie­goś po­ko­ju, po­nie­waż za­wsze bę­dzie róż­ni­ło się przy­najm­niej 1 cy­frą od roz­wi­nię­cia przy­pi­sa­ne­go do tego po­ko­ju. Na li­ście jak naj­bar­dziej może znaj­do­wać się licz­ba, któ­rej pierw­sze 7 miejsc po prze­cin­ku to 7293922, ale je­śli ta licz­ba jest na li­ście, to bę­dzie róż­nić się od na­szej spe­cjal­nej licz­by przy­najm­niej 1 cy­frą na dal­szych miej­scach po prze­cin­ku. In­a­czej mó­wiąc, choć­by re­cep­cjo­ni­sta kon­ty­nu­ował przy­dzie­la­nie po­ko­jów bez koń­ca, nie znaj­dzie po­ko­ju dla po­dróż­ne­go w ko­szul­ce ze stwo­rzo­ną przez nas licz­bą roz­po­czy­na­ją­cą się od 0,7293922…

Wy­bra­łem li­stę za­czy­na­ją­cą się od ar­bi­tral­nych liczb 0,6429657… i 0,0196012…, ale rów­nie do­brze mógł­bym wy­brać li­stę roz­po­czy­na­ją­cą się od ja­kich­kol­wiek liczb. Dla każ­dej moż­li­wej do spo­rzą­dze­nia li­sty za­wsze da się utwo­rzyć me­to­dą „prze­kąt­nio­wą” licz­bę, któ­rej nie ma na tej li­ście. Ho­tel Hil­ber­ta może mieć nie­skoń­czo­ną licz­bę po­ko­jów, lecz mimo to nie może po­mie­ścić nie­skoń­czo­nej licz­by osób okre­ślo­nych za po­mo­cą ułam­ków dzie­sięt­nych mię­dzy 0 a 1. Za­wsze na ze­wnątrz po­zo­sta­ną ja­cyś lu­dzie. Ho­tel po pro­stu nie jest do­sta­tecz­nie duży.

Od­kry­cie, że ist­nie­je nie­skoń­czo­ność więk­sza niż nie­skoń­czo­ność liczb na­tu­ral­nych, było jed­nym z naj­więk­szych prze­ło­mów w dzie­więt­na­sto­wiecz­nej ma­te­ma­ty­ce. Jest ono osza­ła­mia­ją­ce, a jego siła po­le­ga mię­dzy in­ny­mi na tym, że tak na­praw­dę cał­kiem pro­sto je wy­ja­śnić: nie­któ­re nie­skoń­czo­no­ści są prze­li­czal­ne i mają wiel­kość , a nie­któ­re nie­skoń­czo­no­ści nie są prze­li­czal­ne, więc są więk­sze. Nie­skoń­czo­no­ści nie­prze­li­czal­ne mogą mieć róż­ną wiel­kość.

Nie­prze­li­czal­na nie­skoń­czo­ność, któ­rą naj­ła­twiej zro­zu­mieć, na­zy­wa się c – jest to licz­ba lu­dzi, któ­rzy przy­by­li do ho­te­lu Hil­ber­ta w ko­szul­kach za­wie­ra­ją­cych wszyst­kie roz­wi­nię­cia dzie­sięt­ne mię­dzy 0 a 1. I tym ra­zem war­to zin­ter­pre­to­wać c, od­wo­łu­jąc się do osi licz­bo­wej. Każ­dą oso­bę z roz­wi­nię­ciem dzie­sięt­nym spo­mię­dzy 0 a 1 na ko­szul­ce moż­na po­trak­to­wać jako punkt po­mię­dzy 0 a 1 na osi. Ini­cja­łu c uży­wa się, po­nie­waż ozna­cza con­ti­nu­um punk­tów na osi licz­bo­wej.

Tu­taj do­cho­dzi­my do in­ne­go dziw­ne­go wy­ni­ku. Wie­my, że mię­dzy 0 a 1 jest c punk­tów, ale wie­my też, że jest ułam­ków w ca­ło­ści osi licz­bo­wej. Sko­ro do­wie­dli­śmy, że c jest więk­sze niż , to punk­tów mię­dzy 0 a 1 na osi musi być wię­cej niż punk­tów re­pre­zen­tu­ją­cych ułam­ki na ca­łej osi licz­bo­wej.

Can­tor po­now­nie przy­wiódł nas do świa­ta bar­dzo sprzecz­ne­go z in­tu­icją. Ułam­ki, choć jest ich nie­skoń­cze­nie wie­le, sta­no­wią je­dy­nie ma­leń­ką, ma­ciu­peń­ką część osi licz­bo­wej. Są o wie­le rza­dziej roz­sia­ne na osi niż in­ne­go ro­dza­ju licz­by, któ­re skła­da­ją się na oś licz­bo­wą, licz­by, któ­rych nie moż­na wy­ra­zić w po­sta­ci ułam­ków – na­sze sta­re zna­jo­me licz­by nie­wy­mier­ne. Oka­zu­je się, że licz­by nie­wy­mier­ne są tak gę­sto upa­ko­wa­ne, że w do­wol­nym skoń­czo­nym prze­dzia­le na osi licz­bo­wej jest ich wię­cej niż ułam­ków na ca­łej osi licz­bo­wej.

Wpro­wa­dzi­li­śmy c jako licz­bę punk­tów na osi licz­bo­wej mię­dzy 0 a 1. Ile punk­tów znaj­du­je się mię­dzy 0 a 2 lub mię­dzy 0 a 100? Do­kład­nie c. Co wię­cej, mię­dzy do­wol­ny­mi 2 punk­ta­mi na osi licz­bo­wej mie­ści się do­kład­nie c punk­tów, nie­za­leż­nie od tego, jak da­le­ko lub jak bli­sko te 2 punk­ty są od sie­bie po­ło­żo­ne. Jesz­cze bar­dziej zdu­mie­wa­ją­ce jest to, że zbiór punk­tów na ca­łej osi licz­bo­wej rów­nież wy­no­si c, co ilu­stru­je do­wód na po­niż­szym ry­sun­ku. Cho­dzi o po­ka­za­nie, że ist­nie­je wza­jem­nie jed­no­znacz­na od­po­wied­niość mię­dzy punk­ta­mi le­żą­cy­mi mię­dzy 0 a 1 oraz punk­ta­mi le­żą­cy­mi na ca­łej osi licz­bo­wej. W tym celu two­rzy się pary zło­żo­ne z do­wol­nej licz­by na osi i od­po­wied­nie­go punk­tu z prze­dzia­łu mię­dzy 0 a 1. Naj­pierw na­ry­suj­my pół­okrąg za­wie­szo­ny nad 0 i 1. Pół­okrąg ten od­gry­wa rolę swat­ki, któ­ra ko­ja­rzy punk­ty mię­dzy 0 a 1 z punk­ta­mi na osi licz­bo­wej. Weź­my do­wol­ny punkt A na osi licz­bo­wej i na­ry­suj­my pro­stą prze­cho­dzą­cą przez punkt A i śro­dek okrę­gu. Z punk­tu prze­cię­cia z pół­okrę­giem ry­su­je­my od­ci­nek pro­sto­pa­dły do osi licz­bo­wej i otrzy­mu­je­my na osi punkt A' po­ło­żo­ny w uni­kal­nej od­le­gło­ści mię­dzy 0 a 1. W ten spo­sób mo­że­my po­łą­czyć w parę każ­dy punkt A z uni­kal­nym punk­tem A'. Kie­dy wy­bra­ny przez nas punkt A zmie­rza do +∞, od­po­wia­da­ją­cy mu punkt mię­dzy 0 a 1 zbli­ża się do 1, a kie­dy wy­bra­ny punkt zmie­rza do –∞, od­po­wia­da­ją­cy mu punkt zbli­ża się do 0. Je­śli każ­dy punkt na osi licz­bo­wej moż­na po­łą­czyć w parę z uni­kal­nym punk­tem mię­dzy 0 a 1 i vice ver­sa, to licz­ba punk­tów na osi licz­bo­wej musi być rów­na licz­bie punk­tów mię­dzy 0 a 1.

Róż­ni­ca mię­dzy a c to róż­ni­ca mię­dzy licz­bą punk­tów na osi licz­bo­wej, któ­re są ułam­ka­mi, a cał­ko­wi­tą licz­bą punk­tów obej­mu­ją­cą ułam­ki i licz­by nie­wy­mier­ne. Prze­paść mię­dzy i c jest jed­nak tak ogrom­na, że gdy­by­śmy wy­bra­li na chy­bił tra­fił punkt z osi licz­bo­wej, mie­li­by­śmy 0 pro­cent szans na to, że tra­fi­my na uła­mek. Po pro­stu nie ma ich do­sta­tecz­nie dużo w po­rów­na­niu z nie­prze­li­czal­nie nie­skoń­czo­ną licz­bą liczb nie­wy­mier­nych.

Choć po­my­sły Can­to­ra były na po­cząt­ku trud­ne do przy­ję­cia, hi­sto­ria przy­zna­ła mu słusz­ność – dzi­siaj alef na do­bre za­do­mo­wił się w licz­bo­wym to­wa­rzy­stwie, a do­wo­dy zyg­za­ko­wy i prze­kąt­nio­wy za­li­cza­ne są do naj­bar­dziej olśnie­wa­ją­cych w ca­łej ma­te­ma­ty­ce. Da­vid Hil­bert po­wie­dział: „Z raju stwo­rzo­ne­go dla nas przez Can­to­ra nikt nas nie wy­gna”.

Nie­ste­ty dla Can­to­ra, raj ten zro­dził się kosz­tem jego zdro­wia umy­sło­we­go. Po pierw­szym za­ła­ma­niu ner­wo­wym Can­tor za­czął zaj­mo­wać się in­ny­mi dzie­dzi­na­mi, mię­dzy in­ny­mi teo­lo­gią i hi­sto­rią elż­bie­tań­ską. Na­brał prze­ko­na­nia, iż sztu­ki Wil­lia­ma Szek­spi­ra na­pi­sał na­uko­wiec Fran­cis Ba­con, i udo­wad­nia­nie au­tor­stwa Ba­co­na sta­ło się jego oso­bi­stą mi­sją oraz po­lem co­raz bar­dziej nie­obli­czal­nych za­cho­wań. W 1911 roku pod­czas wy­kła­du na uni­wer­sy­te­cie w Sa­int An­drews, gdzie za­pro­szo­no go, by mó­wił o ma­te­ma­ty­ce, ku wiel­kie­mu za­kło­po­ta­niu go­spo­da­rzy przed­sta­wiał swo­je po­glą­dy na te­mat Szek­spi­ra. Can­tor prze­szedł jesz­cze kil­ka za­ła­mań ner­wo­wych i czę­sto był ho­spi­ta­li­zo­wa­ny aż do śmier­ci w 1918 roku.

Can­tor, któ­ry był żar­li­wym lu­te­ra­ni­nem, pi­sał wie­le li­stów do du­chow­nych na te­mat zna­cze­nia swo­ich wy­ni­ków. Wie­rzył, że jego po­dej­ście do nie­skoń­czo­no­ści po­ka­za­ło, że może być ona przed­mio­tem ludz­kie­go na­my­słu, a tym sa­mym zbli­ża do Boga. Can­tor miał ży­dow­skie ko­rze­nie, co – jak się twier­dzi – być może wpły­nę­ło na wy­bór ale­fu jako sym­bo­lu nie­skoń­czo­no­ści, po­nie­waż mógł wie­dzieć, że w mi­stycz­nej tra­dy­cji ży­dow­skiej ka­ba­ły alef sym­bo­li­zu­je jed­ność Boga. Can­tor mó­wił, że jest dum­ny ze swo­je­go wy­bo­ru, po­nie­waż alef jako pierw­sza li­te­ra al­fa­be­tu he­braj­skie­go sta­no­wi ide­al­ny sym­bol no­we­go po­cząt­ku.

Alef jest rów­nież ide­al­nym miej­scem na za­koń­cze­nie na­szej po­dró­ży. Ma­te­ma­ty­ka, jak pi­sa­łem w pierw­szych roz­dzia­łach tej książ­ki, zro­dzi­ła się z po­trze­by zro­zu­mie­nia ota­cza­ją­ce­go świa­ta. Na­ci­na­jąc kar­by na pa­ty­kach lub li­cząc na pal­cach, nasi przod­ko­wie wy­na­leź­li licz­by. Było to przy­dat­ne w rol­nic­twie i han­dlu i za­po­cząt­ko­wa­ło „cy­wi­li­za­cję”. W mia­rę roz­wo­ju ma­te­ma­ty­ka od­cho­dzi­ła stop­nio­wo od rze­czy re­al­nych, by zaj­mo­wać się co­raz bar­dziej abs­trak­cyj­ny­mi. Gre­cy wpro­wa­dzi­li po­ję­cia punk­tu i pro­stej, a Hin­du­si wy­na­leź­li 0, któ­re uto­ro­wa­ło dro­gę do jesz­cze bar­dziej ra­dy­kal­nych abs­trak­cji, ta­kich jak licz­by ujem­ne. Choć po­ję­cia te z po­cząt­ku były sprzecz­ne z in­tu­icją, zo­sta­ły szyb­ko przy­swo­jo­ne i dzi­siaj uży­wa­my ich na co dzień. Jed­nak pod ko­niec XIX wie­ku pę­po­wi­na łą­czą­ca ma­te­ma­ty­kę z na­szym wła­snym do­świad­cze­niem zo­sta­ła prze­rwa­na raz na za­wsze. Po Rie­man­nie i Can­to­rze ma­te­ma­ty­ka stra­ci­ła zwią­zek z in­tu­icyj­nym poj­mo­wa­niem świa­ta.

Po od­kry­ciu c Can­tor nie spo­czął na lau­rach i udo­wod­nił, że ist­nie­ją jesz­cze więk­sze nie­skoń­czo­no­ści. Jak wi­dzie­li­śmy, c jest licz­bą punk­tów na osi. Jest ona rów­na rów­nież licz­bie punk­tów na dwu­wy­mia­ro­wej po­wierzch­ni. (To ko­lej­ny za­ska­ku­ją­cy wy­nik, co do któ­re­go bę­dzie­cie mu­sie­li uwie­rzyć mi na sło­wo). Niech d bę­dzie licz­bą wszyst­kich moż­li­wych pro­stych, krzy­wych i esów-flo­re­sów, ja­kie moż­na na­ry­so­wać na dwu­wy­mia­ro­wej po­wierzch­ni. (Pro­ste, krzy­we i esy-flo­re­sy mogą być cią­głe, jak­by na­ry­so­wa­ne bez od­ry­wa­nia dłu­go­pi­su od kart­ki, bądź nie­cią­głe, jak­by­śmy pod­czas ry­so­wa­nia przy­najm­niej raz ode­rwa­li dłu­go­pis od kart­ki, po­zo­sta­wia­jąc luki mię­dzy róż­ny­mi czę­ścia­mi tej sa­mej li­nii). Za po­mo­cą teo­rii zbio­rów mo­że­my udo­wod­nić, że d jest więk­sze od c. Mo­że­my zro­bić ko­lej­ny krok i wy­ka­zać, że musi ist­nieć nie­skoń­czo­ność więk­sza niż d. Jed­nak nikt do tej pory nie zdo­łał zna­leźć zbio­ru na­tu­ral­nie wy­stę­pu­ją­cych rze­czy o mocy więk­szej niż d.

Can­tor wy­pro­wa­dził nas poza gra­ni­ce wy­obraź­ni. To cu­dow­ne miej­sce, za­baw­ne prze­ci­wień­stwo sy­tu­acji ama­zoń­skie­go ple­mie­nia, o któ­rym mó­wi­łem na po­cząt­ku książ­ki. Mun­du­ru­ku mają wie­le rze­czy, ale za mało liczb, by je po­li­czyć. Can­tor dał nam tyle liczb, ile tyl­ko chce­my, ale nie ma już cze­go li­czyć.

* * *

1 Może my­ślisz, że rów­no­leż­ni­ki są rów­no­le­głe do rów­ni­ka. Nie jest to praw­dą, po­nie­waż rów­no­leż­ni­ki (z wy­jąt­kiem rów­ni­ka) nie są li­nia­mi pro­sty­mi, a tyl­ko li­nie pro­ste mogą być wza­jem­nie rów­no­le­głe. Li­nia pro­sta to naj­krót­szy od­ci­nek mię­dzy dwo­ma punk­ta­mi, co tłu­ma­czy, dla­cze­go sa­mo­lot le­cą­cy z No­we­go Jor­ku do Ma­dry­tu, mimo że oba mia­sta leżą na tym sa­mym rów­no­leż­ni­ku, nie leci wzdłuż rów­no­leż­ni­ka, lecz po tra­sie, któ­ra na dwu­wy­mia­ro­wej ma­pie wy­glą­da na łu­ko­wa­tą.

Słowniczek

Ak­sjo­mat: zda­nie, któ­re jest przyj­mo­wa­ne bez do­wo­du, zwy­kle dla­te­go, że jest oczy­wi­ste, i słu­ży jako pod­sta­wa pew­ne­go sys­te­mu lo­gicz­ne­go.

Al­go­rytm: ze­staw re­guł lub po­le­ceń, któ­re pro­wa­dzą do roz­wią­za­nia ja­kie­goś pro­ble­mu.

Am­bi­gram: sło­wo (lub ze­staw słów) na­pi­sa­ne w taki spo­sób, by ukryć inne sło­wa, czę­sto to samo sło­wo (lub ze­staw słów) za­pi­sa­ne do góry no­ga­mi.

Błą­dze­nie lo­so­we: gra­ficz­na in­ter­pre­ta­cja lo­so­wo­ści, w któ­rej każ­de zda­rze­nie lo­so­we wy­ra­ża­ne jest w po­sta­ci ru­chu w przy­pad­ko­wym kie­run­ku.

Bry­ła pla­toń­ska: każ­da z 5 brył, któ­rych wszyst­kie boki są iden­tycz­ny­mi wie­lo­ką­ta­mi fo­rem­ny­mi; in­a­czej mó­wiąc czwo­ro­ścian, sze­ścian, ośmio­ścian, dwu­na­sto­ścian i dwu­dzie­sto­ścian.

Ciąg geo­me­trycz­ny: ciąg liczb, w któ­rym na­stęp­ny wy­raz po­wsta­je z po­mno­że­nia po­przed­nie­go wy­ra­zu przez sta­łą licz­bę.

Dys­kal­ku­lia: za­bu­rze­nie zdol­no­ści ro­zu­mie­nia liczb.

Dziel­nik: licz­ba na­tu­ral­na, przez któ­rą bez resz­ty dzie­li się inna licz­ba, na przy­kład 5 jest dziel­ni­kiem 20.

Fi: sta­ła ma­te­ma­tycz­na, któ­rej roz­wi­nię­cie dzie­sięt­ne za­czy­na się 1,618…, na­zy­wa­na rów­nież zło­tą licz­bą lub bo­ską pro­por­cją.

Kon­ti­nu­um: punk­ty na li­nii cią­głej.

Ko­re­la­cja: mia­ra współ­za­leż­no­ści dwóch zmien­nych.

Krzy­wi­zna: ce­cha prze­strze­ni, któ­rą moż­na okre­ślić na pod­sta­wie za­cho­wa­nia trój­ką­tów lub pro­stych rów­no­le­głych.

Kwa­drat ła­ciń­ski: ta­be­la, w któ­rej każ­dy ele­ment wy­stę­pu­je tyl­ko raz w każ­dym rzę­dzie i w każ­dej ko­lum­nie.

Kwa­drat ma­gicz­ny: ta­be­la za­wie­ra­ją­ca ko­lej­ne licz­by od 1, w któ­rej sumy we wszyst­kich rzę­dach, ko­lum­nach i prze­kąt­nych są rów­ne.

Licz­ba do­sko­na­ła: licz­ba, któ­ra jest rów­na su­mie swo­ich dziel­ni­ków (nie li­cząc jej sa­mej).

Licz­ba Fi­bo­nac­cie­go: licz­ba z cią­gu Fi­bo­nac­cie­go, któ­ry za­czy­na się od 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…

Licz­ba Mer­sen­ne’a: licz­ba pierw­sza, któ­rą moż­na wy­ra­zić w po­sta­ci 2n – 1.

Licz­ba nie­wy­mier­na: licz­ba, któ­rej nie da się wy­ra­zić w po­sta­ci ułam­ka.

Licz­ba nor­mal­na: licz­ba, któ­rej cy­fry dzie­sięt­ne skła­da­ją się z rów­nej licz­by zer, je­dy­nek, dwó­jek, tró­jek, czwó­rek, pią­tek, szó­stek, sió­de­mek, óse­mek i dzie­wią­tek.

Licz­ba pierw­sza: licz­ba na­tu­ral­na, któ­ra ma tyl­ko 2 dziel­ni­ki: sie­bie oraz 1.

Licz­ba prze­stęp­na: licz­ba, któ­rej nie da się wy­ra­zić jako roz­wią­za­nia ja­kie­goś skoń­czo­ne­go rów­na­nia.

Licz­ba wy­mier­na: licz­ba, któ­rą moż­na wy­ra­zić w po­sta­ci ułam­ka.

Licz­ba za­przy­jaź­nio­na: 2 licz­by są za­przy­jaź­nio­ne, je­śli suma dziel­ni­ków jed­nej licz­by rów­na się dru­giej licz­bie i vice ver­sa.

Lo­ga­rytm: je­śli a = 10b, to lo­ga­rytm a rów­na się b, co za­pi­su­je się jako log a = b.

Moc zbio­ru: wiel­kość zbio­ru.

Nie­skoń­czo­ność nie­prze­li­czal­na: zbiór nie­skoń­czo­ny, któ­re­go ele­men­tów nie moż­na przy­po­rząd­ko­wać w spo­sób wza­jem­nie jed­no­znacz­ny licz­bom na­tu­ral­nym.

Nie­skoń­czo­ność prze­li­czal­na: zbiór nie­skoń­czo­ny, któ­re­go ele­men­ty moż­na przy­po­rząd­ko­wać w spo­sób wza­jem­nie jed­no­znacz­ny licz­bom na­tu­ral­nym.

Par­kie­taż: układ ka­fel­ków wy­peł­nia­ją­cy prze­strzeń dwu­wy­mia­ro­wą bez szcze­lin i na­ło­żeń.

Pi: sta­ła ma­te­ma­tycz­na, któ­rej roz­wi­nię­cie dzie­sięt­ne za­czy­na się 3,14159265358979323846…, jest rów­na sto­sun­ko­wi ob­wo­du do śred­ni­cy okrę­gu.

Płasz­czy­zna hi­per­bo­licz­na: nie­skoń­cze­nie wiel­ka po­wierzch­nia o krzy­wiź­nie ujem­nej.

Pod­sta­wa sys­te­mu licz­bo­we­go: w przy­pad­ku sto­so­wa­nia cyfr arab­skich pod­sta­wa rów­na jest licz­bie cyfr uży­wa­nych w sys­te­mie. Sys­tem dwój­ko­wy, w któ­rym uży­wa się cyfr 0 i 1, ma pod­sta­wę 2, a sys­tem dzie­sięt­ny, w któ­rym uży­wa się cyfr od 0 do 9, ma pod­sta­wę 10.

Po­stu­lat: zda­nie przyj­mo­wa­ne za praw­dzi­we i słu­żą­ce za ak­sjo­mat.

Praw­do­po­do­bień­stwo: szan­sa na zaj­ście ja­kie­goś zda­rze­nia wy­ra­żo­na jako uła­mek z prze­dzia­łu od 0 do 1.

Pra­wo bar­dzo wiel­kich liczb: re­gu­ła, zgod­nie z któ­rą je­śli pró­ba lo­so­wa jest do­sta­tecz­nie duża, to wy­stą­pić może do­wol­ny wy­nik, na­wet naj­mniej praw­do­po­dob­ny.

Pra­wo wiel­kich liczb: re­gu­ła, zgod­nie z któ­rą na dłuż­szą metę praw­do­po­do­bień­stwo speł­ni się, w tym sen­sie, że im wię­cej bę­dzie­my mie­li przy­kła­dów zda­rze­nia lo­so­we­go (na przy­kład rzu­tu mo­ne­tą), tym bar­dziej wy­ni­ki rze­czy­wi­ste będą zbli­żo­ne do wy­ni­ków ocze­ki­wa­nych.

Prze­ciw­pro­sto­kąt­na: bok w trój­ką­cie pro­sto­kąt­nym le­żą­cy na­prze­ciw kąta pro­ste­go.

Prze­wa­ga: szan­se wy­gra­nia gry ha­zar­do­wej mi­nus szan­se prze­gra­nia.

Re­gre­sja do śred­niej: zja­wi­sko po­le­ga­ją­ce na tym, że po zda­rze­niach skraj­nych bar­dziej praw­do­po­dob­ne są zda­rze­nia mniej skraj­ne.

Roz­kład: roz­ło­że­nie moż­li­wych wy­ni­ków i praw­do­po­do­bień­stwa ich wy­stą­pie­nia.

Roz­kład Gaus­sa: roz­kład nor­mal­ny.

Roz­kład nor­mal­ny: naj­pow­szech­niej­szy typ roz­kła­du, któ­ry two­rzy krzy­wą dzwo­no­wą.

Roz­wią­za­nie jed­no­znacz­ne: sy­tu­acja, kie­dy ist­nie­je jed­na i tyl­ko jed­na od­po­wiedź.

Rów­na­nie kwa­dra­to­we: rów­na­nie w po­sta­ci ax2 + bx + c = 0, gdzie a, b oraz c są sta­ły­mi i a jest róż­ne od zera.

Rów­na­nie sze­ścien­ne: rów­na­nie w po­sta­ci ax3 + bx2 + cx + d = 0, gdzie a, b, c oraz d są sta­ły­mi i a jest róż­ne od zera.

Ru­ina gra­cza: nie­uchron­ność ban­kruc­twa przy do­sta­tecz­nie dłu­gim gra­niu w grę ha­zar­do­wą.

Rząd wiel­ko­ści: naj­czę­ściej ska­la licz­by okre­śla­na na pod­sta­wie war­to­ści po­zy­cyj­nej jej pierw­szej cy­fry. Na przy­kład rząd wiel­ko­ści licz­by z prze­dzia­łu od 1 do 9 wy­no­si 1, w prze­dzia­le od 10 do 99 wy­no­si 2, a mię­dzy 100 a 999 wy­no­si 3 i tak da­lej.

Sze­reg: suma wy­ra­zów w cią­gu.

Sze­reg nie­skoń­czo­ny: sze­reg z nie­skoń­czo­ną licz­bą wy­ra­zów.

Sze­reg roz­bież­ny: sze­reg nie­skoń­czo­ny, któ­re­go suma nie jest skoń­czo­ną licz­bą.

Sze­reg zbież­ny: sze­reg nie­skoń­czo­ny, któ­re­go suma jest skoń­czo­ną licz­bą.

Trój­kąt egip­ski: trój­kąt, w któ­rym sto­su­nek dłu­go­ści bo­ków wy­no­si 3 : 4 : 5.

War­tość ocze­ki­wa­na: teo­re­tycz­na war­tość spo­dzie­wa­nej wy­gra­nej lub prze­gra­nej w za­kła­dzie.

Wie­lo­kąt fo­rem­ny: wie­lo­kąt o bo­kach rów­nej dłu­go­ści i rów­nych ką­tach we­wnętrz­nych.

Wy­kład­nik: po­tę­ga licz­by za­pi­sy­wa­na w po­sta­ci sym­bo­lu u góry, na przy­kład x w 3x.

Złu­dze­nie gra­cza: fał­szy­we prze­ko­na­nie, że wy­ni­ki lo­so­we nie są lo­so­we.

Aneks pierwszy

Aby zo­ba­czyć, w jaki spo­sób ka­fel­ko­we kwa­dra­ty Al-Na­iri­zie­go do­wo­dzą twier­dze­nia Pi­ta­go­ra­sa, spójrz na za­zna­czo­ny trój­kąt. Mu­si­my je­dy­nie do­kład­nie prze­kształ­cić kwa­drat prze­ciw­pro­sto­kąt­nej na kwa­dra­ty 2 po­zo­sta­łych bo­ków. Kwa­drat na prze­ciw­pro­sto­kąt­nej skła­da się z 5 ka­wał­ków: 3 są bia­łe, a 2 za­cie­nio­ne. Przy­glą­da­jąc się po­wta­rzal­no­ści wzo­ru, mo­że­my za­uwa­żyć, że bia­łe ka­wał­ki two­rzą kwa­drat jed­ne­go z bo­ków trój­ką­ta, a za­cie­nio­ne – kwa­drat dru­gie­go boku.

W do­wo­dzie Le­onar­da mu­si­my naj­pierw po­ka­zać, że za­cie­nio­ne czę­ści w (I) i (II) są rów­ne. W tym celu ob­ra­ca­my część wo­kół punk­tu P. Obie czę­ści mają rów­ne boki i kąty, więc mu­szą być ta­kie same. Na­stęp­nie mu­si­my wy­ka­zać, że część ta jest rów­na czę­ści w (III). Musi tak być, po­nie­waż skła­da się z iden­tycz­nych ele­men­tów.

Z tymi in­for­ma­cja­mi mo­że­my do­koń­czyć do­wód. Ob­ró­co­na pierw­sza za­cie­nio­na część i jej od­bi­cie lu­strza­ne wzglę­dem prze­ry­wa­nej li­nii skła­da­ją się z 2 iden­tycz­nych trój­ką­tów pro­sto­kąt­nych oraz kwa­dra­tów na 2 krót­szych bo­kach. To pole musi być rów­ne polu zaj­mo­wa­ne­mu łącz­nie przez za­cie­nio­ne czę­ści w (II) i (III), któ­re skła­da się z 2 iden­tycz­nych trój­ką­tów pro­sto­kąt­nych oraz kwa­dra­tu prze­ciw­pro­sto­kąt­nej. Je­śli odej­mie­my w obu przy­pad­kach pole dwóch trój­ką­tów, to kwa­drat prze­ciw­pro­sto­kąt­nej musi być rów­ny su­mie kwa­dra­tów 2 po­zo­sta­łych bo­ków.

Aneks drugi

W kwa­dra­cie jed­nost­ko­wym prze­kąt­na ma dłu­gość . Aby wy­ka­zać, że jest to licz­ba nie­wy­mier­na, prze­pro­wa­dzę do­wód nie wprost: za­ło­żę, że jest licz­bą wy­mier­ną, a na­stęp­nie po­ka­żę, że pro­wa­dzi to do sprzecz­no­ści. Je­śli w stwier­dze­niu, że jest licz­bą wy­mier­ną, tkwi sprzecz­ność, to musi być licz­bą nie­wy­mier­ną.

Je­śli jest licz­bą wy­mier­ną, to ist­nie­ją licz­by na­tu­ral­ne a i b ta­kie, że . Za­strzeż­my, że jest to naj­bar­dziej skró­co­na po­stać ułam­ka, więc nie da się za­pi­sać jako , kie­dy m i n są licz­ba­mi na­tu­ral­ny­mi mniej­szy­mi od a i b.

Je­śli , to pod­no­sząc do kwa­dra­tu obie stro­ny rów­na­nia, otrzy­mu­je­my , co mo­że­my za­pi­sać jako a2 = 2b2.

Nie­za­leż­nie od war­to­ści b2, 2b2 musi być licz­bą pa­rzy­stą, po­nie­waż każ­da licz­ba na­tu­ral­na po­mno­żo­na przez 2 jest licz­bą pa­rzy­stą. Je­śli 2b2 jest licz­bą pa­rzy­stą, to a2 jest licz­bą pa­rzy­stą. Po­nie­waż kwa­drat licz­by nie­pa­rzy­stej za­wsze jest licz­bą nie­pa­rzy­stą, a kwa­drat licz­by pa­rzy­stej za­wsze jest licz­bą pa­rzy­stą, ozna­cza to, że a musi być licz­bą pa­rzy­stą.

Je­śli a jest licz­bą pa­rzy­stą, to ist­nie­je licz­ba c mniej­sza niż a taka, że a = 2c, a za­tem a2 = (2c)2 = 4c2.

Pod­sta­wia­jąc 4c2 za a2 we wcze­śniej­szym rów­na­niu, otrzy­mu­je­my 4c2 = 2b2. Mo­że­my upro­ścić to do po­sta­ci b2 = 2c2. Ozna­cza to, na dro­dze wcze­śniej­sze­go ro­zu­mo­wa­nia, że b2 jest licz­bą pa­rzy­stą, więc b jest licz­bą pa­rzy­stą. Je­śli b jest licz­bą pa­rzy­stą, to ist­nie­je licz­ba d mniej­sza od b taka, że b = 2d.

Za­tem moż­na prze­kształ­cić w , czy­li , po­nie­waż dwój­ki się skra­ca­ją. Mamy na­szą sprzecz­ność! Z góry za­strze­gli­śmy, że jest naj­bar­dziej skró­co­ną po­sta­cią ułam­ka, czy­li że nie ma war­to­ści c i d mniej­szych od a i b, ta­kich że . Po­nie­waż do­szli­śmy do sprzecz­no­ści, za­kła­da­jąc, że moż­na za­pi­sać jako , ozna­cza to, że nie da się za­pi­sać w taki spo­sób, a więc jest licz­bą nie­wy­mier­ną.

Aneks trzeci

W kwa­dra­cie ma­gicz­nym 16 × 16 Fran­kli­na suma każ­de­go rzę­du i każ­dej ko­lum­ny wy­no­si 2056. Nie jest to praw­dzi­wy kwa­drat ma­gicz­ny, po­nie­waż prze­kąt­ne nie su­mu­ją się do 2056, wy­róż­nia się jed­nak ta­kim bo­gac­twem wła­ści­wo­ści, że Clif­ford A. Pic­ko­ver na­pi­sał: „bez prze­sa­dy moż­na po­wie­dzieć, że kon­tem­plo­wa­nie jego cu­dow­nej struk­tu­ry to za­ję­cie na całe ży­cie”. Na przy­kład suma każ­de­go kwa­dra­tu we­wnętrz­ne­go 2 × 2 (a jest ich 225) wy­no­si 514, co zna­czy, że suma każ­de­go kwa­dra­tu we­wnętrz­ne­go 4 × 4 wy­no­si 2056. W kwa­dra­cie Fran­kli­na moż­na zna­leźć jesz­cze wie­le in­nych sy­me­trii i re­gu­lar­no­ści.

Aneks czwarty

Za­sa­da, na któ­rej opie­ra się ciąg Gij­swij­ta, to szu­ka­nie po­wta­rza­ją­cych się blo­ków liczb w po­przed­nich wy­ra­zach cią­gu. „Blok” musi znaj­do­wać się na koń­cu cią­gu po­przed­nich wy­ra­zów, a licz­ba po­wtó­rzeń blo­ku sta­no­wi na­stęp­ny wy­raz.

Ma­te­ma­tycz­nie ciąg opi­su­je się w na­stę­pu­ją­cy spo­sób: na po­cząt­ku stoi 1, a każ­dym na­stęp­nym wy­ra­zem jest war­tość k, któ­rą usta­la się w ten spo­sób, że po­przed­nie wy­ra­zy mno­ży się po ko­lei i za­pi­su­je w po­sta­ci xyk o jak naj­więk­szej war­to­ści k. Ciąg wy­glą­da za­tem tak:

1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 1…

Chy­ba naj­ła­twiej zro­zu­mieć, jak to dzia­ła, na przy­kła­dzie pierw­sze­go wy­stą­pie­nia 3, któ­re ma miej­sce na po­zy­cji 9. Po­przed­nie wy­ra­zy po­mno­żo­ne po ko­lei to 1 · 1 · 2 · 1 · 1 · 2 · 2 · 2. W cią­gu Gij­swij­ta na­szym za­da­niem jest prze­kształ­cić ten ra­chu­nek w wy­raz xyk o jak naj­więk­szej war­to­ści k. W tym przy­pad­ku otrzy­mu­je­my (1 · 1 · 2 · 1 · 1) · 23. Na­stęp­nym wy­ra­zem jest więc 3. Szu­ka­my naj­więk­sze­go po­wta­rza­ją­ce­go się blo­ku liczb na koń­cu cią­gu po­przed­nich wy­ra­zów, choć w tym przy­pad­ku blok to jed­na licz­ba, 2, po­wtó­rzo­na trzy­krot­nie.

Czę­sto jed­nak blok bę­dzie za­wie­rał kil­ka cyfr. Spójrz­my na po­zy­cję 16. Po­przed­nie wy­ra­zy po­mno­żo­ne ra­zem to 1 · 1 · 2 · 1 · 1 · 2 · 2 · 2 · 3 · 1 · 1 · 2 · 1 · 1 · 2. Moż­na za­pi­sać to jako (1 · 1 · 2 · 1 · 1 · 2 · 2 · 3) · (1 · 1 · 2)2. A za­tem 16. wy­ra­zem jest 2.

Wróć­my te­raz do po­cząt­ku. Dru­gi wy­raz to 1, po­nie­waż po­przed­ni wy­raz 1 nie jest przez nic mno­żo­ny. Trze­ci wy­raz to 2, po­nie­waż po­przed­nie wy­ra­zy po­mno­żo­ne po ko­lei to 1 · 1 = 12, a czwar­ty wy­raz to 1, po­nie­waż po­przed­nie wy­ra­zy dają (1 · 1 · 2) · 1, gdzie ostat­nie 1 nie mno­ży się przez sie­bie.

Aneks piąty

Chce­my wy­ka­zać, że sze­reg har­mo­nicz­ny jest roz­bież­ny, czy­li że

wy­no­sić bę­dzie nie­skoń­czo­ność. W tym celu na­le­ży wy­ka­zać, że sze­reg har­mo­nicz­ny jest więk­szy niż po­niż­szy sze­reg, któ­ry ma sumę nie­skoń­czo­ną

Po­rów­naj­my wy­ra­zy sze­re­gu har­mo­nicz­ne­go gru­pa­mi po 2, 4, 8 i tak da­lej, za­czy­na­jąc od 3. wy­ra­zu. Wy­mie­nio­no je po­ni­żej. Po­nie­waż jest więk­sza niż , to suma + musi być więk­sza niż + , któ­ra rów­na się . Ana­lo­gicz­nie, po­nie­waż każ­dy z ułam­ków , i jest więk­szy niż , ozna­cza to, że suma + + + jest więk­sza niż , któ­re rów­nież rów­na­ją się . Wi­dać, że je­śli bę­dzie­my po­stę­po­wać tak da­lej, bio­rąc za­wsze dwa razy więk­szą licz­bę wy­ra­zów, bę­dzie­my w sta­nie su­mo­wać te wy­ra­zy do war­to­ści więk­szej niż :

wy­raz 3. i 4. >

wy­ra­zy od 5. do 8. >

wy­ra­zy od 8. do 16. >

Sze­reg har­mo­nicz­ny jest za­tem więk­szy niż suma + + + + + ..., któ­ra wy­no­si nie­skoń­czo­ność razy pół, co rów­na się nie­skoń­czo­ność. Sze­reg nie­skoń­czo­ny jest więc więk­szy od nie­skoń­czo­no­ści, czy­li jest nie­skoń­czo­ny.

Aneks szósty

Uła­mek łań­cu­cho­wy (cią­gły) to oso­bli­wy ro­dzaj ułam­ka, któ­ry kon­stru­uje się po­przez nie­skoń­czo­ny pro­ces do­da­wa­nia i dzie­le­nia.

Fi wy­ra­żo­ne w po­sta­ci ułam­ka łań­cu­cho­we­go wy­glą­da na­stę­pu­ją­co

Aby zro­zu­mieć, jak to dzia­ła, przyj­rzyj­my się ko­lej­nym pię­trom ułam­ka i zo­bacz­my, jak zbli­ża się do fi

1

1+1=2

I tak da­lej.

Za po­mo­cą ułam­ków łań­cu­cho­wych oce­nia się, jak bar­dzo nie­wy­mier­na może być dana licz­ba. Po­nie­waż w przy­pad­ku fi wy­ra­że­nie za­wie­ra tyl­ko je­dyn­ki, jest to „naj­czyst­szy” uła­mek łań­cu­cho­wy i dla­te­go uwa­ża­ny jest za „naj­bar­dziej nie­wy­mier­ną” licz­bę.

Przypisy do rozdziałów

W cza­sie pi­sa­nia książ­ki na moim biur­ku za­wsze le­ża­ły 4 wiel­kie tomy, po któ­re się­ga­łem wie­lo­krot­nie przy róż­nych roz­dzia­łach. Mar­tin Gard­ner nie ma so­bie rów­nych w ma­te­ma­ty­ce po­pu­lar­nej pod wzglę­dem eru­dy­cji, dow­ci­pu i kla­row­no­ści. Num­ber To­bia­sa Dant­zi­ga to kla­sycz­na po­zy­cja na te­mat kul­tu­ro­wej ewo­lu­cji ma­te­ma­ty­ki. Książ­ki Ifra­ha i Ca­jo­rie­go są dro­bia­zgo­wo udo­ku­men­to­wa­ne i nie­skoń­cze­nie fa­scy­nu­ją­ce.

Ca­jo­ri F., A Hi­sto­ry of Ma­the­ma­ti­cal No­ta­tions, Do­ver 1993 (re­print pier­wo­dru­ku wy­da­ne­go przez Open Co­urt, Il­li­no­is 1928/9).

Dant­zig T., Num­ber, Plu­me, New York 2007 (pier­wot­nie Mac­mil­lan, 1930).

Gard­ner M., Ma­the­ma­ti­cal Ga­mes: The En­ti­re Col­lec­tion of His Scien­ti­fic Ame­ri­can Co­lumns, Ma­the­ma­ti­cal As­so­cia­tion of Ame­ri­ca, 2005.

Ifrah G., The Uni­ver­sal Hi­sto­ry of Num­bers, John Wi­ley, New York 2000 [wyd. pol. Hi­sto­ria po­wszech­na cyfr, tłum. Ka­ta­rzy­na Mar­czew­ska i Kry­sty­na Sze­żyń­ska-Mać­ko­wiak, Wy­daw­nic­two W.A.B., War­sza­wa 2006].

ROZ­DZIAŁ ZE­RO­WY

Roz­dział ten opie­ra się na roz­mo­wach z Bria­nem But­ter­wor­them w Lon­dy­nie oraz Sta­ni­sla­sem De­ha­ene’em i Pier­re’em Picą w Pa­ry­żu. Na Uni­ver­si­ty Col­le­ge Lon­don zo­sta­łem pod­da­ny ba­da­niu na dys­kal­ku­lię przez Te­re­sę Iu­cu­la­no i Ma­ri­nel­lę Cap­pel­let­ti za po­mo­cą pro­gra­mu kom­pu­te­ro­we­go uży­wa­ne­go obec­nie w bry­tyj­skich szko­łach. Nie je­stem dys­kal­ku­li­kiem, co pew­nie nie jest wiel­kim za­sko­cze­niem. Kto chciał­by wes­przeć dzia­ła­nia na rzecz ochro­ny tra­dy­cyj­nej edu­ka­cji Mun­du­ru­ku i ich śro­do­wi­ska, może prze­słać da­tek na ad­res: The Mun­du­ru­ku Fund, The Ar­row Ra­in­fo­rest Fo­un­da­tion, 5 So­uth­rid­ge Pla­ce, Lon­don SW20 8JQ, Uni­ted King­dom. Wię­cej in­for­ma­cji moż­na zna­leźć na stro­nie: www.the­ar­row­ra­in­fo­re­st­fo­un­da­tion.com

But­ter­worth B., The Ma­the­ma­ti­cal Bra­in, Mac­mil­lan, Lon­don 1999.

De­ha­ene S., The Num­ber Sen­se, Oxford Uni­ver­si­ty Press, Oxford 1997.

Mat­zu­sa­wa T. (red.), Pri­ma­te Ori­gins of Hu­man Co­gni­tion and Be­ha­vior, Sprin­ger, To­kyo 2001.

An­gier N., Gut In­stinct’s Sur­pri­sing Role in Math, „New York Ti­mes”, 2008.

De­ha­ene S., Izard V., Spel­ke E., Pica P., Log or Li­ne­ar?, „Scien­ce”, 2008.

Ino­ue S., Mat­su­za­wa T., Wor­king me­mo­ry of nu­me­rals in chim­pan­ze­es, „Cur­rent Bio­lo­gy”, 2007.

Pica P., Ler­ner C., Izard V., De­ha­ene S., Exact and Ap­pro­pria­te Ari­th­me­tic in an Ama­zo­nian In­di­ge­ne Gro­up, „Scien­ce”, 2004.

Sie­gler R.S., Bo­oth J.L., De­ve­lop­ment of Nu­me­ri­cal Es­ti­ma­tion in Young Chil­dren, „Child De­ve­lop­ment”, 2004.

ROZ­DZIAŁ PIERW­SZY

Kto chce uzy­skać wię­cej in­for­ma­cji na te­mat uro­ków sys­te­mu dwu­nast­ko­we­go, może skon­tak­to­wać się z Do­ze­nal So­cie­ty of Ame­ri­ca: con­tact@do­ze­nal.org lub 5106 Hamp­ton Ave­nue Su­ite 205, Sa­int Lo­uis, Mis­so­uri 63109-3115, USA. Lit­tle Twe­lve­to­es to kla­sycz­ny cykl z se­rii mu­zycz­nych kre­skó­wek Scho­ol­ho­use Rock! z lat 70. na te­mat ma­te­ma­ty­ki, nauk przy­rod­ni­czych i gra­ma­ty­ki; wszyst­kie moż­na obej­rzeć w in­ter­ne­cie. Wpro­wa­dze­nie w świat li­czy­dła za­wdzię­czam Ko­uzi Su­zu­kie­mu, jed­no­oso­bo­we­mu ewan­ge­li­ście so­ro­ba­nu, któ­ry spo­tkał się ze mną na sta­cji ko­le­jo­wej w To­kio prze­bra­ny za Sher­loc­ka Hol­me­sa.

An­drews F. E., New Num­bers, Fa­ber & Fa­ber, Lon­don 1936.

Du­ode­ci­mal So­cie­ty of Ame­ri­ca, Inc., Ma­nu­al of the Do­zen Sys­tem, Du­ode­ci­mal So­cie­ty of Ame­ri­ca, New York 1960.

El­brow, Rear-Ad­mi­ral G., The New En­glish Sys­tem of Mo­ney, We­ights and Me­asu­res and of Ari­th­me­tic, P.S. King & Son, Lon­don 1913.

Es­sig J., Do­uze, no­tre dix fu­tu­re, Du­nod, Pa­ris 1955.

Gla­ser A., Hi­sto­ry of Bi­na­ry and Other Non­de­ci­mal Nu­me­ra­tion, So­uthamp­ton, PA, 1971.

Ka­wall Leal Fer­re­ira M. (red.), Idéias Ma­te­máti­cas de Po­vos Cul­tu­ral­men­te Di­stin­tos, Glo­bal Edi­to­ra, São Pau­lo 2000.

Su­zu­ki K., Lec­tu­res on So­ro­ban, In­sti­tu­te for En­glish Yomia­ge­zan.

Do­wker A., Lloyd D., Lin­gu­istic in­flu­en­ces on nu­me­ra­cy, „Edu­ca­tion Trans­ac­tions”, Uni­ver­si­ty of Ban­gor, 2005.

Was­smann J., Da­sen P.R., Yup­no Num­ber Sys­tem and Co­un­ting, „Cross-cul­tu­ral Psy­cho­lo­gy Jo­ur­nal”, 1994.

Ham­mar­ström H., Ra­ri­ties in Nu­me­ral Sys­tems, 2007.

ROZ­DZIAŁ DRU­GI

Pro­ofs Wi­tho­ut Words (do­wo­dy bez słów) to praw­dzi­wa skarb­ni­ca, z któ­rej za­czerp­ną­łem róż­ne do­wo­dy twier­dze­nia Pi­ta­go­ra­sa. Dzię­ku­ję To­mo­wi Hul­lo­wi za wpro­wa­dze­nie w ori­ga­mi. Na jego książ­ce wzo­ro­wa­ne są ilu­stra­cje po­ka­zu­ją­ce, jak zro­bić czwo­ro­ścia­ny i sze­ścia­ny z wi­zy­tó­wek. In­nym nie­zwy­kłym ja­poń­skim zwy­cza­jem re­li­gij­no-geo­me­trycz­nym jest san­ga­ku, któ­re nie zmie­ści­ło się w roz­dzia­le, ale jest zbyt fa­scy­nu­ją­ce, by o nim nie wspo­mnieć. San­ga­ku to drew­nia­na ta­blicz­ka za­wie­sza­na w ka­plicz­ce bud­dyj­skiej lub szin­to­istycz­nej, na któ­rej na­ma­lo­wa­no do­wód ja­kie­goś pro­ble­mu geo­me­trycz­ne­go. Od XVII do XIX wie­ku po­wsta­ły ty­sią­ce san­ga­ku – ro­bi­li je Ja­poń­czy­cy, któ­rzy roz­wią­za­li pro­ble­my geo­me­trycz­ne, ale nie mo­gli so­bie po­zwo­lić na opu­bli­ko­wa­nie ich w książ­ce. Na­ry­so­wa­nie roz­wią­za­nia na ta­blicz­ce i za­wie­sze­nie jej w ka­pli­cy było ro­dza­jem ofia­ry re­li­gij­nej, a jed­no­cze­śnie re­kla­mą swo­ich wy­ni­ków.

Krót­ko przed od­da­niem książ­ki do dru­ku do­wie­dzia­łem się, że Je­ro­me Car­ter zgi­nął w wy­pad­ku mo­to­cy­klo­wym w 2009 roku.

Bal­liett L.D., The Phi­lo­so­phy of Num­bers, L.N. Fow­ler, 1908.

Bell E.T., Nu­me­ro­lo­gy, Cen­tu­ry, 1933.

Du­dley U., Nu­me­ro­lo­gy, Ma­the­ma­ti­cal As­so­cia­tion of Ame­ri­ca, 1997.

du Sau­toy M., Fin­ding Mo­on­shi­ne, Fo­urth Es­ta­te, Lon­don 2008.

Fer­gu­son K., The Mu­sic of Py­tha­go­ras, Wal­ker, New York 2008.

Hull T., Pro­ject Ori­ga­mi, A.K. Pe­ters, Wel­le­sley, MA, 2006.

Kahn C.H., Py­tha­go­ras and the Py­tha­go­re­ans, a Brief Hi­sto­ry, Hac­kett, In­dia­na­po­lis, IN, 2001.

Lo­omis E.S., The Py­tha­go­re­an Pro­po­si­tion, Edwards Bros, Ann Ar­bor, MI, 1940.

Maor E., The Py­tha­go­re­an The­orem, Prin­ce­ton Uni­ver­si­ty Press, NJ, 2007.

Mlo­di­now L., Euc­lid’s Win­dow, Free Press, New York 2001.

Nel­sen R.B., Pro­ofs Wi­tho­ut Words, Ma­the­ma­ti­cal As­so­cia­tion of Ame­ri­ca, Wa­shing­ton DC 1993.

Rie­dwig C., Py­tha­go­ras, His Life, Te­aching and In­flu­en­ce, Cor­nell Uni­ver­si­ty Press, Itha­ca, NY, 2002.

Schim­mel A., The My­ste­ry of Num­bers, Oxford Uni­ver­si­ty Press, New York 1993.

Si­mo­ons F.J., Plants of Life, Plants of De­ath, Uni­ver­si­ty of Wi­scon­sin Press, Ma­di­son, WI, 1998.

Sun­da­ra Rao T., Geo­me­tric Exer­ci­ses in Pa­per Fol­ding, Open Co­urt, Chi­ca­go, IL, 1901.

Bol­ton N.J., Mac­Le­od D.N.G., The Geo­me­try of the Sri Yan­tra, „Re­li­gion”, vol. 7, 1977.

Bur­ny­eat M.F., Other Li­ves, „Lon­don Re­view of Bo­oks”, 2007.

ROZ­DZIAŁ TRZE­CI

Choć Li­ber aba­ci zo­sta­ła wy­da­na w 1202 roku, jej pierw­szy prze­kład an­giel­ski uka­zał się do­pie­ro w osiem­set­ną rocz­ni­cę pu­bli­ka­cji w 2002 roku. Ma­te­ma­ty­ka we­dyj­ska nie jest je­dy­nym ro­dza­jem szyb­kiej aryt­me­ty­ki na ryn­ku. Ist­nie­je kil­ka „sys­te­mów”, któ­re czę­sto za­wie­ra­ją te same sztucz­ki. Naj­bar­dziej zna­nym jest sys­tem Trach­ten­ber­ga, wy­my­ślo­ny przez Ja­ko­wa Trach­ten­ber­ga, gdy był więź­niem po­li­tycz­nym w na­zi­stow­skim obo­zie kon­cen­tra­cyj­nym. Ostat­nio za­baw­nym pro­pa­ga­to­rem sztu­ki szyb­kie­go ra­cho­wa­nia jest sa­mo­zwań­czy „ma­te­ma­gik” Ar­thur Ben­ja­min.

Fi­bo­nac­ci L., Fi­bo­nac­ci’s Li­ber Aba­ci, Sprin­ger, New York 2002.

Jo­seph G.G., Crest of the Pe­acock, Pen­gu­in, Lon­don 1992.

Knott K., Hin­du­ism: A Very Short In­tro­duc­tion, Oxford Uni­ver­si­ty Press, 1998.

[wyd. pol. Hin­du­izm, tłum. To­masz Ju­re­wicz, Pró­szyń­ski i S-ka, War­sza­wa 2000, se­ria: Bar­dzo krót­kie wpro­wa­dze­nie].

Se­ife C., Zero, So­uve­nir Press, Lon­don 2000.

[wyd. pol. Zero. Nie­bez­piecz­na idea, tłum. Ja­nusz Sko­li­mow­ski, Am­ber, War­sza­wa, 2002].

Tir­tha­ji, Ja­gad­gu­ru Swa­mi S.B.K., Ve­dic Ma­the­ma­tics, Mo­ti­lal Ba­nar­si­dass, Del­hi 1992.

Dani S.G., My­ths and re­ali­ty: On ‘Ve­dic ma­the­ma­tics’.

ROZ­DZIAŁ CZWAR­TY

Naj­mniej ku­joń­skim za­wod­ni­kiem w Lip­sku był Rüdi­ger Gamm, nie­gdy­siej­szy kul­tu­ry­sta, któ­ry w szko­le do­sta­wał dwó­je z mat­my. Naj­pierw wy­ro­bił so­bie prze­sad­nie wiel­kie bi­cep­sy, te­raz ma prze­sad­nie wiel­ki mózg. Gamm, któ­ry za spra­wą swo­ich zdol­no­ści ra­chun­ko­wych zy­skał pe­wien roz­głos w Niem­czech, po­wie­dział mi, że pa­mięć jest jego naj­więk­szym atu­tem: „My­ślę, że prze­cho­wu­ję w gło­wie od dwu­stu do trzy­stu ty­się­cy liczb”.

(Roz­dział ten był dla mnie wy­zwa­niem, po­nie­waż mu­sia­łem wal­czyć z nie­od­par­tą po­ku­są ukła­da­nia ka­lam­bu­rów zwią­za­nych z pi. Ma­te­ma­ty­cy do prze­sa­dy lu­bu­ją się w grze słów. Kie­dy wi­dzi­my ja­kieś sło­wo, nie mo­że­my się po­wstrzy­mać, by nie roz­ło­żyć go i uło­żyć in­ne­go sło­wa, co pew­nie tłu­ma­czy rów­nież, dla­cze­go naj­lep­szy­mi skra­bli­sta­mi na świe­cie są ab­sol­wen­ci ma­te­ma­ty­ki i in­for­ma­ty­ki, a nie ję­zy­ko­znaw­cy).

Arndt J., Ha­enel C., Pi Unle­ashed, Sprin­ger, Lon­don 2002.

Beck­mann P., A Hi­sto­ry of Pi, St Mar­tin’s Press, New York 1971.

Berg­gren L., Bor­we­in J., Bor­we­in P., Pi: A So­ur­ce Book, Sprin­ger, Lon­don 2003.

Bid­der G., A short Ac­co­unt of Geo­r­ge Bid­der, the ce­le­bra­ted Men­tal Cal­cu­la­tor: with a Va­rie­ty of the most dif­fi­cult Qu­estions, Pro­po­sed to him at the prin­ci­pal Towns in the King­dom, and his sur­pri­sing ra­pid An­swers!, W.C. Pol­lard, 1821.

Col­burn Z., A me­mo­ir of Ze­rah Col­burn, writ­ten by him­self, G. & C. Mer­riam, Spring­field, MA, 1833.

Ra­de­ma­cher H., Tor­plitz O., The En­joy­ment of Ma­the­ma­tics, Prin­ce­ton Uni­ver­si­ty Press, NJ, 1957.

Ait­ken A.C., The Art of Men­tal Cal­cu­la­tion; with De­mon­stra­tions, „So­cie­ty of En­gi­ne­ers Jo­ur­nal and Trans­ac­tions”, 1954.

Pre­ston R., The Mo­un­ta­ins of Pi, „New Yor­ker”, 1992.

ROZ­DZIAŁ PIĄ­TY

Ache­son D., 1089 and all that, Oxford Uni­ver­si­ty Press, Oxford 2002.

Ber­lin­ski D., In­fi­ni­te Ascent, The Mo­dern Li­bra­ry, New York 2005.

Dale R., The Sinc­la­ir Sto­ry, Duc­kworth, Lon­don 1985.

Der­by­shi­re J., Unk­nown Qu­an­ti­ty, Atlan­tic Bo­oks, Lon­don 2006.

Hopp P.M., Sli­de Ru­les, The­ir Hi­sto­ry, Mo­dels and Ma­kers, Astra­gal Press, New Jer­sey 1999.

Maor E., e: The Sto­ry of a Num­ber, Prin­ce­ton Uni­ver­si­ty Press, NJ, 1994.

Rade L., Kauf­man B.A., Ad­ven­tu­res with Your Po­cket Cal­cu­la­tor, Pe­li­can, Lon­don 1980.

Schloss­berg E., Brock­man J., The Po­cket Cal­cu­la­tor Game Book, Wil­liam Mor­row, New York 1975.

Vine J., Fun & Ga­mes with Your Elec­tro­nic Cal­cu­la­tor, Ba­ba­ni Press, Lon­don 1977 (wyd. amer. Bog­gle, Pri­ce, Stern, Slo­ane Pu­bli­shers, Los An­ge­les, CA, 1975).

ROZ­DZIAŁ SZÓ­STY

W maju 2010 roku, mie­siąc po opu­bli­ko­wa­niu pierw­sze­go wy­da­nia tej książ­ki, Mar­tin Gard­ner zmarł. Miał 95 lat i pra­co­wał do śmier­ci. W lip­cu tego sa­me­go roku Tom Ro­kic­ki ze współ­pra­cow­ni­ka­mi w koń­cu udo­wod­nił, że licz­ba Boga wy­no­si 20, ko­rzy­sta­jąc z 35 lat cza­su ob­li­cze­nio­we­go po­da­ro­wa­ne­go przez Go­ogle.

Ar­ty­ku­ły Du­de­neya ze „Strand Ma­ga­zi­ne”, po­mi­ja­jąc już ge­nial­ność sa­mych ła­mi­głó­wek, są re­we­la­cyj­nie na­pi­sa­ne i na pew­no war­te lek­tu­ry. Je­stem wdzięcz­ny An­ge­li Ne­wing, świa­to­wej znaw­czy­ni Hen­ry’ego Du­de­neya, za in­for­ma­cje bio­gra­ficz­ne oraz Jer­ry’emu Slo­cu­mo­wi za roz­wią­za­nie mo­ich ła­mi­głów­ko­wych za­gwoz­dek. Je­śli ktoś jest za­in­te­re­so­wa­ny ta­tu­ażem am­bi­gra­mo­wym, po­le­cam obej­rze­nie dzieł Mar­ka Pal­me­ra na stro­nie www.wow­tat­to­os.com.

Ba­chet C.G., Amu­sing and En­ter­ta­ining Pro­blems that can be Had with Num­bers (very use­ful for in­qu­isi­ti­ve pe­ople of all kinds who use ari­th­me­tic), Pa­ris 1612.

Bo­dy­com­be D.J., The Rid­dles of the Sphinx, Pen­gu­in, Lon­don 2007.

Da­ne­si M., The Puz­zle In­stinct, Uni­ver­si­ty of In­dia­na Press, In­dia­na­po­lis, IN 2002.

Elf­fers J., Schuyt M., Tan­gram, 1997.

Gard­ner M., Ma­the­ma­tics, Ma­gic and My­ste­ry, Do­ver, New York 1956.

Har­dy G.H., A Ma­the­ma­ti­cian’s Apo­lo­gy, Cam­brid­ge Uni­ver­si­ty Press, Cam­brid­ge 1940.

Ho­oper W., Ra­tio­nal Re­cre­ations, in which the prin­ci­ples of Num­bers and Na­tu­ral Phi­lo­so­phy are cle­ar­ly and co­pio­usly elu­ci­da­ted by a se­ries of easy, en­ter­ta­ining, in­te­re­sting expe­ri­ments, among which are all tho­se com­mon­ly per­for­med with the cards, Lon­don 1774.

Loyd S., The 8th Book of Tan Part I, 1903; nowe wy­da­nie Do­ver, New York 1968.

Maor E., Tri­go­no­me­tric De­li­ghts, Prin­ce­ton Uni­ver­si­ty Press, NJ, 1998.

Netz R., Noel W., The Ar­chi­me­des Co­dex, We­iden­feld & Ni­col­son, Lon­don 2007.

[wyd. pol. Ko­deks Ar­chi­me­de­sa, tłum. Wła­dy­sław Je­żew­ski, Wy­daw­nic­two Ma­gnum, War­sza­wa 2007].

Pa­sles P.C., Ben­ja­min Fran­klin’s Num­bers, Prin­ce­ton Uni­ver­si­ty Press, NJ 2008.

Pic­ko­ver C.A., The Zen of Ma­gic Squ­ares, Circ­les and Stars, Prin­ce­ton Uni­ver­si­ty Press, NJ 2002.

Ro­use Ball W.W., Ma­the­ma­ti­cal Re­cre­ations and Pro­blems, Mac­mil­lan, Lon­don 1892.

Slo­cum J., The Tan­gram Book, Ster­ling, New York 2001.

Slo­cum J., Son­ne­veld D., The 15 Puz­zle, Slo­cum Puz­zle Fo­un­da­tion, Ca­li­for­nia 2006.

Swetz F.J., Le­ga­cy of the Lu­oshu, Open Co­urt, Chi­ca­go, IL, 2002.

Du­de­ney H., Per­ple­xi­ties, ru­bry­ka w „Strand Ma­ga­zi­ne”, Lon­don 1910–30.

Sing­ma­ster D., The unre­aso­na­ble uti­li­ty of re­cre­atio­nal ma­the­ma­tics, wy­kład wy­gło­szo­ny pod­czas Pierw­sze­go Eu­ro­pej­skie­go Kon­gre­su Ma­te­ma­ty­ki, Pa­ryż, li­piec 1992.

ROZ­DZIAŁ SIÓD­MY

On-Line En­cyc­lo­pe­dia of In­te­ger Se­qu­en­ces (oeis.org) z po­cząt­ku wy­glą­da dość znie­chę­ca­ją­co, ale po krót­kiej orien­ta­cji oka­zu­je się bar­dzo wcią­ga­ją­ca. Świet­nym źró­dłem jest też en­cy­klo­pe­dia liczb pierw­szych Chri­sa Cald­wel­la: www.pri­mes.utm.edu.

Do­xia­dis A., Un­c­le Pe­tros and Gold­bach’s Con­jec­tu­re, Fa­ber & Fa­ber, Lon­don 2000.

[wyd. pol. Za­bój­cza hi­po­te­za, tłum. Ra­fał Śmie­ta­na, Wy­daw­nic­two Znak, Kra­ków 2000].

du Sau­toy M., The Mu­sic of the Pri­mes, Fo­urth Es­ta­te, Lon­don 2003.

Reid C., From Zero to In­fi­ni­ty, Tho­mas Y. Cro­well, New York 1955.

Schmel­zer T., Ba­il­lie R., Sum­ming a cu­rio­us, slow­ly co­nver­gent se­ries, „Ame­ri­can Ma­the­ma­ti­cal Mon­th­ly”, July 2008.

Slo­ane N.J.A., My Fa­vo­ri­te In­te­ger Se­qu­en­ces, 2000.

ROZ­DZIAŁ ÓSMY

To tyl­ko dziw­ny przy­pa­dek, że pi, fi i Fi­bo­nac­ci wy­da­ją się spo­krew­nio­ne, mają bo­wiem zu­peł­nie róż­ną ety­mo­lo­gię, choć zwo­len­ni­ków teo­rii spi­sko­wych może to nie prze­ko­nać. Je­śli cho­dzi o zło­tą pro­por­cję, trud­no cza­sem od­róż­nić fa­na­ty­ków od nie­fa­na­ty­ków. Fa­na­ty­kiem zde­cy­do­wa­nie nie jest Ron Knott, na któ­re­go stro­nie: www.com­pu­ting.sur­rey.ac.uk/per­so­nal/ext/R.Knott/Fi­bo­nac­ci/ jest wszyst­ko, co kie­dy­kol­wiek chcie­li­ście wie­dzieć o 1,618…

Li­vio M., The Gol­den Ra­tio, Re­view, Lon­don 2002.

Po­sa­men­tier A.S., Leh­mann I., The (Fa­bu­lo­us) Fi­bo­nac­ci Num­bers, Pro­me­theus Bo­oks, New York 2007.

McMa­nus I.C., Cook R., Hunt A., Bey­ond the Gol­den Sec­tion and nor­ma­ti­ve aesthe­tics: why do in­di­vi­du­als dif­fer so much in the­ir aesthe­tic pre­fe­ren­ces for rec­tan­gles?, „Per­cep­tion”, vol. 36, 2007.

ROZ­DZIAŁ DZIE­WIĄ­TY

Stra­te­gia Kel­ly’ego nie spro­wa­dza się do sa­me­go za­pa­mię­ta­nia ułam­ka , po­nie­waż sy­tu­acje w ha­zar­dzie są zwy­kle bar­dziej skom­pli­ko­wa­ne niż opi­sa­ny prze­ze mnie bar­dzo pro­sty przy­kład. Prze­pra­szam Eda Thor­pa, któ­ry w cza­sie roz­mo­wy py­tał z na­dzie­ją, czy będę po­tra­fił na­le­ży­cie szcze­gó­ło­wo wy­ja­śnić stra­te­gię Kel­ly’ego. Wy­bacz, Ed, to jest po pro­stu zbyt skom­pli­ko­wa­ne jak na tę pu­bli­ka­cję! Fan­ta­stycz­na książ­ka Wil­lia­ma Po­und­sto­ne’a słu­ży­ła mi za prze­wod­nik, a jej au­to­ro­wi je­stem wdzięcz­ny za do­star­cze­nie da­nych do wy­kre­su.

Aczel A.D., Chan­ce, High Sta­kes, Lon­don 2005.

Ben­nett D.J., Ran­dom­ness, Ha­rvard Uni­ver­si­ty Press, Cam­brid­ge, MA 1998.

De­vlin K., The Unfi­ni­shed Game, Ba­sic Bo­oks, New York 2008.

Ha­igh J., Ta­king Chan­ces, Oxford Uni­ver­si­ty Press, Oxford 1999.

Ka­plan M., Ka­plan E., Chan­ces Are, Pen­gu­in, New York 2006.

[wyd. pol. Za­wsze masz szan­se..., tłum. Da­riusz Ba­ka­larz, Świat Książ­ki, War­sza­wa 2008].

Mlo­di­now L., The Drun­kard’s Walk, Al­len Lane, Lon­don 2008.

[wyd. pol. Ma­te­ma­ty­ka nie­pew­no­ści, tłum. Pa­weł Strze­lec­ki, Pró­szyń­ski Me­dia, War­sza­wa 2009].

Pau­los J.A., In­nu­me­ra­cy, Hill & Wang, New York 1988.

[wyd. pol. Anal­fa­be­tyzm ma­te­ma­tycz­ny i jego skut­ki, tłum. Ja­cek Mię­kisz, Gdań­skie Wy­daw­nic­two Oświa­to­we, Gdańsk 2011].

Po­und­sto­ne W., For­tu­ne’s For­mu­la, Hill & Wang, New York 2005.

Ro­sen­thal J.S., Struck by Li­ght­ning, Jo­seph Hen­ry Press, Wa­shing­ton DC 2001.

Thorp E.O., Beat the De­aler, Vin­ta­ge, New York 1966.

Tijms H., Un­der­stan­ding Pro­ba­bi­li­ty, Cam­brid­ge Uni­ver­si­ty Press 2007.

Venn J., The Lo­gic of Chan­ce, Mac­mil­lan, Lon­don 1888.

ROZ­DZIAŁ DZIE­SIĄ­TY

Sta­ty­sty­ka to je­dy­ny dział ma­te­ma­ty­ki oma­wia­ny w tej książ­ce, któ­re­go nie uczy­łem się ani w szko­le, ani na stu­diach, więc w du­żej mie­rze była dla mnie zu­peł­ną no­wo­ścią. Nie­któ­rzy ma­te­ma­ty­cy uwa­ża­ją zresz­tą, że sta­ty­sty­ka nie jest praw­dzi­wą ma­te­ma­ty­ką, sko­ro zaj­mu­je się tak „bru­dzą­cy­mi” spra­wa­mi, jak po­mia­ry. Z przy­jem­no­ścią ubru­dzi­łem so­bie ręce, choć w naj­bliż­szym cza­sie nie wy­bie­ram się do pie­kar­ni Greggs.

Bla­stland M., Dil­not A., The Ti­ger That Isn’t, Pro­fi­le, Lon­don 2007.

Bro­okes M., Extre­me Me­asu­res, Blo­oms­bu­ry, Lon­don 2004.

Cli­ne Co­hen P., A Cal­cu­la­ting Pe­ople: The Spre­ad of Nu­me­ra­cy in Ear­ly Ame­ri­ca, Uni­ver­si­ty of Chi­ca­go Press, IL 1982.

Co­hen I.B., The Triumph of Num­bers, W. W. Nor­ton, New York 2005.

Edwards A.W.F., Pas­cal’s Ari­th­me­ti­cal Trian­gle, Johns Hop­kins Uni­ver­si­ty Press, Bal­ti­mo­re, MD 1987.

Ku­per S., Szy­man­ski S., Why En­gland Lose, Har­per­Col­lins, Lon­don 2009.

Ta­leb N.N., The Black Swan, Pen­gu­in, Lon­don 2007.

ROZ­DZIAŁ JE­DE­NA­STY

Choć po­zo­sta­je otwar­tą kwe­stią, czy wszech­świat jest mie­za­krzy­wio­ny, sfe­rycz­ny czy hi­per­bo­licz­ny, jest on z pew­no­ścią dość pła­ski; je­śli jego krzy­wi­zna rze­czy­wi­ście od­bie­ga od zera, to je­dy­nie mi­ni­mal­nie. Pa­ra­dok­sem ba­da­nia wszech­świa­ta na oko­licz­ność jego krzy­wi­zny jest jed­nak to, że nie da się nig­dy po­nad wszel­ką wąt­pli­wość udo­wod­nić, że wszech­świat jest nie­za­krzy­wio­ny, po­nie­waż za­wsze bę­dzie ist­niał błąd po­mia­ru. Teo­re­tycz­nie moż­li­we jest na­to­miast udo­wod­nie­nie, że wszech­świat jest za­krzy­wio­ny, co na­stą­pi­ło­by, gdy­by wy­ni­ki dały krzy­wi­znę, któ­ra uwzględ­nia­jąc błąd po­mia­ru, jest nie­ze­ro­wa.

Ho­tel Hil­ber­ta na­zy­wa­ny cza­sem bywa ho­te­lem In­fi­ni­ty, a sama hi­sto­ryj­ka ma wie­le wer­sji. Go­ście w T-shir­tach to moja ad­ap­ta­cja.

Aczel A.D., The My­ste­ry of the Aleph, Wa­shing­ton Squ­are Press, New York 2000.

[wyd. pol. Ta­jem­ni­ca Ale­fów, tłum. To­masz Hor­now­ski, Re­bis, Po­znań 2002].

Bar­row J.D., The In­fi­ni­te Book, Jo­na­than Cape, Lon­don 2005.

Fo­ster Wal­la­ce D., Eve­ry­thing and More, W. W. Nor­ton, New York 2003.

Ka­plan R., Ka­plan E., The Art of the In­fi­ni­te, Al­len Lane, Lon­don 2003.

O’Shea D., The Po­in­ca­ré Con­jec­tu­re, Wal­ker, New York 2007.

Ta­imi­na D., Hen­der­son D.W., How to Use Hi­sto­ry to Cla­ri­fy Com­mon Con­fu­sions in Geo­me­try, „Ma­the­ma­ti­cal As­so­cia­tion of Ame­ri­ca No­tes”, 2005.

IN­TER­NET

Nie spo­sób zbie­rać ma­te­ria­ły na te­mat ma­te­ma­ty­ki bez się­ga­nia do Wi­ki­pe­dii czy Wol­fram Ma­th­World (www.ma­th­world.wol­fram.com), do któ­rych za­glą­da­łem co­dzien­nie.

OGÓL­NE

Przej­rza­łem zbyt dużo ksią­żek, by je tu wszyst­kie wy­mie­nić, więc ogra­ni­czę się do tych, któ­re w ten czy inny spo­sób bez­po­śred­nio wzbo­ga­ci­ły ma­te­riał tej książ­ki. Wszyst­ko, co na­pi­sa­li Ke­ith De­vlin, Clif­ford A. Pic­ko­ver czy Ian Ste­wart, za­wsze jest war­te prze­czy­ta­nia.

Bell E.T., Men of Ma­the­ma­tics, Vic­tor Gol­lancz, Lon­don 1937.

Ben­tley P.J., The Book of Num­bers, Cas­sell Il­lu­stra­ted, Lon­don 2008.

Dar­ling D., The Uni­ver­sal Book of Ma­the­ma­tics, Wi­ley, Ho­bo­ken, NJ, 2004.

De­vlin K., All the Math That’s Fit to Print, Ma­the­ma­ti­cal As­so­cia­tion of Ame­ri­ca, Wa­shing­ton DC, 1994.

Du­dley U. (red.), Is Ma­the­ma­tics In­e­vi­ta­ble?, Ma­the­ma­ti­cal As­so­cia­tion of Ame­ri­ca, Wa­shing­ton DC, 2008.

Easta­way R., Wyn­dham J., Why Do Bu­ses Come in Thre­es?, Rob­son Bo­oks, Lon­don 1998.

Easta­way R., Wyn­dham J., How Long is a Pie­ce of String?, Rob­son Bo­oks, Lon­don 2002.

Go­wers T., Ma­the­ma­tics: A Very Short In­tro­duc­tion, Oxford Uni­ver­si­ty Press, Oxford 2002.

Gul­l­berg J., Ma­the­ma­tics, W. W. Nor­ton, New York 1997.

Hod­ges A., One to Nine, Short Bo­oks, Lon­don 2007.

Hof­f­man P., The Man Who Lo­ved Only Num­bers: The Sto­ry of Paul Er­dös and the Se­arch for Ma­the­ma­ti­cal Truth, Fo­urth Es­ta­te, 1998.

Hog­ben L., Ma­the­ma­tics for the Mil­lion, Al­len & Unwin, Lon­don 1936.

Ma­zur J., Euc­lid in the Ra­in­fo­rest, Plu­me, New York 2005.

New­man J. (red.), The World of Ma­the­ma­tics, Do­ver, New York 1956.

Pic­ko­ver C.A., A Pas­sion for Ma­the­ma­tics, Wi­ley, Ho­bo­ken, NJ, 2005.

Singh S., Fer­mat’s Last The­orem, Fo­urth Es­ta­te, Lon­don 1997.

Podziękowania

Po pierw­sze dzię­ku­ję Cla­ire Pa­ter­son z Jan­klow & Nes­bit, któ­ra za­chę­ci­ła mnie to do na­pi­sa­nia tej książ­ki, oraz moim re­dak­to­rom Ri­char­do­wi At­kin­so­no­wi w Lon­dy­nie i Emi­ly Lo­ose w No­wym Jor­ku. Je­stem rów­nież bar­dzo wdzięcz­ny Andy’emu Ri­ley­owi za wspa­nia­łe ilu­stra­cje.

Moje po­dró­że nie uda­ły­by się, gdy­by nie wspar­cie, ja­kie­go udzie­li­li mi sta­rzy i nowi zna­jo­mi: w Ja­po­nii Chie­ko Tsu­ne­oka, Ri­chard Lloyd Par­ry, Fio­na Wil­son, Ko­uzi Su­zu­ki, Ma­sao Uchi­bay­ashi, Tet­su­ro Mat­su­za­wa, Chris Mar­tin oraz Leo Le­wis; w In­diach Gau­rav Te­kri­wal, Dha­nan­jay Va­idya i Ken­neth Wil­liams; w Niem­czech Ralf Laue; w USA Colm Mul­ca­hy, Tom Rod­gers, Tom Hull, Neil Slo­ane, Jer­ry Slo­cum, Da­vid Chud­no­vsky, Gre­go­ry Chud­no­vsky, Tom Mor­gan, Mi­cha­el de Vlie­ger, Je­ro­me Car­ter, An­tho­ny Ba­er­lo­cher oraz Ed Thorp; w Wiel­kiej Bry­ta­nii Brian But­ter­worth, Pe­ter Hopp oraz Eddy Le­vin.

Rę­ko­pis znacz­nie zy­skał dzię­ki uwa­gom, któ­ry­mi po­dzie­li­li się ze mną Ro­bert Fo­un­ta­in, Co­lin Wri­ght, Colm Mul­ca­hy, Tony Mann, Alex Pa­se­au, Pier­re Pica, Ste­fa­nie Marsh, Mat­thew Ker­shaw, John Ma­in­gay, Mor­gan Ryan, An­dre­as Nie­der, Da­ina Ta­imi­na, Da­vid Hen­der­son, Ste­fan Man­del, Ro­bert Lang, Da­vid Bel­los oraz Ilo­na Mo­ri­son. Po­dzię­ko­wa­nia niech ze­chcą przy­jąć rów­nież Na­ta­lie Hunt, Si­mon Vek­sner, Ve­ro­ni­ca Esau­lo­va, Ga­vin Pre­tor-Pin­ney, Ju­stin Le­igh­ton, Je­an­ni­ne Mo­se­ly, Ravi Apte, Hugo de Klee, Mau­ra O’Brien, Pe­ter Daw­son, Paul Pal­mer-Edwards, Ela­ine Leg­gett, Re­bec­ca Fol­land, Kir­sty Gor­don, Tim Gli­ster, Hugh Mo­ri­son, Jo­na­than Cum­mings, Ra­pha­el Za­rum, Mike Ke­ith, Ga­reth Ro­berts, Gene Zir­kel, Erik De­ma­ine, Way­ne Gould, Kirk Pe­ar­son, An­ge­la Ne­wing, Bill Eading­ton, Mike Le­Van, She­ena Rus­sell, Har­tosh Bal, Ivan Mo­sco­vich, John Hol­den, Chris Ot­te­will, Ma­ria­na Ka­wall Leal Fer­re­ira, Todd Ran­gi­whe­tu, Wil­liam Po­und­sto­ne, Frank Swetz oraz Amir Aczel. Wresz­cie Zara Bel­los, moja bra­ta­ni­ca, któ­ra obie­ca­ła, że do­sta­nie naj­wyż­szą oce­nę z wy­róż­nie­niem z ma­te­ma­ty­ki, je­śli wspo­mnę o niej gdzieś w książ­ce.

Yoji Miy­amo­to, wy­na­laz­ca gry Flash An­zan, i jego ucznio­wie z naj­młod­szej kla­sy so­ro­ba­nu.

Ośmio­let­ni mistrz so­ro­ba­nu Yuzan Ara­ki z tro­feum i me­da­la­mi. „Lu­bię szyb­ko li­czyć”, po­wie­dział.

Twier­dze­nie Pi­ta­go­ra­sa z nie­zwy­kłej wer­sji Ele­men­tów Eu­kli­de­sa zre­da­go­wa­nej w 1847 roku przez Oli­ve­ra Byr­ne’a, w któ­rej twier­dze­nia przed­sta­wio­no w po­sta­ci ko­lo­ro­wych ry­sun­ków.

Skor­pion ori­ga­mi i jego wzór zgi­na­nia utwo­rzo­ny przez by­łe­go fi­zy­ka z NASA Ro­ber­ta Lan­ga.

Is­lam­scy geo­me­trzy de­ko­ro­wa­li świę­te miej­sca wy­ra­fi­no­wa­ny­mi wzo­ra­mi, jak ta mo­zai­ka z pa­ła­cu Al­ham­bra w Gre­na­dzie. Po­wta­rza­ją­ce się w nie­skoń­czo­ność wzo­ry sym­bo­li­zo­wa­ły ob­ja­wia­nie się Boga w for­mach ma­te­ma­tycz­nych.

Kwa­drat ła­ciń­ski w rol­ni­czej sta­cji do­świad­czal­nej Ro­tham­sted w Har­pen­den: 6 środ­ków che­micz­nych za­apli­ko­wa­no w taki spo­sób, by w każ­dym rzę­dzie i w każ­dej ko­lum­nie było po 1 kwa­dra­cie każ­de­go spe­cy­fi­ku.

Współ­cze­sny pi­ta­go­rej­czyk Je­ro­me Car­ter z żoną Pa­me­lą przed swo­im wy­ma­rzo­nym do­mem w Scot­ts­da­le w Ari­zo­nie. Car­ter do­ra­dzał gwiaz­dom

hip-hopu w spra­wie liczb kry­ją­cych się w ich imio­nach i na­zwi­skach.

Śan­ka­ra­czar­ja Puri, po pra­wej, sie­dzą­cy na swo­im tro­nie obok głów­ne­go ucznia i tłu­ma­cza. Z tyłu na ścia­nie wisi ob­raz przed­sta­wia­ją­cy Śan­ka­rę.

Lu­dzie pi: po bo­kach bra­cia Gre­go­ry i Da­vid Chud­no­vscy, w środ­ku ich współ­pra­cow­nik Tom Mor­gan. W no­wo­jor­skim miesz­ka­niu Gre­go­ry’ego zbu­do­wa­li su­per­kom­pu­ter, któ­ry ob­li­czył pi do po­nad dwóch mi­liar­dów miejsc po prze­cin­ku.

Za­wod­ni­cy roz­grze­wa­ją­cy się przed mi­strzo­stwa­mi świa­ta w li­cze­niu w pa­mię­ci. Nie­miec Jan van Ko­ning­sveld, na pierw­szym pla­nie, wy­grał w kon­ku­ren­cji wy­cią­ga­nia pier­wiast­ków kwa­dra­to­wych oraz ra­chu­by ka­len­da­rzo­wej.

Kar­ty wy­pro­du­ko­wa­ne we Fran­cji w 1818 roku u szczy­tu mody na tan­gram. Po­sta­cie Hen­ry­ka IV, Mło­dzień­ca, Ca­te­au i Chiń­czy­ka na­le­ża­ło zło­żyć z sied­miu fi­gur geo­me­trycz­nych.

Pa­sjans oko­po­wy w sty­lu tan­gra­mu, w któ­ry gra­li (i któ­ry czę­ścio­wo za­pro­jek­to­wa­li) nie­miec­cy żoł­nie­rze w cza­sie pierw­szej woj­ny świa­to­wej.

Erik De­ma­ine, na­uko­wiec in­for­ma­tyk.

Ray­mond Smul­ly­an, lo­gik.

Ivan Mo­sco­vich, twór­ca ła­mi­głó­wek.

Neil Slo­ane, tuz cią­gów.

Wszy­scy czte­rej pa­no­wie byli w 2008 roku go­ść­mi kon­fe­ren­cji Ga­the­ring for Gard­ner w Atlan­cie, or­ga­ni­zo­wa­nej w hoł­dzie twór­czo­ści Mar­ti­na Gard­ne­ra, kró­la ma­te­ma­ty­ki roz­ryw­ko­wej. Gard­ner, sfo­to­gra­fo­wa­ny po pra­wej w swo­im domu w Okla­ho­mie, do koń­ca pra­co­wał na sto­ją­co przy drew­nia­nym pul­pi­cie.

Eddy Le­vin z mier­ni­kiem zło­te­go po­dzia­łu w swo­im ogro­dzie w pół­noc­nym Lon­dy­nie. Zna­lazł fi w kwie­cie oraz w pa­wim pió­rze.

Le­vin mówi, że tam, gdzie jest pięk­no, tam jest rów­nież zło­ta pro­por­cja: w sło­necz­ni­ku, su­kien­ce, ob­ra­zie Mon­dria­na, sa­mo­cho­dzie mar­ki Fiat, ze­sta­wie ide­al­nych zę­bów oraz w kar­dio­gra­mie.

W 1948 roku fran­cu­ski ar­chi­tekt Le Cor­bu­sier opra­co­wał sys­tem pro­por­cji opar­ty na zło­tym po­dzia­le. Po­wie­dział, że Mo­du­lor jest „gamą har­mo­nij­nych miar, któ­re od­po­wia­da­ją ludz­kiej ska­li i mają uni­wer­sal­ne za­sto­so­wa­nie w ar­chi­tek­tu­rze i urzą­dze­niach me­cha­nicz­nych”.

An­tho­ny Ba­er­lo­cher, tu­taj w swo­im biu­rze w Reno, usta­la szan­se wy­gra­nej dla po­nad po­ło­wy au­to­ma­tów do gier na świe­cie. Au­to­ma­ty są dziś naj­bar­dziej do­cho­do­wą i uza­leż­nia­ją­cą grą w ka­sy­nach.

Ed Thorp po­ko­nał dwie inne gry ka­sy­no­we: skon­stru­ował pierw­szy kom­pu­ter na­da­ją­cy się do no­sze­nia przy so­bie, by wy­grać w ru­let­ce, oraz wy­my­ślił li­cze­nie kart, by wy­grać w blac­kjac­ka. Po­tem wy­ko­rzy­stał ma­te­ma­ty­kę do za­ro­bie­nia ogrom­nych sum na ryn­kach fi­nan­so­wych.

Nie sa­mym chle­bem czło­wiek żyje. Ster­ta ba­gie­tek z pie­kar­ni Greggs w mo­jej kuch­ni – sku­tek ubocz­ny eks­pe­ry­men­tu, któ­ry miał po­ka­zać ma­te­ma­ty­kę błę­du po­mia­ru.

Da­ina Ta­imi­na po­świę­ci­ła sześć mie­się­cy i zu­ży­ła 5,5 ki­lo­me­tra ró­żo­wej włócz­ki, by zro­bić naj­więk­szy na świe­cie hi­per­bo­licz­ny mo­del szy­deł­ko­wy, tu­taj obok kota Man­go.

Źródła ilustracji

[1] © Tet­su­ro Mat­su­za­wa.

[2] Dzię­ki uprzej­mo­ści Jür­ga Was­sman­na.

[4] Czcion­ki tu­zi­no­we i logo DSA dzię­ki uprzej­mo­ści Mi­cha­ela de Vlie­ge­ra, Do­ze­nal So­cie­ty of Ame­ri­ca.

[5] Ze zbio­rów Mu­sée in­ter­na­tio­nal d’hor­lo­ge­rie, La Chaux-de-Fonds, Szwaj­ca­ria.

[6] © Sir Ro­ger Pen­ro­se.

[7] © Ravi Apte.

[8] Scien­ce Mu­seum/Scien­ce & So­cie­ty Pic­tu­re Li­bra­ry.

[9] Scien­ce Mu­seum/Scien­ce & So­cie­ty Pic­tu­re Li­bra­ry.

[10] © Ju­stin Le­igh­ton.

[11] © Maki Kaji.

[12] © Jose/Fo­to­lia.

[13] Dzię­ki uprzej­mo­ści Clen­de­ning Hi­sto­ry of Me­di­ci­ne Li­bra­ry, Uni­ver­si­ty of Kan­sas Me­di­cal Cen­ter.

[14] Dzię­ki uprzej­mo­ści Jer­ry’ego Slo­cu­ma.

[15] Dzię­ki uprzej­mo­ści Jer­ry’ego Slo­cu­ma.

[16] Get Off The Earth to za­strze­żo­ny znak to­wa­ro­wy Sam Loyd Com­pa­ny i wy­ko­rzy­sta­ny za zgo­dą.

[17] Re­pro­duk­cja za zgo­dą Scot­ta Kima.

[18] Dzię­ki uprzej­mo­ści Mar­ka Pal­me­ra, Wow Tat­to­os.

[19] © Dániel Er­dély, Walt van Bal­le­go­oijen and the Spi­dron Team, 2008. Gra­fi­ka: Dániel Er­dély.

[20] Dzię­ki uprzej­mo­ści Pau­la Ba­te­ma­na.

[21] Wy­ko­rzy­sta­no na pod­sta­wie li­cen­cji Shut­ter­stock.com.

[22] Ka­sia, 2009. Wy­ko­rzy­sta­no na pod­sta­wie li­cen­cji Shut­ter­stock.com.

[23] © Alex Bel­los.

[24] Scott W. Klet­te, dzię­ki uprzej­mo­ści Ne­va­da Sta­te Mu­seum, Car­son City, NV.

[25] Dzię­ki uprzej­mo­ści Wil­lia­ma Po­und­sto­ne’a.

[26] © Da­ina Ta­imi­na.

[27] © The M.C. Escher Com­pa­ny, Hol­land, 2009. Wszel­kie pra­wa za­strze­żo­ne. www.mce­scher.com.

[28] © Da­ina Ta­imi­na.

KSIĄŻKI TEGO AUTORA

Alex po drugiej stronie lustra Futebol. Brazylijski styl życia Przygody Alexa w Krainie Liczb 

POLECANE W TEJ KATEGORII

#SEXEDPL. Rozmowy Anji Rubik o dojrzewaniu, miłości i seksie Jak czytać wodę Przewodnik wędrowca Duchowe życie zwierząt Medyczna Marihuana. Historia hipokryzji Małe wielkie odkrycia